गेंगेंबोइर बहुपद

गणित में, गेंगेंबोइर बहुपद या परागोलीय बहुपद C(α) n(x) भार फलन (1 − x2)α–1/2 के संबंध में अंतराल [−1,1] पर लाम्बिक बहुपद हैं। वे लीजेंड्रे बहुपदों और चेबिशेव बहुपदों का सामान्यीकरण करते हैं, और जैकोबी बहुपदों के विशेष प्रकरण हैं। उनका नाम लियोपोल्ड गेगेनबॉयर के नाम पर रखा गया है।

चरित्र चित्रण

<गैलरी की चौड़ाई = 300 ऊंचाई = 200 वर्ग = फ्लोट-राइट> फ़ाइल: गेंगेंबोइर बहुपद C ​​n^(m)(x) का प्लॉट n=10 और m= के साथ1 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|गणित 13.1 फ़ंक्शन ComplexPlot3D के साथ बनाए गए रंगों के साथ -2-2i से 2+2i तक जटिल विमान में गेंगेंबोइर बहुपद C ​​n^(m)(x) के साथ n=10 और m=1 का प्लॉट File:Mplwp गेंगेंबोइर Cn05a1.svg|गेंगेंबोइर बहुपद α=1 के साथ File:Mplwp गेंगेंबोइर Cn05a2.svg|α=2 के साथ गेंगेंबोइर बहुपद File:Mplwp गेंगेंबोइर Cn05a3.svg|α=3 के साथ गेंगेंबोइर बहुपद File:Gegenbauer polynomials.gif|n के पहले 4 मानों के लिए xα-प्लेन पर बहुपदों को दर्शाने वाला एक एनिमेशन। </गैलरी>

गेंगेंबोइर बहुपदों के विभिन्न प्रकार के लक्षण उपलब्ध हैं।

• बहुपदों को उनके जनन फलन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है (स्टीन एंड वेइस 1971, §IV.2):

${\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}\qquad (0\leq |x|<1,|t|\leq 1,\alpha >0)$

• बहुपद पुनरावर्तन संबंध को संतुष्ट करते हैं (Suetin 2001):

${\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(x)&=2\alpha x\\(n+1)C_{n+1}^{(\alpha )}(x)&=2(n+\alpha )xC_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x).\end{aligned}}$

• गेंगेंबोइर बहुपद गेंगेंबोइर अवकल समीकरण के विशेष समाधान हैं (Suetin 2001):

$(1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0.\,$

जब α = 1/2, समीकरण लीजेंड्रे समीकरण में कम हो जाता है, और गेगेनबॉयर बहुपद लीजेंड्रे बहुपद में कम हो जाता है।

जब α = 1, समीकरण घट कर चेबिशेव अवकल समीकरण बन जाता है, और गेगेनबाउर बहुपद दूसरे प्रकार के चेबीशेव बहुपद बन जाते हैं।

• उन्हें कुछ मामलों में गॉसियन हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के रूप में दिया जाता है जहां श्रृंखला वास्तव में परिमित होती है:

$C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right).$

(अब्रामोविट्ज़ और स्टेगुन पृष्ठ 561)। यहाँ (2α)_n बढ़ती फैक्टोरियल है। स्पष्ट रूप से,

$C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}.$

• वे जैकोबी बहुपदों के विशेष प्रकरण हैं (Suetin 2001):

$C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).$

जिसमें $(\theta )_{n}$ के बढ़ते फैक्टोरियल का प्रतिनिधित्व करता है $\theta$.

इसलिए एक के पास रोड्रिग्स तैयार करता है भी है

$C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}{\frac {\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (2\alpha )\Gamma (\alpha +n+{\frac {1}{2}})}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].$

लंबकोणीयता और सामान्यीकरण

एक निश्चित α के लिए, बहुपद भार फलन के संबंध में [−1, 1] पर लाम्बिक हैं (अब्रामोविट्ज़ और स्टेगुन p. 774) )

$w(z)=\left(1-z^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}.$

समझ के लिए, n ≠ m के लिए,

$\int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx=0.$

द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है

$\int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.$

अनुप्रयोग

गेंगेंबोइर बहुपद स्वाभाविक रूप से संभावित सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण के संदर्भ में लेजेंड्रे बहुपदों के विस्तार के रूप में प्रकट होते हैं।

Rn में न्यूटोनियन क्षमता का विस्तार है, α = (n - 2)/2 के साथ मान्य है,

${\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}}).$

जब n = 3, यह गुरुत्वीय क्षमता का लेजेंड्रे बहुपद विस्तार देता है। एक गेंद में पोइसन कर्नेल के विस्तार के लिए इसी तरह के भाव उपलब्ध हैं (Stein & Weiss 1971).

यह इस प्रकार है कि मात्रा $C_{k}^{((n-2)/2)}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$ गोलाकार हार्मोनिक्स हैं, जब केवल x के कार्य के रूप में माना जाता है। वास्तव में, वे सामान्यीकरण स्थिरांक तक बिल्कुल आंचलिक गोलाकार हॉर्मोनिक्स हैं।

गेंगेंबोइर बहुपद भी सकारात्मक-निश्चित फलनों के सिद्धांत में दिखाई देते हैं।

आस्की-गैस्पर असमानता पढ़ती है

$\sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{\alpha }(x)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0\qquad (x\geq -1,\,\alpha \geq 1/4).$

विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए वर्णक्रमीय विधियों में, यदि किसी फलन को चेबिशेव बहुपदों के आधार पर विस्तारित किया जाता है और इसके व्युत्पन्न को गेगेनबॉयर/अल्ट्रास्फियरिकल आधार पर दर्शाया जाता है, तो व्युत्पन्न संकारक एक विकर्ण मैट्रिक्स बन जाता है, जिससे बड़ी समस्याओं के लिए तेजी से बंधी हुई मैट्रिक्स विधियाँ बन जाती हैं।

यह भी देखें

• रोजर्स बहुपद, गेंगेंबोइर बहुपदों का क्यू-एनालॉग
• चेबिशेव बहुपद
• रोमानोव्स्की बहुपद

संदर्भ

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 22". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.*Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Suetin, P.K. (2001) [1994], "Ultraspherical polynomials", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.

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