तत्समक आव्यूह: Difference between revisions
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रैखिक बीजगणित में, आकार <math>n</math> का पहचान आव्यूह [[मुख्य विकर्ण]] पर एक के साथ <math>n\times n</math> [[स्क्वायर मैट्रिक्स|वर्ग आव्यूह]] है और कहीं और [[शून्य]] है। | |||
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पहचान | पहचान आव्यूह को प्रायः <math>I_n</math> , या मात्र <math>I</math> द्वारा निरूपित किया जाता है यदि आकार अनावश्यक है या संदर्भ द्वारा तुच्छ रूप से निर्धारित किया जा सकता है।<ref>{{Cite web|title=Identity matrix: intro to identity matrices (article)| url=https://www.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:matrices/x9e81a4f98389efdf:properties-of-matrix-multiplication/a/intro-to-identity-matrices | access-date=2020-08-14| website=Khan Academy| language=en}}</ref> | ||
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इकाई आव्यूह शब्द का भी व्यापक रूप से उपयोग किया गया है,<ref name=pipes>{{cite book |title=इंजीनियरिंग के लिए मैट्रिक्स तरीके|series=Prentice-Hall International Series in Applied Mathematics |first=Louis Albert |last=Pipes |publisher=Prentice-Hall |year=1963 |page=91 |url=https://books.google.com/books?id=rJNRAAAAMAAJ&pg=PA91 }}</ref><ref>[[Roger Godement]], ''Algebra'', 1968.</ref><ref>[[ISO 80000-2]]:2009.</ref><ref>[[Ken Stroud]], ''Engineering Mathematics'', 2013.</ref> परन्तु पहचान आव्यूहशब्द अब मानक है।<ref>[[ISO 80000-2]]:2019.</ref> इकाई आव्यूहशब्द अस्पष्ट है, क्योंकि इसका उपयोग लोगों के आव्यूहके लिए और आव्यूहरिंग की किसी भी इकाई (रिंग थ्योरी) के लिए भी किया जाता है। <math>n\times n</math> मैट्रिक्स।<ref>{{Cite web| last=Weisstein|first=Eric W.| title=यूनिट मैट्रिक्स|url=https://mathworld.wolfram.com/UnitMatrix.html|access-date=2021-05-05| website=mathworld.wolfram.com| language=en}}</ref> | |||
कुछ क्षेत्रों में, जैसे [[समूह सिद्धांत]] या [[क्वांटम यांत्रिकी]], पहचान | कुछ क्षेत्रों में, जैसे [[समूह सिद्धांत]] या [[क्वांटम यांत्रिकी]], पहचान आव्यूहको कभी-कभी बोल्डफेस द्वारा दर्शाया जाता है, <math>\mathbf{1}</math>, या आईडी कहा जाता है (पहचान के लिए संक्षिप्त)। कम प्रायः, कुछ गणित की किताबें इस्तेमाल करती हैं <math>U</math> या <math>E</math> इकाई आव्यूहके लिए खड़े पहचान आव्यूहका प्रतिनिधित्व करने के लिए<ref name=pipes />और जर्मन शब्द {{lang|de|Einheitsmatrix}} क्रमश।<ref name=":0">{{Cite web| last=Weisstein|first=Eric W.|title=शिनाख्त सांचा| url=https://mathworld.wolfram.com/IdentityMatrix.html|access-date=2020-08-14 | website=mathworld.wolfram.com | language=en}}</ref> | ||
एक अंकन के संदर्भ में जिसे कभी-कभी [[विकर्ण मैट्रिक्स]] | एक अंकन के संदर्भ में जिसे कभी-कभी [[विकर्ण मैट्रिक्स|विकर्ण]] आव्यूहका संक्षेप में वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है, पहचान आव्यूहको इस रूप में लिखा जा सकता है | ||
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आइडेंटिटी | आइडेंटिटी आव्यूहको [[क्रोनकर डेल्टा]] नोटेशन का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है:<ref name=":0" /> | ||
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कब <math>A</math> एक <math>m\times n</math> मैट्रिक्स, यह [[मैट्रिक्स गुणन]] का एक गुण है कि | कब <math>A</math> एक <math>m\times n</math> मैट्रिक्स, यह [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यूहगुणन]] का एक गुण है कि | ||
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विशेष रूप से, पहचान | विशेष रूप से, पहचान आव्यूहसभी के [[मैट्रिक्स रिंग|आव्यूहरिंग]] की गुणात्मक पहचान के रूप में कार्य करता है <math>n\times n</math> मैट्रिसेस, और [[सामान्य रैखिक समूह]] के [[पहचान तत्व]] के रूप में <math>GL(n)</math>, जिसमें सभी [[उलटा मैट्रिक्स|उलटा]] आव्यूहशामिल हैं <math>n\times n</math> आव्यूहगुणा ऑपरेशन के तहत मैट्रिक्स। विशेष रूप से, पहचान आव्यूहउलटा है। यह एक [[अनैच्छिक मैट्रिक्स|अनैच्छिक]] आव्यूहहै, जो अपने व्युत्क्रम के बराबर है। इस समूह में, दो वर्ग आव्यूहमें उनके उत्पाद के रूप में पहचान आव्यूहहोता है, जब वे एक दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं। | ||
कब <math>n\times n</math> मेट्रिसेस का उपयोग एक से [[रैखिक परिवर्तन]]ों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है <math>n</math>स्वयं के लिए आयामी सदिश स्थान, पहचान | कब <math>n\times n</math> मेट्रिसेस का उपयोग एक से [[रैखिक परिवर्तन]]ों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है <math>n</math>स्वयं के लिए आयामी सदिश स्थान, पहचान आव्यूह<math>I_n</math> इस प्रतिनिधित्व में जो भी [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] का उपयोग किया गया था, उसके लिए [[पहचान समारोह]] का प्रतिनिधित्व करता है। <math>i</math>वें> एक पहचान आव्यूहका स्तंभ [[इकाई वेक्टर]] है <math>e_i</math>, एक वेक्टर जिसका <math>i</math>वीं प्रविष्टि 1 और 0 कहीं और है। पहचान आव्यूहका निर्धारक 1 है, और इसका निशान (रैखिक बीजगणित) है <math>n</math>. | ||
पहचान | पहचान आव्यूहगैर-शून्य निर्धारक वाला एकमात्र idempotent आव्यूहहै। अर्थात्, यह एकमात्र ऐसा आव्यूहहै जो: | ||
# जब स्वयं से गुणा किया जाता है, तो परिणाम स्वयं ही होता है | # जब स्वयं से गुणा किया जाता है, तो परिणाम स्वयं ही होता है | ||
# इसकी सभी पंक्तियाँ और स्तंभ [[रैखिक स्वतंत्रता]] हैं। | # इसकी सभी पंक्तियाँ और स्तंभ [[रैखिक स्वतंत्रता]] हैं। | ||
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एक पहचान | एक पहचान आव्यूहका [[रैंक (रैखिक बीजगणित)]]। <math>I_n</math> आकार के बराबर है <math>n</math>, अर्थात: | ||
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* लोगों का मैट्रिक्स | * लोगों का मैट्रिक्स | ||
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* [[शून्य मैट्रिक्स]] | * [[शून्य मैट्रिक्स]] | ||
Revision as of 22:37, 3 March 2023
रैखिक बीजगणित में, आकार का पहचान आव्यूह मुख्य विकर्ण पर एक के साथ वर्ग आव्यूह है और कहीं और शून्य है।
शब्दावली और अंकन
पहचान आव्यूह को प्रायः , या मात्र द्वारा निरूपित किया जाता है यदि आकार अनावश्यक है या संदर्भ द्वारा तुच्छ रूप से निर्धारित किया जा सकता है।[1]
इकाई आव्यूह शब्द का भी व्यापक रूप से उपयोग किया गया है,[2][3][4][5] परन्तु पहचान आव्यूहशब्द अब मानक है।[6] इकाई आव्यूहशब्द अस्पष्ट है, क्योंकि इसका उपयोग लोगों के आव्यूहके लिए और आव्यूहरिंग की किसी भी इकाई (रिंग थ्योरी) के लिए भी किया जाता है। मैट्रिक्स।[7]
कुछ क्षेत्रों में, जैसे समूह सिद्धांत या क्वांटम यांत्रिकी, पहचान आव्यूहको कभी-कभी बोल्डफेस द्वारा दर्शाया जाता है, , या आईडी कहा जाता है (पहचान के लिए संक्षिप्त)। कम प्रायः, कुछ गणित की किताबें इस्तेमाल करती हैं या इकाई आव्यूहके लिए खड़े पहचान आव्यूहका प्रतिनिधित्व करने के लिए[2]और जर्मन शब्द Einheitsmatrix क्रमश।[8]
एक अंकन के संदर्भ में जिसे कभी-कभी विकर्ण आव्यूहका संक्षेप में वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है, पहचान आव्यूहको इस रूप में लिखा जा सकता है
आइडेंटिटी आव्यूहको क्रोनकर डेल्टा नोटेशन का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है:[8]
गुण
कब एक मैट्रिक्स, यह आव्यूहगुणन का एक गुण है कि
विशेष रूप से, पहचान आव्यूहसभी के आव्यूहरिंग की गुणात्मक पहचान के रूप में कार्य करता है मैट्रिसेस, और सामान्य रैखिक समूह के पहचान तत्व के रूप में , जिसमें सभी उलटा आव्यूहशामिल हैं आव्यूहगुणा ऑपरेशन के तहत मैट्रिक्स। विशेष रूप से, पहचान आव्यूहउलटा है। यह एक अनैच्छिक आव्यूहहै, जो अपने व्युत्क्रम के बराबर है। इस समूह में, दो वर्ग आव्यूहमें उनके उत्पाद के रूप में पहचान आव्यूहहोता है, जब वे एक दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं।
कब मेट्रिसेस का उपयोग एक से रैखिक परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है स्वयं के लिए आयामी सदिश स्थान, पहचान आव्यूह इस प्रतिनिधित्व में जो भी आधार (रैखिक बीजगणित) का उपयोग किया गया था, उसके लिए पहचान समारोह का प्रतिनिधित्व करता है। वें> एक पहचान आव्यूहका स्तंभ इकाई वेक्टर है , एक वेक्टर जिसका वीं प्रविष्टि 1 और 0 कहीं और है। पहचान आव्यूहका निर्धारक 1 है, और इसका निशान (रैखिक बीजगणित) है .
पहचान आव्यूहगैर-शून्य निर्धारक वाला एकमात्र idempotent आव्यूहहै। अर्थात्, यह एकमात्र ऐसा आव्यूहहै जो:
- जब स्वयं से गुणा किया जाता है, तो परिणाम स्वयं ही होता है
- इसकी सभी पंक्तियाँ और स्तंभ रैखिक स्वतंत्रता हैं।
किसी उदासीन आव्यूहके आव्यूहका वर्गमूल स्वयं होता है, और यह इसका एकमात्र धनात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक-निश्चित वर्गमूल होता है। हालाँकि, कम से कम दो पंक्तियों और स्तंभों वाले प्रत्येक पहचान आव्यूहमें सममित वर्गमूलों की अनंतता होती है।[9] एक पहचान आव्यूहका रैंक (रैखिक बीजगणित)। आकार के बराबर है , अर्थात:
यह भी देखें
- तार्किक आव्यूह(शून्य-एक मैट्रिक्स)
- प्राथमिक मैट्रिक्स
- एक्सचेंज मैट्रिक्स
- लोगों का मैट्रिक्स
- पॉल मैट्रिसेस (पहचान आव्यूहशून्य पाउली आव्यूहहै)
- गृहस्थ परिवर्तन (हाउसहोल्डर आव्यूहको आइडेंटिटी आव्यूहके जरिए बनाया गया है)
- 2 बटा 2 आव्यूहका वर्गमूल#पहचान मैट्रिक्स
- एकात्मक मैट्रिक्स
- शून्य मैट्रिक्स
टिप्पणियाँ
- ↑ "Identity matrix: intro to identity matrices (article)". Khan Academy (in English). Retrieved 2020-08-14.
- ↑ 2.0 2.1 Pipes, Louis Albert (1963). इंजीनियरिंग के लिए मैट्रिक्स तरीके. Prentice-Hall International Series in Applied Mathematics. Prentice-Hall. p. 91.
- ↑ Roger Godement, Algebra, 1968.
- ↑ ISO 80000-2:2009.
- ↑ Ken Stroud, Engineering Mathematics, 2013.
- ↑ ISO 80000-2:2019.
- ↑ Weisstein, Eric W. "यूनिट मैट्रिक्स". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2021-05-05.
- ↑ 8.0 8.1 Weisstein, Eric W. "शिनाख्त सांचा". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-14.
- ↑ Mitchell, Douglas W. (November 2003). "87.57 Using Pythagorean triples to generate square roots of ". The Mathematical Gazette. 87 (510): 499–500. doi:10.1017/S0025557200173723. JSTOR 3621289.
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