हैन बहुपद

गणित में, हैन बहुपद, 1875 (चेबिशेव 1907) में पफनुटी चेबीशेव द्वारा प्रस्तुत किए गए और वोल्फगैंग हैन (हैन 1949) द्वारा फिर से खोजे गए, हाइपरजियोमेट्रिक लंब कोणीय बहुपदों की आस्की योजना में लंब कोणीय बहुपदों का एक परिवार है। (Chebyshev 1907) और वोल्फगैंग हैन द्वारा फिर से खोजा गया (Hahn 1949). हैन वर्ग हैन बहुपदों के विशेष स्थितियों के लिए एक नाम है, जिसमें हैन बहुपद, मीक्सनर बहुपद, क्रॉचौक बहुपद और चार्लीयर बहुपद सम्मिलित हैं। कभी-कभी हैन वर्ग को इन बहुपदों के मामले (गणित) को सीमित करने के लिए लिया जाता है, इस मामले में इसमें शास्त्रीय लंब कोणीय बहुपद भी सम्मिलित होते हैं।

हैन बहुपदों को सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है

$Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+\alpha +\beta +1;\alpha +1,-N+1;1).\$

रोलोफ कोएकोक, पीटर ए. लेस्की, और रेने एफ. स्वार्टौउ (2010, 14) ने अपनी संपत्तियों की एक विस्तृत सूची दी है।

अगर $\alpha =\beta =0$, स्केल फ़ैक्टर को छोड़कर ये बहुपद असतत चेबीशेव बहुपद के समान हैं।

बारीकी से संबंधित बहुपदों में दोहरी हैन बहुपद आर सम्मिलित हैं_n(x;γ,δ,N), सतत हैन बहुपद p_n(एक्स, ए, बी, a, b), और सतत द्वैत हैन बहुपद S_n(एक्स; ए, बी, सी)।आंकड़ों में, एक लंबकोणीय बहुपद अनुक्रम बहुपदों का एक परिवार है जैसे कि अनुक्रम में कोई भी दो अलग-अलग बहुपद कुछ आंतरिक उत्पाद के तहत एक दूसरे के लिए लंबकोणीय हैं।लंबकोणीय शब्द ग्रीक ऑर्थोगोनियोस ("ऑर्थो" का अर्थ सही और "गॉन" का अर्थ एंगल्ड) से लिया गया है। लंबकोणीय अवधारणाओं की उत्पत्ति उन्नत गणित, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित, यूक्लिडियन ज्यामिति और गोलाकार त्रिकोणमिति में हुई है। लंबकोणीय और लंबवत अक्सर समानार्थक शब्द के रूप में उपयोग किए जाते हैं। इन सभी बहुपदों में एक अतिरिक्त पैरामीटर q के साथ q-एनालॉग होते हैं, जैसे कि q-Hahn बहुपद Q_n(x;α,β, N;q),इत्यादि।

लंबकोणीयता

$\sum _{x=0}^{N-1}Q_{n}(x)Q_{m}(x)\rho (x)={\frac {1}{\pi _{n}}}\delta _{m,n},$

$\sum _{n=0}^{N-1}Q_{n}(x)Q_{n}(y)\pi _{n}={\frac {1}{\rho (x)}}\delta _{x,y}$

जहां δ_x,yक्रोनकर डेल्टा फलन है और भार फलन हैं

$\rho (x)=\rho (x;\alpha ;\beta ,N)={\binom {\alpha +x}{x}}{\binom {\beta +N-1-x}{N-1-x}}/{\binom {N+\alpha +\beta }{N-1}}$

और

$\pi _{n}=\pi _{n}(\alpha ,\beta ,N)={\binom {N-1}{n}}{\frac {2n+\alpha +\beta +1}{\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (\beta +1,n+\alpha +1,n+\alpha +\beta +1)}{\Gamma (\alpha +1,\alpha +\beta +1,n+\beta +1,n+1)}}/{\binom {N+\alpha +\beta +n}{n}}$.

अन्य बहुपदों से संबंध

• राकाह बहुपद हैन बहुपदों का एक सामान्यीकरण है

संदर्भ

• Chebyshev, P. (1907), "Sur l'interpolation des valeurs équidistantes", in Markoff, A.; Sonin, N. (eds.), Oeuvres de P. L. Tchebychef, vol. 2, pp. 219–242, Reprinted by Chelsea
• Hahn, Wolfgang (1949), "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische Nachrichten, 2: 4–34, doi:10.1002/mana.19490020103, ISSN 0025-584X, MR 0030647
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Hypergeometric orthogonal polynomials and their q-analogues, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN 978-3-642-05013-8, MR 2656096
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Hahn Class: Definitions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248