रोमानोव्स्की बहुपद: Difference between revisions

Revision as of 21:38, 16 March 2023

गणित में, रोमानोव्स्की बहुपद वास्तविक लंबकोणीय बहुपदों के तीन परिमित उपसमुच्चयों में से एक हैं।^[1] जो सांख्यिकी में संभाव्यता वितरण फलनों के संदर्भ में वसेवोलॉड रोमानोव्स्की (फ्रेंच प्रतिलेखन में रोमनोव्स्की) द्वारा खोजे गए हैं। वे 1884 में एडवर्ड राउत द्वारा प्रस्तुत किए गए अल्प-ज्ञात रूथ बहुपदों के अधिक सामान्य वर्ग का एक लंबकोणीय उपसमुच्चय बनाते हैं।^[2] रोमानोव्स्की बहुपद शब्द रैपोसो द्वारा,^[3] लेस्की की वर्गीकरण योजना में तथाकथित 'छद्म-जैकोबी बहुपद' के संदर्भ में आगे रखा गया था।^[4] रोमानोव्स्की-रूथ बहुपद के रूप में उन्हें संदर्भित करने के लिए यह अधिक सुसंगत लगता है, रोमानोव्स्की-बेसेल और रोमानोव्स्की-जैकोबी के साथ सादृश्य द्वारा लेस्की द्वारा लंबकोणीय बहुपद के दो अन्य समुच्चयों के लिए उपयोग किया जाता है।

मानक उत्कृष्ट लंबकोणीय बहुपदों के कुछ विपरीत, विचाराधीन बहुपद भिन्न होते हैं, जहां तक एकपक्षीय पैरामीटर के लिए केवल उनमें से एक परिमित संख्या लंबकोणीय (लंबकोणीय) हैं, जैसा कि नीचे अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

रोमनोवस्की बहुपदों के लिए अवकल समीकरण

रोमानोव्स्की बहुपद अतिज्यामितीय अंतर समीकरण के निम्नलिखित संस्करण को संशोधित करते हैं

{\begin{aligned}&s(x){R_{n}^{(\alpha ,\beta )}}''(x)+t_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x){R_{n}^{(\alpha ,\beta )}}'(x)+\lambda _{n}R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0,\\[4pt]&\qquad x\in (-\infty ,+\infty ),\quad s(x)=\left(1+x^{2}\right),\quad t_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x)=2\beta x+\alpha ,\quad \lambda _{n}=-n(2\beta +n-1).\end{aligned}}

(1)

विचित्र रूप से, उन्हें गणितीय भौतिकी^[5]^[6] और गणित में^[7]^[8] विशेष फलनों पर मानक पाठ्यपुस्तकों से हटा दिया गया है और गणितीय साहित्य में कहीं और अपेक्षाकृत दुर्लभ उपस्थिति है।^[9]^[10]^[11]

स्टर्म-लिउविल सिद्धांत हैं

w^{(\alpha ,\beta )}(x)=\left(1+x^{2}\right)^{\beta -1}\exp \left(-\alpha \operatorname {arccot} x\right);

(2)

वे पियर्सन के अवकल समीकरण को संशोधित करते हैं

[s(x)w(x)]'=t(x)w(x),\quad s(x)=1+x^{2},

(3)

जो अतिज्यामितीय के अवकल समीकरण के अवकल संक्रियक के स्व-आसन्न होने का आश्वासन देता है।

$α = 0$ और $β < 0$ ,के लिए रोमानोव्स्की बहुपदों का भार फलन लोरेंत्ज़ वितरण का आकार लेता है, जहाँ संबंधित बहुपदों को^[12] यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत में उनके अनुप्रयोगों में^[13] कॉची बहुपदों के रूप में भी दर्शाया जाता है।

रोड्रिग्स सूत्र बहुपद $R (α, β) n (x)$ को इस रूप में निर्दिष्ट करता है

R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=N_{n}{\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(w^{(\alpha ,\beta )}(x)s(x)^{n}\right),\quad 0\leq n,

(4)

जहाँ $N n$ एक सामान्यीकरण स्थिरांक है। यह स्थिरांक बहुपद $R (α, β) n (x)$ में घात n के पद के गुणांक c_n से व्यंजक द्वारा संबंधित है

N_{n}={\frac {(-1)^{n}n!\,c_{n}}{\prod _{k=0}^{n-1}\lambda _{n}^{(k)}}},\quad \lambda _{n}=-n\left({t_{n}^{(\alpha ,\beta )}}'+{\tfrac {1}{2}}(n-1)s''(x)\right),

(5)

जो n ≥ 1 के लिए है।

रोमानोव्स्की और जैकोबी के बहुपदों के बीच संबंध

जैसा कि एस्के द्वारा दिखाया गया है कि वास्तविक लंबकोणीय बहुपदों के इस परिमित अनुक्रम को काल्पनिक तर्क के जैकोबी बहुपदों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है और इस तरह इसे प्रायः जटिल जैकोबी बहुपद कहा जाता है।^[14] अर्थात्, रोमानोव्स्की समीकरण (1) औपचारिक रूप से जैकोबी समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है,^[15]

{\begin{aligned}&\left(1-x^{2}\right){P_{n}^{(\gamma ,\delta )}}''(x)+t_{1}^{(\gamma ,\delta )}(x){P_{n}^{(\gamma ,\delta )}}'(x)+\lambda _{n}P_{n}^{(\gamma ,\delta )}(x)=0,\\[4pt]&\qquad t_{1}^{(\gamma ,\delta )}(x)=\delta -\gamma -(\gamma +\delta +2)x,\quad \lambda _{n}=n(n+\gamma +\delta +1),\quad x\in \left[-1,1\right],\end{aligned}}

(6)

प्रतिस्थापन के माध्यम से, वास्तविक $x$ के लिए,

x\to ix,\quad {\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\to -i{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}},\quad \gamma =\delta ^{\ast }=\beta -1+{\frac {\alpha i}{2}},

(7)

जिस स्थिति में कोई पाता है

R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=i^{n}P_{n}^{\left(\beta -1+{\frac {i}{2}}\alpha ,\beta -1-{\frac {i}{2}}\alpha \right)}(ix),

(8)

(जेकोबी बहुपदों के लिए उपयुक्त रूप से चयन किए गए सामान्यीकरण स्थिरांक के साथ)। कुइजलर्स एट अल में दाईं ओर जटिल जैकोबी बहुपदों को (1.1) के माध्यम से परिभाषित किया गया है।^[16] (2003) जो आश्वस्त करता है कि (8) x में वास्तविक बहुपद हैं। चूंकि उद्धृत लेखक गैर-हर्मिटियन (जटिल) लंबकोणीय स्थितियों पर चर्चा करते हैं, केवल वास्तविक जैकोबी अनुक्रमणिका के लिए उनके विश्लेषण और रोमानोव्स्की बहुपदों की परिभाषा (8) के बीच परस्पर व्याप्त केवल α = 0 सम्मिलित है। हालांकि इस विशिष्ट स्थिति की जांच के लिए इस लेख की सीमाओं से अधिक जांच की आवश्यकता होती है। व्युत्क्रमणीयता ध्यान दें (8) के अनुसार

P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(-i)^{n}R_{n}^{\left(i(\alpha -\beta ),{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )+1)\right)}(-ix),

(9)

जहाँ $P (α, β) n (x)$ वास्तविक जैकोबी बहुपद है और

R_{n}^{\left(i(\alpha -\beta ),{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )+1)\right)}(-ix)

जटिल रोमानोव्स्की बहुपद होगा।

रोमनोवस्की बहुपदों के गुण

स्पष्ट निर्माण

वास्तविक $α, β$ और $n = 0, 1, 2, ...$ , के लिए फलन $R (α, β) n (x)$ को समीकरण (4) में रोड्रिग्स सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\equiv {\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left(w^{(\alpha ,\beta )}(x)s(x)^{n}\right),

(10)

जहाँ $w (α, β)$ वही भार फलन है जो कि (2) मे है, और $s (x) = 1 + x 2$ अतिज्यामितीय अवकल समीकरण के दूसरे अवकलज का गुणांक है जैसा कि (1) में है।

ध्यान दें कि हमने सामान्यीकरण स्थिरांक $N n = 1$ चयन किया है, जो बहुपद में उच्चतम घात के गुणांक के विकल्प के बराबर है, जैसा कि समीकरण (5) द्वारा दिया गया है। यह व्यंजक लेता है

c_{n}={\frac {1}{n!}}\prod _{k=0}^{n-1}{\bigl (}2\beta (n-k)+n(n-1)-k(k-1){\bigr )},\quad n\geq 1.

(11)

यह भी ध्यान दें कि गुणांक $c n$ पैरामीटर $α$ पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन केवल $β$ पर और, के विशेष मूल्यों के लिए $β$ के विशेष मानों के लिए $c n$ लुप्त हो जाता है (अर्थात, सभी मूल्यों के लिए

\beta ={\frac {k(k-1)-n(n-1)}{2(n-k)}}

जहाँ

k = 0, ..., n - 1

) यह अवलोकन नीचे संबोधित एक समस्या उत्पन्न करता है।

बाद के संदर्भ के लिए, हम स्पष्ट रूप से 0, 1, और 2 घात के बहुपदों को लिखते हैं,

\begin{aligned} R_{0}^{(α, β)} (x) & = 1, \\ R_{1}^{(α, β)} (x) & = \frac{1}{w^{(α, β)} (x)} (w^{' (α, β)} (x) s (x) + s^{'} (x) w^{(α, β)} (x)) \\ = t^{(α, β)} (x) = 2 β x + α, \\ R_{2}^{(α, β)} (x) & = \frac{1}{w^{(α, β)} (x)} \frac{d}{d x} (s^{2} (x) w^{' (α, β)} (x) + 2 s (x) s^{'} (x) w^{(α, β)} (x)) \\ = \frac{1}{w^{(α, β)} (x)} \frac{d}{d x} (s (x) w^{(α, β)} (x \end{aligned}

जो पियर्सन के ओडीई (10) के संयोजन में रोड्रिग्स सूत्र (3) प्राप्त होता है।

लंबकोणीयता

दो बहुपद,

R (α, β) m (x)

और

R (α, β) n (x)

साथ

m \neq n

, लंबकोणीय हैं,^[3]

\int _{-\infty }^{+\infty }w^{(\alpha ,\beta )}(x)R_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0

(12)

यदि और केवल यदि,

m+n<1-2\beta .

(13)

दूसरे शब्दों में, स्वेच्छिक प्राचलों के लिए, रोमानोव्स्की बहुपदों की केवल एक परिमित संख्या लंबकोणीय है। इस गुण को परिमित लंबकोणीय कहा जाता है। हालांकि, कुछ विशेष स्थितियों के लिए जिनमें पैरामीटर एक विशेष तरीके से बहुपद घात पर निर्भर करते हैं अनंत लंबकोणीय प्राप्त की जा सकती है।

यह समीकरण (1) के एक संस्करण की स्थिति है जिसे त्रिकोणमितीय रोसेन-मोर्स क्षमता की क्वांटम यांत्रिक समस्या की परिशुद्धता समाधेयता के संदर्भ में स्वतंत्र रूप से नए सिरे से से देखा गया है और कंपियन और किर्चबैक के द्वारा (2006) में रिपोर्ट किया गया है।^[17] वहां, बहुपद पैरामीटर $α$ और $β$ एकपक्षीय नहीं हैं लेकिन संभावित मापदंडों, $a$ और $b$ , और बहुपद की घात n संबंधों के अनुसार के संदर्भ में व्यक्त किए गए हैं

{\begin{aligned}\alpha \to \alpha _{n}={\frac {2b}{n+1+a}},\quad \beta \to \beta _{n}=-(a+n+1)+1,\quad n=0,1,2,\ldots ,\infty .\end{aligned}}

(14)

इसके अनुरूप, $λ n$ , $λ n = - n (2 a + n - 1)$ , के रूप में सामने आता है जबकि भार फलन आकार लेता है

\left(1+x^{2}\right)^{-(a+n+1)}\exp \left(-{\frac {2b}{n+a+1}}\operatorname {arccot} x\right).

अंत में, कॉम्पियन और किर्चबैक (2006) में^[17] एक-आयामी चर, x, को इस रूप में लिया गया है

x=\cot \left({\frac {r}{d}}\right),

जहाँ $r$ रेडियल दूरी है, जबकि $d$ उपयुक्त लंबाई पैरामीटर है। कॉम्पेन और किर्चबैक में^[17]यह दिखाया गया है कि पैरामीटर जोड़े के अनंत अनुक्रम के अनुरूप रोमनोवस्की बहुपदों का वर्ग,

\left(\alpha _{1},\beta _{1}\right),\left(\alpha _{2}\beta _{2}\right),\ldots ,\left(\alpha _{n}\beta _{n}\right),\ldots ,\quad n\longrightarrow \infty ,

(15)

लंबकोणीय है।

जनित्र फलन

वेबर में (2007)^[18] बहुआयामी पद $Q (α n, β n + n) ν (x)$ , साथ $β n + n = - a$ , और पूरक $R (α n, β n) n (x)$ का अध्ययन किया गया है, जो निम्न प्रकार से उत्पन्न हुआ है:

Q_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n\right)}(x)={\frac {1}{w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}}}{\frac {{\mathrm {d} }^{\nu }}{{\mathrm {d} }x^{\nu }}}w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}\right)}(x)\left(1+x^{2}\right)^{n}.

(16)

संबंध को ध्यान में रखते हुए,

w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}\right)}(x)\left(1+x^{2}\right)^{\delta }=w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+\delta \right)}(x),

(17)

समीकरण (16) के बराबर हो जाता है

{\begin{aligned}Q_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n\right)}(x)&={\frac {1}{w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}}}{\frac {{\mathrm {d} }^{\nu }}{{\mathrm {d} }x^{\nu }}}w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}(x)\left(1+x^{2}\right)^{\nu }\\[4pt]&=R_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}(x),\end{aligned}}

(18)

और इस प्रकार पूरक को प्रमुख रोमानोव्स्की बहुपदों से जोड़ता है।

पूरक बहुपदों का मुख्य आकर्षण यह है कि उनके जनक फलन की गणना संवृत रूप में की जा सकती है।^[19] समीकरण के आधार पर रोमानोव्स्की बहुपदों के लिए लिखा गया ऐसा जनक फलन (18) में पैरामीटर के साथ (14) और इसलिए अनंत लंबकोणीय का संदर्भ देते हुए, इसे प्रस्तुत किया गया है

G^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}\right)}(x,y)=\sum _{\nu =0}^{\infty }R_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}(x){\frac {y^{\nu }}{\nu !}}.

(19)

वेबर^[18] और यहां उपयोग किए गए सांकेतिक अंतरों को संक्षेप में इस प्रकार दिया गया है:

$G (α n, β n) (x, y)$ यहाँ बनाम $Q (x, y; α,- a)$ वहाँ, $α$ के स्थान पर $α n$ यहाँ,
$a = - β n - n$ , और
$Q (α,- a) ν (x)$ वेबर में समीकरण (15) में^[18] जहां $R (α n, β n + n - ν) ν (x)$ के अनुरूप है।

चर्चा के अंतर्गत जनित्र फलन वेबर में प्राप्त किया गया है।^[18]

G^{(\alpha _{n},\beta _{n})}(x,y)=\left(1+x^{2}\right)^{-\beta _{n}-n+1}\exp \left(\alpha _{n}\operatorname {arccot} x\right)\left(1+\left(x+y\left(1+x^{2}\right)\right)^{2}\right)^{-\left(-\beta _{n}-n+1\right)}\exp \left(-\alpha _{n}\operatorname {arccot} \left(x+y\left(1+x^{2}\right)\right)\right.

(20)

पुनरावृत्ति संबंध

उपरोक्त समीकरणों में पैरामीटर के साथ रोमनोवस्की बहुपदों की अनंत लंबकोणीय श्रृंखला के बीच पुनरावृत्ति संबंध (14) उत्पादक फलन से अनुसरण करें,^[18]

\nu {\bigl (}\nu +1-2(\beta _{n}+n){\bigr )}R_{\nu -1}^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu +1\right)}(x)+{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}R_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}(x)=0,

(21)

और

R_{\nu +1}^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu -1\right)}(x)={\bigl (}\alpha _{n}-2x(-\beta _{n}-n+\nu +1){\bigr )}R_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}-\nu \left(1+x^{2}\right){\bigl (}2(-\beta _{n}-n)+\nu +1{\bigr )}R_{\nu -1}^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu +1\right)},

(22)

वेबर (2007) के क्रमशः समीकरण (10) और (23) के रूप में।^[18]

यह भी देखें

संदर्भ

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[CK-17] 17.0 ^17.1 ^17.2 Compean, C. B.; Kirchbach, M. (2006). "The trigonometric Rosen–Morse potential in supersymmetric quantum mechanics and its exact solutions". J. Phys. A: Math. Gen. 39 (3): 547–558. arXiv:quant-ph/0509055. Bibcode:2006JPhA...39..547C. doi:10.1088/0305-4470/39/3/007. S2CID 119742004.

[HJW-18] 18.0 ^18.1 ^18.2 ^18.3 ^18.4 ^18.5 Weber, H. J. (2007). "रोमानोव्स्की बहुपदों और अन्य बहुपदों के बीच संबंध". Central European Journal of Mathematics. 5 (3): 581. arXiv:0706.3153. doi:10.2478/s11533-007-0014-4. S2CID 18728079.

[19] Weber, H. J. (2007). "रोड्रिग्स सूत्र के साथ हाइपरज्यामितीय प्रकार के अंतर समीकरणों के वास्तविक बहुपद समाधानों के बीच संबंध". Central European Journal of Mathematics. 5 (2): 415–427. arXiv:0706.3003. doi:10.2478/s11533-007-0004-6. S2CID 115166725.

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-गणित में, रोमानोव्स्की बहुपद [[वसेवोलॉड रोमानोव्स्की]] द्वारा खोजे गए वास्तविक ऑर्थोगोनल बहुपदों के तीन परिमित उपसमूहों में से एक हैं।<ref>{{cite journal|last=Romanovski|first=V.|date=1929|title=ऑर्थोगोनल बहुपदों के कुछ नए वर्गों पर|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31417/f1023.item|journal=[[Comptes rendus de l'Académie des Sciences|C. R. Acad. Sci. Paris]]|language=French|volume=188|pages=1023–1025}}</ref> (रोमानोव्स्की फ्रेंच ट्रांसक्रिप्शन में) सांख्यिकी में संभाव्यता वितरण कार्यों के संदर्भ में। वे [[एडवर्ड राउत]] द्वारा पेश किए गए अल्प-ज्ञात रूथ बहुपदों के एक अधिक सामान्य परिवार का एक ऑर्थोगोनल उपसमुच्चय बनाते हैं<ref>{{cite journal|first=E. J. |last=Routh |title=दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के कुछ समाधानों के कुछ गुणों पर|journal=Proc. London Math. Soc. |volume=16 |date=1884 |page=245 |doi=10.1112/plms/s1-16.1.245|url=https://zenodo.org/record/1983114 }}</ref> 1884 में। रोमानोव्स्की बहुपद शब्द रैपोसो द्वारा आगे रखा गया था,<ref name="RAP">{{cite journal|first1=A. P. |last1=Raposo |first2=H. J. |last2=Weber |first3=D. E. |last3=Álvarez Castillo |first4=M. |last4=Kirchbach |title=चयनित भौतिकी समस्याओं में रोमानोव्स्की बहुपद|journal=Cent. Eur. J. Phys. |volume=5 |issue=3 |pages=253–284 |year=2007 |doi=10.2478/s11534-007-0018-5|arxiv=0706.3897 |bibcode=2007CEJPh...5..253R |s2cid=119120266 }}</ref> लेस्की की वर्गीकरण योजना में तथाकथित 'छद्म-जैकोबी बहुपद' के संदर्भ में।<ref>{{cite journal|first=P. A. |last=Lesky |title=निरंतर शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों की परिमित और अनंत प्रणाली|language=German |journal=Z. Angew. Math. Mech. |volume=76 |issue=3 |date=1996 |page=181 |doi=10.1002/zamm.19960760317|bibcode=1996ZaMM...76..181L }}</ref> रोमानोव्स्की-रूथ बहुपद के रूप में उन्हें संदर्भित करने के लिए यह अधिक सुसंगत लगता है, रोमानोव्स्की-बेसेल और रोमानोव्स्की-जैकोबी के साथ सादृश्य द्वारा लेस्की द्वारा ऑर्थोगोनल बहुपद के दो अन्य सेटों के लिए उपयोग किया जाता है।
+गणित में, '''रोमानोव्स्की बहुपद''' वास्तविक लंबकोणीय बहुपदों के तीन परिमित उपसमुच्चयों में से एक हैं।<ref>{{cite journal|last=Romanovski|first=V.|date=1929|title=ऑर्थोगोनल बहुपदों के कुछ नए वर्गों पर|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k31417/f1023.item|journal=[[Comptes rendus de l'Académie des Sciences|C. R. Acad. Sci. Paris]]|language=French|volume=188|pages=1023–1025}}</ref> जो सांख्यिकी में संभाव्यता वितरण फलनों के संदर्भ में वसेवोलॉड रोमानोव्स्की (फ्रेंच प्रतिलेखन में रोमनोव्स्की) द्वारा खोजे गए हैं। वे 1884 में [[एडवर्ड राउत]] द्वारा प्रस्तुत किए गए अल्प-ज्ञात '''रूथ बहुपदों''' के अधिक सामान्य वर्ग का एक लंबकोणीय उपसमुच्चय बनाते हैं।<ref>{{cite journal|first=E. J. |last=Routh |title=दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के कुछ समाधानों के कुछ गुणों पर|journal=Proc. London Math. Soc. |volume=16 |date=1884 |page=245 |doi=10.1112/plms/s1-16.1.245|url=https://zenodo.org/record/1983114 }}</ref> रोमानोव्स्की बहुपद शब्द रैपोसो द्वारा,<ref name="RAP">{{cite journal|first1=A. P. |last1=Raposo |first2=H. J. |last2=Weber |first3=D. E. |last3=Álvarez Castillo |first4=M. |last4=Kirchbach |title=चयनित भौतिकी समस्याओं में रोमानोव्स्की बहुपद|journal=Cent. Eur. J. Phys. |volume=5 |issue=3 |pages=253–284 |year=2007 |doi=10.2478/s11534-007-0018-5|arxiv=0706.3897 |bibcode=2007CEJPh...5..253R |s2cid=119120266 }}</ref> लेस्की की वर्गीकरण योजना में तथाकथित '''<nowiki/>'छद्म-जैकोबी बहुपद'''<nowiki/>' के संदर्भ में आगे रखा गया था।<ref>{{cite journal|first=P. A. |last=Lesky |title=निरंतर शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों की परिमित और अनंत प्रणाली|language=German |journal=Z. Angew. Math. Mech. |volume=76 |issue=3 |date=1996 |page=181 |doi=10.1002/zamm.19960760317|bibcode=1996ZaMM...76..181L }}</ref> '''रोमानोव्स्की-रूथ बहुपद''' के रूप में उन्हें संदर्भित करने के लिए यह अधिक सुसंगत लगता है, रोमानोव्स्की-बेसेल और रोमानोव्स्की-जैकोबी के साथ सादृश्य द्वारा लेस्की द्वारा लंबकोणीय बहुपद के दो अन्य समुच्चयों के लिए उपयोग किया जाता है।
-मानक शास्त्रीय ऑर्थोगोनल बहुपदों के कुछ विपरीत, विचाराधीन बहुपद भिन्न होते हैं, जहां तक मनमाना पैरामीटर के लिए केवल ''उनमें से एक परिमित संख्या ओर्थोगोनल हैं'', जैसा कि नीचे अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।
+मानक उत्कृष्ट लंबकोणीय बहुपदों के कुछ विपरीत, विचाराधीन बहुपद भिन्न होते हैं, जहां तक एकपक्षीय पैरामीटर के लिए केवल उनमें से एक परिमित संख्या लंबकोणीय (लंबकोणीय) हैं, जैसा कि नीचे अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।
 ==रोमनोवस्की बहुपदों के लिए अवकल समीकरण==
-रोमानोव्स्की बहुपद [[हाइपरज्यामितीय अंतर समीकरण]] के निम्नलिखित संस्करण को हल करते हैं
+रोमानोव्स्की बहुपद [[हाइपरज्यामितीय अंतर समीकरण|अतिज्यामितीय अंतर समीकरण]] के निम्नलिखित संस्करण को संशोधित करते हैं
 {{NumBlk|:|<math>
@@ Line 15: / Line 15: @@
 </math>|{{EquationRef|1}}}}
-उत्सुकता से, उन्हें गणितीय भौतिकी में [[विशेष कार्य]]ों पर मानक पाठ्यपुस्तकों से हटा दिया गया है<ref name=Abramowitz>{{cite book|first1=M.|last1=Abramowitz|authorlink1=Milton Abramowitz|first2=I.|last2=Stegun|authorlink2=Irene Stegun|year=1972|title=सूत्र, रेखांकन और गणितीय तालिकाओं के साथ गणितीय कार्यों की पुस्तिका|publisher=Dover|edition=2nd|location=New York, NY|isbn=978-0-486-61272-0|url-access=registration|url=https://archive.org/details/handbookofmathe000abra}}</ref><ref>{{cite book|last1=Nikiforov|first1=Arnol'd F.|title=Special Functions of Mathematical Physics: A Unified Introduction with Applications|last2=Uvarov|first2=Vasilii B.|publisher=Birkhäuser Verlag|year=1988|isbn=978-0-8176-3183-3|location=Basel}}</ref> और गणित में<ref>{{cite book|last=Szego|first=G.|title=ऑर्थोगोनल बहुपद|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=1939|isbn=978-0-8218-1023-1|edition=1st|series=Colloquium Publications|volume=23|location=Providence, RI}}</ref><ref>{{cite book|last=Ismail|first=Mourad E. H.|title=एक चर में शास्त्रीय और क्वांटम ऑर्थोगोनल बहुपद|publisher=Cambridge University Press|others=With two chapters by Walter V. Assche|year=2005|isbn=978-0-521-78201-2|location=Cambridge}}</ref> और गणितीय साहित्य में कहीं और अपेक्षाकृत दुर्लभ उपस्थिति है।<ref>{{cite journal|last=Askey|first=R.|date=1987|title=रामानुजन और ऑर्थोगोनल बहुपदों का एक अभिन्न|journal=Journal of the Indian Mathematical Society|volume=51|issue=1–2|page=27}}</ref><ref>{{cite book|last=Askey|first=R.|title=Number Theory, Madras 1987: Proceedings of the International Ramanujan Centenary Conference, Held at Anna University, Madras, India, December 21, 1987|publisher=Springer-Verlag|year=1989|isbn=978-3-540-51595-1|editor-last=Alladi|editor-first=Krishnaswami|series=Lecture Notes in Math|volume=1395|location=Berlin|pages=84–121|doi=10.1007/BFb0086401 |contribution=Beta integrals and the associated orthogonal polynomials|chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/BFb0086401}}</ref><ref>{{cite thesis|first=A. |last=Zarzo Altarejos |title=हाइपरज्यामितीय प्रकार के विभेदक समीकरण|language=Spanish |type=PhD |publisher=Faculty of Science, University of Granada |date=1995}}</ref>
+विचित्र रूप से, उन्हें गणितीय भौतिकी<ref name=Abramowitz>{{cite book|first1=M.|last1=Abramowitz|authorlink1=Milton Abramowitz|first2=I.|last2=Stegun|authorlink2=Irene Stegun|year=1972|title=सूत्र, रेखांकन और गणितीय तालिकाओं के साथ गणितीय कार्यों की पुस्तिका|publisher=Dover|edition=2nd|location=New York, NY|isbn=978-0-486-61272-0|url-access=registration|url=https://archive.org/details/handbookofmathe000abra}}</ref><ref>{{cite book|last1=Nikiforov|first1=Arnol'd F.|title=Special Functions of Mathematical Physics: A Unified Introduction with Applications|last2=Uvarov|first2=Vasilii B.|publisher=Birkhäuser Verlag|year=1988|isbn=978-0-8176-3183-3|location=Basel}}</ref> और गणित में<ref>{{cite book|last=Szego|first=G.|title=ऑर्थोगोनल बहुपद|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=1939|isbn=978-0-8218-1023-1|edition=1st|series=Colloquium Publications|volume=23|location=Providence, RI}}</ref><ref>{{cite book|last=Ismail|first=Mourad E. H.|title=एक चर में शास्त्रीय और क्वांटम ऑर्थोगोनल बहुपद|publisher=Cambridge University Press|others=With two chapters by Walter V. Assche|year=2005|isbn=978-0-521-78201-2|location=Cambridge}}</ref> [[विशेष कार्य|विशेष]] फलनों पर मानक पाठ्यपुस्तकों से हटा दिया गया है और गणितीय साहित्य में कहीं और अपेक्षाकृत दुर्लभ उपस्थिति है।<ref>{{cite journal|last=Askey|first=R.|date=1987|title=रामानुजन और ऑर्थोगोनल बहुपदों का एक अभिन्न|journal=Journal of the Indian Mathematical Society|volume=51|issue=1–2|page=27}}</ref><ref>{{cite book|last=Askey|first=R.|title=Number Theory, Madras 1987: Proceedings of the International Ramanujan Centenary Conference, Held at Anna University, Madras, India, December 21, 1987|publisher=Springer-Verlag|year=1989|isbn=978-3-540-51595-1|editor-last=Alladi|editor-first=Krishnaswami|series=Lecture Notes in Math|volume=1395|location=Berlin|pages=84–121|doi=10.1007/BFb0086401 |contribution=Beta integrals and the associated orthogonal polynomials|chapter-url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/BFb0086401}}</ref><ref>{{cite thesis|first=A. |last=Zarzo Altarejos |title=हाइपरज्यामितीय प्रकार के विभेदक समीकरण|language=Spanish |type=PhD |publisher=Faculty of Science, University of Granada |date=1995}}</ref>
 स्टर्म-लिउविल सिद्धांत हैं
- {{NumBlk|:|<math>
+{{NumBlk|:|<math>
 w^{(\alpha,\beta)}(x) =\left(1+x^2\right)^{\beta-1} \exp\left(-\alpha \arccot x\right);
 </math>|{{EquationRef|2}}}}
-वे पियर्सन के अवकल समीकरण को हल करते हैं
+वे पियर्सन के अवकल समीकरण को संशोधित करते हैं
- {{NumBlk|:|<math>
+{{NumBlk|:|<math>
 [s(x) w(x)]' = t(x) w(x), \quad s(x)=1+x^2,
 </math>|{{EquationRef|3}}}}
-जो हाइपरजोमेट्रिक के डिफरेंशियल ऑपरेटर के [[स्व-आसन्न ऑपरेटर]]|सेल्फ-एडज्वाइंटनेस को सुनिश्चित करता है
+जो अतिज्यामितीय के अवकल समीकरण के अवकल संक्रियक के स्व-आसन्न होने का आश्वासन देता है।
-[[साधारण अंतर समीकरण]]।
-के लिए {{math|''α'' {{=}} 0}} और {{math|''β'' < 0}}, रोमानोव्स्की बहुपदों का वजन कार्य [[लोरेंत्ज़ वितरण]] का आकार लेता है, जहाँ संबंधित बहुपदों को कॉची बहुपदों के रूप में भी दर्शाया जाता है<ref>{{cite journal|first1=N. S. |last1=Witte |first2=P. J. |last2=Forrester |title=परिमित और स्केल किए गए कॉची यादृच्छिक मैट्रिक्स संयोजनों में गैप संभावनाएं|journal=Nonlinearity |volume=13 |issue=6 |pages=13–1986 |year=2000 |doi=10.1088/0951-7715/13/6/305|arxiv=math-ph/0009022 |bibcode=2000Nonli..13.1965W |s2cid=7151393 }}</ref> यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत में उनके अनुप्रयोगों में।<ref>{{cite book|last=Forrester|first=P. J.|title=लॉग-गैस और रैंडम मेट्रिसेस|publisher=[[Princeton University Press]]|year=2010|isbn=978-0-691-12829-0|series=London Mathematical Society Monographs|location=Princeton}}</ref>
+{{math|''α'' {{=}} 0}} और {{math|''β'' < 0}},के लिए रोमानोव्स्की बहुपदों का भार फलन [[लोरेंत्ज़ वितरण]] का आकार लेता है, जहाँ संबंधित बहुपदों को<ref>{{cite journal|first1=N. S. |last1=Witte |first2=P. J. |last2=Forrester |title=परिमित और स्केल किए गए कॉची यादृच्छिक मैट्रिक्स संयोजनों में गैप संभावनाएं|journal=Nonlinearity |volume=13 |issue=6 |pages=13–1986 |year=2000 |doi=10.1088/0951-7715/13/6/305|arxiv=math-ph/0009022 |bibcode=2000Nonli..13.1965W |s2cid=7151393 }}</ref> यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत में उनके अनुप्रयोगों में<ref>{{cite book|last=Forrester|first=P. J.|title=लॉग-गैस और रैंडम मेट्रिसेस|publisher=[[Princeton University Press]]|year=2010|isbn=978-0-691-12829-0|series=London Mathematical Society Monographs|location=Princeton}}</ref> कॉची बहुपदों के रूप में भी दर्शाया जाता है।
-रोड्रिग्स सूत्र बहुपद निर्दिष्ट करता है {{math|''R''{{su|b=''n''|p=(''α'',''β'')}}(''x'')}} जैसा
+रोड्रिग्स सूत्र बहुपद {{math|''R''{{su|b=''n''|p=(''α'',''β'')}}(''x'')}} को इस रूप में निर्दिष्ट करता है
 {{NumBlk|:|<math>
   R^{(\alpha,\beta)}_n(x)=N_n \frac{1}{w^{(\alpha,\beta )}(x)} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \left(w^{(\alpha,\beta) }(x)s(x)^n \right), \quad
 \leq n,
 </math>|{{EquationRef|4}}}}
-कहाँ {{math|''N<sub>n</sub>''}} एक सामान्यीकरण स्थिरांक है। यह स्थिरांक गुणांक से संबंधित है {{mvar|c<sub>n</sub>}डिग्री की अवधि के } {{mvar|n}} बहुपद में {{math|''R''{{su|b=''n''|p=(''α'',''β'')}}(''x'')}} अभिव्यक्ति द्वारा
+जहाँ {{math|''N<sub>n</sub>''}} एक सामान्यीकरण स्थिरांक है। यह स्थिरांक बहुपद {{math|''R''{{su|b=''n''|p=(''α'',''β'')}}(''x'')}} में घात n के पद के गुणांक c<sub>n</sub> से व्यंजक द्वारा संबंधित है
 {{NumBlk|:|<math>
 N_{n}= \frac{(-1)^{n} n! \, c_n}{\prod_{k=0}^{n-1} \lambda_n^{(k)}},\quad \lambda_n=-n\left({t^{(\alpha,\beta)}_n}' +
 \tfrac{1}{2}(n-1)s''(x)\right),
 </math>|{{EquationRef|5}}}}
-जिसके लिए रहता है {{math|''n'' ≥ 1}}.
+जो n ≥ 1 के लिए है।
-== रोमनोवस्की और जैकोबी == के बहुपदों के बीच संबंध
+== रोमानोव्स्की और जैकोबी के बहुपदों के बीच संबंध ==
-Askey द्वारा दिखाए गए वास्तविक ऑर्थोगोनल बहुपदों के इस परिमित अनुक्रम को काल्पनिक तर्क के जैकोबी बहुपदों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है और इस तरह इसे अक्सर जटिल जैकोबी बहुपद कहा जाता है।<ref>{{cite journal|first=N. |last=Cotfas |title=क्वांटम यांत्रिकी के अनुप्रयोग के साथ हाइपरजोमेट्रिक प्रकार के समीकरणों द्वारा परिभाषित ऑर्थोगोनल बहुपदों की प्रणाली|journal=Cent. Eur. J. Phys. |volume=2 |issue=3 |pages=456–466 |date=2004 |doi=10.2478/bf02476425|arxiv=math-ph/0602037 |bibcode=2004CEJPh...2..456C |s2cid=15594058 }}</ref> अर्थात्, रोमानोव्स्की समीकरण ({{EquationNote|1}}) औपचारिक रूप से जैकोबी समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है,<ref>{{MathWorld|id=JacobiDifferentialEquation|title=Jacobi Differential Equation}}</ref>
+जैसा कि एस्के द्वारा दिखाया गया है कि वास्तविक लंबकोणीय बहुपदों के इस परिमित अनुक्रम को काल्पनिक तर्क के जैकोबी बहुपदों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है और इस तरह इसे प्रायः जटिल जैकोबी बहुपद कहा जाता है।<ref>{{cite journal|first=N. |last=Cotfas |title=क्वांटम यांत्रिकी के अनुप्रयोग के साथ हाइपरजोमेट्रिक प्रकार के समीकरणों द्वारा परिभाषित ऑर्थोगोनल बहुपदों की प्रणाली|journal=Cent. Eur. J. Phys. |volume=2 |issue=3 |pages=456–466 |date=2004 |doi=10.2478/bf02476425|arxiv=math-ph/0602037 |bibcode=2004CEJPh...2..456C |s2cid=15594058 }}</ref> अर्थात्, रोमानोव्स्की समीकरण ({{EquationNote|1}}) औपचारिक रूप से जैकोबी समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है,<ref>{{MathWorld|id=JacobiDifferentialEquation|title=Jacobi Differential Equation}}</ref>
 {{NumBlk|:|<math>
 \begin{align}
@@ Line 49: / Line 50: @@
 \end{align}
 </math>|{{EquationRef|6}}}}
-प्रतिस्थापन के माध्यम से, वास्तव में {{mvar|x}},
+प्रतिस्थापन के माध्यम से, वास्तविक {{mvar|x}} के लिए,
- {{NumBlk|:|<math>
+{{NumBlk|:|<math>
 x\to ix, \quad \frac{\mathrm d}{{\mathrm d}x}\to -i\frac{\mathrm d}{{\mathrm d}x},
 \quad \gamma=\delta^\ast =\beta -1 +\frac{\alpha i}{2},
@@ Line 58: / Line 59: @@
 R^{(\alpha,\beta)}_n(x) = i^n P^{\left(\beta - 1 + \frac{i}{2}\alpha,\beta -1 - \frac{i}{2}\alpha\right)}_n(ix),
 </math>|{{EquationRef|8}}}}
-(जेकोबी बहुपदों के लिए उपयुक्त रूप से चुने गए सामान्यीकरण स्थिरांक के साथ)। कुइजलर्स एट अल में दाईं ओर जटिल जैकोबी बहुपदों को (1.1) के माध्यम से परिभाषित किया गया है। (2003)<ref>{{cite journal|first1=A. B. J. |last1=Kuijlaars |first2=A. |last2=Martinez-Finkelshtein |first3=R. |last3=Orive |title=सामान्य प्राचलों के साथ जैकोबी बहुपदों की ओर्थोगोनलिटी|journal=[[Electron. Trans. Numer. Anal.]] |volume=19 |pages=1–17 |year=2005 |bibcode=2003math......1037K |arxiv=math/0301037 }}</ref> जो आश्वासन देता है ({{EquationNote|8}}) x में वास्तविक बहुपद हैं।
+(जेकोबी बहुपदों के लिए उपयुक्त रूप से चयन किए गए सामान्यीकरण स्थिरांक के साथ)। कुइजलर्स एट अल में दाईं ओर जटिल जैकोबी बहुपदों को (1.1) के माध्यम से परिभाषित किया गया है।<ref>{{cite journal|first1=A. B. J. |last1=Kuijlaars |first2=A. |last2=Martinez-Finkelshtein |first3=R. |last3=Orive |title=सामान्य प्राचलों के साथ जैकोबी बहुपदों की ओर्थोगोनलिटी|journal=[[Electron. Trans. Numer. Anal.]] |volume=19 |pages=1–17 |year=2005 |bibcode=2003math......1037K |arxiv=math/0301037 }}</ref> (2003) जो आश्वस्त करता है कि ({{EquationNote|8}}) x में वास्तविक बहुपद हैं। चूंकि उद्धृत लेखक गैर-हर्मिटियन (जटिल) लंबकोणीय स्थितियों पर चर्चा करते हैं, केवल वास्तविक जैकोबी अनुक्रमणिका के लिए उनके विश्लेषण और रोमानोव्स्की बहुपदों की परिभाषा ({{EquationNote|8}}) के बीच परस्पर व्याप्त केवल α = 0 सम्मिलित है। हालांकि इस विशिष्ट स्थिति की जांच के लिए इस लेख की सीमाओं से अधिक जांच की आवश्यकता होती है। व्युत्क्रमणीयता ध्यान दें ({{EquationNote|8}}) के अनुसार
-चूंकि उद्धृत लेखक केवल वास्तविक जैकोबी इंडेक्स के लिए गैर-हर्मिटियन (जटिल) ऑर्थोगोनलिटी स्थितियों पर चर्चा करते हैं, उनके विश्लेषण और परिभाषा के बीच ओवरलैप होता है ({{EquationNote|8}}) of Romanovski polynomials केवल तभी मौजूद होता है जब α = 0. हालांकि इस अजीबोगरीब मामले की जांच के लिए इस लेख की सीमाओं से परे अधिक जांच की आवश्यकता होती है।
-की उलटा ध्यान दें ({{EquationNote|8}}) के अनुसार
 {{NumBlk|:|<math>
 P^{(\alpha,\beta)}_n(x) = (-i)^n R^{\left(i(\alpha-\beta),
 \frac{1}{2}(\alpha+\beta)+1)\right)}_n(-ix),
 </math>|{{EquationRef|9}}}}
-कहाँ हैं, {{math|''P''{{su|b=''n''|p=(''α'',''β'')}}(''x'')}} एक वास्तविक जैकोबी बहुपद है और
+जहाँ {{math|''P''{{su|b=''n''|p=(''α'',''β'')}}(''x'')}} वास्तविक जैकोबी बहुपद है और
-:<math>R^{\left(i(\alpha-\beta), \frac{1}{2}(\alpha+\beta)+1)\right)}_n(-ix)</math> एक जटिल रोमानोव्स्की बहुपद होगा।
+:<math>R^{\left(i(\alpha-\beta), \frac{1}{2}(\alpha+\beta)+1)\right)}_n(-ix)</math>
+:जटिल रोमानोव्स्की बहुपद होगा।
 == रोमनोवस्की बहुपदों के गुण ==
 === स्पष्ट निर्माण ===
-वास्तव में {{math|''α'', ''β''}} और {{math|''n'' {{=}} 0, 1, 2, ...}}, एक समारोह {{math|''R''{{su|b=''n''|p=(''α'',''β'')}}(''x'')}} परिभाषित किया जा सकता
+वास्तविक {{math|''α'', ''β''}} और {{math|''n'' {{=}} 0, 1, 2, ...}}, के लिए फलन {{math|''R''{{su|b=''n''|p=(''α'',''β'')}}(''x'')}} को समीकरण ({{EquationNote|4}}) में रोड्रिग्स सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है
-समीकरण में रोड्रिग्स सूत्र द्वारा ({{EquationNote|4}}) जैसा
 {{NumBlk|:|<math>
 R_n^{(\alpha,\beta)}(x) \equiv \frac{1}{w^{(\alpha,\beta)}(x)} \frac{{\rm d}^n}{{\rm d}x^n}\left( w^{(\alpha,\beta)}(x) s(x)^n \right),
 </math>|{{EquationRef|10}}}}
-कहाँ {{math|''w''<sup>(''α'',''β'')</sup>}} वही वजन कार्य है जैसा कि ({{EquationNote|2}}), और {{math|''s''(''x'') {{=}} 1 + ''x''<sup>2</sup>}} हाइपरजियोमेट्रिक डिफरेंशियल इक्वेशन के दूसरे डेरिवेटिव का गुणांक है जैसा कि ({{EquationNote|1}}).
+जहाँ {{math|''w''<sup>(''α'',''β'')</sup>}} वही भार फलन है जो कि ({{EquationNote|2}}) मे है, और {{math|''s''(''x'') {{=}} 1 + ''x''<sup>2</sup>}} अतिज्यामितीय अवकल समीकरण के दूसरे अवकलज का गुणांक है जैसा कि ({{EquationNote|1}}) में है।
-ध्यान दें कि हमने सामान्यीकरण स्थिरांक चुना है {{math|''N<sub>n</sub>'' {{=}} 1}}, जो बहुपद में उच्चतम डिग्री के गुणांक के विकल्प के बराबर है, जैसा कि समीकरण द्वारा दिया गया है ({{EquationNote|5}}). यह रूप लेता है
+ध्यान दें कि हमने सामान्यीकरण स्थिरांक {{math|''N<sub>n</sub>'' {{=}} 1}} चयन किया है, जो बहुपद में उच्चतम घात के गुणांक के विकल्प के बराबर है, जैसा कि समीकरण ({{EquationNote|5}}) द्वारा दिया गया है। यह व्यंजक लेता है
 {{NumBlk|:|<math>
   c_n = \frac{1}{n!} \prod_{k=0}^{n-1} \bigl ( 2 \beta (n-k) + n(n-1) - k(k-1)\bigr ),
@@ Line 84: / Line 83: @@
 </math>|{{EquationRef|11}}}}
-यह भी ध्यान दें कि गुणांक {{mvar|c<sub>n</sub>}} पैरामीटर पर निर्भर नहीं करता है {{mvar|α}}, लेकिन केवल पर {{mvar|β}} और, के विशेष मूल्यों के लिए {{mvar|β}}, {{mvar|c<sub>n</sub>}} गायब हो जाता है (यानी, सभी मूल्यों के लिए
+यह भी ध्यान दें कि गुणांक {{mvar|c<sub>n</sub>}} पैरामीटर {{mvar|α}} पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन केवल {{mvar|β}} पर और, के विशेष मूल्यों के लिए {{mvar|β}} के विशेष मानों के लिए {{mvar|c<sub>n</sub>}} लुप्त हो जाता है (अर्थात, सभी मूल्यों के लिए
-:<math>\beta=\frac{k(k-1) - n(n-1)}{2(n-k)}</math> कहाँ {{math|''k'' {{=}} 0, ..., ''n'' − 1}}). यह अवलोकन नीचे संबोधित एक समस्या उत्पन्न करता है।
+:<math>\beta=\frac{k(k-1) - n(n-1)}{2(n-k)}</math>
+:जहाँ {{math|''k'' {{=}} 0, ..., ''n'' − 1}}) यह अवलोकन नीचे संबोधित एक समस्या उत्पन्न करता है।
-बाद के संदर्भ के लिए, हम डिग्री 0, 1 और 2 के बहुपदों को स्पष्ट रूप से लिखते हैं,
+बाद के संदर्भ के लिए, हम स्पष्ट रूप से 0, 1, और 2 घात के बहुपदों को लिखते हैं,
 :<math>
 \begin{align}
@@ Line 103: / Line 103: @@
 \end{align}
 </math>
-जो रोड्रिग्स सूत्र से प्राप्त होता है ({{EquationNote|10}}) पियर्सन के ODE के संयोजन में ({{EquationNote|3}}).
+जो पियर्सन के ओडीई ({{EquationNote|10}}) के संयोजन में रोड्रिग्स सूत्र ({{EquationNote|3}}) प्राप्त होता है।
-===ऑर्थोगोनलिटी ===
+===लंबकोणीयता ===
-दो बहुपद, {{math|''R''{{su|b=''m''|p=(''α'',''β'')}}(''x'')}} और {{math|''R''{{su|b=''n''|p=(''α'',''β'')}}(''x'')}} साथ {{math|''m'' ≠ ''n''}}, ओर्थोगोनल हैं,<ref name="RAP" />
+दो बहुपद, {{math|''R''{{su|b=''m''|p=(''α'',''β'')}}(''x'')}} और {{math|''R''{{su|b=''n''|p=(''α'',''β'')}}(''x'')}} साथ {{math|''m'' ≠ ''n''}}, लंबकोणीय हैं,<ref name="RAP" />
 {{NumBlk|:|<math>
 \int_{-\infty}^{+\infty} w^{(\alpha, \beta )}(x)R_m^{(\alpha,\beta )}(x)R_n^{(\alpha,\beta )}(x)=0
 </math>|{{EquationRef|12}}}}
-अगर और केवल अगर,
+यदि और केवल यदि,
- {{NumBlk|:|<math>
+{{NumBlk|:|<math>
 m+n< 1-2\beta.
 </math>|{{EquationRef|13}}}}
-दूसरे शब्दों में, स्वेच्छिक प्राचलों के लिए, रोमानोव्स्की बहुपदों की केवल एक परिमित संख्या ओर्थोगोनल है। इस संपत्ति को परिमित ऑर्थोगोनलिटी कहा जाता है। हालांकि, कुछ विशेष मामलों के लिए जिनमें पैरामीटर एक विशेष तरीके से बहुपद डिग्री पर निर्भर करते हैं अनंत ऑर्थोगोनलिटी हासिल की जा सकती है।
+दूसरे शब्दों में, स्वेच्छिक प्राचलों के लिए, रोमानोव्स्की बहुपदों की केवल एक परिमित संख्या लंबकोणीय है। इस गुण को परिमित लंबकोणीय कहा जाता है। हालांकि, कुछ विशेष स्थितियों के लिए जिनमें पैरामीटर एक विशेष तरीके से बहुपद घात पर निर्भर करते हैं अनंत लंबकोणीय प्राप्त की जा सकती है।
-यह समीकरण के एक संस्करण का मामला है ({{EquationNote|1}}) जिसे त्रिकोणमितीय रोसेन-मोर्स क्षमता की क्वांटम यांत्रिक समस्या की सटीक घुलनशीलता के संदर्भ में स्वतंत्र रूप से नए सिरे से सामना किया गया है और कॉम्पियन एंड किर्चबैक (2006) में रिपोर्ट किया गया है।<ref name="CK">{{cite journal|first1=C. B. |last1=Compean |first2=M. |last2=Kirchbach |title=The trigonometric Rosen–Morse potential in supersymmetric quantum mechanics and its exact solutions |journal=J. Phys. A: Math. Gen. |volume=39 |issue=3 |pages=547–558 |date=2006 |doi=10.1088/0305-4470/39/3/007|arxiv=quant-ph/0509055 |bibcode=2006JPhA...39..547C |s2cid=119742004 }}</ref> वहां, बहुपद पैरामीटर {{mvar|α}} और {{math|β}} अब मनमाने नहीं हैं लेकिन संभावित मापदंडों के संदर्भ में व्यक्त किए गए हैं, {{mvar|a}} और {{mvar|b}}, और डिग्री {{mvar|n}संबंधों के अनुसार बहुपद का },
+यह समीकरण ({{EquationNote|1}}) के एक संस्करण की स्थिति है जिसे त्रिकोणमितीय रोसेन-मोर्स क्षमता की क्वांटम यांत्रिक समस्या की परिशुद्धता समाधेयता के संदर्भ में स्वतंत्र रूप से नए सिरे से से देखा गया है और कंपियन और किर्चबैक के द्वारा (2006) में रिपोर्ट किया गया है।<ref name="CK">{{cite journal|first1=C. B. |last1=Compean |first2=M. |last2=Kirchbach |title=The trigonometric Rosen–Morse potential in supersymmetric quantum mechanics and its exact solutions |journal=J. Phys. A: Math. Gen. |volume=39 |issue=3 |pages=547–558 |date=2006 |doi=10.1088/0305-4470/39/3/007|arxiv=quant-ph/0509055 |bibcode=2006JPhA...39..547C |s2cid=119742004 }}</ref> वहां, बहुपद पैरामीटर {{mvar|α}} और {{math|β}} एकपक्षीय नहीं हैं लेकिन संभावित मापदंडों, {{mvar|a}} और {{mvar|b}}, और बहुपद की घात n संबंधों के अनुसार के संदर्भ में व्यक्त किए गए हैं
 {{NumBlk|:|<math>
@@ Line 126: / Line 126: @@
 </math>|{{EquationRef|14}}}}
-तदनुसार, {{mvar|λ<sub>n</sub>}} के रूप में सामने आता है {{math|''λ<sub>n</sub>'' {{=}} −''n''(2''a'' + ''n'' − 1)}}, जबकि वजन कार्य आकार लेता है
+इसके अनुरूप, {{mvar|λ<sub>n</sub>}}, {{math|''λ<sub>n</sub>'' {{=}} −''n''(2''a'' + ''n'' − 1)}}, के रूप में सामने आता है जबकि भार फलन आकार लेता है
 :<math>\left(1+x^2\right)^{-(a+n+1) }\exp\left(-\frac{2b}{n+a+1} \arccot x\right).</math>
-अंत में, एक आयामी चर, {{mvar|x}}, कॉम्पियन और किर्चबैक (2006) में<ref name="CK" />रूप में लिया गया है
+अंत में, कॉम्पियन और किर्चबैक (2006) में<ref name="CK" /> एक-आयामी चर, x, को इस रूप में लिया गया है
 :<math>x=\cot\left( \frac{r}{d}\right),</math>
-कहाँ {{mvar|r}} रेडियल दूरी है, जबकि <math>d</math> उपयुक्त लंबाई पैरामीटर है। कॉम्पेन और किर्चबैक में<ref name="CK" />यह दिखाया गया है कि पैरामीटर जोड़े के अनंत अनुक्रम के अनुरूप रोमनोवस्की बहुपदों का परिवार,
+जहाँ {{mvar|r}} रेडियल दूरी है, जबकि <math>d</math> उपयुक्त लंबाई पैरामीटर है। कॉम्पेन और किर्चबैक में<ref name="CK" />यह दिखाया गया है कि पैरामीटर जोड़े के अनंत अनुक्रम के अनुरूप रोमनोवस्की बहुपदों का वर्ग,
- {{NumBlk|:|<math>
+{{NumBlk|:|<math>
 \left(\alpha_1,\beta_1\right),\left(\alpha_2\beta_2\right),\ldots, \left(\alpha_n\beta_n\right),\ldots, \quad n \longrightarrow \infty ,
 </math>|{{EquationRef|15}}}}
-ओर्थोगोनल है।
+लंबकोणीय है।
-=== जनरेटिंग फंक्शन ===
+=== जनित्र फलन ===
 वेबर में (2007)<ref name="HJW">{{cite journal|first=H. J. |last=Weber |title=रोमानोव्स्की बहुपदों और अन्य बहुपदों के बीच संबंध|journal=Central European Journal of Mathematics |volume=5 |issue=3 |date=2007 |page=581 |doi=10.2478/s11533-007-0014-4|arxiv=0706.3153 |s2cid=18728079 }}</ref> बहुआयामी पद {{math|''Q''{{su|b=''ν''|p=(''α<sub>n</sub>'', ''β<sub>n</sub>'' + ''n'')}}(''x'')}}, साथ {{math|''β<sub>n</sub>'' + ''n'' {{=}} −''a''}}, और पूरक {{math|''R''{{su|p=(''α<sub>n</sub>'', ''β<sub>n</sub>'')|b=''n''}}(''x'')}} का अध्ययन किया गया है, जो निम्न प्रकार से उत्पन्न हुआ है:
@@ Line 164: / Line 164: @@
 और इस प्रकार पूरक को प्रमुख रोमानोव्स्की बहुपदों से जोड़ता है।
-पूरक बहुपदों का मुख्य आकर्षण यह है कि उनके जनक फलन की गणना बंद रूप में की जा सकती है।<ref>{{cite journal|first=H. J. |last=Weber |title=रोड्रिग्स सूत्र के साथ हाइपरज्यामितीय प्रकार के अंतर समीकरणों के वास्तविक बहुपद समाधानों के बीच संबंध|journal=Central European Journal of Mathematics |volume=5 |issue=2 |pages=415–427 |date=2007 |doi=10.2478/s11533-007-0004-6|arxiv=0706.3003 |s2cid=115166725 }}</ref> समीकरण के आधार पर रोमानोव्स्की बहुपदों के लिए लिखा गया ऐसा जनक फलन ({{EquationNote|18}}) में पैरामीटर के साथ ({{EquationNote|14}}) और इसलिए अनंत रूढ़िवादिता का जिक्र करते हुए, के रूप में पेश किया गया है
+पूरक बहुपदों का मुख्य आकर्षण यह है कि उनके जनक फलन की गणना संवृत रूप में की जा सकती है।<ref>{{cite journal|first=H. J. |last=Weber |title=रोड्रिग्स सूत्र के साथ हाइपरज्यामितीय प्रकार के अंतर समीकरणों के वास्तविक बहुपद समाधानों के बीच संबंध|journal=Central European Journal of Mathematics |volume=5 |issue=2 |pages=415–427 |date=2007 |doi=10.2478/s11533-007-0004-6|arxiv=0706.3003 |s2cid=115166725 }}</ref> समीकरण के आधार पर रोमानोव्स्की बहुपदों के लिए लिखा गया ऐसा जनक फलन ({{EquationNote|18}}) में पैरामीटर के साथ ({{EquationNote|14}}) और इसलिए अनंत लंबकोणीय का संदर्भ देते हुए, इसे प्रस्तुत किया गया है
 {{NumBlk|:|<math>
 G^{\left(\alpha_n, \beta_n\right)}(x,y) =\sum_{\nu=0}^{\infty}R_\nu^{\left(\alpha_n,\beta_{n}+n-\nu \right)}(x)\frac{y^\nu}{\nu !}.
 </math>|{{EquationRef|19}}}}
-वेबर के बीच सांकेतिक अंतर<ref name="HJW" />और जो यहाँ उपयोग किए गए हैं उन्हें संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है:
+वेबर<ref name="HJW" /> और यहां उपयोग किए गए सांकेतिक अंतरों को संक्षेप में इस प्रकार दिया गया है:
 *{{math|''G''<sup>(''α<sub>n</sub>'', ''β<sub>n</sub>'')</sup>(''x'',''y'')}} यहाँ बनाम {{math|''Q''(''x'',''y'';''α'',−''a'')}} वहाँ, {{mvar|α}} के स्थान पर {{mvar|α<sub>n</sub>}} यहाँ,
 *{{math|''a'' {{=}} −''β<sub>n</sub>'' − ''n''}}, और
-*{{math|''Q''{{su|p=(''α'',−''a'')|b=''ν''}}(''x'')}} वेबर में समीकरण (15) में<ref name="HJW" />तदनुसार {{math|''R''{{su|b=''ν''|p=(''α<sub>n</sub>'', ''β<sub>n</sub>'' + ''n'' − ''ν'')}}(''x'')}} यहाँ।
+*{{math|''Q''{{su|p=(''α'',−''a'')|b=''ν''}}(''x'')}} वेबर में समीकरण (15) में<ref name="HJW" /> जहां {{math|''R''{{su|b=''ν''|p=(''α<sub>n</sub>'', ''β<sub>n</sub>'' + ''n'' − ''ν'')}}(''x'')}} के अनुरूप है।
-चर्चा के तहत जनरेटिंग फ़ंक्शन वेबर में प्राप्त किया गया<ref name="HJW" />अब पढ़ता है:
+चर्चा के अंतर्गत जनित्र फलन वेबर में प्राप्त किया गया है।<ref name="HJW" />
 {{NumBlk|:|<math>
@@ Line 183: / Line 183: @@
 ==[[पुनरावृत्ति संबंध]]==
-उपरोक्त समीकरणों में पैरामीटर के साथ रोमनोवस्की बहुपदों की अनंत ऑर्थोगोनल श्रृंखला के बीच पुनरावृत्ति संबंध ({{EquationNote|14}}) जनरेटिंग फ़ंक्शन से अनुसरण करें,<ref name="HJW" />
+उपरोक्त समीकरणों में पैरामीटर के साथ रोमनोवस्की बहुपदों की अनंत लंबकोणीय श्रृंखला के बीच पुनरावृत्ति संबंध ({{EquationNote|14}}) उत्पादक फलन से अनुसरण करें,<ref name="HJW" />
 {{NumBlk|:|<math>
@@ Line 195: / Line 195: @@
 </math>|{{EquationRef|22}}}}
-वेबर (2007) के समीकरण (10) और (23) के रूप में<ref name="HJW" />क्रमश।
+वेबर (2007) के क्रमशः समीकरण (10) और (23) के रूप में।<ref name="HJW" />
 == यह भी देखें ==
 {{div col|colwidth=20em}}
-* [[एसोसिएटेड लीजेंड्रे फ़ंक्शन]]
+* [[सहचारी लेजान्ड्रे फलन]]
-* [[गाऊसी चतुर्भुज]]
+* [[गॉसियन चतुष्कोण]]
 * [[गेगेनबॉयर बहुपद]]
-* [[लीजेंड्रे तर्कसंगत कार्य]]
+* [[लीजेंड्रे तर्कसंगत फलन]]
 * तुरान की असमानताएँ
-* [[लीजेंड्रे वेवलेट]]
+* [[लेजेंड्रे तरंगिका]]
 * [[जैकोबी बहुपद]]
 * [[लीजेंड्रे बहुपद]]
-* [[गोलाकार हार्मोनिक्स]]
+* [[वृत्ताकार हार्मोनिक]]
 * त्रिकोणमितीय रोसेन-मोर्स क्षमता
 {{div col end}}

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रोमानोव्स्की बहुपद: Difference between revisions

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रोमनोवस्की बहुपदों के लिए अवकल समीकरण

रोमानोव्स्की और जैकोबी के बहुपदों के बीच संबंध