ज़ोनोगोन: Difference between revisions

Revision as of 09:02, 6 March 2023

अष्टकोणीय ज़ोनोगोन

सम अष्टभुज और समचतुर्भुजों द्वारा सम अष्टकोणीय टाइल

ज्यामिति में, ज़ोनोगोन एक केंद्रीय-सममित या अवमुख बहुभुज होता है।^[1] सामान्यतः यह एक अवमुख-बहुभुज है जिसकी भुजाओं को समान लंबाई और विपरीत कोणों वाले समानांतर बहुभुज युग्मों में समूहीकृत किया जा सकता है।

उदाहरण

सम बहुभुज एक ज़ोनोगोन होता है जब इसकी भुजाओं की संख्या सम होती है।^[2] इस प्रकार, वर्ग, सम षट्भुज और सम अष्टभुज, चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज और समांतर चतुर्भुज सभी ज़ोनोगोन होते हैं।

टाइलिंग और समविच्छेदन

चतुर्भुज और सम षट्भुज ज़ोनोगोन समानांतर होते हैं जो स्वयं की अनुवादित प्रतियों द्वारा समतल को चतुर्भुज या षट्भुज करने में सक्षम होते हैं और सभी अवमुख समानांतरों का यह रूप हैं।^[3]

असम षट्कोणीय ज़ोनोगोन्स द्वारा ट्ससेलेशन

प्रत्येक $2n$ भुजा वाले ज़ोनोगोन को ${\tbinom {n}{2}}$ समांतर चतुर्भुज द्वारा टाइल किया जा सकता है।^[4] समबाहु ज़ोनोगोन के लिए, एक $2n$ भुजा वाले ज़ोनोगोन को ${\tbinom {n}{2}}$ समचतुर्भुज द्वारा टाइल किया जा सकता है। इस टाइलिंग में $2n$ - भुजा वाले ज़ोनोगोन में भुजा के प्रत्येक युग्म के लिए समांतर चतुर्भुज होता है। ज़ोनोगोन के कम से कम तीन शीर्ष ऐसे किसी भी टाइलिंग में केवल एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष होने चाहिए।^[5] उदाहरण के लिए, सम अष्टकोण को दो वर्गों और चार 45° के समचतुर्भुजों द्वारा टाइल किया जा सकता है।^[6]

मोंस्की की प्रमेय के सामान्यीकरण में, पॉल मोंस्की (1990) ने सिद्ध किया कि किसी भी ज़ोनोगोन के समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों की विषम संख्या में समविच्छेदन नहीं होता है।^[7]^[8]

अन्य गुण

एक से अधिक $n$ -भुजा वाले ज़ोनोगोन में शीर्षों के युग्म एक दूसरे से $2n-3$ इकाई दूरी पर हो सकते हैं। जिसमे $2n-O({\sqrt {n}})$ इकाई-दूरी वाले युग्म के साथ $n$ -भुजा वाले ज़ोनोगोन सम्मिलित होते हैं।^[9]

संबंधित आकृतियाँ

ज़ोनोगोन्स, त्रि-आयामी ज़ोनोहेड्रा और उच्च-आयामी ज़ोनोटोप्स के द्वि-आयामी रेखीय होते हैं। इस प्रकार, प्रत्येक ज़ोनोगोन को समतल में रेखा खंडों के एक संग्रह को "मिन्कोव्स्की योग" के रूप में उत्पन्न किया जा सकता है।^[1] यदि सामान्य रेखा खंड में से कोई भी दो रेखाएँ समानांतर नहीं होती हैं तो प्रत्येक रेखा खंड के लिए एक समानांतर रेखा खंड युग्म होता है। ज़ोनोहेड्रॉन का प्रत्येक भाग एक ज़ोनोगोन होता है और प्रत्येक ज़ोनोगोन मे कम से कम एक ज़ोनोहेड्रॉन का भाग है जो उस ज़ोनोगोन पर प्रिज्म होता है। इसके अतिरिक्त, एक केंद्रीय-सममित बहुफलक (जैसे ज़ोनोहेड्रॉन) के केंद्र के माध्यम से प्रत्येक अनुप्रस्थ समतल एक ज़ोनोगोन होता है।

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Boltyanski, Vladimir; Martini, Horst; Soltan, P. S. (2012), Excursions into Combinatorial Geometry, Springer, p. 319, ISBN 9783642592379
↑ Young, John Wesley; Schwartz, Albert John (1915), Plane Geometry, H. Holt, p. 121, If a regular polygon has an even number of sides, its center is a center of symmetry of the polygon
↑ Alexandrov, A. D. (2005), Convex Polyhedra, Springer, p. 351, ISBN 9783540231585
↑ Beck, József (2014), Probabilistic Diophantine Approximation: Randomness in Lattice Point Counting, Springer, p. 28, ISBN 9783319107417
↑ Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2000), Mathematical Olympiads 1998-1999: Problems and Solutions from Around the World, Cambridge University Press, p. 125, ISBN 9780883858035
↑ Frederickson, Greg N. (1997), Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, Cambridge, p. 10, doi:10.1017/CBO9780511574917, ISBN 978-0-521-57197-5, MR 1735254
↑ Monsky, Paul (1990), "A conjecture of Stein on plane dissections", Mathematische Zeitschrift, 205 (4): 583–592, doi:10.1007/BF02571264, MR 1082876, S2CID 122009844
↑ Stein, Sherman; Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs, vol. 25, Cambridge University Press, p. 130, ISBN 9780883850282
↑ Ábrego, Bernardo M.; Fernández-Merchant, Silvia (2002), "The unit distance problem for centrally symmetric convex polygons", Discrete & Computational Geometry, 28 (4): 467–473, doi:10.1007/s00454-002-2882-5, MR 1949894

[bms-1] 1.0 ^1.1 Boltyanski, Vladimir; Martini, Horst; Soltan, P. S. (2012), Excursions into Combinatorial Geometry, Springer, p. 319, ISBN 9783642592379

[ys-2] Young, John Wesley; Schwartz, Albert John (1915), Plane Geometry, H. Holt, p. 121, If a regular polygon has an even number of sides, its center is a center of symmetry of the polygon

[aa-3] Alexandrov, A. D. (2005), Convex Polyhedra, Springer, p. 351, ISBN 9783540231585

[beck-4] Beck, József (2014), Probabilistic Diophantine Approximation: Randomness in Lattice Point Counting, Springer, p. 28, ISBN 9783319107417

[mo-5] Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2000), Mathematical Olympiads 1998-1999: Problems and Solutions from Around the World, Cambridge University Press, p. 125, ISBN 9780883858035

[gnf-6] Frederickson, Greg N. (1997), Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, Cambridge, p. 10, doi:10.1017/CBO9780511574917, ISBN 978-0-521-57197-5, MR 1735254

[monsky-7] Monsky, Paul (1990), "A conjecture of Stein on plane dissections", Mathematische Zeitschrift, 205 (4): 583–592, doi:10.1007/BF02571264, MR 1082876, S2CID 122009844

[ss-8] Stein, Sherman; Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs, vol. 25, Cambridge University Press, p. 130, ISBN 9780883850282

[af-9] Ábrego, Bernardo M.; Fernández-Merchant, Silvia (2002), "The unit distance problem for centrally symmetric convex polygons", Discrete & Computational Geometry, 28 (4): 467–473, doi:10.1007/s00454-002-2882-5, MR 1949894

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 {{short description|Convex polygon with pairs of equal, parallel sides}}
 [[File:Octagon g2 symmetry.png|thumb|upright|अष्टकोणीय ज़ोनोगोन]]
-[[File:Centrosymmetric hexagonal tiling.png|thumb|असम षट्कोणीय ज़ोनोगोन्स द्वारा [[चौकोर|ट्ससेलेशन]]]]
+[[File:Dissected octagon.svg|thumb|upright|सम अष्टभुज और समचतुर्भुजों द्वारा सम अष्टकोणीय टाइल]][[ज्यामिति]] में, '''ज़ोनोगोन''' एक [[केंद्रीय समरूपता|केंद्रीय-सममित]] या [[उत्तल बहुभुज|अवमुख बहुभुज]] होता है।{{r|bms}} सामान्यतः यह एक अवमुख-बहुभुज है जिसकी भुजाओं को समान लंबाई और विपरीत कोणों वाले [[समानांतर (ज्यामिति)|समानांतर बहुभुज]] युग्मों में समूहीकृत किया जा सकता है।
-[[File:Dissected octagon.svg|thumb|upright|सम अष्टभुज और समचतुर्भुजों द्वारा सम अष्टकोणीय टाइल]][[ज्यामिति]] में, '''ज़ोनोगोन''' एक [[केंद्रीय समरूपता|केंद्रीय-सममित]] या [[उत्तल बहुभुज|अवमुख-बहुभुज]] होता है।{{r|bms}} सामान्यतः यह एक अवमुख-बहुभुज है जिसकी भुजाओं को समान लंबाई और विपरीत कोणों वाले [[समानांतर (ज्यामिति)|समानांतर बहुभुज]] युग्मों में समूहीकृत किया जा सकता है।
 == उदाहरण ==
-[[नियमित बहुभुज|सम बहुभुज]] एक ज़ोनोगोन होता है जब इसकी भुजाओं की संख्या सम होती है।{{r|ys}} इस प्रकार वर्ग, सम षट्भुज और सम अष्टभुज, [[चतुर्भुज]], [[आयत]], समचतुर्भुज और समांतर चतुर्भुज सभी ज़ोनोगोन होते हैं।
+[[नियमित बहुभुज|सम बहुभुज]] एक ज़ोनोगोन होता है जब इसकी भुजाओं की संख्या सम होती है।{{r|ys}} इस प्रकार, वर्ग, सम षट्भुज और सम अष्टभुज, [[चतुर्भुज]], [[आयत]], समचतुर्भुज और समांतर चतुर्भुज सभी ज़ोनोगोन होते हैं।
 == टाइलिंग और समविच्छेदन ==
-[[चतुर्भुज]] और सम षट्भुज ज़ोनोगोन समानांतर होते हैं जो स्वयं की अनुवादित प्रतियों द्वारा समतल को चतुर्भुज या षट्भुज करने में सक्षम होते हैं और सभी अवमुख समानांतरों का यह रूप है।{{r|aa}}
+[[चतुर्भुज]] और सम षट्भुज ज़ोनोगोन समानांतर होते हैं जो स्वयं की अनुवादित प्रतियों द्वारा समतल को चतुर्भुज या षट्भुज करने में सक्षम होते हैं और सभी अवमुख समानांतरों का यह रूप हैं।{{r|aa}}[[File:Centrosymmetric hexagonal tiling.png|thumb|असम षट्कोणीय ज़ोनोगोन्स द्वारा [[चौकोर|ट्ससेलेशन]]]]प्रत्येक <math>2n</math> भुजा वाले ज़ोनोगोन को <math>\tbinom{n}{2}</math> समांतर चतुर्भुज द्वारा टाइल किया जा सकता है।{{r|beck}} समबाहु ज़ोनोगोन के लिए, एक <math>2n</math> भुजा वाले ज़ोनोगोन को <math>\tbinom{n}{2}</math> समचतुर्भुज द्वारा टाइल किया जा सकता है। इस टाइलिंग में <math>2n</math>- भुजा वाले ज़ोनोगोन में भुजा के प्रत्येक युग्म के लिए समांतर चतुर्भुज होता है। ज़ोनोगोन के कम से कम तीन शीर्ष ऐसे किसी भी टाइलिंग में केवल एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष होने चाहिए।{{r|mo}} उदाहरण के लिए, सम अष्टकोण को दो वर्गों और चार 45° के समचतुर्भुजों द्वारा टाइल किया जा सकता है।{{r|gnf}}
-प्रत्येक <math>2n</math> भुजा वाले ज़ोनोगोन को <math>\tbinom{n}{2}</math> समांतर चतुर्भुज द्वारा टाइल किया जा सकता है।{{r|beck}} समबाहु ज़ोनोगोन के लिए, एक <math>2n</math> भुजा वाले ज़ोनोगोन को <math>\tbinom{n}{2}</math> समचतुर्भुज द्वारा टाइल किया जा सकता है। इस टाइलिंग में <math>2n</math>- भुजा वाले ज़ोनोगोन में भुजा के प्रत्येक युग्म के लिए समांतर चतुर्भुज होता है। ज़ोनोगोन के कम से कम तीन शीर्ष ऐसे किसी भी टाइलिंग में केवल एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष होने चाहिए।{{r|mo}} उदाहरण के लिए, सम अष्टकोण को दो वर्गों और चार 45° के समचतुर्भुजों द्वारा टाइल किया जा सकता है।{{r|gnf}}
 मोंस्की की प्रमेय के सामान्यीकरण में, {{harvs|first=पॉल|last=मोंस्की|authorlink=Paul Monsky|year=1990|txt}} ने सिद्ध किया कि किसी भी ज़ोनोगोन के समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों की विषम संख्या में [[समविच्छेदन]] नहीं होता है।{{r|monsky|ss}}
 == अन्य गुण ==
-अधिक से अधिक <math>n</math>-भुजा वाले ज़ोनोगोन में शीर्षों के युग्म एक दूसरे से <math>2n-3</math> इकाई दूरी पर हो सकते हैं। जिसमे <math>2n-O(\sqrt{n})</math> इकाई-दूरी वाले युग्म के साथ <math>n</math>-भुजा वाले ज़ोनोगोन सम्मिलित होते हैं।{{r|af}}
+एक से अधिक <math>n</math>-भुजा वाले ज़ोनोगोन में शीर्षों के युग्म एक दूसरे से <math>2n-3</math> इकाई दूरी पर हो सकते हैं। जिसमे <math>2n-O(\sqrt{n})</math> इकाई-दूरी वाले युग्म के साथ <math>n</math>-भुजा वाले ज़ोनोगोन सम्मिलित होते हैं।{{r|af}}
 == संबंधित आकृतियाँ ==
-ज़ोनोगोन्स, त्रि-आयामी [[ज़ोनोहेड्रा]] और उच्च-आयामी ज़ोनोटोप्स के द्वि-आयामी रेखीय होते हैं। इस प्रकार, प्रत्येक ज़ोनोगोन को समतल में रेखा खंडों के एक संग्रह को [[मिन्कोव्स्की योग|"मिन्कोव्स्की योग"]] के रूप में उत्पन्न किया जा सकता है।{{r|bms}} यदि सामान्य रेखा खंड में से कोई भी दो रेखाएँ समानांतर नहीं होती हैं तो प्रत्येक रेखा खंड के लिए एक समानांतर रेखा खंड युग्म होता है। ज़ोनोहेड्रॉन का प्रत्येक भाग एक ज़ोनोगोन होता है और प्रत्येक ज़ोनोगोन कम से कम एक ज़ोनोहेड्रॉन का भाग है जो उस ज़ोनोगोन पर प्रिज्म होता है। इसके अतिरिक्त, एक केंद्रीय-सममित बहुफलक (जैसे ज़ोनोहेड्रॉन) के केंद्र के माध्यम से प्रत्येक अनुप्रस्थ समतल एक ज़ोनोगोन होता है।
+ज़ोनोगोन्स, त्रि-आयामी [[ज़ोनोहेड्रा]] और उच्च-आयामी ज़ोनोटोप्स के द्वि-आयामी रेखीय होते हैं। इस प्रकार, प्रत्येक ज़ोनोगोन को समतल में रेखा खंडों के एक संग्रह को [[मिन्कोव्स्की योग|"मिन्कोव्स्की योग"]] के रूप में उत्पन्न किया जा सकता है।{{r|bms}} यदि सामान्य रेखा खंड में से कोई भी दो रेखाएँ समानांतर नहीं होती हैं तो प्रत्येक रेखा खंड के लिए एक समानांतर रेखा खंड युग्म होता है। ज़ोनोहेड्रॉन का प्रत्येक भाग एक ज़ोनोगोन होता है और प्रत्येक ज़ोनोगोन मे कम से कम एक ज़ोनोहेड्रॉन का भाग है जो उस ज़ोनोगोन पर प्रिज्म होता है। इसके अतिरिक्त, एक केंद्रीय-सममित बहुफलक (जैसे ज़ोनोहेड्रॉन) के केंद्र के माध्यम से प्रत्येक अनुप्रस्थ समतल एक ज़ोनोगोन होता है।
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