हार तरंगिका: Difference between revisions

Revision as of 10:36, 15 March 2023

बाल तरंगिका

गणित में, हार तरंगिका पुनर्वर्धित वर्ग-आकार के फलनों का क्रम है जो एक साथ तरंगिका परिवार या आधार बनाते हैं। तरंगिका विश्लेषण फूरियर विश्लेषण के समान है जिसमें यह अंतराल पर लक्ष्य फलन को ऑर्थोनॉर्मल आधार के रूप में प्रदर्शित करने की अनुमति देता है। हार अनुक्रम अब पहले ज्ञात तरंगिका आधार के रूप में पहचाना जाता है और बड़े पैमाने पर शिक्षण उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है।

1909 में अल्फ्रेड हार द्वारा हार अनुक्रम प्रस्तावित किया गया था।^[1] हार ने इन फलनों का उपयोग इकाई अंतराल [0, 1] पर वर्ग-पूर्णांक फलनों के स्थान के लिए ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली का उदाहरण देने के लिए किया था। तरंगिकाओं का अध्ययन, और यहां तक कि तरंगिका शब्द भी बहुत बाद तक नहीं आया था था। डोबेचीज तरंगिका के एक विशेष स्थिति के रूप में, हार तरंगिका को Db1 के रूप में भी जाना जाता है।

हर तरंगिका भी सबसे सरल संभव तरंगिका है। हर तरंगिका का प्रौद्योगिक हानि यह है कि यह निरंतर फलन नहीं करता है, और इसलिए व्युत्पन्न नहीं है। हालांकि, यह गुण अचानक संक्रमण (डिजिटल सिग्नल (सिग्नल प्रोसेसिंग)), जैसे मशीनों में उपकरण की विफलता की निगरानी के साथ संकेतों के विश्लेषण के लिए लाभ हो सकती है।^[2]

हर तरंगिका का मदर तरंगिका फलन $\psi (t)$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है

\psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}

इसके स्केलिंग फलन $\varphi (t)$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है

\varphi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}

हार फलन और हार प्रणाली

$\mathbb {Z}$ में पूर्णांकों की प्रत्येक जोड़ी n, k के लिए, हार फलन ψ'n,k को सूत्र द्वारा वास्तविक रेखा $\mathbb {R}$ पर परिभाषित किया गया है

\psi _{n,k}(t)=2^{n/2}\psi (2^{n}t-k),\quad t\in \mathbb {R} .

यह फलन अर्ध-खुला अंतराल I_n,k = [ k2⁻ⁿ, (k+1)2⁻ⁿ) पर समर्थित है, अर्थात्, यह उस अंतराल के बाहर किसी फलन का शून्य है। हिल्बर्ट स्पेस L²( $\mathbb {R}$ ) में इसका इंटीग्रल 0 और नॉर्म 1 है,

\int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)\,dt=0,\quad \|\psi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1.

हार फलन युग्‍मानूसार लंबकोणीय फलन हैं,

\int _{\mathbb {R} }\psi _{n_{1},k_{1}}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt=\delta _{n_{1}n_{2}}\delta _{k_{1}k_{2}},

जहाँ $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा का प्रतिनिधित्व करता है। यहाँ रूढ़िवादिता का कारण है: जब दो सहायक अंतराल $I_{n_{1},k_{1}}$ और $I_{n_{2},k_{2}}$ समान नहीं होते हैं, तो वे या तो अलग हो जाते हैं, या फिर दो में से छोटा समर्थन करता है, मान लीजिए $I_{n_{1},k_{1}}$ , दूसरे अंतराल के निचले या ऊपरी भाग में समाहित है, जिस पर फलन $\psi _{n_{2},k_{2}}$ स्थिर रहता है। इस स्थिति में यह इस प्रकार है कि इन दो हार फलनों का उत्पाद पहले हार फलन का गुणक है, इसलिए उत्पाद का पूर्णांक 0 है।

वास्तविक रेखा पर हार प्रणाली फलनों का समूह है

\{1\}\cup \{\psi _{n,k}(t)\;:\;n\in \mathbb {Z} ,\;k\in \mathbb {Z} \}.

यह L²( $\mathbb {R}$ ) में ऑर्थोनॉर्मल आधार है: लाइन पर हार प्रणाली L²( $\mathbb {R}$ ) में असामान्य आधार है।

हर तरंगिका गुण

हर तरंगिका में कई उल्लेखनीय गुण हैं:

कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ किसी भी निरंतर वास्तविक कार्य को रैखिक संयोजन $\varphi (t),\varphi (2t),\varphi (4t),\dots ,\varphi (2^{n}t),\dots$ के द्वारा समान रूप से अनुमानित किया जा सकता है और उनके स्थानांतरित कार्य। यह उन कार्य स्थानों तक फैला हुआ है जहां किसी भी कार्य को निरंतर कार्यों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।
[0, 1] पर किसी भी सतत वास्तविक फलन को [0, 1] पर समान रूप से स्थिर फलन 1, $\psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{n}t),\dots$ और उनके स्थानांतरित कार्य.^[3]
ऑर्थोगोनलिटी रूप में
$\int _{-\infty }^{\infty }2^{(n+n_{1})/2}\psi (2^{n}t-k)\psi (2^{n_{1}}t-k_{1})\,dt=\delta _{nn_{1}}\delta _{kk_{1}}.$
यहाँ, $\delta _{ij}$ क्रोनेकर डेल्टा का प्रतिनिधित्व करता है। ψ(t) का दोहरा फलन ψ(t) ही है।
तरंगिका/स्केलिंग फलन विभिन्न पैमाने n के साथ एक कार्यात्मक संबंध है:^[4] क्योंकि
${\begin{aligned}\varphi (t)&=\varphi (2t)+\varphi (2t-1)\\[.2em]\psi (t)&=\varphi (2t)-\varphi (2t-1),\end{aligned}}$
यह इस प्रकार है कि पैमाने n+1 के गुणांक n की गणना पैमाने के गुणांकों द्वारा की जा सकती है:
यदि $\chi _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\varphi (2^{n}t-k)\,dt$
और $\mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi (2^{n}t-k)\,dt$
तब
$\chi _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)+\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}$

$\mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)-\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}.$

इकाई अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार प्रणाली

इस खंड में, चर्चा इकाई अंतराल [0, 1] और हार फलनों तक सीमित है जो [0, 1] पर समर्थित हैं। 1910^[5] में हार द्वारा विचार किए गए फलनों की प्रणाली को इस लेख में [0, 1] पर हार प्रणाली कहा जाता है, इसमें [0, 1] पर स्थिर फलन 1 के अतिरिक्त के साथ

\{t\in [0,1]\mapsto \psi _{n,k}(t)\;:\;n\in \mathbb {N} \cup \{0\},\;0\leq k<2^{n}\},

तरंगिकाएँ के उपसमुच्चय को परिभाषित किया गया है।

हिल्बर्ट स्पेस शब्दों में, [0, 1] पर यह हार प्रणाली एक पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली है, अर्थात्, इकाई अंतराल पर वर्ग समाकलनीय फलन के स्पेस L²([0, 1]) के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है।

[0, 1] पर लगातार फलन 1 के साथ हार सिस्टम पहले तत्व के रूप में जोड़े (n, k) के शब्दकोष क्रम के अनुसार आदेशित हार फलनों के साथ आगे स्पेस L^p ([0, 1]) जब 1 ≤ p < ∞ के लिए एक मोनोटोन स्कॉडर आधार है।^[6] यह आधार बिना शर्त जब 1 < p < ∞ है।^[7]

संबंधित रैडेमाकर प्रणाली है जिसमें हार फलनों के योग शामिल हैं,

r_{n}(t)=2^{-n/2}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}\psi _{n,k}(t),\quad t\in [0,1],\ n\geq 0.

ध्यान दें कि |r_n(t)| = 1 = 1 [0, 1) पर. यह असामान्य प्रणाली है लेकिन यह पूर्ण नहीं है।^[8]^[9] संभाव्यता सिद्धांत की भाषा में, रैडेमाकर अनुक्रम स्वतंत्र बर्नौली यादृच्छिक चर के एक अनुक्रम का एक उदाहरण है जिसका अर्थ 0 है। खिंचिन असमानता इस तथ्य को व्यक्त करती है कि सभी स्थानों में L^p([0, 1]), 1 ≤ p < ∞, रैडेमाकर अनुक्रम ℓ² में इकाई सदिश आधार के समतुल्य है।^{^[10] विशेष रूप से, L^{p([0, 1]), 1 ≤ p < ∞, में रैडेमाकर अनुक्रम की बंद रैखिक अवधि ℓ² के लिएआइसोमॉर्फिक नॉर्म्ड स्पेस से है।}}

फैबर-शॉडर प्रणाली

फैबर-शाउडर प्रणाली^[11]^[12]^[13] [0, 1] पर निरंतर फलनों का परिवार है, जिसमें निरंतर फलन 1, और हार प्रणाली में फलनों के अनिश्चित अभिन्न के गुणक शामिल हैं [0, 1], समान मानदंड 1 को अधिकतम मानदंड में चुना गया है। यह प्रणाली S₀= 1 से शुरू होता है, फिर s₁(t) = t फलन 1 के 0 पर लुप्त होने वाला अनिश्चितकालीन इंटीग्रल [0, 1] पर हार प्रणाली का पहला तत्व है,। अगला, प्रत्येक पूर्णांक के लिए n ≥ 0, फलन करता है s_n,k सूत्र द्वारा परिभाषित हैं

s_{n,k}(t)=2^{1+n/2}\int _{0}^{t}\psi _{n,k}(u)\,du,\quad t\in [0,1],\ 0\leq k<2^{n}.

ये फलन s_n,k के निरंतर हैं, अंतराल I_n,k द्वारा समर्थित टुकड़े-टुकड़े रैखिक हैं जो ψ_n,k का भी समर्थन करता है। फलनक्रम s_n,k अंतराल I_n,k के मध्यबिंदु x_n,k पर 1 के बराबर है , उस अंतराल के दोनों हिस्सों पर रैखिक है। यह हर जगह 0 और 1 के बीच मान लेता है।

फैबर-शाउडर प्रणाली [0, 1] पर निरंतर फलनों के स्थान C([0, 1]) के लिए शाउडर आधार है।^[6]

C([0, 1]) में प्रत्येक f के लिए, आंशिक योग

f_{n+1}=a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\sum _{m=0}^{n-1}{\Bigl (}\sum _{k=0}^{2^{m}-1}a_{m,k}s_{m,k}{\Bigr )}\in C([0,1])

फैबर-शाउडर प्रणाली में f के श्रृंखला विस्तार का निरंतर टुकड़ा-वार रैखिक फलन है जो 2ⁿ + 1 बिंदु k2⁻ⁿ, पर f से सहमत है, जहां 0 ≤ k ≤ 2ⁿ है। अगला, सूत्र

f_{n+2}-f_{n+1}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}{\bigl (}f(x_{n,k})-f_{n+1}(x_{n,k}){\bigr )}s_{n,k}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{n,k}s_{n,k}

चरण दर चरण f के विस्तार की गणना करने का तरीका देता है। चूँकि f हीन-बोरेल प्रमेय है, अनुक्रम {f_n} समान रूप से f में परिवर्तित हो जाता है। यह इस प्रकार है कि f का फैबर-शाउडर श्रृंखला विस्तार C([0, 1]) में अभिसरित होता है, और इस श्रृंखला का योग f के बराबर है।

फ्रेंकलिन प्रणाली

चूंकि फ्रैंकलिन प्रणाली में फेबर शाउडर प्रणाली के समान रैखिक फैलाव है, इसलिए यह अवधि एल2 ([0, 1]) में सी ([0, 1]) में सघन है।

फ्रेंकलिन प्रणाली फैबर-शौडर प्रणाली से ग्राम-श्मिट ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन प्रक्रिया द्वारा प्राप्त की जाती है।^[14]^[15] चूंकि फ्रेंकलिन प्रणाली में फैबर-शौडर प्रणाली के समान रैखिक फैलाव है, इसलिए यह फैलाव C([0, 1]) में L²([0, 1]) में सघन है। फ्रैंकलिन प्रणाली इसलिए L²([0, 1]) के लिए एक असामान्य आधार है, जिसमें निरंतर टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्य होते हैं। पी. फ्रेंकलिन ने 1928 में सिद्ध किया कि यह प्रणाली C([0, 1]) के लिए शाउडर आधार है।^[16] फ्रेंकलिन प्रणाली स्पेस L^p([0, 1]) के लिए बिना शर्त शॉडर आधार भी है जब 1 < p < ∞ हो।^[17]

फ्रैंकलिन प्रणाली डिस्क बीजगणित A(D) में स्कॉडर आधार प्रदान करता है।^[17] यह 1974 में बोकारेव द्वारा सिद्ध किया गया था जब डिस्क बीजगणित के लिए एक आधार का अस्तित्व चालीस से अधिक वर्षों तक खुला रहा था।^[18]

A(D) में बोकेरेव का शाउडर आधार का निर्माण इस प्रकार है: मान लीजिए कि [0, π] पर जटिल मूल्यवान लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है; तो f निरपेक्ष अभिसरण गुणांक वाली फूरियर श्रृंखला का योग है। मान लें कि T(f) समान गुणांक वाली जटिल घात श्रृंखला द्वारा परिभाषित A(D) का तत्व है,

\left\{f:x\in [0,\pi ]\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cos(nx)\right\}\longrightarrow \left\{T(f):z\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad |z|\leq 1\right\}.

A(D) के लिए बोकारेव का आधार [0, π] पर फ्रेंकलिन प्रणाली में फलनों के T के तहत छवियों द्वारा बनाया गया है। मैपिंग T के लिए बोकारेव का समकक्ष विवरण f को सम और विषम फलन लिप्सचिट्ज़ फलन g₁ [−π, π] पर तक विस्तारित करके शुरू होता है, जिसे इकाई वृत T पर एक लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शन के साथ पहचाना जाता है। इसके बाद, g₂ को g₁ का हार्डी स्पेस संयुग्म फलन हो, और T(f) को A(D) में फलन के रूप में परिभाषित करें जिसका मान D की सीमा 'T' के g₁ + ig₂ के बराबर है।

1-आवधिक निरंतर फलनों के साथ काम करते समय, या बल्कि [0, 1] पर निरंतर फलनों के साथ काम करते हैं f(0) = f(1), कोई फलन को हटा देता है s₁(t) = t फैबर-शौडर प्रणाली से, आवधिक फैबर-शौडर प्रणाली प्राप्त करने के लिए। आवधिक फ्रैंकलिन प्रणाली आवधिक फैबर-शौडर प्रणाली से ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन द्वारा प्राप्त की जाती है।^[19]

A(D) पर बोकारेव के परिणाम को साबित करके साबित किया जा सकता है कि [0, 2π] पर आवधिक फ्रैंकलिन प्रणाली A(D) के लिए एक बैनाच स्पेस A_r आइसोमोर्फिक के लिए एक आधार है।^[19] स्पेस A_r इकाई वृत टी पर जटिल निरंतर फलन होते हैं जिसका हार्मोनिक संयुग्म भी निरंतर होता है।

हार आव्यूह

हर तरंगिका के साथ जुड़ा हुआ 2×2 हार आव्यूह है

H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.

असतत तरंगिका परिवर्तन का उपयोग करके, कोई भी अनुक्रम रूपांतरित कर सकता है $(a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})$ दो-घटक-वैक्टरों के अनुक्रम में समान लंबाई का $\left(\left(a_{0},a_{1}\right),\left(a_{2},a_{3}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)$ . यदि कोई प्रत्येक वेक्टर को आव्यूह के साथ सही-गुणा करता है $H_{2}$ , फल मिलता है $\left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)$ तेज हार-तरंगिका परिवर्तन के चरण में। आम तौर पर कोई अनुक्रम एस और डी को अलग करता है और अनुक्रम एस को बदलने के साथ जारी रहता है। अनुक्रम s को अक्सर औसत भाग के रूप में जाना जाता है, जबकि d को विवरण भाग के रूप में जाना जाता है।^[20] यदि किसी के पास लंबाई का अनुक्रम चार में से है, तो कोई 4 तत्वों के ब्लॉक बना सकता है और उन्हें 4×4 हार आव्यूह के साथ समान तरीके से बदल सकता है।

H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}},

जो तेज हार-तरंगिका ट्रांसफॉर्म के दो चरणों को जोड़ती है।

वॉल्श आव्यूह से तुलना करें, जो गैर-स्थानीयकृत 1/-1 आव्यूह है।

आम तौर पर, 2N×2N हार आव्यूह निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

H_{2N}={\begin{bmatrix}H_{N}\otimes [1,1]\\I_{N}\otimes [1,-1]\end{bmatrix}}

जहाँ

I_{N}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}

और

\otimes

क्रोनकर उत्पाद है।

क्रोनकर का उत्पाद $A\otimes B$ , जहाँ $A$ एम × एन आव्यूह है और $B$ p×q आव्यूह है, के रूप में व्यक्त किया गया है

A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\dots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\dots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.

गैर-सामान्यीकृत 8-बिंदु हार आव्यूह $H_{8}$ नीचे दिखाया गया है

H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&0&0&0&0&\\0&0&0&0&1&1&-1&-1\\1&-1&0&0&0&0&0&0&\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0&\\0&0&0&0&0&0&1&-1\end{bmatrix}}.

ध्यान दें कि, उपरोक्त आव्यूह गैर-सामान्यीकृत हार आव्यूह है। हार रूपांतरण के लिए आवश्यक हार आव्यूह को सामान्यीकृत किया जाना चाहिए।

हार आव्यूह की परिभाषा से $H$ , कोई यह देख सकता है कि, फूरियर रूपांतरण के विपरीत, $H$ केवल वास्तविक तत्व हैं (अर्थात, 1, -1 या 0) और गैर-सममित है।

8-पॉइंट हार आव्यूह लें $H_{8}$ उदहारण के लिए। की पहली पंक्ति $H_{8}$ औसत मूल्य, और की दूसरी पंक्ति को मापता है $H_{8}$ इनपुट वेक्टर के कम आवृत्ति घटक को मापता है। अगली दो पंक्तियाँ क्रमशः इनपुट वेक्टर के पहले और दूसरे भाग के प्रति संवेदनशील हैं, जो मध्यम आवृत्ति घटकों से मेल खाती हैं। शेष चार पंक्तियाँ इनपुट वेक्टर के चार खंडों के प्रति संवेदनशील हैं, जो उच्च आवृत्ति घटकों से मेल खाती हैं।^[21]

हार परिवर्तन

हार रूपांतरण तरंगिका रूपांतरणों में सबसे सरल है। यह विभिन्न पारियों और स्ट्रेच के साथ हर तरंगिका के खिलाफ फलन को क्रॉस-मल्टीप्लाय करता है, जैसे फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म फलन को साइन वेव के विरुद्ध दो चरणों और कई हिस्सों के साथ क्रॉस-मल्टीप्लाई करता है।^[22]^{[clarification needed]}

परिचय

1910 में हंगरी के गणितज्ञ अल्फ्रेड हार द्वारा प्रस्तावित हार रूपांतरण सबसे पुराने रूपांतरण फलनों में से है। यह इलेक्ट्रिकल और कंप्यूटर इंजीनियरिंग में सिग्नल और इमेज कंप्रेशन जैसे अनुप्रयोगों में प्रभावी पाया जाता है क्योंकि यह सिग्नल के स्थानीय पहलुओं का विश्लेषण करने के लिए सरल और कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल दृष्टिकोण प्रदान करता है।

हार रूपांतरण हार आव्यूह से लिया गया है। 4×4 हार रूपांतरण आव्यूह का उदाहरण नीचे दिखाया गया है।

H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}

हार रूपांतरण को नमूनाकरण प्रक्रिया के रूप में माना जा सकता है जिसमें परिवर्तन आव्यूह की पंक्तियाँ महीन और महीन रिज़ॉल्यूशन के नमूने के रूप में फलन करती हैं।

वॉल्श रूपांतरण से तुलना करें, जो 1/-1 भी है, लेकिन गैर-स्थानीयकृत है।

गुण

हार रूपांतरण में निम्नलिखित गुण होते हैं

गुणन की कोई ज़रूरत नहीं है। इसके लिए केवल परिवर्धन की आवश्यकता होती है और हार आव्यूह में शून्य मान वाले कई तत्व होते हैं, इसलिए गणना का समय कम होता है। यह वॉल्श ट्रांसफ़ॉर्म से तेज़ है, जिसका आव्यूह +1 और -1 से बना है।
इनपुट और आउटपुट की लंबाई समान है। हालाँकि, लंबाई 2 की शक्ति होनी चाहिए, अर्थात। $N=2^{k},k\in \mathbb {N}$ .
इसका उपयोग संकेतों की स्थानीय विशेषता का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। हार फलन की ओर्थोगोनल गुण के कारण, इनपुट सिग्नल की आवृत्ति घटकों का विश्लेषण किया जा सकता है।

हेयर ट्रांसफॉर्मेशन और इनवर्स हेयर ट्रांसफॉर्म

द हार ट्रांसफॉर्म वाई_n एन-इनपुट फलन x का_n है

y_{n}=H_{n}x_{n}

हार ट्रांसफ़ॉर्म आव्यूह वास्तविक और लंबकोणीय है। इस प्रकार, व्युत्क्रम हार परिवर्तन निम्नलिखित समीकरणों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

H=H^{*},H^{-1}=H^{T},{\text{ i.e. }}HH^{T}=I

जहाँ

I

पहचान आव्यूह है। उदाहरण के लिए, जब n = 4

H_{4}^{T}H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\cdot \;{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

इस प्रकार, उलटा हार परिवर्तन है

x_{n}=H^{T}y_{n}

उदाहरण

हार n = 4-पॉइंट सिग्नल के गुणांक को रूपांतरित करता है $x_{4}=[1,2,3,4]^{T}$ रूप में पाया जा सकता है

y_{4}=H_{4}x_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}

इनपुट सिग्नल को उलटा हार ट्रांसफॉर्म द्वारा पूरी तरह से पुनर्निर्मित किया जा सकता है

{\hat {x_{4}}}=H_{4}^{T}y_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}

यह भी देखें

आयाम में कमी
वॉल्श आव्यूह
वाल्श परिवर्तन
तरंगिका
चिंराट
सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग)
हार जैसी विशेषता
स्ट्रोमबर्ग तरंगिका
डायाडिक परिवर्तन

↑ see p. 361 in Haar (1910).
↑ Lee, B.; Tarng, Y. S. (1999). "स्पिंडल मोटर करंट का उपयोग करके एंड मिलिंग में उपकरण की विफलता की निगरानी के लिए असतत तरंगिका परिवर्तन का अनुप्रयोग". International Journal of Advanced Manufacturing Technology. 15 (4): 238–243. doi:10.1007/s001700050062. S2CID 109908427.
↑ पिछले कथन के विपरीत, यह तथ्य स्पष्ट नहीं है: Template:हार्वटीएक्सटी में पृष्ठ 363 देखें।
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↑ p. 361 in Haar (1910)
↑ ^6.0 ^6.1 see p. 3 in J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4.
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↑ ^19.0 ^19.1 See p. 161, III.D.20 and p. 192, III.E.17 in Wojtaszczyk, Przemysław (1991), Banach spaces for analysts, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 25, Cambridge: Cambridge University Press, pp. xiv+382, ISBN 0-521-35618-0
↑ Ruch, David K.; Van Fleet, Patrick J. (2009). Wavelet Theory: An Elementary Approach with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-38840-2.
↑ "उसका". Fourier.eng.hmc.edu. 2013-10-30. Archived from the original on 21 August 2012. Retrieved 2013-11-23.
↑ The Haar Transform

संदर्भ

Haar, Alfréd (1910), "Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme", Mathematische Annalen, 69 (3): 331–371, doi:10.1007/BF01456326, hdl:2027/uc1.b2619563, S2CID 120024038
Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1
English Translation of Haar's seminal article: [1]

बाहरी संबंध

बाल बदलना

Kingsbury, Nick. "बाल परिवर्तन". Archived from the original on 2006-04-19.
Eck, David (31 January 2006). "उसका ट्रांसफॉर्म डेमो एप्लेट्स".
Ames, Greg (7 December 2002). "छवि संपीड़न" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2011-01-25.
Aaron, Anne; Hill, Michael; Srivatsa, Anand. "MOSMAT 500. एक फोटोमोजेक जनरेटर। 2. सिद्धांत". Archived from the original on 2008-03-18.
Wang, Ruye (2008-12-04). "बाल परिवर्तन". Archived from the original on 21 August 2012.

श्रेणी:लंबकोणीय तरंगिकाएँ

[1] see p. 361 in Haar (1910).

[2] Lee, B.; Tarng, Y. S. (1999). "स्पिंडल मोटर करंट का उपयोग करके एंड मिलिंग में उपकरण की विफलता की निगरानी के लिए असतत तरंगिका परिवर्तन का अनुप्रयोग". International Journal of Advanced Manufacturing Technology. 15 (4): 238–243. doi:10.1007/s001700050062. S2CID 109908427.

[3] पिछले कथन के विपरीत, यह तथ्य स्पष्ट नहीं है: Template:हार्वटीएक्सटी में पृष्ठ 363 देखें।

[4] Vidakovic, Brani (2010). Statistical Modeling by Wavelets. Wiley Series in Probability and Statistics (2 ed.). pp. 60, 63. doi:10.1002/9780470317020. ISBN 9780470317020.

[5] . 361 in Haar (1910)

[L._Tzafriri,_1977-6] 6.0 ^6.1 see p. 3 in J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4.

[7] The result is due to R. E. Paley, A remarkable series of orthogonal functions (I), Proc. London Math. Soc. 34 (1931) pp. 241-264. See also p. 155 in J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1979), "Classical Banach spaces II, Function spaces". Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 97, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08888-1.

[8] "Orthogonal system", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[9] Walter, Gilbert G.; Shen, Xiaoping (2001). वेवलेट्स और अन्य ऑर्थोगोनल सिस्टम. Boca Raton: Chapman. ISBN 1-58488-227-1.

[10] see for example p. 66 in J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4.

[Faber-11] Faber, Georg (1910), "Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar", Deutsche Math.-Ver (in German) 19: 104–112. ISSN 0012-0456; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553

[12] Schauder, Juliusz (1928), "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems", Mathematische Zeitschrift 28: 317–320.

[13] Golubov, B.I. (2001) [1994], "Faber–Schauder system", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[14] see Z. Ciesielski, Properties of the orthonormal Franklin system. Studia Math. 23 1963 141–157.

[15] Franklin system. B.I. Golubov (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655

[16] Philip Franklin, A set of continuous orthogonal functions, Math. Ann. 100 (1928), 522-529. doi:10.1007/BF01448860

[Bo-17] 17.0 ^17.1 S. V. Bočkarev, Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc, and some properties of Franklin's system. Mat. Sb. 95 (1974), 3–18 (Russian). Translated in Math. USSR-Sb. 24 (1974), 1–16.

[18] The question appears p. 238, §3 in Banach's book, Banach, Stefan (1932), Théorie des opérations linéaires, Monografie Matematyczne, vol. 1, Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej, Zbl 0005.20901. The disk algebra A(D) appears as Example 10, p. 12 in Banach's book.

[Prz-19] 19.0 ^19.1 See p. 161, III.D.20 and p. 192, III.E.17 in Wojtaszczyk, Przemysław (1991), Banach spaces for analysts, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 25, Cambridge: Cambridge University Press, pp. xiv+382, ISBN 0-521-35618-0

[20] Ruch, David K.; Van Fleet, Patrick J. (2009). Wavelet Theory: An Elementary Approach with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-38840-2.

[21] "उसका". Fourier.eng.hmc.edu. 2013-10-30. Archived from the original on 21 August 2012. Retrieved 2013-11-23.

[22] The Haar Transform

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@@ Line 117: / Line 117: @@
 स्पेस A<sub>''r''</sub> इकाई वृत टी पर जटिल निरंतर फलन होते हैं जिसका [[हार्मोनिक संयुग्म]] भी निरंतर होता है।
-== हार आव्यूहमैट्रिक्स ==
+== हार आव्यूह ==
-हर तरंगिका के साथ जुड़ा हुआ 2×2 हार आव्यूहमैट्रिक्स है
+हर तरंगिका के साथ जुड़ा हुआ 2×2 हार आव्यूह है
 : <math> H_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}.</math>
-असतत तरंगिका परिवर्तन का उपयोग करके, कोई भी अनुक्रम रूपांतरित कर सकता है <math>(a_0,a_1,\dots,a_{2n},a_{2n+1})</math> दो-घटक-वैक्टरों के अनुक्रम में समान लंबाई का <math> \left(\left(a_0,a_1\right),\left(a_2,a_3\right),\dots,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right) </math>. यदि कोई प्रत्येक वेक्टर को आव्यूहमैट्रिक्स के साथ सही-गुणा करता है <math> H_2 </math>, फल मिलता है <math>\left(\left(s_0,d_0\right),\dots,\left(s_n,d_n\right)\right)</math> तेज हार-तरंगिका परिवर्तन के चरण में। आम तौर पर कोई अनुक्रम एस और डी को अलग करता है और अनुक्रम एस को बदलने के साथ जारी रहता है। अनुक्रम s को अक्सर औसत भाग के रूप में जाना जाता है, जबकि d को विवरण भाग के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite book |first1=David K. |last1=Ruch |first2=Patrick J. |last2=Van Fleet |title=Wavelet Theory: An Elementary Approach with Applications |year=2009 |publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-38840-2 }}</ref>
+असतत तरंगिका परिवर्तन का उपयोग करके, कोई भी अनुक्रम रूपांतरित कर सकता है <math>(a_0,a_1,\dots,a_{2n},a_{2n+1})</math> दो-घटक-वैक्टरों के अनुक्रम में समान लंबाई का <math> \left(\left(a_0,a_1\right),\left(a_2,a_3\right),\dots,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right) </math>. यदि कोई प्रत्येक वेक्टर को आव्यूह के साथ सही-गुणा करता है <math> H_2 </math>, फल मिलता है <math>\left(\left(s_0,d_0\right),\dots,\left(s_n,d_n\right)\right)</math> तेज हार-तरंगिका परिवर्तन के चरण में। आम तौर पर कोई अनुक्रम एस और डी को अलग करता है और अनुक्रम एस को बदलने के साथ जारी रहता है। अनुक्रम s को अक्सर औसत भाग के रूप में जाना जाता है, जबकि d को विवरण भाग के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite book |first1=David K. |last1=Ruch |first2=Patrick J. |last2=Van Fleet |title=Wavelet Theory: An Elementary Approach with Applications |year=2009 |publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-38840-2 }}</ref>
-यदि किसी के पास लंबाई का अनुक्रम चार में से है, तो कोई 4 तत्वों के ब्लॉक बना सकता है और उन्हें 4×4 हार आव्यूहमैट्रिक्स के साथ समान तरीके से बदल सकता है।
+यदि किसी के पास लंबाई का अनुक्रम चार में से है, तो कोई 4 तत्वों के ब्लॉक बना सकता है और उन्हें 4×4 हार आव्यूह के साथ समान तरीके से बदल सकता है।
 : <math> H_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix},</math>
 जो तेज हार-तरंगिका ट्रांसफॉर्म के दो चरणों को जोड़ती है।
-[[वॉल्श मैट्रिक्स|वॉल्श आव्यूहमैट्रिक्स]] से तुलना करें, जो गैर-स्थानीयकृत 1/-1 आव्यूहमैट्रिक्स है।
+[[वॉल्श मैट्रिक्स|वॉल्श आव्यूह]] से तुलना करें, जो गैर-स्थानीयकृत 1/-1 आव्यूह है।
-आम तौर पर, 2N×2N हार आव्यूहमैट्रिक्स निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
+आम तौर पर, 2N×2N हार आव्यूह निम्नलिखित समीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
 : <math> H_{2N} = \begin{bmatrix} H_{N} \otimes [1, 1] \\ I_{N} \otimes [1, -1] \end{bmatrix}</math>
 :जहाँ <math>I_{N} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{bmatrix}</math> और <math>\otimes</math> [[क्रोनकर उत्पाद]] है।
-क्रोनकर का उत्पाद <math>A \otimes B</math>, जहाँ <math>A</math> एम × एन आव्यूहमैट्रिक्स है और <math>B</math> p×q आव्यूहमैट्रिक्स है, के रूप में व्यक्त किया गया है
+क्रोनकर का उत्पाद <math>A \otimes B</math>, जहाँ <math>A</math> एम × एन आव्यूह है और <math>B</math> p×q आव्यूह है, के रूप में व्यक्त किया गया है
 : <math>A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11}B & \dots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & \dots & a_{mn}B\end{bmatrix}.</math>
-गैर-सामान्यीकृत 8-बिंदु हार आव्यूहमैट्रिक्स <math>H_8</math> नीचे दिखाया गया है
+गैर-सामान्यीकृत 8-बिंदु हार आव्यूह <math>H_8</math> नीचे दिखाया गया है
 : <math>H_{8} = \begin{bmatrix} 1&1&1&1&1&1&1&1 \\ 1&1&1&1&-1&-1&-1&-1 \\ 1&1&-1&-1&0&0&0&0& \\ 0&0&0&0&1&1&-1&-1 \\ 1&-1&0&0&0&0&0&0& \\ 0&0&1&-1&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&-1&0&0& \\ 0&0&0&0&0&0&1&-1 \end{bmatrix}.</math>
-ध्यान दें कि, उपरोक्त आव्यूहमैट्रिक्स गैर-सामान्यीकृत हार आव्यूहमैट्रिक्स है। हार रूपांतरण के लिए आवश्यक हार आव्यूहमैट्रिक्स को सामान्यीकृत किया जाना चाहिए।
+ध्यान दें कि, उपरोक्त आव्यूह गैर-सामान्यीकृत हार आव्यूह है। हार रूपांतरण के लिए आवश्यक हार आव्यूह को सामान्यीकृत किया जाना चाहिए।
-हार आव्यूहमैट्रिक्स की परिभाषा से <math>H</math>, कोई यह देख सकता है कि, [[फूरियर रूपांतरण]] के विपरीत, <math>H</math> केवल वास्तविक तत्व हैं (अर्थात, 1, -1 या 0) और गैर-सममित है।
+हार आव्यूह की परिभाषा से <math>H</math>, कोई यह देख सकता है कि, [[फूरियर रूपांतरण]] के विपरीत, <math>H</math> केवल वास्तविक तत्व हैं (अर्थात, 1, -1 या 0) और गैर-सममित है।
--पॉइंट हार आव्यूहमैट्रिक्स लें <math>H_8</math> उदहारण के लिए। की पहली पंक्ति <math>H_8</math> औसत मूल्य, और की दूसरी पंक्ति को मापता है <math>H_8</math> इनपुट वेक्टर के कम आवृत्ति घटक को मापता है। अगली दो पंक्तियाँ क्रमशः इनपुट वेक्टर के पहले और दूसरे भाग के प्रति संवेदनशील हैं, जो मध्यम आवृत्ति घटकों से मेल खाती हैं। शेष चार पंक्तियाँ इनपुट वेक्टर के चार खंडों के प्रति संवेदनशील हैं, जो उच्च आवृत्ति घटकों से मेल खाती हैं।<ref>{{cite web |url=http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/Haar/index.html |title=उसका|publisher=Fourier.eng.hmc.edu |date=2013-10-30 |access-date=2013-11-23 |archive-date=21 August 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120821004423/http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/Haar/index.html |url-status=dead }}</ref>
+-पॉइंट हार आव्यूह लें <math>H_8</math> उदहारण के लिए। की पहली पंक्ति <math>H_8</math> औसत मूल्य, और की दूसरी पंक्ति को मापता है <math>H_8</math> इनपुट वेक्टर के कम आवृत्ति घटक को मापता है। अगली दो पंक्तियाँ क्रमशः इनपुट वेक्टर के पहले और दूसरे भाग के प्रति संवेदनशील हैं, जो मध्यम आवृत्ति घटकों से मेल खाती हैं। शेष चार पंक्तियाँ इनपुट वेक्टर के चार खंडों के प्रति संवेदनशील हैं, जो उच्च आवृत्ति घटकों से मेल खाती हैं।<ref>{{cite web |url=http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/Haar/index.html |title=उसका|publisher=Fourier.eng.hmc.edu |date=2013-10-30 |access-date=2013-11-23 |archive-date=21 August 2012 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120821004423/http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/Haar/index.html |url-status=dead }}</ref>
@@ Line 151: / Line 151: @@
 में हंगरी के गणितज्ञ अल्फ्रेड हार द्वारा प्रस्तावित हार रूपांतरण सबसे पुराने रूपांतरण फलनों में से है। यह इलेक्ट्रिकल और कंप्यूटर इंजीनियरिंग में सिग्नल और इमेज कंप्रेशन जैसे अनुप्रयोगों में प्रभावी पाया जाता है क्योंकि यह सिग्नल के स्थानीय पहलुओं का विश्लेषण करने के लिए सरल और कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल दृष्टिकोण प्रदान करता है।
-हार रूपांतरण हार आव्यूहमैट्रिक्स से लिया गया है। 4×4 हार रूपांतरण आव्यूहमैट्रिक्स का उदाहरण नीचे दिखाया गया है।
+हार रूपांतरण हार आव्यूह से लिया गया है। 4×4 हार रूपांतरण आव्यूह का उदाहरण नीचे दिखाया गया है।
 :<math>H_4 = \frac{1}{2}
 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & -\sqrt{2}\end{bmatrix}
 </math>
-हार रूपांतरण को नमूनाकरण प्रक्रिया के रूप में माना जा सकता है जिसमें परिवर्तन आव्यूहमैट्रिक्स की पंक्तियाँ महीन और महीन रिज़ॉल्यूशन के नमूने के रूप में फलन करती हैं।
+हार रूपांतरण को नमूनाकरण प्रक्रिया के रूप में माना जा सकता है जिसमें परिवर्तन आव्यूह की पंक्तियाँ महीन और महीन रिज़ॉल्यूशन के नमूने के रूप में फलन करती हैं।
 [[वॉल्श रूपांतरण]] से तुलना करें, जो 1/-1 भी है, लेकिन गैर-स्थानीयकृत है।
@@ Line 163: / Line 163: @@
 हार रूपांतरण में निम्नलिखित गुण होते हैं
-# गुणन की कोई ज़रूरत नहीं है। इसके लिए केवल परिवर्धन की आवश्यकता होती है और हार आव्यूहमैट्रिक्स में शून्य मान वाले कई तत्व होते हैं, इसलिए गणना का समय कम होता है। यह वॉल्श ट्रांसफ़ॉर्म से तेज़ है, जिसका आव्यूहमैट्रिक्स +1 और -1 से बना है।
+# गुणन की कोई ज़रूरत नहीं है। इसके लिए केवल परिवर्धन की आवश्यकता होती है और हार आव्यूह में शून्य मान वाले कई तत्व होते हैं, इसलिए गणना का समय कम होता है। यह वॉल्श ट्रांसफ़ॉर्म से तेज़ है, जिसका आव्यूह +1 और -1 से बना है।
 # इनपुट और आउटपुट की लंबाई समान है। हालाँकि, लंबाई 2 की शक्ति होनी चाहिए, अर्थात। <math>N = 2^k,  k\in \mathbb{N}</math>.
 # इसका उपयोग संकेतों की स्थानीय विशेषता का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है। हार फलन की [[ओर्थोगोनल]] गुण के कारण, इनपुट सिग्नल की आवृत्ति घटकों का विश्लेषण किया जा सकता है।
@@ Line 171: / Line 171: @@
 : <math> y_n = H_n x_n</math>
-हार ट्रांसफ़ॉर्म आव्यूहमैट्रिक्स वास्तविक और लंबकोणीय है। इस प्रकार, व्युत्क्रम हार परिवर्तन निम्नलिखित समीकरणों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
+हार ट्रांसफ़ॉर्म आव्यूह वास्तविक और लंबकोणीय है। इस प्रकार, व्युत्क्रम हार परिवर्तन निम्नलिखित समीकरणों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
 : <math> H = H^*, H^{-1} = H^T, \text{ i.e. } HH^T = I </math>
-: जहाँ <math>I</math> पहचान आव्यूहमैट्रिक्स है। उदाहरण के लिए, जब n = 4
+: जहाँ <math>I</math> पहचान आव्यूह है। उदाहरण के लिए, जब n = 4
 : <math> H_4^{T}H_4 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1&1&\sqrt{2}&0 \\ 1&1&-\sqrt{2}&0 \\ 1&-1&0&\sqrt{2} \\ 1&-1&0&-\sqrt{2}\end{bmatrix}
@@ Line 202: / Line 202: @@
 == यह भी देखें ==
 * [[आयाम में कमी]]
-* वॉल्श आव्यूहमैट्रिक्स
+* वॉल्श आव्यूह
 * वाल्श परिवर्तन
 * तरंगिका

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हार फलन और हार प्रणाली

हर तरंगिका गुण