आदर्श वर्ग समूह

संख्या सिद्धांत में, एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र K का आदर्श वर्ग समूह (या वर्ग समूह) भागफल समूह है J_K/P_K जहाँ J_K , K के पूर्णांकों के वलय के भिन्नात्मक आदर्शों का समूह है और P_K इसके प्रमुख आदर्शों का उपसमूह है। वर्ग समूह इस बात का माप है कि पूर्णांकों के वलय में अद्वितीय गुणनखंडन किस सीमा तक विफल रहता है। समूह का क्रम (समूह सिद्धांत), जो परिमित है, K की वर्ग संख्या कहलाती है।

यह सिद्धांत डेडेकिंड डोमेन और उनके अंशों के क्षेत्र तक फैला हुआ है, जिसके लिए गुणात्मक गुण वर्ग समूह की संरचना से घनिष्ठ रूप से बंधे हैं। उदाहरण के लिए, डेडेकाइंड डोमेन का वर्ग समूह तुच्छ है अगर और केवल अगर रिंग एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन है।

आदर्श वर्ग समूह का इतिहास और उत्पत्ति

एक आदर्श (रिंग थ्योरी) के विचार से कुछ समय पहले आदर्श वर्ग समूह (या, बल्कि, प्रभावी रूप से आदर्श वर्ग समूह क्या थे) का अध्ययन किया गया था। ये समूह द्विघात रूपों के सिद्धांत में दिखाई दिए: द्विआधारी अभिन्न द्विघात रूपों के मामले में, जैसा कि कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा अंतिम रूप में रखा गया था, एक रचना कानून को रूपों के कुछ समतुल्य वर्गों पर परिभाषित किया गया था। इसने एक परिमित एबेलियन समूह दिया, जैसा कि उस समय पहचाना गया था।

बाद में गंभीर दु:ख साइक्लोटोमिक क्षेत्रों के सिद्धांत की दिशा में काम कर रहे थे। यह महसूस किया गया था (शायद कई लोगों द्वारा) कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के सामान्य मामले में एकता की जड़ों का उपयोग करके गुणनखंडन द्वारा पूर्ण प्रमाणों को पूरा करने में विफलता एक बहुत अच्छे कारण के लिए थी: अद्वितीय गुणनखंडन की विफलता, अर्थात, अंकगणित का मौलिक प्रमेय एकता की उन जड़ों द्वारा उत्पन्न रिंग (गणित) में धारण करना एक बड़ी बाधा थी। कुमेर के कार्य में पहली बार गुणनखंडन में बाधा का अध्ययन आया। अब हम इसे आदर्श वर्ग समूह के हिस्से के रूप में पहचानते हैं: वास्तव में कुमेर ने उस समूह में एकता के पी-मूलों के क्षेत्र के लिए पी-टॉर्शन उपसमूह को अलग कर दिया था, किसी भी अभाज्य संख्या पी के लिए, मानक की विफलता के कारण के रूप में फ़र्मेट समस्या पर हमले की विधि (नियमित प्राइम देखें)।

कुछ समय बाद फिर से रिचर्ड डेडेकिंड ने आइडियल (रिंग थ्योरी) की अवधारणा तैयार की, कुमेर ने एक अलग तरीके से काम किया। इस बिंदु पर मौजूदा उदाहरणों को एकीकृत किया जा सकता है। यह दिखाया गया था कि जबकि बीजगणितीय पूर्णांकों के छल्लों में हमेशा अभाज्यों में अद्वितीय गुणनखंडन नहीं होता है (क्योंकि उन्हें प्रमुख आदर्श डोमेन होने की आवश्यकता नहीं है), उनके पास यह गुण होता है कि प्रत्येक उचित आदर्श प्रधान आदर्शों के उत्पाद के रूप में एक अद्वितीय गुणनखंडन को स्वीकार करता है (अर्थात , बीजगणितीय पूर्णांकों का प्रत्येक वलय एक Dedekind डोमेन है)। आदर्श वर्ग समूह के आकार को एक प्रमुख आदर्श डोमेन होने से रिंग के विचलन के लिए एक उपाय के रूप में माना जा सकता है; एक अंगूठी एक प्रमुख डोमेन है अगर और केवल अगर इसमें एक तुच्छ आदर्श वर्ग समूह है।

परिभाषा

यदि R एक अभिन्न डोमेन है, तो I ~ J द्वारा R के शून्येतर भिन्नात्मक आदर्शों पर एक संबंध (गणित) ~ परिभाषित करें जब भी R के शून्येतर तत्व a और b मौजूद हों, जैसे कि (a)I = (b)J. (यहाँ अंकन (ए) का अर्थ आर के प्रमुख गुणक से है, जिसमें ए के सभी गुणक शामिल हैं।) यह आसानी से दिखाया गया है कि यह एक तुल्यता संबंध है। तुल्यता वर्ग को R का आदर्श वर्ग कहा जाता है। आदर्श वर्गों को गुणा किया जा सकता है: यदि [I] आदर्श I के तुल्यता वर्ग को दर्शाता है, तो गुणन [I] [J] = [IJ] अच्छी तरह से परिभाषित और क्रमविनिमेय है। प्रमुख गुण आदर्श वर्ग [R] बनाते हैं जो इस गुणन के लिए एक पहचान तत्व के रूप में कार्य करता है। इस प्रकार एक वर्ग [I] का व्युत्क्रम [J] होता है यदि और केवल यदि एक आदर्श J है जैसे कि IJ एक प्रमुख आदर्श है। सामान्य तौर पर, ऐसा J मौजूद नहीं हो सकता है और फलस्वरूप R के आदर्श वर्गों का सेट केवल एक मोनोइड हो सकता है।

हालाँकि, यदि R एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र में बीजगणितीय पूर्णांकों का वलय है, या अधिक सामान्यतः एक डेडेकिंड डोमेन है, तो ऊपर परिभाषित गुणन भिन्नात्मक आदर्श वर्गों के सेट को एक एबेलियन समूह, R के 'आदर्श वर्ग समूह' में बदल देता है। समूह व्युत्क्रम तत्वों के अस्तित्व की संपत्ति इस तथ्य से आसानी से अनुसरण करती है कि, डेडेकिंड डोमेन में, प्रत्येक गैर-शून्य आदर्श (आर को छोड़कर) प्रमुख आदर्शों का एक उत्पाद है।

गुण

आदर्श वर्ग समूह तुच्छ है (अर्थात् केवल एक तत्व है) यदि और केवल यदि R के सभी आदर्श प्रमुख हैं। इस अर्थ में, आदर्श वर्ग समूह यह मापता है कि आर एक प्रमुख आदर्श डोमेन होने से कितना दूर है, और इसलिए अद्वितीय प्रधान गुणनखंड को संतुष्ट करने से (डेडेकिंड डोमेन अद्वितीय गुणनखंड डोमेन हैं यदि और केवल यदि वे प्रमुख आदर्श डोमेन हैं)।

आदर्श वर्गों की संख्या ('class number R का) सामान्य रूप से अनंत हो सकता है। वास्तव में, प्रत्येक एबेलियन समूह कुछ डेडेकाइंड डोमेन के आदर्श वर्ग समूह के लिए समरूप है। लेकिन यदि R वास्तव में बीजगणितीय पूर्णांकों का एक वलय है, तो वर्ग संख्या हमेशा परिमित होती है। यह शास्त्रीय बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के मुख्य परिणामों में से एक है।

वर्ग समूह की गणना सामान्य तौर पर कठिन है; यह एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के छोटे विवेचक के बीजगणितीय संख्या क्षेत्र में पूर्णांकों के वलय के लिए हाथ से किया जा सकता है, मिन्कोव्स्की की सीमा का उपयोग करके। यह परिणाम रिंग के आधार पर एक बाउंड देता है, जैसे कि प्रत्येक आदर्श वर्ग में बाउंड से कम एक आदर्श मानदंड होता है। सामान्य तौर पर बाउंड इतना तेज नहीं है कि बड़े डिस्क्रिमिनेंट वाले क्षेत्रों के लिए गणना को व्यावहारिक बनाया जा सके, लेकिन कंप्यूटर इस कार्य के लिए उपयुक्त हैं।

पूर्णांक आर के छल्ले से उनके संबंधित वर्ग समूहों के लिए मानचित्रण क्रियात्मक है, और वर्ग समूह को बीजगणितीय के-सिद्धांत के शीर्षक के तहत शामिल किया जा सकता है, के के साथ₀(आर) आर को अपने आदर्श वर्ग समूह को असाइन करने वाला फ़ैक्टर होने के नाते; अधिक सटीक, के₀(आर) = 'जेड' × सी (आर), जहां सी (आर) वर्ग समूह है। पूर्णांकों के वलयों के संबंध में उच्च K समूहों को अंकगणितीय रूप से नियोजित और व्याख्यायित किया जा सकता है।

इकाइयों के समूह के साथ संबंध

ऊपर यह टिप्पणी की गई थी कि आदर्श वर्ग समूह इस प्रश्न के उत्तर का एक भाग प्रदान करता है कि डेडेकाइंड डोमेन में कितने आदर्श तत्वों की तरह व्यवहार करते हैं। उत्तर का दूसरा भाग डेडेकाइंड डोमेन की इकाई (रिंग थ्योरी) के गुणक समूह (गणित) द्वारा प्रदान किया गया है, क्योंकि प्रमुख आदर्शों से मार्ग उनके जनरेटर के लिए इकाइयों के उपयोग की आवश्यकता होती है (और यह आंशिक आदर्श की अवधारणा को भी पेश करने का बाकी कारण है):

R से एक मानचित्र को परिभाषित करें^× आर के सभी गैर-शून्य भिन्नात्मक आदर्शों के सेट में प्रत्येक तत्व को प्रिंसिपल (आंशिक) आदर्श के लिए भेजकर उत्पन्न करता है। यह एक समूह समरूपता है; इसका कर्नेल (बीजगणित) R की इकाइयों का समूह है, और इसका कोकर्नेल R का आदर्श वर्ग समूह है। इन समूहों के तुच्छ होने की विफलता एक समरूपता होने के लिए मानचित्र की विफलता का एक उपाय है: यह विफलता है आदर्शों की अंगूठी तत्वों की तरह कार्य करने के लिए, यानी संख्याओं की तरह।

आदर्श वर्ग समूहों के उदाहरण

• वलय पूर्णांक, ईसेनस्टीन पूर्णांक|Z[ω], और गॉसियन पूर्णांक|Z[i], जहां ω 1 का घनमूल है और i 1 का चौथा मूल है (अर्थात् एक वर्ग −1 का मूल), सभी प्रमुख आदर्श डोमेन हैं (और वास्तव में सभी यूक्लिडियन डोमेन हैं), और इसलिए वर्ग संख्या 1 है: अर्थात, उनके पास तुच्छ आदर्श वर्ग समूह हैं।
• यदि के एक क्षेत्र है, तो बहुपद वलय के[एक्स₁, एक्स₂, एक्स₃, ...] एक अभिन्न डोमेन है। इसमें आदर्श वर्गों का एक अनगिनत अनंत सेट है।

द्विघात क्षेत्रों की वर्ग संख्या

यदि d 1 के अलावा एक वर्ग-मुक्त पूर्णांक (विभिन्न अभाज्य संख्याओं का गुणनफल) है, तो 'Q'(√d) एक द्विघात क्षेत्र है। यदि d < 0, तो Q के बीजगणितीय पूर्णांकों के वलय R की वर्ग संख्या (√d) d के निम्नलिखित मानों के लिए 1 के बराबर है: d = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, और -163। यह परिणाम सबसे पहले कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा अनुमान लगाया गया था और कर्ट हेगनेर द्वारा सिद्ध किया गया था, हालांकि हेगनेर के प्रमाण पर तब तक विश्वास नहीं किया गया था जब तक हेरोल्ड स्टार्क ने 1967 में बाद में प्रमाण नहीं दिया था। (स्टार्क-हेगनेर प्रमेय देखें।) यह प्रसिद्ध वर्ग संख्या समस्या का एक विशेष मामला है। .

यदि, दूसरी ओर, d > 0, तो यह अज्ञात है कि क्या अपरिमित रूप से अनेक क्षेत्र 'Q' हैं (√d) कक्षा संख्या 1 के साथ। कम्प्यूटेशनल परिणाम इंगित करते हैं कि ऐसे कई क्षेत्र हैं। हालाँकि, यह भी ज्ञात नहीं है कि वर्ग संख्या 1 के साथ असीम रूप से कई संख्याएँ हैं। d < 0 के लिए, 'Q' का आदर्श वर्ग समूह (√d) क्यू के विवेचक के बराबर विवेचक के अभिन्न द्विआधारी द्विघात रूपों के वर्ग समूह के लिए आइसोमोर्फिक है (√d). d > 0 के लिए, आदर्श वर्ग समूह आधे आकार का हो सकता है क्योंकि पूर्णांक द्विघात रूपों का वर्ग समूह 'Q' के संकीर्ण वर्ग समूह के लिए समरूप है (√d). वास्तविक द्विघात पूर्णांक वलयों के लिए, वर्ग संख्या OEIS A003649 में दी गई है; काल्पनिक मामले के लिए, वे OEIS A000924 में दिए गए हैं।

गैर-तुच्छ वर्ग समूह का उदाहरण

द्विघात पूर्णांक वलय R = 'Z' [√−5] Q के पूर्णांकों का वलय है (√−5). इसमें अद्वितीय गुणनखंड नहीं है; वास्तव में R का वर्ग समूह क्रम 2 का चक्रीय है। वास्तव में, आदर्श

जे = (2, 1 + √−5)

सिद्धांत नहीं है, जिसे विरोधाभास द्वारा निम्नानुसार सिद्ध किया जा सकता है। $R$ एक फील्ड मानदंड फंक्शन है $N(a+b{\sqrt {-5}})=a^{2}+5b^{2}$, जो संतुष्ट करता है $N(uv)=N(u)N(v)$, और $N(u)=1$ अगर और केवल अगर $u$ में एक इकाई है $R$. सबसे पहले, $J\neq R$, क्योंकि भागफल की अंगूठी $R$ मोडुलो आदर्श $(1+{\sqrt {-5}})$ के लिए आइसोमॉर्फिक है $\mathbf {Z} /6\mathbf {Z}$, ताकि भागफल की अंगूठी $R$ मापांक $J$ के लिए आइसोमॉर्फिक है $\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}$. यदि J को R के एक तत्व x द्वारा उत्पन्न किया गया था, तो x 2 और 1 + दोनों को विभाजित करेगा √−5. फिर आदर्श $N(x)$ दोनों को बांट देंगे $N(2)=4$ और $N(1+{\sqrt {-5}})=6$, तो N(x) 2 को विभाजित करेगा। यदि $N(x)=1$, तब $x$ एक इकाई है, और $J=R$, एक विरोधाभास। लेकिन $N(x)$ 2 या तो नहीं हो सकता, क्योंकि R में मानक 2 के कोई तत्व नहीं हैं, क्योंकि डायोफैंटाइन समीकरण $b^{2}+5c^{2}=2$ पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है, क्योंकि इसका कोई समाधान मॉड्यूल 5 नहीं है।

एक यह भी गणना करता है कि जे² = (2), जो प्रधान है, इसलिए आदर्श वर्ग समूह में J के वर्ग का क्रम दो है। यह दिखाने के लिए कि कोई अन्य आदर्श वर्ग नहीं है, अधिक प्रयास की आवश्यकता है। तथ्य यह है कि यह जे प्रिंसिपल नहीं है, इस तथ्य से भी संबंधित है कि तत्व 6 में दो अलग-अलग गुणनखंड हैं:

6 = 2 × 3 = (1 + √−5) × (1 − √−5).

क्लास फील्ड थ्योरी से कनेक्शन

वर्ग क्षेत्र सिद्धांत बीजगणितीय संख्या सिद्धांत की एक शाखा है जो किसी दिए गए बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के सभी गैलोज़ सिद्धांतों को वर्गीकृत करना चाहता है, जिसका अर्थ है एबेलियन गैलोज़ समूह के साथ गैलोज़ एक्सटेंशन। एक संख्या क्षेत्र के हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र में एक विशेष रूप से सुंदर उदाहरण पाया जाता है, जिसे ऐसे क्षेत्र के अधिकतम असम्बद्ध एबेलियन विस्तार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। संख्या क्षेत्र K का हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र L अद्वितीय है और इसमें निम्नलिखित गुण हैं:

• K के पूर्णांकों के वलय की प्रत्येक गुणजावली L में प्रधान बन जाती है, अर्थात, यदि I, K की एक समाकल गुणजावली है तो I की छवि L में प्रधान गुणजावली है।
• L, K के आदर्श वर्ग समूह के लिए Galois समूह isomorphic के साथ K का एक Galois विस्तार है।

किसी भी संपत्ति को साबित करना विशेष रूप से आसान नहीं है।

यह भी देखें

• वर्ग संख्या सूत्र
• कक्षा संख्या समस्या
• ब्राउर-सीगल प्रमेय- वर्ग संख्या के लिए एक स्पर्शोन्मुख विश्लेषण सूत्र
• वर्ग संख्या एक के साथ संख्या क्षेत्रों की सूची
• प्रधान आदर्श डोमेन
• बीजगणितीय के-सिद्धांत
• गैल्वा सिद्धांत
• फर्मेट का अंतिम प्रमेय
• संकीर्ण वर्ग समूह
• पिकार्ड समूह—बीजगणितीय ज्यामिति में दिखने वाले वर्ग समूह का एक सामान्यीकरण
• अरकेलोव वर्ग समूह

संदर्भ

• Claborn, Luther (1966), "Every abelian group is a class group", Pacific Journal of Mathematics, 18 (2): 219–222, doi:10.2140/pjm.1966.18.219
• Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin (1993), Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 27, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43834-6, MR 1215934
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.