साधारण वलय

अमूर्त बीजगणित में, गणित की एक शाखा एक साधारण वलय एक गैर-शून्य वलय (गणित) है। जिसमें शून्य आदर्श और स्वयं के अलावा कोई दो तरफा आदर्श (वलय सिद्धांत) नहीं है। विशेष रूप से, क्रमविनिमेय वलय साधारण वलय है यदि और केवल यदि यह एक क्षेत्र (गणित) है।

साधारण वलय का केंद्र (वलय सिद्धांत) आवश्यक रूप से क्षेत्र है। यह इस प्रकार है कि साधारण वलय इस क्षेत्र पर साहचर्य बीजगणित है। तो, सरल बीजगणित और सरल वलय पर्यायवाची हैं।

कई संदर्भों (जैसे, लैंग (2002) या बॉरबाकी (2012)) को इसके अतिरिक्त एक साधारण वलय बाएं या दाएं आर्टिनियन (या समकक्ष अर्ध-सरल वलय) आवश्यकता होती है। इस प्रकार की शब्दावली के तहत गैर-शून्य वलय जिसमें कोई गैर-तुच्छ दो तरफा आदर्श नहीं है, उन्हें अर्ध-सरल कहा जाता है।

वलय जो वलयों के रूप में सरल हैं लेकिन स्वयं पर साधारण मॉड्यूल नहीं हैं, वे मौजूद हैं: एक क्षेत्र पर एक आव्यूह वलय में कोई भी गैर -आदर्श आदर्श नहीं होता है (चूंकि $M_{n}(R)$ का कोई भी आदर्श $I$ के साथ $M_{n}(I)$ का एक आदर्श है, लेकिन $R$ का एक आदर्श है), लेकिन गैर-तुच्छ बाएं आदर्श (उदाहरण के लिए, आव्यूह के समुच्चय जिनमें कुछ निश्चित शून्य स्तम्भ हैं) हैं।

आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक साधारण वलय जो बाएं या दाएं आर्टिनियन वलय है, एक विभाजन वलय के ऊपर आव्यूह वलय है। विशेष रूप से, केवल सरल वलय जो वास्तविक संख्याओं पर परिमित-आयामी सदिश स्थान हैं, वास्तविक संख्याओं, जटिल संख्याओं, या चतुष्कोणों पर आव्यूह के वलय हैं।

साधारण वलय का उदाहरण जो विभाजन वलय के ऊपर आव्यूह वलय नहीं है, वेइल बीजगणित है।

विशेषता

अशून्य वलय (गणित) सरल बीजगणित है यदि इसमें शून्य आदर्श और स्वयं वलय के अलावा कोई दो तरफा आदर्श (वलय सिद्धांत) नहीं है।

सरल बीजगणित का तत्काल उदाहरण विभाजन बीजगणित है, जहां प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में गुणक व्युत्क्रम होता है, उदाहरण के लिए, चतुष्कोणों का वास्तविक बीजगणित। साथ ही किसी के लिए $n\geq 1$, का बीजगणित $n\times n$ डिवीजन वलय में प्रविष्टियों के साथ आव्यूह सरल है। वास्तव में, यह समरूपता तक सभी परिमित-आयामी सरल बीजगणित की विशेषता है, अर्थात, कोई भी सरल बीजगणित जो कि इसके केंद्र पर परिमित-आयामी है, कुछ विभाजन वलय पर आव्यूह बीजगणित के लिए समरूप है। यह 1907 में जोसेफ वेडरबर्न द्वारा अपने डॉक्टरेट थीसिस, ऑन हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबर्स में साबित किया गया था, जो लंदन मैथमेटिकल सोसाइटी की कार्यवाही में दिखाई दिया। वेडरबर्न की थीसिस ने सरल और अर्ध-सरल बीजगणित को वर्गीकृत किया। सरल बीजगणित, अर्ध-सरल बीजगणित के निर्माण खंड हैं: कोई भी परिमित-आयामी अर्ध-सरल बीजगणित, बीजगणित के अर्थ में, सरल बीजगणित का कार्टेशियन उत्पाद है।

वेडरबर्न के परिणाम को बाद में आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय में अर्धसरल वलय के लिए सामान्यीकृत किया गया।

उदाहरण

• केंद्रीय सरल बीजगणित (जिसे कभी-कभी ब्राउर बीजगणित कहा जाता है) क्षेत्र (गणित) पर साधारण परिमित-आयामी बीजगणित होता है। $F$ जिसका बीजगणित का केंद्र है $F$.

होने देना $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्या का क्षेत्र हो, $\mathbb {C}$ जटिल संख्याओं का क्षेत्र हो, और $\mathbb {H}$ चतुष्कोण।

• हर परिमित-आयामी सरल बीजगणित$\mathbb {R}$आव्यूह वलय ओवर के लिए आइसोमोर्फिक है$\mathbb {R}$,$\mathbb {C}$, या$\mathbb {H}$. हर केंद्रीय सरल बीजगणित खत्म$\mathbb {R}$आव्यूह वलय ओवर के लिए आइसोमोर्फिक है$\mathbb {R}$या$\mathbb {H}$. ये परिणाम फ्रोबेनियस प्रमेय (वास्तविक विभाजन बीजगणित) से अनुसरण करते हैं।
• हर परिमित-आयामी सरल बीजगणित$\mathbb {C}$केंद्रीय सरल बीजगणित है, और आव्यूह वलय ओवर के लिए आइसोमॉर्फिक है$\mathbb {C}$.
• परिमित क्षेत्र पर प्रत्येक परिमित-आयामी केंद्रीय सरल बीजगणित उस क्षेत्र पर आव्यूह वलय के लिए आइसोमॉर्फिक है।
• क्रमविनिमेय वलय के लिए, निम्नलिखित चार गुण समतुल्य हैं: अर्धसरल वलय होना; आर्टिनियन वलय और कम वलय होना; क्रुल आयाम 0 की कम वलय नोथेरियन वलय होने के नाते; और खेतों के सीमित प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक होना।

वेडरबर्न का प्रमेय

Main article: Artin–Wedderburn theorem

वेडरबर्न की प्रमेय इकाई और न्यूनतम बाएं आदर्श के साथ सरल छल्लों की विशेषता बताती है। (बायां आर्टिनियन स्थिति दूसरी धारणा का सामान्यीकरण है।) अर्थात् यह कहता है कि ऐसी प्रत्येक वलय, समरूपता तक, वलय है $n\times n$ डिवीजन वलय पर आव्यूह।

होने देना $D$ विभाजन की वलय हो और $M_{n}(D)$ में प्रविष्टियों के साथ आव्यूह की वलय बनें $D$. यह दिखाना कठिन नहीं है कि प्रत्येक ने आदर्श छोड़ दिया $M_{n}(D)$ निम्नलिखित रूप लेता है:

$\{M\in M_{n}(D)\mid {\text{the }}n_{1},\dots ,n_{k}{\text{-th columns of }}M{\text{ have zero entries}}\}$,

कुछ निश्चित उपसमुच्चय के लिए $\{n_{1},\dots ,n_{k}\}\subseteq \{1,\dots n\}$. तो न्यूनतम आदर्श $M_{n}(D)$ स्वरूप का है

$\{M\in M_{n}(D)\mid {\text{all but the }}k{\text{-th columns have zero entries}}\}$,

किसी प्रदत्त के लिए $k$. दूसरे शब्दों में, अगर $I$ न्यूनतम वाम आदर्श है, तब $I=M_{n}(D)e$, कहाँ $e$ में 1 के साथ idempotent आव्यूह है $(k,k)$ प्रवेश और शून्य कहीं और। भी, $D$ के लिए आइसोमॉर्फिक है $eM_{n}(D)e$. वामपंथी आदर्श$I$सही मॉड्यूल ओवर के रूप में देखा जा सकता है $eM_{n}(D)e$, और वलय $M_{n}(D)$ इस मॉड्यूल पर मॉड्यूल समरूपता के बीजगणित के लिए स्पष्ट रूप से आइसोमोर्फिक है।

उपरोक्त उदाहरण निम्नलिखित लेम्मा का सुझाव देता है:

<ब्लॉककोट> लेम्मा। $A$ पहचान के साथ वलय है $1$ और बेकार तत्व$e$, कहाँ $AeA=A$. होने देना$I$वाम आदर्श बनो $Ae$, सही मॉड्यूल ओवर के रूप में माना जाता है $eAe$. तब$A$होमोमोर्फिज्म के बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है$I$, द्वारा चिह्नित $\operatorname {Hom} (I)$. </ब्लॉककोट>

<ब्लॉककोट> सबूत: हम बाएं नियमित प्रतिनिधित्व को परिभाषित करते हैं $\phi \colon A\to \operatorname {Hom} (I)$ द्वारा $\phi (a)m=am$ के लिए $m\in I$. तब $\phi$ इंजेक्शन है क्योंकि अगर $a\cdot I=aAe=0$, तब $aA=aAeA=0$, जिसका तात्पर्य है $a=a\cdot 1=0$.

विशेषण के लिए, चलो $T\in \operatorname {Hom} (I)$. तब से $AeA=A$, यूनिट $1$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $\textstyle 1=\sum a_{i}eb_{i}$. इसलिए

$\textstyle T(m)=T(1\cdot m)=T(\sum a_{i}eb_{i}m)=\sum T(a_{i}eeb_{i}m)=\sum T(a_{i}e)eb_{i}m=(\sum T(a_{i}e)eb_{i})m$.

अभिव्यक्ति के बाद से $\textstyle (\sum T(a_{i}e)eb_{i})$ पर निर्भर नहीं है $m$, $\phi$ विशेषण है। यह लेम्मा साबित करता है। </ब्लॉककोट>

वेडरबर्न की प्रमेय लेम्मा से आसानी से अनुसरण करती है।

<ब्लॉककोट> प्रमेय (वेडरबर्न)। अगर $A$इकाई के साथ साधारण वलय है $1$ और न्यूनतम वाम आदर्श$I$, तब$A$की वलय के लिए आइसोमोर्फिक है $n\times n$ डिवीजन वलय पर आव्यूह। </ब्लॉककोट>

किसी को लेम्मा होल्ड की मान्यताओं को सत्यापित करना होगा, यानी बेवकूफ खोजना होगा$e$ऐसा है कि $I=Ae$, और फिर उसे दिखाएँ $eAe$ विभाजन वलय है। कल्पना $A=AeA$ से अनुसरण करता है $A$ सरल होना।

यह भी देखें

• सरल (बीजगणित)
• सरल सार्वभौमिक बीजगणित

संदर्भ

• A. A. Albert, Structure of algebras, Colloquium publications 24, American Mathematical Society, 2003, ISBN 0-8218-1024-3. P.37.
• Bourbaki, Nicolas (2012), Algèbre Ch. 8 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-35315-7
• Henderson, D.W. (1965). "A short proof of Wedderburn's theorem". Amer. Math. Monthly. 72: 385–386. doi:10.2307/2313499.
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 978-0-387-95325-0, MR 1838439
• Lang, Serge (2002), Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0387953854
• Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (2nd ed.), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5