रेनॉल्ड्स परिवहन प्रमेय

अवकलन गणित में, रेनॉल्ड्स परिवहन प्रमेय (लीबनिज़-रेनॉल्ड्स परिवहन प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है), या केवल रेनॉल्ड्स प्रमेय, जिसका नाम ओसबोर्न रेनॉल्ड्स (1842-1912) के नाम पर रखा गया है, लीबनिज़ अभिन्न नियम का त्रि-आयामी सामान्यीकरण है। इसका उपयोग एकीकृत मात्राओं के समय व्युत्पन्न को पुन: व्यवस्थित करने के लिए किया जाता है और निरंतर यांत्रिकी के मूल समीकरणों को उपस्थित करने में उपयोगी होता है।

समय-निर्भर क्षेत्र में Ω(t) पर f = f(x,t) को एकीकृत करने पर विचार करें जिसकी सीमा ∂Ω(t) है, फिर समय के संबंध में व्युत्पन्न लेना:

${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV.$

यदि हम व्युत्पन्न को अभिन्न में स्थानांतरित करना चाहते हैं, तो दो मुद्दे हैं: f की समय पर निर्भरता, और इसकी गतिशील सीमा के कारण Ω से अंतराल का परिचय और निष्कासन। रेनॉल्ड्स परिवहन प्रमेय आवश्यक संरचना प्रदान करता है।

सामान्य रूप

रेनॉल्ड्स परिवहन प्रमेय को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}\left(\mathbf {v} _{b}\cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {f} \,dA$

जिसमें n(x,t) बाहरी-संकेतन इकाई सामान्य सदिश है, x क्षेत्र में एक बिंदु है और एकीकरण का चर है, dV और dA x मात्रा और सतह तत्व हैं, और v_b(x,t) क्षेत्र तत्व का वेग है (प्रवाह वेग नहीं)। फलन f प्रदिश-, सदिश- या अदिश-मूल्य हो सकता है। ध्यान दें कि बायीं ओर का समाकल केवल समय का फलन है, और इसलिए कुल अवकलज का उपयोग किया गया है।

एक भौतिक तत्व के लिए प्रपत्र

सातत्य यांत्रिकी में, इस प्रमेय का प्रयोग प्रायः भौतिक तत्वों के लिए किया जाता है। ये तरल पदार्थ या ठोस पदार्थों के खंड होते हैं जिनमें कोई सामग्री प्रवेश या छोड़ती नहीं है। अगर Ω(t) एक भौतिक तत्व है तो एक वेग फलन v = v(x,t) होता है, और सीमा तत्व पालन करते हैं

$\mathbf {v} _{b}\cdot \mathbf {n} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} .$

इस प्रतिबंध को प्राप्त करने के लिए अवस्थापित किया जा सकता है:

${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} \,dA.$

एक भौतिक तत्व के लिए प्रमाण

मान लीजिए कि Ω₀ क्षेत्र Ω(t) का संदर्भ विन्यास है। बता दें कि गति और विरूपण प्रवणता द्वारा दी गई है

$\mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),$

${\boldsymbol {F}}(\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {\varphi }}.$

चलो J(X,t) = det F(X,t). परिभाषित करे

${\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)=\mathbf {f} ({\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t).$

फिर वर्तमान और संदर्भ विन्यास में अभिन्न अंग संबंधित हैं

${\begin{aligned}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV&=\int _{\Omega _{0}}\mathbf {f} ({\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}.\end{aligned}}$

यह व्युत्पत्ति एक भौतिक तत्व के लिए है जो संदर्भ विन्यास के समय की स्थिरता में निहित है: यह भौतिक निर्देशांक में स्थिर है। किसी आयतन पर समाकलन के समय व्युत्पन्न को इस रूप में परिभाषित किया गया है

${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\int _{\Omega (t+\Delta t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t+\Delta t)\,dV-\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right).$

संदर्भ विन्यास पर अभिन्न में परिवर्तित होने पर, हम प्राप्त करते हैं

${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t+\Delta t)\,J(\mathbf {X} ,t+\Delta t)\,dV_{0}-\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\right).$

क्योंकि Ω₀ समय से स्वतंत्र है, हमारे पास है

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)&=\int _{\Omega _{0}}\left(\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t+\Delta t)\,J(\mathbf {X} ,t+\Delta t)-{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)}{\Delta t}}\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t){\big )}\,J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,{\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}J(\mathbf {X} ,t){\big )}\right)\,dV_{0}.\end{aligned}}$

J का समय व्युत्पन्न द्वारा दिया गया है:

${\begin{aligned}{\frac {\partial J(\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\det {\boldsymbol {F}})&=(\det {\boldsymbol {F}})({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )\\&=J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} {\big (}{\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t{\big )}\\&=J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t).\end{aligned}}$

इसलिए,

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\right)\,J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\right)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega (t)}\left({\dot {\mathbf {f} }}(\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV.\end{aligned}}$

जहाँ f f का भौतिक समय व्युत्पन्न है। सामग्री व्युत्पन्न द्वारा दिया जाता है

${\dot {\mathbf {f} }}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t){\big )}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t).$

इसलिए,

${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t){\big )}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV,$

या,

${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\mathbf {f} \,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)\,dV.$

पहचान का उपयोग करना

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=\mathbf {v} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {w} )+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} ,$

तो हमारे पास हैं

${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\right)\,dV.$

विचलन प्रमेय और पहचान (a ⊗ b) · n = (b · n)a का उपयोग करके, हमारे पास है

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)&=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\cdot \mathbf {n} \,dA\\&=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} \,dA.\qquad \square \end{aligned}}$

एक विशेष प्रकरण

यदि हम समय के संबंध में Ω को स्थिर रखते हैं तब v_b = 0 और तत्समक कम हो जाता है

${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }f\,dV=\int _{\Omega }{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dV.$

अपेक्षित के अनुसार। (यह सरलीकरण संभव नहीं है यदि किसी क्षेत्र तत्व के वेग के स्थान पर प्रवाह वेग का गलत उपयोग किया जाता है।)

व्याख्या और एक आयाम में कमी

प्रमेय अभिन्न चिह्न के अंतर्गत भिन्नता का उच्च-आयामी विस्तार है और कुछ प्रकरणो में उस अभिव्यक्ति को कम कर देता है। मान लीजिए f y और z से स्वतंत्र है, ओर वह Ω(t) yz-तल में एक इकाई वर्ग है और इसकी x सीमा a(t) और b(t) है। फिर रेनॉल्ड्स परिवहन प्रमेय कम हो जाता है

${\frac {d}{dt}}\int _{a(t)}^{b(t)}f(x,t)\,dx=\int _{a(t)}^{b(t)}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dx+{\frac {\partial b(t)}{\partial t}}f{\big (}b(t),t{\big )}-{\frac {\partial a(t)}{\partial t}}f{\big (}a(t),t{\big )}\,,$

जो, x और t की अदला-बदली तक, समाकल चिह्न के अंतर्गत अवकलन के लिए मानक व्यंजक है।

यह भी देखें

• लीबनिज एकीकृत नियम- एकीकृत चिह्न विधि के अंतर्गत भेदभाव

बाहरी संबंध

• Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subjects, in three volumes, published circa 1903, now fully and freely available in digital format: Volume 1, Volume 2, Volume 3,
• "Module 6 - Reynolds Transport Theorem". ME6601: Introduction to Fluid Mechanics. Georgia Tech. Archived from the original on March 27, 2008.
• http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem