बूलियन डोमेन: Difference between revisions
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गणित और [[सार बीजगणित|अमूर्त (एबस्ट्रैक्ट) बीजगणित]] में बूलियन डोमेन ऐसे [[सेट (गणित)|समुच्चय]] है जिसमें मुख्यतः दो तत्व '<code>false</code>' और '<code>true</code>' सम्मलित हैं। [[तर्क]], गणित और [[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] में, बूलियन डोमेन को सामान्यतः {0,-1} या <math>\mathbb{B}.</math> के रूप में लिखा जाता है।<ref name="R1"/><ref name="R2"/><ref name="R3"/><ref name="R4"/><ref name="R5"/><ref name="Parberry1994"/><ref name="Cortadella2002"/> | गणित और [[सार बीजगणित|अमूर्त (एबस्ट्रैक्ट) बीजगणित]] में बूलियन डोमेन ऐसे [[सेट (गणित)|समुच्चय]] है जिसमें मुख्यतः दो तत्व '<code>false</code>' और '<code>true</code>' सम्मलित हैं। [[तर्क]], गणित और [[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] में, बूलियन डोमेन को सामान्यतः {0,-1} या <math>\mathbb{B}.</math> के रूप में लिखा जाता है।<ref name="R1"/><ref name="R2"/><ref name="R3"/><ref name="R4"/><ref name="R5"/><ref name="Parberry1994"/><ref name="Cortadella2002"/> | ||
[[बीजगणितीय संरचना]] जो स्वाभाविक रूप से बूलियन डोमेन पर बनती है, उसे [[दो-तत्व बूलियन बीजगणित|दो-तत्वों पर आधारित बूलियन बीजगणित]] | [[बीजगणितीय संरचना]] जो स्वाभाविक रूप से बूलियन डोमेन पर बनती है, उसे [[दो-तत्व बूलियन बीजगणित|दो-तत्वों पर आधारित बूलियन बीजगणित]] कहते है। इस प्रकार इसमें सम्मलित असत्य मान के कारण [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] में [[प्रारंभिक वस्तु|प्रारंभिक तत्व]] बूलियन डोमेन कहलाता है। | ||
[[कंप्यूटर विज्ञान]] में, बूलियन वैरिएबल मुख्यतः [[चर (प्रोग्रामिंग)|चर प्रोग्रामिंग]] के रूप में प्रदर्शित होता है जो कुछ बूलियन डोमेन के मान को सम्मलित कर लेता है। इस प्रकार कुछ [[प्रोग्रामिंग भाषा|प्रोग्रामिंग भाषाओं]] में बूलियन डोमेन के तत्वों के लिए [[आरक्षित शब्द]] या प्रतीक होते हैं, जैसे उदाहरण के लिए <code>false</code> और <code>true</code> इसके प्रतीक हैं। चूंकि [[सी (प्रोग्रामिंग भाषा)|सी प्रोग्रामिंग भाषा]] में इन प्रतीकों को इसके लिए सुनिश्चचि मान के लिए [[बूलियन डेटाटाइप]] का रूप नहीं दिया गया हैं। सी (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) या [[BASIC|बेसिक प्रोग्रामिंग]] में उदाहरण के लिए <code>false</code> मान को 0 संख्या से प्रदर्शित किया जाता है और <code>true</code> को संख्या 1 या -1 द्वारा प्रदर्शित जाता है, और सभी वैरियेबल जो इन मानों का उपयोग कर सकते हैं, वे कोई अन्य संख्यात्मक मान भी प्रयोग कर सकते हैं। | [[कंप्यूटर विज्ञान]] में, बूलियन वैरिएबल मुख्यतः [[चर (प्रोग्रामिंग)|चर प्रोग्रामिंग]] के रूप में प्रदर्शित होता है जो कुछ बूलियन डोमेन के मान को सम्मलित कर लेता है। इस प्रकार कुछ [[प्रोग्रामिंग भाषा|प्रोग्रामिंग भाषाओं]] में बूलियन डोमेन के तत्वों के लिए [[आरक्षित शब्द]] या प्रतीक होते हैं, जैसे उदाहरण के लिए <code>false</code> और <code>true</code> इसके प्रतीक हैं। चूंकि [[सी (प्रोग्रामिंग भाषा)|सी प्रोग्रामिंग भाषा]] में इन प्रतीकों को इसके लिए सुनिश्चचि मान के लिए [[बूलियन डेटाटाइप]] का रूप नहीं दिया गया हैं। सी (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) या [[BASIC|बेसिक प्रोग्रामिंग]] में उदाहरण के लिए <code>false</code> मान को 0 संख्या से प्रदर्शित किया जाता है और <code>true</code> को संख्या 1 या -1 द्वारा प्रदर्शित जाता है, और सभी वैरियेबल जो इन मानों का उपयोग कर सकते हैं, वे कोई अन्य संख्यात्मक मान भी प्रयोग कर सकते हैं। | ||
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बूलियन डोमेन {0, 1} को इसके [[इकाई अंतराल]] {{closed-closed|0,1}} द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिस स्थिति में केवल 0 या 1 मान उपयोग करने के अतिरिक्त 0 और 1 के बीच तथा दोनों मानों को मिलाकर कोई भी मान उपयोग कर सकता है। बीजगणितीय रूप से NOT को | बूलियन डोमेन {0, 1} को इसके [[इकाई अंतराल]] {{closed-closed|0,1}} द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिस स्थिति में केवल 0 या 1 मान उपयोग करने के अतिरिक्त 0 और 1 के बीच तथा दोनों मानों को मिलाकर कोई भी मान उपयोग कर सकता है। बीजगणितीय रूप से NOT को <math>1-x,</math> से प्रतिस्थापित किया जाता है तथा इसी प्रकार संयुग्मन (AND) को (<math>xy</math>) गुणक से परिवर्तित कर दिया जाता है, इस संयोजन (OR) को डी मॉर्गन के नियम <math>1-(1-x)(1-y)=x+y-xy</math> के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। | ||
इस प्रकार तार्किक [[सत्य मूल्य|True]] | इस प्रकार तार्किक [[सत्य मूल्य|True]] मान के लिए इसमें उपस्थित इन मानों की व्याख्या करने से [[बहु-मूल्यवान तर्क]] उत्पन्न होता है, जो [[फजी लॉजिक]] और [[संभाव्य तर्क]] का आधार बनता है। इन व्याख्याओं में इनके मानों की सत्यता की डिग्री के रूप में व्याख्या की जाती है तथा इस प्रस्ताव की सीमा को सत्य मान या संभावित मान तक निर्धारित किया जाता है और जाचाँ जाता हैं कि यह प्रस्ताव सत्य हैं। | ||
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Revision as of 16:29, 6 March 2023
गणित और अमूर्त (एबस्ट्रैक्ट) बीजगणित में बूलियन डोमेन ऐसे समुच्चय है जिसमें मुख्यतः दो तत्व 'false' और 'true' सम्मलित हैं। तर्क, गणित और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में, बूलियन डोमेन को सामान्यतः {0,-1} या के रूप में लिखा जाता है।[1][2][3][4][5][6][7]
बीजगणितीय संरचना जो स्वाभाविक रूप से बूलियन डोमेन पर बनती है, उसे दो-तत्वों पर आधारित बूलियन बीजगणित कहते है। इस प्रकार इसमें सम्मलित असत्य मान के कारण श्रेणी में प्रारंभिक तत्व बूलियन डोमेन कहलाता है।
कंप्यूटर विज्ञान में, बूलियन वैरिएबल मुख्यतः चर प्रोग्रामिंग के रूप में प्रदर्शित होता है जो कुछ बूलियन डोमेन के मान को सम्मलित कर लेता है। इस प्रकार कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में बूलियन डोमेन के तत्वों के लिए आरक्षित शब्द या प्रतीक होते हैं, जैसे उदाहरण के लिए false और true इसके प्रतीक हैं। चूंकि सी प्रोग्रामिंग भाषा में इन प्रतीकों को इसके लिए सुनिश्चचि मान के लिए बूलियन डेटाटाइप का रूप नहीं दिया गया हैं। सी (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) या बेसिक प्रोग्रामिंग में उदाहरण के लिए false मान को 0 संख्या से प्रदर्शित किया जाता है और true को संख्या 1 या -1 द्वारा प्रदर्शित जाता है, और सभी वैरियेबल जो इन मानों का उपयोग कर सकते हैं, वे कोई अन्य संख्यात्मक मान भी प्रयोग कर सकते हैं।
सामान्यीकरण
बूलियन डोमेन {0, 1} को इसके इकाई अंतराल [0,1] द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिस स्थिति में केवल 0 या 1 मान उपयोग करने के अतिरिक्त 0 और 1 के बीच तथा दोनों मानों को मिलाकर कोई भी मान उपयोग कर सकता है। बीजगणितीय रूप से NOT को से प्रतिस्थापित किया जाता है तथा इसी प्रकार संयुग्मन (AND) को () गुणक से परिवर्तित कर दिया जाता है, इस संयोजन (OR) को डी मॉर्गन के नियम के माध्यम से परिभाषित किया जाता है।
इस प्रकार तार्किक True मान के लिए इसमें उपस्थित इन मानों की व्याख्या करने से बहु-मूल्यवान तर्क उत्पन्न होता है, जो फजी लॉजिक और संभाव्य तर्क का आधार बनता है। इन व्याख्याओं में इनके मानों की सत्यता की डिग्री के रूप में व्याख्या की जाती है तथा इस प्रस्ताव की सीमा को सत्य मान या संभावित मान तक निर्धारित किया जाता है और जाचाँ जाता हैं कि यह प्रस्ताव सत्य हैं।
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ Dirk van Dalen, Logic and Structure. Springer (2004), page 15.
- ↑ David Makinson, Sets, Logic and Maths for Computing. Springer (2008), page 13.
- ↑ George S. Boolos and Richard C. Jeffrey, Computability and Logic. Cambridge University Press (1980), page 99.
- ↑ Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic (4th. ed.). Chapman & Hall/CRC (1997), page 11.
- ↑ Eric C. R. Hehner, A Practical Theory of Programming. Springer (1993, 2010), page 3.
- ↑ Parberry, Ian (1994). Circuit Complexity and Neural Networks. MIT Press. pp. 65. ISBN 978-0-262-16148-0.
- ↑ Cortadella, Jordi; et al. (2002). Logic Synthesis for Asynchronous Controllers and Interfaces. Springer Science & Business Media. p. 73. ISBN 978-3-540-43152-7.
अग्रिम पठन
- Steinbach, Bernd [in Deutsch], ed. (2014-04-01) [2013-09-25]. Recent Progress in the Boolean Domain (1 ed.). Newcastle upon Tyne, UK: Cambridge Scholars Publishing. ISBN 978-1-4438-5638-6. Retrieved 2019-08-04. [1] (455 pages) [2] (NB. Contains extended versions of the best manuscripts from the 10th International Workshop on Boolean Problems held at the Technische Universität Bergakademie Freiberg, Germany on 2012-09-19/21.)
- Steinbach, Bernd [in Deutsch], ed. (2016-05-01). Problems and New Solutions in the Boolean Domain (1 ed.). Newcastle upon Tyne, UK: Cambridge Scholars Publishing. ISBN 978-1-4438-8947-6. Retrieved 2019-08-04. (480 pages) [3] (NB. Contains extended versions of the best manuscripts from the 11th International Workshop on Boolean Problems held at the Technische Universität Bergakademie Freiberg, Germany on 2014-09-17/19.)
- Steinbach, Bernd [in Deutsch], ed. (2018-01-01). Further Improvements in the Boolean Domain (1 ed.). Newcastle upon Tyne, UK: Cambridge Scholars Publishing. ISBN 978-1-5275-0371-7. Retrieved 2019-08-04. [4] (536 pages) [5] (NB. Contains extended versions of the best manuscripts from the 12th International Workshop on Boolean Problems held at the Technische Universität Bergakademie Freiberg, Germany on 2016-09-22/23.)
- Drechsler, Rolf; Soeken, Mathias, eds. (2020) [March 2019]. Written at Bremen, Germany. Advanced Boolean Techniques - Selected Papers from the 13th International Workshop on Boolean Problems (1 ed.). Cham, Switzerland: Springer Nature Switzerland AG. doi:10.1007/978-3-030-20323-8. ISBN 978-3-030-20322-1. S2CID 240782759. (vii+265+7 pages) [6] (NB. Contains extended versions of the best manuscripts from the 13th International Workshop on Boolean Problems (IWSBP 2018) held in Bremen, Germany on 2018-09-19/21.)
- Drechsler, Rolf; Große, Daniel, eds. (2021-04-30). Recent Findings in Boolean Techniques - Selected Papers from the 14th International Workshop on Boolean Problems (1 ed.). Springer Nature Switzerland AG. ISBN 978-3-030-68070-1. (204 pages) [7] (NB. Contains extended versions of the best manuscripts from the 14th International Workshop on Boolean Problems (IWSBP 2020) held virtually on 2020-09-24/25.)
