तत्समक आव्यूह

Not to be confused with एक का आव्यूह, एकात्मक आव्यूह, or आव्यूह इकाई.

रैखिक बीजगणित में, आकार $n$ का तत्समक आव्यूह मुख्य विकर्ण पर एकल के साथ $n\times n$ वर्ग आव्यूह है और कहीं और शून्य है।

शब्दावली और अंकन

तत्समक आव्यूह को प्रायः $I_{n}$, या मात्र $I$ द्वारा निरूपित किया जाता है यदि आकार अनावश्यक है या संदर्भ द्वारा तुच्छ रूप से निर्धारित किया जा सकता है।

$$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$$

इकाई आव्यूह शब्द का भी व्यापक रूप से उपयोग किया गया है, परन्तु तत्समक आव्यूह शब्द अब मानक है। इकाई आव्यूह शब्द अस्पष्ट है, क्योंकि इसका उपयोग एकल आव्यूह के लिए और आव्यूह वलय $n\times n$ आव्यूह की किसी भी इकाई(वलय सिद्धांत) के लिए भी किया जाता है।

कुछ क्षेत्रों में, जैसे समूह सिद्धांत या क्वांटम यांत्रिकी, तत्समक आव्यूह को कभी-कभी मोटी छपाई एक, $\mathbf {1}$, या "आईडी"(तत्समक के लिए संक्षिप्त) द्वारा दर्शाया जाता है। अल्प प्रायः, कुछ गणित की पुस्तकें तत्समक आव्यूह का प्रतिनिधित्व करने के लिए $U$ या $E$ उपयोग करती हैं जो क्रमशः "इकाई आव्यूह" और जर्मन शब्द "ईइनहाइट्समैट्रिक्स" के पक्ष में होता है ।

एक अंकन के संदर्भ में जिसे कभी-कभी विकर्ण आव्यूह का संक्षेप में वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है, तत्समक आव्यूह को इस रूप में लिखा जा सकता है

$$I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).$$

तत्समक आव्यूह को क्रोनकर डेल्टा अंकन का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है:

$$(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.$$

गुण

जहाँ $A$ एक $m\times n$ आव्यूह है, तो यह आव्यूह गुणन का गुण है

$$I_{m}A=AI_{n}=A.$$

विशेष रूप से, तत्समक आव्यूह सभी $n\times n$ आव्यूहों के आव्यूह वलय के गुणात्मक तत्समक के रूप में कार्य करता है, और सामान्य रैखिक समूह $GL(n)$ के तत्समक अवयव के रूप में कार्य करता है, जिसमें आव्यूह गुणन सभी व्युत्क्रम आव्यूह कार्य $n\times n$ आव्यूह होते हैं। विशेष रूप से, तत्समक आव्यूह व्युत्क्रम है। यह एक अनैच्छिक आव्यूह है, जो अपने व्युत्क्रम के बराबर है। इस समूह में, दो वर्ग आव्यूह में उनके उत्पाद के रूप में तत्समक आव्यूह होते है, जब वे एक दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं।

जब $n\times n$ आव्यूहों का उपयोग एक $n$ आयामी सदिश स्थान से स्वयं में रैखिक परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है,तो तत्समक आव्यूह $I_{n}$ तत्समक क्रिया का प्रतिनिधित्व करता है इस प्रतिनिधित्व में जो भी आधार(रैखिक बीजगणित) का उपयोग किया गया था। ​​तत्समक आव्यूह का $i$वां स्तंभ इकाई सदिश $e_{i}$ है, एक सदिश जिसकी $i$वीं प्रविष्टि 1 और कहीं और 0 है। तत्समक आव्यूह का निर्धारक 1 है, और इसका निशान(रैखिक बीजगणित) $n$ है।

तत्समक आव्यूह गैर-शून्य निर्धारक वाला एकमात्र निरर्थक आव्यूह है। अर्थात्, यह एकमात्र ऐसा आव्यूह है जो:

1. जब स्वयं से गुणा किया जाता है, तो परिणाम स्वयं ही होता है
2. इसकी सभी पंक्तियाँ और स्तंभ रैखिक स्वतंत्रता हैं।

किसी मुख्य आव्यूह के आव्यूह का वर्गमूल ही है, और यह इसका एकमात्र सकारात्मक-निश्चित वर्गमूल होता है। यद्यपि, कम से कम दो पंक्तियों और स्तंभों वाले प्रत्येक तत्समक आव्यूह में सममित वर्गमूलों की अनंतता होती है।

तत्समक आव्यूह $I_{n}$ का पद(रैखिक बीजगणित) आकार $n$ के बराबर है, अर्थात:

$$\operatorname {rank} (I_{n})=n.$$

यह भी देखें

• द्विआधारी आव्यूह(शून्य-एक आव्यूह)
• प्राथमिक आव्यूह
• विनिमय आव्यूह
• एकल आव्यूह
• पाउली आव्यूह(तत्समक आव्यूह शून्य पाउली आव्यूह है)
• गृहस्थ परिवर्तन(गृहस्थआव्यूह को तत्समक आव्यूह के द्वारा बनाया गया है)
• 2 बटा 2 तत्समक आव्यूह का वर्गमूल
• एकात्मक आव्यूह
• शून्य आव्यूह