ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय

$A_{0},B_{0},C_{0}$ के माध्यम से रेखा ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा है

यूक्लिडियन ज्यामिति में, ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय एक स्वेच्छाचारी त्रिकोण के लम्बकेन्द्र के माध्यम से दो लंबवत रेखाओं की विशेषता है।

मान लीजिए कि $T$ शीर्ष $A$, $B$ और $C$ वाला एक त्रिभुज है, और $H$ को इसका लंबकेन्द्र (इसकी तीन शीर्ष रेखाओं का उभयनिष्ठ बिंदु) होने दें। मान लीजिए $L_{1}$और $L_{2}$ $H$ से होकर जाने वाली दो परस्पर लंब रेखाएँ हैं। मान लीजिए $A_{1}$, $B_{1}$, और $C_{1}$ वे बिंदु हों जहां $L_{1}$ पार्श्व रेखाओं $BC$, $CA$, और $AB$ को क्रमश काटता है। इसी तरह, मान लीजिए $A_{2}$, $B_{2}$, और $C_{2}$ वे बिंदु हों जहां $L_{2}$ उन पार्श्व रेखाओं को काटता है। ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय कहता है कि तीन खंडों के मध्य बिंदु $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$, और $C_{1}C_{2}$ संरेख हैं।

प्रमेय 1899 में अर्नोल्ड ड्रोज़-फ़ार्नी द्वारा कहा गया था, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि उसके पास प्रमाण था या नहीं।

गुर्माघटघ का सामान्यीकरण

ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय का एक सामान्यीकरण 1930 में रेने गोरमाघट द्वारा सिद्ध किया गया था।

ऊपर की तरह, मान लीजिए कि $T$ एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष $A$, $B$ और $C$ हैं। मान लीजिए कि P, $A$, $B$ और $C$ से अलग कोई बिंदु है, और $L$, $P$ से होकर जाने वाली कोई रेखा है।मान लीजिए $A_{1}$, $B_{1}$, और $C_{1}$ भुजा रेखाओं $BC$, $CA$, और $AB$ पर क्रमशः बिंदु हैं, जैसे कि रेखाएँ $PA_{1}$, $PB_{1}$, और $PC_{1}$ लाइन $L$ के खिलाफ प्रतिबिंब द्वारा क्रमशः $PA$, $PB$ और $PC$ लाइनों की छवियां हैं

ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय इस परिणाम का एक विशेष स्तिथि है, जब $P$ त्रिभुज का लंबकेन्द्र है $T$.

दाओ का सामान्यीकरण

चाकू थान ओई द्वारा प्रमेय को और सामान्यीकृत किया गया था। सामान्यीकरण इस प्रकार है:

पहला सामान्यीकरण: ABC को एक त्रिभुज होने दें, P समतल पर एक बिंदु हो, तीन समानांतर खंड AA', BB', CC' इस तरह दें कि इसके मध्यबिंदु और P संरेख हों। फिर PA', PB', PC' क्रमशः 'BC, CA, AB से तीन संरेख बिंदुओं पर मिलते हैं।

दाओ का दूसरा सामान्यीकरण

दूसरा सामान्यीकरण: मान लीजिए कि समतल (ज्यामिति) पर एक शंकु S और एक बिंदु (ज्यामिति) P है। तीन रेखाएँ बनाएँ (ज्यामिति) d_a, d_b, d_c P से होकर इस प्रकार कि वे शंकु को A, A' पर मिलते हैं; B, B '; C, C 'क्रमशः। मान लीजिए D ध्रुव पर एक बिंदु है और बिंदु P का ध्रुव (S) के संबंध में है या D शंकु (S) पर स्थित है। माना DA' ∩ BC =A₀; DB' ∩ AC = B₀; DC' ∩ AB= C₀. फिर A₀, B₀, C₀ संरेख हैं।