चार-वेग: Difference between revisions

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भौतिकी में, विशेष रूप से [[विशेष सापेक्षता]] और [[सामान्य सापेक्षता]] में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक [[चार-वेक्टर]] है।<ref group=nb>Technically, the four-vector should be thought of as residing in the [[tangent space]] of a point in spacetime, spacetime itself being modeled as a [[smooth manifold]]. This distinction is significant in general relativity.</ref> यह गति के सापेक्षवादी समकक्ष का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी वेक्टर है।
भौतिकी में, विशेष रूप से [[विशेष सापेक्षता]] और [[सामान्य सापेक्षता]] में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक [[चार-वेक्टर]] है।<ref group=nb>Technically, the four-vector should be thought of as residing in the [[tangent space]] of a point in spacetime, spacetime itself being modeled as a [[smooth manifold]]. This distinction is significant in general relativity.</ref> यह गति के सापेक्षवादी समकक्ष का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी वेक्टर है।


भौतिक [[घटना (सापेक्षता)]] समय और स्थान में गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, उन सभी का सेट एक साथ भौतिक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय का गणितीय मॉडल बनाता है। किसी वस्तु का इतिहास स्पेसटाइम में एक वक्र का पता लगाता है, जिसे उसकी [[विश्व रेखा]] कहा जाता है। यदि वस्तु का विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान है, ताकि उसकी गति आवश्यक रूप से [[प्रकाश की गति]] से कम हो, तो विश्व रेखा वस्तु के [[उचित समय]] के अनुसार [[पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति)]] हो सकती है। चार-[[वेग]] वक्र के साथ उचित समय के संबंध में चार-स्थिति के परिवर्तन की दर है। वेग, इसके विपरीत, वस्तु के (त्रि-आयामी) स्थान में स्थिति के परिवर्तन की दर है, जैसा पर्यवेक्षक द्वारा देखा गया है, पर्यवेक्षक के समय के संबंध में।
भौतिक [[घटना (सापेक्षता)]] समय और स्थान में गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, उन सभी का समूह एक साथ भौतिक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय का गणितीय मॉडल बनाता है। किसी वस्तु का इतिहास अंतरिक्ष-समय में एक वक्र का पता लगाता है, जिसे उसकी [[विश्व रेखा]] कहा जाता है। यदि वस्तु का विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान है, ताकि उसकी गति आवश्यक रूप से [[प्रकाश की गति]] से कम हो, तो विश्व रेखा वस्तु के [[उचित समय]] के अनुसार [[पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति)|पैरामीट्रिज्ड (ज्यामिति)]] हो सकती है। चार-[[वेग]] वक्र के साथ उचित समय के संबंध में चार-स्थिति के परिवर्तन की दर है। वेग, इसके विपरीत, वस्तु के (त्रि-आयामी) स्थान में स्थिति के परिवर्तन की दर है, जैसा प्रेक्षक द्वारा देखा गया है, प्रेक्षक के समय के संबंध में।


किसी वस्तु के चार-वेग के मैग्नीट्यूड_(गणित)#स्यूडो-यूक्लिडियन_स्पेस का मान, यानी मीट्रिक टेन्सर (सामान्य_सापेक्षता) लगाने से प्राप्त मात्रा {{math|''g''}} चार-वेग के लिए {{math|'''U'''}}, वह है {{math|1={{norm|'''U'''}}<sup>2</sup> = '''U''' ⋅ '''U''' {{=}} ''g''<sub>''μν''</sub>''U''<sup>''ν''</sup>''U''<sup>''μ''</sup>}}, हमेशा बराबर होता है {{math|±''c''<sup>2</sup>}}, कहाँ {{mvar|c}} प्रकाश की गति है। प्लस या माइनस साइन लागू होता है या नहीं यह [[ मीट्रिक हस्ताक्षर ]] के चुनाव पर निर्भर करता है। किसी वस्तु के आराम के लिए उसका चार-वेग उस समय की दिशा के समानांतर होता है जिसके साथ समन्वय होता है {{math|''U''<sup>0</sup> {{=}} ''c''}}. एक चार-वेग इस प्रकार एक विश्व रेखा के लिए सामान्यीकृत भविष्य-निर्देशित समय-समान स्पर्शरेखा सदिश है, और एक प्रतिपरिवर्तक सदिश है। हालांकि यह एक सदिश है, दो चार-वेगों को जोड़ने से एक चार-वेग नहीं मिलता है: चार-वेगों का स्थान अपने आप में एक सदिश स्थान नहीं है।<ref group=nb>The set of four-velocities is a subset of the tangent space (which ''is'' a vector space) at an event. The label ''four-vector'' stems from the behavior under [[Lorentz transformation]]s, namely under which particular [[Representation theory of the Lorentz group|representation]] they transform.</ref>
किसी वस्तु के चार-वेग के परिमाण का मान, अर्थात मीट्रिक टेन्सर (सामान्य_सापेक्षता) {{math|''g''}} को चार- वेग {{math|'''U'''}} पर लागू करने से प्राप्त मात्रा, अर्थात {{math|1={{norm|'''U'''}}<sup>2</sup> = '''U''' ⋅ '''U''' {{=}} ''g''<sub>''μν''</sub>''U''<sup>''ν''</sup>''U''<sup>''μ''</sup>}}, सदैव  {{math|±''c''<sup>2</sup>}} बराबर होता है, जहाँ {{mvar|c}} प्रकाश की गति है। धनात्कम या ऋणात्मक चिन्ह लागू होता है या नहीं यह [[ मीट्रिक हस्ताक्षर ]] के चुनाव पर निर्भर करता है। किसी वस्तु की स्थिरता के लिए उसका चार-वेग उस समय की दिशा के समानांतर होता है जिसके साथ समन्वय {{math|''U''<sup>0</sup> {{=}} ''c''}} होता है। एक चार-वेग इस प्रकार एक विश्व रेखा के लिए सामान्यीकृत भविष्य-निर्देशित समय-समान स्पर्शरेखा सदिश है, और एक प्रतिपरिवर्तक सदिश है। यद्यपि यह एक सदिश है, दो चार-वेगों को जोड़ने से एक चार-वेग नहीं मिलता है: चार-वेगों का स्थान अपने आप में एक सदिश स्थान नहीं है।<ref group="nb">The set of four-velocities is a subset of the tangent space (which ''is'' a vector space) at an event. The label ''four-vector'' stems from the behavior under [[Lorentz transformation]]s, namely under which particular [[Representation theory of the Lorentz group|representation]] they transform.</ref>




== वेग ==
== वेग ==


त्रि-आयामी अंतरिक्ष (एक जड़त्वीय फ्रेम में) में किसी वस्तु का मार्ग तीन स्थानिक समन्वय कार्यों x के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है<sup>i</sup>(t) समय t का, जहाँ i एक अनुक्रमणिका अंकन है जो मान 1, 2, 3 लेता है।
त्रि-आयामी स्थान (एक जड़त्वीय रचना में) में किसी वस्तु का मार्ग समय t के तीन स्थानिक समन्वय चरों ''x<sup>i</sup>''(''t'') के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है  जहाँ i एक अनुक्रमणिका अंकन है जो मान 1, 2, 3 लेता है।


तीन निर्देशांक 3डी [[स्थिति वेक्टर]] बनाते हैं, जिसे [[कॉलम वेक्टर]] के रूप में लिखा जाता है
तीन निर्देशांक 3डी [[स्थिति वेक्टर]] बनाते हैं, जिसे [[कॉलम वेक्टर]] के रूप में लिखा जाता है
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== सापेक्षता का सिद्धांत ==
== सापेक्षता का सिद्धांत ==


आइंस्टीन के [[सापेक्षता के सिद्धांत]] में, संदर्भ के एक विशेष फ्रेम के सापेक्ष चलने वाली वस्तु का मार्ग चार समन्वय कार्यों x द्वारा परिभाषित किया गया है<sup>μ</sup>(τ), जहां μ एक स्पेसटाइम इंडेक्स है जो टाइमलाइक घटक के लिए मान 0 लेता है, और स्पेसलाइक निर्देशांक के लिए 1, 2, 3 लेता है। शून्यांक घटक को समय निर्देशांक को c से गुणा करके परिभाषित किया जाता है,
आइंस्टीन के [[सापेक्षता के सिद्धांत]] में, संदर्भ के एक विशेष फ्रेम के सापेक्ष चलने वाली वस्तु का मार्ग चार समन्वय कार्यों x द्वारा परिभाषित किया गया है<sup>μ</sup>(τ), जहां μ एक अंतरिक्ष-समय इंडेक्स है जो टाइमलाइक घटक के लिए मान 0 लेता है, और स्पेसलाइक निर्देशांक के लिए 1, 2, 3 लेता है। शून्यांक घटक को समय निर्देशांक को c से गुणा करके परिभाषित किया जाता है,
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:<math>x^{0} = ct\,,</math> प्रत्येक फ़ंक्शन एक पैरामीटर τ पर निर्भर करता है जिसे इसका उचित समय कहा जाता है। स्तंभ सदिश के रूप में,


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कहाँ <math>\gamma c</math> लौकिक घटक है और <math>\gamma \vec{u}</math> स्थानिक घटक है।
कहाँ <math>\gamma c</math> लौकिक घटक है और <math>\gamma \vec{u}</math> स्थानिक घटक है।


फ्लैट स्पेसटाइम के एक विशेष स्लाइस से जुड़े सिंक्रनाइज़ घड़ियों और शासकों के संदर्भ में, चार-वेग के तीन स्पेसलाइक घटक एक यात्रा वस्तु के [[उचित वेग]] को परिभाषित करते हैं। <math>\gamma \vec{u} = d\vec{x}/d\tau</math> यानी वह दर जिस पर वस्तु के साथ यात्रा करने वाली घड़ियों पर प्रति यूनिट उचित समय के संदर्भ मानचित्र फ्रेम में दूरी तय की जाती है।
फ्लैट अंतरिक्ष-समय के एक विशेष स्लाइस से जुड़े सिंक्रनाइज़ घड़ियों और शासकों के संदर्भ में, चार-वेग के तीन स्पेसलाइक घटक एक यात्रा वस्तु के [[उचित वेग]] को परिभाषित करते हैं। <math>\gamma \vec{u} = d\vec{x}/d\tau</math> अर्थात वह दर जिस पर वस्तु के साथ यात्रा करने वाली घड़ियों पर प्रति यूनिट उचित समय के संदर्भ मानचित्र फ्रेम में दूरी तय की जाती है।


अधिकांश अन्य चार-वैक्टरों के विपरीत, चार-वेग में केवल 3 स्वतंत्र घटक होते हैं <math>u_x, u_y, u_z</math> 4 के बजाय। <math>\gamma</math> h> कारक त्रि-आयामी वेग का एक कार्य है <math>\vec{u}</math>.
अधिकांश अन्य चार-वैक्टरों के विपरीत, चार-वेग में केवल 3 स्वतंत्र घटक होते हैं <math>u_x, u_y, u_z</math> 4 के बजाय। <math>\gamma</math> h> कारक त्रि-आयामी वेग का एक कार्य है <math>\vec{u}</math>.
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:<math>\|\mathbf{U}\|^2 = g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu = g_{\mu\nu}\frac{dX^\mu}{d\tau} \frac{dX^\nu}{d\tau} = c^2 \,,</math>
:<math>\|\mathbf{U}\|^2 = g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu = g_{\mu\nu}\frac{dX^\mu}{d\tau} \frac{dX^\nu}{d\tau} = c^2 \,,</math>
संक्षेप में, किसी भी वस्तु के लिए चार-वेग का परिमाण हमेशा एक निश्चित स्थिरांक होता है:
संक्षेप में, किसी भी वस्तु के लिए चार-वेग का परिमाण सदैव एक निश्चित स्थिरांक होता है:


:<math>\|\mathbf{U}\|^2 = c^2 \,</math>
:<math>\|\mathbf{U}\|^2 = c^2 \,</math>

Revision as of 11:04, 3 March 2023

भौतिकी में, विशेष रूप से विशेष सापेक्षता और सामान्य सापेक्षता में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक चार-वेक्टर है।[nb 1] यह गति के सापेक्षवादी समकक्ष का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी वेक्टर है।

भौतिक घटना (सापेक्षता) समय और स्थान में गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, उन सभी का समूह एक साथ भौतिक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय का गणितीय मॉडल बनाता है। किसी वस्तु का इतिहास अंतरिक्ष-समय में एक वक्र का पता लगाता है, जिसे उसकी विश्व रेखा कहा जाता है। यदि वस्तु का विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान है, ताकि उसकी गति आवश्यक रूप से प्रकाश की गति से कम हो, तो विश्व रेखा वस्तु के उचित समय के अनुसार पैरामीट्रिज्ड (ज्यामिति) हो सकती है। चार-वेग वक्र के साथ उचित समय के संबंध में चार-स्थिति के परिवर्तन की दर है। वेग, इसके विपरीत, वस्तु के (त्रि-आयामी) स्थान में स्थिति के परिवर्तन की दर है, जैसा प्रेक्षक द्वारा देखा गया है, प्रेक्षक के समय के संबंध में।

किसी वस्तु के चार-वेग के परिमाण का मान, अर्थात मीट्रिक टेन्सर (सामान्य_सापेक्षता) g को चार- वेग U पर लागू करने से प्राप्त मात्रा, अर्थात ||U||2 = UU = gμνUνUμ, सदैव ±c2 बराबर होता है, जहाँ c प्रकाश की गति है। धनात्कम या ऋणात्मक चिन्ह लागू होता है या नहीं यह मीट्रिक हस्ताक्षर के चुनाव पर निर्भर करता है। किसी वस्तु की स्थिरता के लिए उसका चार-वेग उस समय की दिशा के समानांतर होता है जिसके साथ समन्वय U0 = c होता है। एक चार-वेग इस प्रकार एक विश्व रेखा के लिए सामान्यीकृत भविष्य-निर्देशित समय-समान स्पर्शरेखा सदिश है, और एक प्रतिपरिवर्तक सदिश है। यद्यपि यह एक सदिश है, दो चार-वेगों को जोड़ने से एक चार-वेग नहीं मिलता है: चार-वेगों का स्थान अपने आप में एक सदिश स्थान नहीं है।[nb 2]


वेग

त्रि-आयामी स्थान (एक जड़त्वीय रचना में) में किसी वस्तु का मार्ग समय t के तीन स्थानिक समन्वय चरों xi(t) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ i एक अनुक्रमणिका अंकन है जो मान 1, 2, 3 लेता है।

तीन निर्देशांक 3डी स्थिति वेक्टर बनाते हैं, जिसे कॉलम वेक्टर के रूप में लिखा जाता है

वेग के घटक (वक्र की स्पर्शरेखा) विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर हैं

प्रत्येक घटक बस लिखा है


सापेक्षता का सिद्धांत

आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत में, संदर्भ के एक विशेष फ्रेम के सापेक्ष चलने वाली वस्तु का मार्ग चार समन्वय कार्यों x द्वारा परिभाषित किया गया हैμ(τ), जहां μ एक अंतरिक्ष-समय इंडेक्स है जो टाइमलाइक घटक के लिए मान 0 लेता है, और स्पेसलाइक निर्देशांक के लिए 1, 2, 3 लेता है। शून्यांक घटक को समय निर्देशांक को c से गुणा करके परिभाषित किया जाता है,

प्रत्येक फ़ंक्शन एक पैरामीटर τ पर निर्भर करता है जिसे इसका उचित समय कहा जाता है। स्तंभ सदिश के रूप में,


समय फैलाव

समय फैलाव से, निर्देशांक समय t और उचित समय τ में एक फलन के अंतर से संबंधित हैं

जहां लोरेंत्ज़ कारक,

3डी वेलोसिटी वेक्टर के नॉर्म (गणित)#यूक्लिडियन नॉर्म यू का एक फंक्शन है :


चतुर्भुज की परिभाषा

चार-वेग एक समयबद्ध वक्र विश्व रेखा का स्पर्शरेखा चार-वेक्टर है। चतुर्भुज विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर परिभाषित किया जाता है:

कहाँ चार स्थिति है और उचित समय है।[1] किसी वस्तु के उचित समय का उपयोग करते हुए यहां परिभाषित चार-वेग द्रव्यमान रहित वस्तुओं जैसे कि प्रकाश की गति से यात्रा करने वाले फोटॉन के लिए विश्व रेखाओं के लिए मौजूद नहीं है; न ही इसे अन्य सी ह्युंग विश्व रेखाओं के लिए परिभाषित किया गया है, जहां स्पर्शरेखा वेक्टर spacelike है।

चार-वेग के घटक

समय t और निर्देशांक समय x के बीच संबंध0 द्वारा परिभाषित किया गया है

उचित समय τ के संबंध में इसकी व्युत्पत्ति लेते हुए, हम U पाते हैंμ वेग घटक μ = 0 के लिए:

और अन्य 3 घटकों के लिए उचित समय के लिए हमें यू मिलता हैμ μ = 1, 2, 3 के लिए वेग घटक:

जहाँ हमने श्रृंखला नियम और संबंधों का उपयोग किया है

इस प्रकार, हम चार-वेग के लिए पाते हैं :

मानक चार-वेक्टर संकेतन में लिखा गया है:

कहाँ लौकिक घटक है और स्थानिक घटक है।

फ्लैट अंतरिक्ष-समय के एक विशेष स्लाइस से जुड़े सिंक्रनाइज़ घड़ियों और शासकों के संदर्भ में, चार-वेग के तीन स्पेसलाइक घटक एक यात्रा वस्तु के उचित वेग को परिभाषित करते हैं। अर्थात वह दर जिस पर वस्तु के साथ यात्रा करने वाली घड़ियों पर प्रति यूनिट उचित समय के संदर्भ मानचित्र फ्रेम में दूरी तय की जाती है।

अधिकांश अन्य चार-वैक्टरों के विपरीत, चार-वेग में केवल 3 स्वतंत्र घटक होते हैं 4 के बजाय। h> कारक त्रि-आयामी वेग का एक कार्य है .

जब कुछ लोरेंत्ज़ अदिशों को चार-वेग से गुणा किया जाता है, तो एक को नए भौतिक चार-वैक्टर मिलते हैं जिनमें 4 स्वतंत्र घटक होते हैं।

उदाहरण के लिए:

  • चार गति: , कहाँ द्रव्यमान है
  • चार-वर्तमान | चार-वर्तमान घनत्व: , कहाँ चार्ज घनत्व है

प्रभावी रूप से, कारक चौथा स्वतंत्र घटक बनाने के लिए लोरेंत्ज़ स्केलर शब्द के साथ जुड़ता है

और


परिमाण

बाकी फ्रेम में चार-स्थिति के अंतर का उपयोग करके, चार-वेग का परिमाण प्राप्त किया जा सकता है:

संक्षेप में, किसी भी वस्तु के लिए चार-वेग का परिमाण सदैव एक निश्चित स्थिरांक होता है:

एक गतिमान फ्रेम में, समान मानदंड है:

ताकि:

जो लोरेंत्ज़ कारक की परिभाषा को कम करता है।

यह भी देखें

टिप्पणी

  1. Technically, the four-vector should be thought of as residing in the tangent space of a point in spacetime, spacetime itself being modeled as a smooth manifold. This distinction is significant in general relativity.
  2. The set of four-velocities is a subset of the tangent space (which is a vector space) at an event. The label four-vector stems from the behavior under Lorentz transformations, namely under which particular representation they transform.

संदर्भ

  • Einstein, Albert (1920). Relativity: The Special and General Theory. Translated by Robert W. Lawson. New York: Original: Henry Holt, 1920; Reprinted: Prometheus Books, 1995.
  • Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5.
  1. McComb, W. D. (1999). गतिशीलता और सापेक्षता. Oxford [etc.]: Oxford University Press. p. 230. ISBN 0-19-850112-9.