घातीय बहुपद: Difference between revisions

Revision as of 19:00, 16 March 2023

यह लेख चरों और चरघातांकी फलनों में बहुपदों के बारे में है। स्टर्लिंग संख्या वाले बहुपदों के लिए, टचार्ड बहुपद देखें।

गणित में, घातांकी बहुपद क्षेत्र (गणित), वलय (गणित) या एबेलियन समूह पर फलन (गणित) होते हैं जो चर और घातांकी फलन में बहुपद का रूप ले लेते हैं।

परिभाषा

क्षेत्रों में

घातीय बहुपद में सामान्य रूप से चर x और किसी प्रकार का घातीय फलन E(x) दोनों होते हैं। सम्मिश्र संख्याओं में पहले से ही प्रामाणिक चर घातांकी फलन सम्मिलित है, वह फलन जो x से e^x को प्रतिचित्रित करता है। इस संस्थापन में घातीय बहुपद शब्द का प्रयोग प्रायः P(x, e^x) के रूप मे बहुपदों के अर्थ के लिए किया जाता है, जहां P ∈ C[x, y] दो चरों में एक बहुपद है।^{^[1]^[2] यहाँ C के बारे में विशेष रूप से कुछ उपयुक्त नहीं है घातांकी बहुपद किसी भी घातांकी क्षेत्र या चर घातांकी वलय पर इस तरह के बहुपद का उल्लेख कर सकते हैं, जिसके घातांकी फलन उपरोक्त e^x का स्थान ले रहे हैं।^{^[3]^[4] इसी प्रकार, एक चर होने का कोई कारण नहीं है, और n चरों में चरघातांकी बहुपद P(x₁, ..., x_n, e^x^₁, ..., e^x_n) के रूप का होगा, जहाँ P 2n चरों में एक बहुपद है।}}

क्षेत्र K पर औपचारिक चरघातांकी बहुपदों के लिए हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं। W को K का अंतिम रूप से उत्पन्न Z उपप्रतिरूपक मान लीजिए और व्यंजक के परिमित योगों पर विचार करें

$\sum _{i=1}^{m}f_{i}(X)\exp(w_{i}X)\ ,$

जहाँ f_i K[X] में बहुपद exp(wi X) हैं और exp(u + v) = exp(u) exp(v) के अधीन W में wi द्वारा अनुक्रमित औपचारिक प्रतीक हैं।

एबेलियन समूहों में

अधिक सामान्य संरचना जहां 'घातीय बहुपद' शब्द पाया जा सकता है, वह एबेलियन समूहों पर घातीय फलनों का है। इसी प्रकार घातीय क्षेत्रों पर घातीय फलनों को कैसे परिभाषित किया जाता है, एक सांंस्थितिक एबेलियन समूह G दिया जाता है, G से सम्मिश्र संख्याओं के योजक समूह के लिए समरूपता को योजक फलन कहा जाता है, और गैर-शून्य सम्मिश्र संख्याओं के गुणात्मक समूह के लिए एक समरूपता को एक घातीय फलन या केवल एक घातांक कहा जाता है। योज्य फलनों और घातीयों के एक गुणनफल को घातीय एकपदी कहा जाता है, और इनका एक रैखिक संयोजन G पर एक घातीय बहुपद है।^[5]^[6]

गुण

रिट के प्रमेय में कहा गया है कि अद्वितीय गुणनखंड और कारक प्रमेय के अनुरूप घातीय बहुपदों के वलय के लिए मान्य हैं।^[4]

अनुप्रयोग

R और C पर घातीय बहुपद प्रायः पारलौकिक संख्या सिद्धांत में दिखाई देते हैं, जहां वे घातीय फलन से जुड़े प्रमाणों में सहायक फलनों के रूप में प्रकट होते हैं। वे मॉडल सिद्धांत और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के बीच शृंखला के रूप में भी कार्य करते हैं। यदि कोई Rⁿ में बिंदुओं के समुच्चय के रूप में एक घातीय विविधता को परिभाषित करता है जहां घातीय बहुपदों का कुछ परिमित संग्रह समाप्त हो जाता है, तो अंतर ज्यामिति में खोवांसकी प्रमेय और मॉडल सिद्धांत में विल्की प्रमेय जैसे परिणाम दिखाते हैं कि ये वर्ग इस अर्थ में अच्छी तरह से व्यवहार करते हैं कि ऐसे वर्गों का संग्रह विभिन्न समुच्चय-सैद्धांतिक संचालन के अंतर्गत स्थिर है। समुच्चय-सैद्धांतिक संचालन जब तक कोई उच्च-आयामी घातीय वर्गों के अनुमानों के अंतर्गत छवि को सम्मिलित करने की स्वीकृति देता है। वास्तव मे, उपरोक्त दो प्रमेयों का अर्थ है कि सभी घातीय वर्गों का समुच्चय 'R' पर o-न्यूनतम संरचना बनाता है।

घातीय बहुपद रैखिक विलंब अंतर समीकरणों से जुड़े विशेषता समीकरण में दिखाई देते हैं।

↑ C. J. Moreno, The zeros of exponential polynomials, Compositio Mathematica 26 (1973), pp.69–78.
↑ M. Waldschmidt, Diophantine approximation on linear algebraic groups, Springer, 2000.
↑ Martin Bays, Jonathan Kirby, A.J. Wilkie, A Schanuel property for exponentially transcendental powers, (2008), arXiv:0810.4457v1
↑ ^4.0 ^4.1 Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). पुनरावृत्ति क्रम. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 104. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 140. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006.
↑ László Székelyhidi, On the extension of exponential polynomials, Mathematica Bohemica 125 (2000), pp.365–370.
↑ P. G. Laird, On characterizations of exponential polynomials, Pacific Journal of Mathematics 80 (1979), pp.503–507.

[Category:Polynomia

[1] C. J. Moreno, The zeros of exponential polynomials, Compositio Mathematica 26 (1973), pp.69–78.

[2] M. Waldschmidt, Diophantine approximation on linear algebraic groups, Springer, 2000.

[3] Martin Bays, Jonathan Kirby, A.J. Wilkie, A Schanuel property for exponentially transcendental powers, (2008), arXiv:0810.4457v1

[EPSW140-4] 4.0 ^4.1 Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). पुनरावृत्ति क्रम. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 104. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 140. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006.

[5] László Székelyhidi, On the extension of exponential polynomials, Mathematica Bohemica 125 (2000), pp.365–370.

[6] P. G. Laird, On characterizations of exponential polynomials, Pacific Journal of Mathematics 80 (1979), pp.503–507.

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-{{otheruses4|polynomials in variables and exponential functions|the polynomials involving Stirling numbers|Touchard polynomials}}
+''यह लेख चरों और चरघातांकी फलनों में बहुपदों के बारे में है। स्टर्लिंग संख्या वाले बहुपदों के लिए, टचार्ड बहुपद देखें।''
-गणित में, चरघातांकी [[बहुपद]] [[क्षेत्र (गणित)]], वलय (गणित) या [[एबेलियन समूह]] पर फलन (गणित) होते हैं जो चर और चरघातांकी फलन में बहुपद का रूप ले लेते हैं।
+गणित में, '''घातांकी [[बहुपद]]''' [[क्षेत्र (गणित)]], वलय (गणित) या [[एबेलियन समूह]] पर फलन (गणित) होते हैं जो चर और घातांकी फलन में बहुपद का रूप ले लेते हैं।
 == परिभाषा ==
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 === क्षेत्रों में ===
-एक घातीय बहुपद में आम तौर पर चर x और किसी प्रकार का घातीय फलन E(x) दोनों होते हैं। सम्मिश्र संख्याओं में पहले से ही एक विहित चरघातांकी फलन मौजूद है, वह फलन जो x से E (गणितीय स्थिरांक) को प्रतिचित्रित करता है<sup>एक्स । इस सेटिंग में घातीय बहुपद शब्द का प्रयोग अक्सर P(x, e<sup>x</sup>) जहां P ∈ 'C'[x, y] दो चरों में एक बहुपद है।<ref>C. J. Moreno, ''The zeros of exponential polynomials'', Compositio Mathematica 26 (1973), pp.69&ndash;78.</ref><ref>M. Waldschmidt, ''Diophantine approximation on linear algebraic groups'', [[Springer Science+Business Media|Springer]], 2000.</ref>
+घातीय बहुपद में सामान्य रूप से चर x और किसी प्रकार का घातीय फलन E(x) दोनों होते हैं। सम्मिश्र संख्याओं में पहले से ही प्रामाणिक चर घातांकी फलन सम्मिलित है, वह फलन जो x से ''e<sup>x</sup>'' को प्रतिचित्रित करता है। इस संस्थापन में घातीय बहुपद शब्द का प्रयोग प्रायः ''P''(''x'', ''e<sup>x</sup>'') के रूप मे बहुपदों के अर्थ के लिए किया जाता है, जहां P ∈ C[x, y] दो चरों में एक बहुपद है।<sup><ref>C. J. Moreno, ''The zeros of exponential polynomials'', Compositio Mathematica 26 (1973), pp.69&ndash;78.</ref><ref>M. Waldschmidt, ''Diophantine approximation on linear algebraic groups'', [[Springer Science+Business Media|Springer]], 2000.</ref> यहाँ C के बारे में विशेष रूप से कुछ उपयुक्त नहीं है घातांकी बहुपद किसी भी घातांकी क्षेत्र या चर घातांकी वलय पर इस तरह के बहुपद का उल्लेख कर सकते हैं, जिसके घातांकी फलन उपरोक्त ''e<sup>x</sup>'' का स्थान ले रहे हैं।<sup><ref>Martin Bays, Jonathan Kirby, A.J. Wilkie, ''A Schanuel property for exponentially transcendental powers'', (2008), [https://arxiv.org/abs/0810.4457v1 arXiv:0810.4457v1]</ref><ref name="EPSW140">{{cite book | last1=Everest | first1=Graham | last2=van der Poorten | first2=Alf | author2-link=Alfred van der Poorten | last3=Shparlinski | first3=Igor | last4=Ward | first4=Thomas | title=पुनरावृत्ति क्रम| series=Mathematical Surveys and Monographs | volume=104 | location=[[Providence, RI]] | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2003 | isbn=0-8218-3387-1 | zbl=1033.11006 | page=140 }}</ref> इसी प्रकार, एक चर होने का कोई कारण नहीं है, और n चरों में चरघातांकी बहुपद ''P''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'', ''e<sup>x</sup>''<sup><sub>1</sub></sup>, ..., ''e<sup>x<sub>n</sub></sup>'') के रूप का होगा, जहाँ P 2n चरों में एक बहुपद है।
-यहाँ C के बारे में कुछ खास नहीं है; घातीय बहुपद भी किसी भी [[घातीय क्षेत्र]] या घातीय अंगूठी पर इस तरह के बहुपद का उल्लेख कर सकते हैं, जिसके घातीय कार्य 'ई' की जगह ले रहे हैं।<sup>x</sup> ऊपर।<ref>Martin Bays, Jonathan Kirby, A.J. Wilkie, ''A Schanuel property for exponentially transcendental powers'', (2008), [https://arxiv.org/abs/0810.4457v1 arXiv:0810.4457v1]</ref> इसी प्रकार, एक चर होने का कोई कारण नहीं है, और n चरों में एक चरघातांकी बहुपद P(x) के रूप का होगा<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub>, यह है<sup>x<sub>1</sub></sup>, ..., और<sup>x<sub>''n''</sub></sup>), जहां P 2 चरों में एक बहुपद है।
-फ़ील्ड K पर औपचारिक चरघातांकी बहुपदों के लिए हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं।<ref name=EPSW140>{{cite book | last1=Everest | first1=Graham | last2=van der Poorten | first2=Alf | author2-link=Alfred van der Poorten | last3=Shparlinski | first3=Igor | last4=Ward | first4=Thomas | title=पुनरावृत्ति क्रम| series=Mathematical Surveys and Monographs | volume=104 | location=[[Providence, RI]] | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2003 | isbn=0-8218-3387-1 | zbl=1033.11006 | page=140 }}</ref> डब्ल्यू को के के एक सूक्ष्म रूप से जेनरेट किए गए मॉड्यूल 'जेड'-[[ submodule ]] होने दें और फॉर्म की सीमित मात्रा पर विचार करें
-:<math>\sum_{i=1}^{m} f_i(X) \exp(w_i X) \ , </math>
+क्षेत्र K पर औपचारिक चरघातांकी बहुपदों के लिए हम निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं। W को K का अंतिम रूप से उत्पन्न Z उपप्रतिरूपक मान लीजिए और व्यंजक के परिमित योगों पर विचार करें
-जहां एफ<sub>''i''</sub> के [एक्स] में बहुपद हैं और ऍक्स्प (डब्ल्यू<sub>''i''</sub>X) w द्वारा अनुक्रमित औपचारिक प्रतीक हैं<sub>''i''</sub> डब्ल्यू में ऍक्स्प (यू + वी) = ऍक्स्प (यू)-एक्सप (वी) के अधीन।
+<math>\sum_{i=1}^{m} f_i(X) \exp(w_i X) \ , </math>
+जहाँ ''f<sub>i</sub>'' ''K''[''X''] में बहुपद exp(wi X) हैं और exp(''u'' + ''v'') = exp(''u'') exp(''v'') के अधीन W में wi द्वारा अनुक्रमित औपचारिक प्रतीक हैं।
 === एबेलियन समूहों में ===
-एक अधिक सामान्य ढांचा जहां 'घातीय बहुपद' शब्द पाया जा सकता है, वह एबेलियन समूहों पर घातीय कार्यों का है। इसी प्रकार घातीय क्षेत्रों पर घातीय कार्यों को कैसे परिभाषित किया जाता है, एक [[टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह]] जी दिया जाता है, जी से जटिल संख्याओं के योजक समूह के लिए एक [[समरूपता]] को एक योजक समारोह कहा जाता है, और गैर-जटिल जटिल संख्याओं के गुणक समूह के लिए एक समरूपता को एक घातीय कहा जाता है समारोह, या बस एक घातांक। योज्य कार्यों और घातीयों के एक उत्पाद को एक घातीय मोनोमियल कहा जाता है, और इनका एक रैखिक संयोजन जी पर एक घातीय बहुपद है।<ref>László Székelyhidi, ''On the extension of exponential polynomials'', Mathematica Bohemica '''125''' (2000), pp.365&ndash;370.</ref><ref>P. G. Laird, ''On characterizations of exponential polynomials'', Pacific Journal of Mathematics '''80''' (1979), pp.503&ndash;507.</ref>
+अधिक सामान्य संरचना जहां 'घातीय बहुपद' शब्द पाया जा सकता है, वह एबेलियन समूहों पर घातीय फलनों का है। इसी प्रकार घातीय क्षेत्रों पर घातीय फलनों को कैसे परिभाषित किया जाता है, एक [[टोपोलॉजिकल एबेलियन समूह|सांंस्थितिक एबेलियन समूह]] G दिया जाता है, G से सम्मिश्र संख्याओं के योजक समूह के लिए [[समरूपता]] को योजक फलन कहा जाता है, और गैर-शून्य सम्मिश्र संख्याओं के गुणात्मक समूह के लिए एक समरूपता को एक घातीय फलन या केवल एक घातांक कहा जाता है। योज्य फलनों और घातीयों के एक गुणनफल को घातीय एकपदी कहा जाता है, और इनका एक रैखिक संयोजन G पर एक घातीय बहुपद है।<ref>László Székelyhidi, ''On the extension of exponential polynomials'', Mathematica Bohemica '''125''' (2000), pp.365&ndash;370.</ref><ref>P. G. Laird, ''On characterizations of exponential polynomials'', Pacific Journal of Mathematics '''80''' (1979), pp.503&ndash;507.</ref>
 == गुण ==
-रिट के प्रमेय में कहा गया है कि अद्वितीय कारक और [[कारक प्रमेय]] के अनुरूप घातीय बहुपदों की अंगूठी के लिए हैं।<ref name=EPSW140/>
+रिट के प्रमेय में कहा गया है कि अद्वितीय गुणनखंड और [[कारक प्रमेय]] के अनुरूप घातीय बहुपदों के वलय के लिए मान्य हैं।<ref name=EPSW140/>
 == अनुप्रयोग ==
-आर और सी पर घातीय बहुपद अक्सर [[पारलौकिक संख्या सिद्धांत]] में दिखाई देते हैं, जहां वे घातीय कार्य से जुड़े सबूतों में सहायक कार्यों के रूप में प्रकट होते हैं। वे [[मॉडल सिद्धांत]] और [[विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] के बीच एक कड़ी के रूप में भी कार्य करते हैं। यदि कोई R में बिंदुओं के समुच्चय के रूप में एक घातीय विविधता को परिभाषित करता है<sup>n</sup> जहां घातीय बहुपदों का कुछ परिमित संग्रह गायब हो जाता है, तो [[अंतर ज्यामिति]] में खोवांसकी प्रमेय और मॉडल सिद्धांत में विल्की प्रमेय जैसे परिणाम दिखाते हैं कि ये किस्में इस अर्थ में अच्छी तरह से व्यवहार करती हैं कि ऐसी किस्मों का संग्रह विभिन्न के तहत स्थिर है सेट सिद्धांत | सेट-सैद्धांतिक संचालन जब तक कोई उच्च-आयामी घातीय किस्मों के अनुमानों के तहत छवि को शामिल करने की अनुमति देता है। दरअसल, उपरोक्त दो प्रमेयों का अर्थ है कि सभी घातीय किस्मों का सेट 'आर' पर एक [[ओ-न्यूनतम संरचना]] बनाता है।
+'''R''' और '''C''' पर घातीय बहुपद प्रायः [[पारलौकिक संख्या सिद्धांत]] में दिखाई देते हैं, जहां वे घातीय फलन से जुड़े प्रमाणों में सहायक फलनों के रूप में प्रकट होते हैं। वे [[मॉडल सिद्धांत]] और [[विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] के बीच शृंखला के रूप में भी कार्य करते हैं। यदि कोई '''R<sup>n</sup>''' में बिंदुओं के समुच्चय के रूप में एक घातीय विविधता को परिभाषित करता है जहां घातीय बहुपदों का कुछ परिमित संग्रह समाप्त हो जाता है, तो [[अंतर ज्यामिति]] में खोवांसकी प्रमेय और मॉडल सिद्धांत में विल्की प्रमेय जैसे परिणाम दिखाते हैं कि ये वर्ग इस अर्थ में अच्छी तरह से व्यवहार करते हैं कि ऐसे वर्गों का संग्रह विभिन्न समुच्चय-सैद्धांतिक संचालन के अंतर्गत स्थिर है। समुच्चय-सैद्धांतिक संचालन जब तक कोई उच्च-आयामी घातीय वर्गों के अनुमानों के अंतर्गत छवि को सम्मिलित करने की स्वीकृति देता है। वास्तव मे, उपरोक्त दो प्रमेयों का अर्थ है कि सभी घातीय वर्गों का समुच्चय ''''R'''<nowiki/>' पर o[[ओ-न्यूनतम संरचना|-न्यूनतम संरचना]] बनाता है।
-घातीय बहुपद रेखीय विलंब अवकल समीकरण#The_characteristic_equation से जुड़े अभिलाक्षणिक समीकरण में दिखाई देते हैं।
+घातीय बहुपद रैखिक विलंब अंतर समीकरणों से जुड़े विशेषता समीकरण में दिखाई देते हैं।
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