अतिप्रत्यास्थ भौतिक: Difference between revisions

Revision as of 11:13, 1 March 2023

विभिन्न हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल के लिए तनाव घटता है।

हाइपरलास्टिक या अतिप्रत्यास्थ भौतिकी^[1] आदर्श रूप से प्रत्यास्थ (ठोस यांत्रिकी) भौतिकी के लिए एक प्रकार का संवैधानिक समीकरण है जिसके लिए तनाव-तनाव संबंध तनाव ऊर्जा घनत्व समारोह से प्राप्त होता है। हाइपरलास्टिक भौतिकी कॉची प्रत्यास्थ भौतिकी का एक विशेष मामला है।

कई सामग्रियों के लिए, रैखिक लोच मॉडल देखे गए भौतिक व्यवहार का सटीक वर्णन नहीं करते हैं। इस तरह की भौतिकी का सबसे आम उदाहरण रबर है, जिसके तनाव-तनाव (भौतिकी) संबंध को गैर-रैखिक रूप से प्रत्यास्थ, समदैशिक और असम्पीडित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरलास्टिक ऐसी सामग्रियों के तनाव-तनाव व्यवहार को मॉडलिंग करने का एक साधन प्रदान करता है।^[2] अपूर्ण, वल्केनाइज्ड इलास्टोमर्स का व्यवहार प्रायः हाइपरलास्टिक आदर्श के अनुरूप होता है। भरे हुए इलास्टोमर्स और जैविक ऊतक^[3]^[4] भी प्रायः हाइपरलास्टिक आदर्शीकरण के माध्यम से तैयार किए जाते हैं।

रोनाल्ड रिवलिन और मेल्विन मूनी ने नियो-हुकेन और मूनी-रिवलिन ठोस यांत्रिकी मॉडल के पहले हाइपरलास्टिक मॉडल को विकसित किया था इसके बाद से कई अन्य हाइपरलास्टिक मॉडल विकसित किए गए हैं। अन्य व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल में ओग्डेन मॉडल और अरुडा-बॉयस मॉडल सम्मिलित हैं।

हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल

सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल

सबसे सामान्य हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल है जो ज्यामितीय रूप से गैर-रैखिक मॉडल के लिए ज्यामितीय रूप से रैखिक प्रत्यास्थ भौतिकी मॉडल का विस्तार है। इस मॉडल का क्रमशः सामान्य और समदैशिक रूप है:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}&={\boldsymbol {C}}:{\boldsymbol {E}}\\{\boldsymbol {S}}&=\lambda ~{\text{tr}}({\boldsymbol {E}}){\boldsymbol {\mathit {I}}}+2\mu {\boldsymbol {E}}{\text{.}}\end{aligned}}

जहाँ

\mathbin {:}

टेंसर संकुचन

{\boldsymbol {S}}

है दूसरा पिओला-किरचॉफ तनाव

{\boldsymbol {C}}:\mathbb {R} ^{3\times 3}\to \mathbb {R} ^{3\times 3}

है :और चौथा क्रम कठोरता टेन्सर

{\boldsymbol {E}}

है, जिसे लग्रांगियन ग्रीन स्ट्रेन द्वारा दिया गया है:

\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{\textsf {T}}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{\textsf {T}}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\,\!

$\lambda$ और $\mu$ स्थिरांक हैं और ${\boldsymbol {\mathit {I}}}$ दूसरा क्रम इकाई टेन्सर है। जो सेंट वेनांट-किरचॉफ मॉडल के लिए तनाव-ऊर्जा घनत्व कार्य है

W({\boldsymbol {E}})={\frac {\lambda }{2}}[{\text{tr}}({\boldsymbol {E}})]^{2}+\mu {\text{tr}}{\mathord {\left({\boldsymbol {E}}^{2}\right)}}

और दूसरा पिओला-किरचॉफ तनाव संबंध से प्राप्त किया जा सकता है:

{\boldsymbol {S}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}~.

हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल का वर्गीकरण

हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है:

हाइपरलास्टिक भौतिकी गतिविधि का घटनात्मक विवरण
- फंग
- मूनी-रिवलिन
- ओग्डेन (हाइपरलास्टिक मॉडल)
- बहुपद (हाइपरलास्टिक मॉडल)
- सेंट वेनेंट-किरचॉफ
- योह (हाइपरलेस्टिक मॉडल)
- मार्लो (हाइपरलास्टिक मॉडल)
भौतिकी की अंतर्निहित संरचना के विषय में तर्कों से प्राप्त यांत्रिकीय मॉडल
- अरुडा-बॉयस मॉडल^[5]
- नियो-हुकेन मॉडल ^[1]
- बुके-सिल्बरस्टीन मॉडल^[6]
यांत्रिकीय और परिघटनात्मक मॉडल के हाइब्रिड
- जेंट (हाइपरलास्टिक मॉडल)
- वैन डेर वाल्स (हाइपरेलेटिक मॉडल)

सामान्यतः एक हाइपरलास्टिक मॉडल को ड्रकर स्थिरता मानदंड को पूर्ण करने की आवश्यकता होती है। क्योकि कुछ हाइपरलास्टिक मॉडल वैलेनिस-लैंडल परिकल्पना को सिद्ध करते हैं जो प्रदर्शित करते है कि तनाव ऊर्जा कार्य को प्रमुख भागों $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ के अलग-अलग कार्यों के योग में विभाजित किया जा सकता है।

W=f(\lambda _{1})+f(\lambda _{2})+f(\lambda _{3})\,.

किरचॉफ तनाव और लग्रांगियन विरूपण मे संबंध

संकुचित हाइपरलास्टिक भौतिकी

पहला पिओला-किरचॉफ तनाव

यदि $W({\boldsymbol {F}})$ तनाव ऊर्जा घनत्व फलन है, तो पहले पिओला-किरचॉफ तनाव टेन्सर की गणना हाइपरलास्टिक भौतिकी के रूप में की जा सकती है:

{\boldsymbol {P}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}={\frac {\partial W}{\partial F_{iK}}}

जहाँ ${\boldsymbol {F}}$ विरूपण प्रवणता है। लग्रांगियन तनाव ${\boldsymbol {E}}$ के संदर्भ में

{\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}=F_{iL}~{\frac {\partial W}{\partial E_{LK}}}~

परिमित कॉची-ग्रीन विरूपण टेन्सर ${\boldsymbol {C}}$ के संदर्भ में

{\boldsymbol {P}}=2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}=2~F_{iL}~{\frac {\partial W}{\partial C_{LK}}}~.

दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव

यदि ${\boldsymbol {S}}$ दूसरा पिओला-किरचॉफ तनाव टेंसर है तो

{\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}{\frac {\partial W}{\partial F_{kJ}}}~.

लग्रांगियन तनाव के संदर्भ में

{\boldsymbol {S}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}={\frac {\partial W}{\partial E_{IJ}}}~.

परिमित कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संदर्भ में

{\boldsymbol {S}}=2~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}=2~{\frac {\partial W}{\partial C_{IJ}}}~.

उपरोक्त संबंध को भौतिक विरूपण में "डॉयल-एरिक्सन सूत्र" के रूप में भी जाना जाता है।

कॉची तनाव

इसी प्रकार, यह तनाव (भौतिकी) द्वारा दिया जाता है:

{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}~;~~J:=\det {\boldsymbol {F}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {1}{J}}~{\frac {\partial W}{\partial F_{iK}}}~F_{jK}~.

लग्रांगियन ग्रीन तनाव के संदर्भ में

{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {1}{J}}~F_{iK}~{\frac {\partial W}{\partial E_{KL}}}~F_{jL}~.

परिमित सही कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संदर्भ में

{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {2}{J}}~F_{iK}~{\frac {\partial W}{\partial C_{KL}}}~F_{jL}~.

उपरोक्त भाव विषमदैशिक मीडिया के लिए भी मान्य हैं जिस स्थिति में, संभावित कार्य को प्रारंभिक फाइबर अभिविन्यास जैसे संदर्भ दिशात्मक राशियों पर निहित रूप से निर्भर करने के लिए समझा जाता है। समदैशिक की विशेष स्थिति में, कॉची तनाव को बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:^[7]

{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {B}}}}\cdot ~{\boldsymbol {B}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {2}{J}}~B_{ik}~{\frac {\partial W}{\partial B_{kj}}}~.

असंपीड्य हाइपरलास्टिक भौतिकी

एक असंपीड्य भौतिकी $J:=\det {\boldsymbol {F}}=1$ के लिए असंपीड्यता अवरोध $J-1=0$ है। हाइपरलास्टिक भौतिकी की असंपीड्यता सुनिश्चित करने के लिए तनाव-ऊर्जा फलन को निम्न प्रकार में लिखा जा सकता है:

W=W({\boldsymbol {F}})-p~(J-1)

जहां स्थैतिक दाब

p

असंपीड्यता अवरोध को प्रयुक्त करने के लिए लैग्रेंज गुणक के रूप में कार्य करता है। अब पिओला-किरचॉफ तनाव पहला तनाव बन गया है:

{\boldsymbol {P}}=-p~J{\boldsymbol {F}}^{-{\textsf {T}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}=-p~{\boldsymbol {F}}^{-{\textsf {T}}}+{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}=-p~{\boldsymbol {F}}^{-{\textsf {T}}}+2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}~.

इस तनाव टेन्सर को बाद में किसी भी अन्य भौतिकी तनाव टेंसर में परिवर्तित किया जा सकता है, जैसे कॉची तनाव टेन्सर जो इसके द्वारा दिया जाता है

{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}~.

कॉची तनाव के लिए अभिव्यक्तियाँ

संपीड्य समदैशिक हाइपरलास्टिक भौतिकी

संपीड्य समदैशिक हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए कॉची तनाव को बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर या दाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संपीड्यता के सिद्धांत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि तनाव ऊर्जा घनत्व फलन है:

W({\boldsymbol {F}})={\hat {W}}(I_{1},I_{2},I_{3})={\bar {W}}({\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J)={\tilde {W}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}),

तब

\begin{aligned} σ & = \frac{2}{\sqrt{I_{3}}} [(\frac{\partial \hat{W}}{\partial I_{1}} + I_{1} \frac{\partial \hat{W}}{\partial I_{2}}) B - \frac{\partial \hat{W}}{\partial I_{2}} B \cdot B] + 2 \sqrt{I_{3}} \frac{\partial \hat{W}}{\partial I_{3}} 1 \\ = \frac{2}{J} [\frac{1}{J^{2 / 3}} (\frac{\partial \bar{W}}{\partial {\bar{I}}_{1}} + {\bar{I}}_{1} \frac{\partial \bar{W}}{\partial {\bar{I}}_{2}}) B - \frac{1}{J^{4 / 3}} \frac{\partial \bar{W}}{\partial {\bar{I}}_{2}} B \cdot B] + [\frac{\partial \bar{W}}{\partial J} - \frac{2}{3 J} ({\bar{I}}_{1} \frac{\partial \bar{W}}{\partial {\bar{I}}_{1}} + 2 {\bar{I}}_{2} \frac{\partial \bar{W}}{\partial {\bar{I}}_{2}})] 1 \\ = \frac{2}{J} [(\frac{\partial \bar{W}}{\partial {\bar{I}}_{1}} + {\bar{I}}_{1} \frac{\partial \bar{W}}{\partial} \end{aligned}

इन प्रतीकों की परिभाषाओं के लिए बाएँ कॉची-ग्रीन विरूपण टेन्सर सिद्धान्त को देखें।

Proof 1 The second Piola–Kirchhoff stress tensor for a hyperelastic material is given by

{\boldsymbol {S}}=2~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}

where

{\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}

is the right Cauchy–Green deformation tensor and

{\boldsymbol {F}}

is the deformation gradient. The Cauchy stress is given by

{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}

where

J=\det {\boldsymbol {F}}

. Let

I_{1},I_{2},I_{3}

be the three principal invariants of

{\boldsymbol {C}}

. Then

{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}~.

The derivatives of the invariants of the symmetric tensor

{\boldsymbol {C}}

are

{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}~;~~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}=I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {C}}~;~~{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}=\det({\boldsymbol {C}})~{\boldsymbol {C}}^{-1}

Therefore, we can write

{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~I_{3}~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~.

Plugging into the expression for the Cauchy stress gives

{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~\left[{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}-{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T})+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~I_{3}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\right]

Using the left Cauchy–Green deformation tensor

{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}

and noting that

I_{3}=J^{2}

, we can write

{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{\sqrt {I_{3}}}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~{\sqrt {I_{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.

For an incompressible material

I_{3}=1

and hence

W=W(I_{1},I_{2})

.Then

{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})

Therefore, the Cauchy stress is given by

{\boldsymbol {\sigma }}=2\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.

where

p

is an undetermined pressure which acts as a Lagrange multiplier to enforce the incompressibility constraint.

If, in addition, $I_{1}=I_{2}$ , we have $W=W(I_{1})$ and hence

{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}

In that case the Cauchy stress can be expressed as

{\boldsymbol {\sigma }}=2{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.

Proof 2

The isochoric deformation gradient is defined as ${\bar {\boldsymbol {F}}}:=J^{-1/3}{\boldsymbol {F}}$ , resulting in the isochoric deformation gradient having a determinant of 1, in other words it is volume stretch free. Using this one can subsequently define the isochoric left Cauchy–Green deformation tensor ${\bar {\boldsymbol {B}}}:={\bar {\boldsymbol {F}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {F}}}^{T}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}$ . The invariants of ${\bar {\boldsymbol {B}}}$ are

{\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&={\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}})=J^{-2/3}{\text{tr}}({\boldsymbol {B}})=J^{-2/3}I_{1}\\{\bar {I}}_{2}&={\frac {1}{2}}\left({\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}})^{2}-{\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}}^{2})\right)={\frac {1}{2}}\left(\left(J^{-2/3}{\text{tr}}({\boldsymbol {B}})\right)^{2}-{\text{tr}}(J^{-4/3}{\boldsymbol {B}}^{2})\right)=J^{-4/3}I_{2}\\{\bar {I}}_{3}&=\det({\bar {\boldsymbol {B}}})=J^{-6/3}\det({\boldsymbol {B}})=J^{-2}I_{3}=J^{-2}J^{2}=1\end{aligned}}

The set of invariants which are used to define the distortional behavior are the first two invariants of the isochoric left Cauchy–Green deformation tensor tensor, (which are identical to the ones for the right Cauchy Green stretch tensor), and add

J

into the fray to describe the volumetric behaviour.

To express the Cauchy stress in terms of the invariants ${\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J$ recall that

{\bar {I}}_{1}=J^{-2/3}~I_{1}=I_{3}^{-1/3}~I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}=J^{-4/3}~I_{2}=I_{3}^{-2/3}~I_{2}~;~~J=I_{3}^{1/2}~.

The chain rule of differentiation gives us

{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{\sqrt {I_{3}}}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~{\sqrt {I_{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.

[Ogden-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 R.W. Ogden, 1984, Non-Linear Elastic Deformations, ISBN 0-486-69648-0, Dover.

[2] Muhr, A. H. (2005). "Modeling the stress–strain behavior of rubber". Rubber Chemistry and Technology. 78 (3): 391–425. doi:10.5254/1.3547890.

[3] Gao, H; Ma, X; Qi, N; Berry, C; Griffith, BE; Luo, X (2014). "द्रव-संरचना अंतःक्रिया के साथ एक परिमित तनाव अरैखिक मानव माइट्रल वाल्व मॉडल". Int J Numer Method Biomed Eng. 30 (12): 1597–613. doi:10.1002/cnm.2691. PMC 4278556. PMID 25319496.

[4] Jia, F; Ben Amar, M; Billoud, B; Charrier, B (2017). "Morphoelasticity in the development of brown alga Ectocarpus siliculosus: from cell rounding to branching". J R Soc Interface. 14 (127): 20160596. doi:10.1098/rsif.2016.0596. PMC 5332559. PMID 28228537.

[AB-5] Arruda, E.M.; Boyce, M.C. (1993). "रबर लोचदार सामग्री के बड़े खिंचाव व्यवहार के लिए एक त्रि-आयामी मॉडल" (PDF). J. Mech. Phys. Solids. 41: 389–412. doi:10.1016/0022-5096(93)90013-6. S2CID 136924401.

[BS-6] Buche, M.R.; Silberstein, M.N. (2020). "Statistical mechanical constitutive theory of polymer networks: The inextricable links between distribution, behavior, and ensemble". Phys. Rev. E. 102 (1): 012501. arXiv:2004.07874. doi:10.1103/PhysRevE.102.012501. PMID 32794915. S2CID 215814600.

[Basar-7] Y. Basar, 2000, Nonlinear continuum mechanics of solids, Springer, p. 157.

[8] Fox & Kapoor, Rates of change of eigenvalues and eigenvectors, AIAA Journal, 6 (12) 2426–2429 (1968)

[9] Friswell MI. The derivatives of repeated eigenvalues and their associated eigenvectors. Journal of Vibration and Acoustics (ASME) 1996; 118:390–397.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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[8]

[9]

@@ Line 12: / Line 12: @@
 === सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल ===
-सबसे साधारण हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल है जो ज्यामितीय रूप से गैर-रैखिक मॉडल के लिए ज्यामितीय रूप से रैखिक प्रत्यास्थ भौतिकी मॉडल का विस्तार है। इस मॉडल का क्रमशः सामान्य और समदैशिक रूप है: <math display="block">\begin{align}
+सबसे सामान्य हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल है जो ज्यामितीय रूप से गैर-रैखिक मॉडल के लिए ज्यामितीय रूप से रैखिक प्रत्यास्थ भौतिकी मॉडल का विस्तार है। इस मॉडल का क्रमशः सामान्य और समदैशिक रूप है: <math display="block">\begin{align}
   \boldsymbol{S} &= \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E} \\
   \boldsymbol{S} &= \lambda~ \text{tr}(\boldsymbol{E})\boldsymbol{\mathit{I}} + 2\mu\boldsymbol{E} \text{.}
@@ Line 101: / Line 101: @@
   </math>
 === असंपीड्य हाइपरलास्टिक भौतिकी ===
-'''एक असंपीड्य भौतिकी के लिए <math>J := \det\boldsymbol{F} = 1</math>. असंपीड्यता बाधा''' इसलिए है <math>J-1= 0</math>. हाइपरलास्टिक भौतिकी की असंपीड्यता सुनिश्चित करने के लिए, तनाव-ऊर्जा फ़ंक्शन को फॉर्म में लिखा जा सकता है:
+एक असंपीड्य भौतिकी <math>J := \det\boldsymbol{F} = 1</math> के लिए असंपीड्यता अवरोध <math>J-1= 0</math> है। हाइपरलास्टिक भौतिकी की असंपीड्यता सुनिश्चित करने के लिए तनाव-ऊर्जा फलन को निम्न प्रकार में लिखा जा सकता है:<math display="block">W = W(\boldsymbol{F}) - p~(J-1)</math>जहां स्थैतिक दाब <math>p</math> असंपीड्यता अवरोध को प्रयुक्त करने के लिए [[लैग्रेंज गुणक]] के रूप में कार्य करता है। अब पिओला-किरचॉफ तनाव पहला तनाव बन गया है:
-<math display="block">W = W(\boldsymbol{F}) - p~(J-1)</math>
-जहां हाइड्रोस्टेटिक दबाव <math>p</math> असंपीड्यता बाधा को लागू करने के लिए [[लैग्रेंज गुणक]] के रूप में कार्य करता है। पहला पिओला-किरचॉफ तनाव अब बन गया है
 <math display="block">
 \boldsymbol{P}=-p~J\boldsymbol{F}^{-\textsf{T}} + \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{F}}
@@ Line 109: / Line 107: @@
   = -p~\boldsymbol{F}^{-\textsf{T}} + 2~\boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{C}} ~.
 </math>
-यह तनाव टेन्सर बाद में तनाव (भौतिकी) में से किसी भी अन्य पारंपरिक तनाव टेन्सर में हो सकता है, जैसे [[कॉची तनाव टेन्सर]] जो द्वारा दिया गया है
+इस तनाव टेन्सर को बाद में किसी भी अन्य भौतिकी तनाव टेंसर में परिवर्तित किया जा सकता है, जैसे [[कॉची तनाव टेन्सर]] जो इसके द्वारा दिया जाता है
 <math display="block">
 \boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} =
@@ Line 116: / Line 114: @@
   = -p~\boldsymbol{\mathit{1}} + 2~\boldsymbol{F}\cdot\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{C}}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T} ~.
 </math>
+== कॉची तनाव के लिए अभिव्यक्तियाँ ==
+=== संपीड्य समदैशिक हाइपरलास्टिक भौतिकी ===
-== कॉची तनाव के लिए भाव ==
+संपीड्य समदैशिक हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए कॉची तनाव को बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर या दाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संपीड्यता के सिद्धांत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि तनाव ऊर्जा घनत्व फलन है:<math display="block">W(\boldsymbol{F})=\hat{W}(I_1,I_2,I_3) = \bar{W}(\bar{I}_1,\bar{I}_2, J) = \tilde{W}(\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3),</math>  तब
-=== संपीड़ित आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक भौतिकी ===
-आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक सामग्रियों के लिए, कॉची तनाव को परिमित तनाव सिद्धांत के अपरिवर्तनीय के रूप में व्यक्त किया जा सकता है राइट कॉची-ग्रीन डिफॉर्मेशन टेंसर)। यदि तनाव ऊर्जा घनत्व समारोह है <math display="block">W(\boldsymbol{F})=\hat{W}(I_1,I_2,I_3) = \bar{W}(\bar{I}_1,\bar{I}_2, J) = \tilde{W}(\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3),</math> तब
 <math display="block">\begin{align}
   \boldsymbol{\sigma} & =
@@ Line 132: / Line 128: @@
   & = \frac{\lambda_1}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}~\frac{\partial\tilde{W}}{\partial \lambda_1}~\mathbf{n}_1\otimes\mathbf{n}_1 + \frac{\lambda_2}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}~\frac{\partial\tilde{W}}{\partial \lambda_2}~\mathbf{n}_2\otimes\mathbf{n}_2 + \frac{\lambda_3}{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}~\frac{\partial\tilde{W}}{\partial \lambda_3}~\mathbf{n}_3\otimes\mathbf{n}_3
 \end{align} </math>
-(इन प्रतीकों की परिभाषाओं के लिए परिमित तनाव सिद्धांत # द लेफ्ट कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर पर पृष्ठ देखें। लेफ्ट कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर)।
+इन प्रतीकों की परिभाषाओं के लिए बाएँ कॉची-ग्रीन विरूपण टेन्सर सिद्धान्त को देखें।
 {{math proof
@@ Line 387: / Line 383: @@
 === असंपीड्य आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक भौतिकी ===
-असम्पीडित आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए, तनाव ऊर्जा घनत्व कार्य है <math>W(\boldsymbol{F})=\hat{W}(I_1,I_2)</math>. कॉची तनाव तब द्वारा दिया जाता है
+असंपीड्य समदैशिक हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए, तनाव ऊर्जा घनत्व कार्य <math>W(\boldsymbol{F})=\hat{W}(I_1,I_2)</math> है तब कॉची तनाव द्वारा दिया जाता है:
 <math display="block">\begin{align}
   \boldsymbol{\sigma} & = -p~\boldsymbol{\mathit{1}} +
@@ Line 397: / Line 393: @@
   \lambda_2~\frac{\partial W}{\partial \lambda_2}~\mathbf{n}_2\otimes\mathbf{n}_2 + \lambda_3~\frac{\partial W}{\partial \lambda_3}~\mathbf{n}_3\otimes\mathbf{n}_3
 \end{align} </math>
-कहाँ <math>p</math> एक अनिश्चित दबाव है। तनाव के अंतर के संदर्भ में
+जहाँ <math>p</math> एक अनिश्चित दाब है। तनाव के संदर्भ में
 <math display="block">
   \sigma_{11} - \sigma_{33} = \lambda_1~\frac{\partial W}{\partial \lambda_1} - \lambda_3~\frac{\partial W}{\partial \lambda_3}~;~~
   \sigma_{22} - \sigma_{33} = \lambda_2~\frac{\partial W}{\partial \lambda_2} - \lambda_3~\frac{\partial W}{\partial \lambda_3}
   </math>
-अगर इसके अलावा <math>I_1 = I_2</math>, तब
+यदि इसके अतिरिक्त <math>I_1 = I_2</math> तब,
 <math display="block"> \boldsymbol{\sigma} = 2\frac{\partial W}{\partial I_1}~\boldsymbol{B} - p~\boldsymbol{\mathit{1}}~. </math>
-अगर <math>\lambda_1 = \lambda_2</math>, तब
+यदि <math>\lambda_1 = \lambda_2</math>, तब
 <math display="block"> \sigma_{11} - \sigma_{33} = \sigma_{22} - \sigma_{33} = \lambda_1~\frac{\partial W}{\partial \lambda_1} - \lambda_3~\frac{\partial W}{\partial \lambda_3} </math>
+== रैखिक प्रत्यास्थता के साथ संगतता ==
+रैखिक प्रत्यास्थता के साथ संगतता का उपयोग प्रायः हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल के कुछ मापदंडों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इन संगतता स्थितियों को हुक के सिद्धान्त की तुलना छोटे तनाव पर रैखिककृत अतिप्रत्यास्थता के साथ प्रयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।
+=== संपीड्य प्रत्यास्थ भौतिकी मॉडल के लिए संगतता की स्थिति ===
+संपीड्य प्रत्यास्थ भौतिकी मॉडल के लिए संपीड्य रैखिक प्रत्यास्थता के अनुरूप होने के लिए, किरचॉफ तनाव और लग्रांगियन विरूपण के संबंध में अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत सीमा में निम्न रूप होना चाहिए:<math display="block"> \boldsymbol{\sigma} = \lambda~\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})~\boldsymbol{\mathit{1}} + 2\mu\boldsymbol{\varepsilon} </math>जहाँ <math>\lambda, \mu</math> "लमे" स्थिरांक हैं। उपरोक्त संबंध के अनुरूप तनाव ऊर्जा घनत्व कार्य है:<ref name="Ogden" /><math display="block"> W = \tfrac{1}{2}\lambda~[\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})]^2 + \mu~\mathrm{tr}\mathord\left(\boldsymbol{\varepsilon}^2\right). </math>एक असंपीड्य भौतिकी के लिए <math>\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon}) = 0</math> और <math display="block"> W = \mu~\mathrm{tr}\mathord\left(\boldsymbol{\varepsilon}^2\right). </math> है
-== रैखिक लोच के साथ संगति ==
-रैखिक लोच के साथ संगति का उपयोग प्रायः हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल के कुछ मापदंडों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इन स्थिरता स्थितियों को हुक के कानून की तुलना छोटे उपभेदों पर रैखिककृत हाइपरलास्टिकिटी के साथ करके पाया जा सकता है।
-=== आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक मॉडल === के लिए संगति की स्थिति
+किसी भी नाव ऊर्जा घनत्व फलन <math>W(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)</math> के लिए छोटे लग्रांगियन तनाव विरूपण के लिए उपरोक्त रूपों को कम करने के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूर्ण करना आवश्यक होता है।<ref name="Ogden" />
-आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए आइसोट्रोपिक रैखिक लोच के अनुरूप होने के लिए, तनाव-तनाव संबंध में इनफिनिटिमल तनाव सिद्धांत सीमा में निम्न रूप होना चाहिए:
-<math display="block"> \boldsymbol{\sigma} = \lambda~\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})~\boldsymbol{\mathit{1}} + 2\mu\boldsymbol{\varepsilon} </math>
-कहाँ <math>\lambda, \mu</math> लमे स्थिरांक हैं। उपरोक्त संबंध से मेल खाने वाला तनाव ऊर्जा घनत्व कार्य है<ref name=Ogden/>
-<math display="block"> W = \tfrac{1}{2}\lambda~[\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})]^2 + \mu~\mathrm{tr}\mathord\left(\boldsymbol{\varepsilon}^2\right) </math>
-एक असंपीड्य भौतिकी के लिए <math>\mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon}) = 0</math> और हमारे पास है
-<math display="block"> W = \mu~\mathrm{tr}\mathord\left(\boldsymbol{\varepsilon}^2\right) </math>
-किसी भी तनाव ऊर्जा घनत्व समारोह के लिए <math>W(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)</math> छोटे उपभेदों के लिए उपरोक्त रूपों को कम करने के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा<ref name=Ogden/>
 <math display="block">\begin{align}
   & W(1,1,1) = 0 ~;~~
@@ Line 424: / Line 415: @@
   & \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i \partial \lambda_j}(1,1,1) = \lambda + 2\mu\delta_{ij}
 \end{align} </math>
-यदि भौतिकी असंपीड्य है, तो उपरोक्त शर्तों को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+यदि भौतिकी असंपीड्य है, तो उपरोक्त शर्तों को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 <math display="block">\begin{align}
   & W(1,1,1) = 0 \\
@@ Line 432: / Line 423: @@
   & \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i^2}(1,1,1) - \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i \partial \lambda_j}(1,1,1) + \frac{\partial W}{\partial \lambda_i}(1,1,1) = 2\mu ~~(i \ne j)
 \end{align} </math>
-इन स्थितियों का उपयोग किसी दिए गए हाइपरलास्टिक मॉडल और कतरनी और थोक मोडुली के पैरामीटर के बीच संबंधों को खोजने के लिए किया जा सकता है।
+इन स्थितियों का उपयोग किसी दिए गए अतिप्रत्यास्थ मॉडल, कर्तनी मॉडल और स्थूल मोडुली के पैरामीटर के बीच संबंधों को खोजने के लिए किया जा सकता है।
+=== असंपीड्य {{math|''I''<sub>1</sub>}} पर आधारित संगतता की स्थिति ===
+कई इलास्टोमर्स को तनाव ऊर्जा घनत्व फलन द्वारा पर्याप्त रूप से तैयार किया जाता है जो केवल <math>I_1</math> पर निर्भर करता है। ऐसी भौतिकी के लिए हमारे पास <math> W = W(I_1) </math> है। <math>I_1 = 3, \lambda_i = \lambda_j = 1</math> के लिए असम्पीडित भौतिकी के लिए स्थिरता की स्थिति तब निम्न समीकरण के रूप में व्यक्त की जा सकती है:<math display="block"> \left.W(I_1)\right|_{I_1=3} = 0 \quad \text{and} \quad \left.\frac{\partial W}{\partial I_1}\right|_{I_1=3} = \frac{\mu}{2} \,. </math>
-=== असम्पीडित के लिए संगति की स्थिति {{math|''I''<sub>1</sub>}} आधारित रबर भौतिकी ===
+ऊपर दी गई दूसरी संगतता की स्थिति को ध्यान में रखते हुए प्राप्त किया जा सकता है कि
-कई इलास्टोमर्स को तनाव ऊर्जा घनत्व फ़ंक्शन द्वारा पर्याप्त रूप से तैयार किया जाता है जो कि केवल पर निर्भर करता है <math>I_1</math>. ऐसी भौतिकी के लिए हमारे पास है <math> W = W(I_1) </math>.
-के लिए असम्पीडित भौतिकी के लिए स्थिरता की स्थिति <math>I_1 = 3, \lambda_i = \lambda_j = 1</math> के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
-<math display="block"> \left.W(I_1)\right|_{I_1=3} = 0 \quad \text{and} \quad \left.\frac{\partial W}{\partial I_1}\right|_{I_1=3} = \frac{\mu}{2} \,. </math>
-ऊपर दी गई दूसरी स्थिरता की स्थिति को ध्यान में रखते हुए प्राप्त किया जा सकता है
 <math display="block">
   \frac{\partial W}{\partial \lambda_i} = \frac{\partial W}{\partial I_1}\frac{\partial I_1}{\partial \lambda_i} = 2\lambda_i\frac{\partial W}{\partial I_1} \quad\text{and}\quad
   \frac{\partial^2 W}{\partial \lambda_i \partial \lambda_j} = 2\delta_{ij}\frac{\partial W}{\partial I_1} + 4\lambda_i\lambda_j \frac{\partial^2 W}{\partial I_1^2}\,.
   </math>
-इन संबंधों को तब आइसोट्रोपिक असंपीड्य हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए स्थिरता की स्थिति में प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
+इन संबंधों को तब समदैशिक असंपीड्य हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए संगतता की स्थिति में प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
 == संदर्भ ==

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अतिप्रत्यास्थ भौतिक: Difference between revisions

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Revision as of 11:13, 1 March 2023

Contents

हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल

सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल

हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल का वर्गीकरण

किरचॉफ तनाव और लग्रांगियन विरूपण मे संबंध

संकुचित हाइपरलास्टिक भौतिकी

पहला पिओला-किरचॉफ तनाव

दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव

कॉची तनाव

असंपीड्य हाइपरलास्टिक भौतिकी

कॉची तनाव के लिए अभिव्यक्तियाँ

संपीड्य समदैशिक हाइपरलास्टिक भौतिकी

असंपीड्य आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक भौतिकी

रैखिक प्रत्यास्थता के साथ संगतता

संपीड्य प्रत्यास्थ भौतिकी मॉडल के लिए संगतता की स्थिति

असंपीड्य $I 1$ पर आधारित संगतता की स्थिति

संदर्भ

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अतिप्रत्यास्थ भौतिक: Difference between revisions

Revision as of 11:13, 1 March 2023

हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल

सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल

हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल का वर्गीकरण

किरचॉफ तनाव और लग्रांगियन विरूपण मे संबंध

संकुचित हाइपरलास्टिक भौतिकी

पहला पिओला-किरचॉफ तनाव

दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव

कॉची तनाव

असंपीड्य हाइपरलास्टिक भौतिकी

कॉची तनाव के लिए अभिव्यक्तियाँ

संपीड्य समदैशिक हाइपरलास्टिक भौतिकी

असंपीड्य आइसोट्रोपिक हाइपरलास्टिक भौतिकी

रैखिक प्रत्यास्थता के साथ संगतता

संपीड्य प्रत्यास्थ भौतिकी मॉडल के लिए संगतता की स्थिति

असंपीड्य I1 पर आधारित संगतता की स्थिति

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