यादृच्छिक ग्राफ: Difference between revisions

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गणित में यादृच्छिक ग्राफ़ सामान्य शब्द है। जो ग्राफ़ (असतत) पर संभाव्यता वितरण को संदर्भित करता है। यादृच्छिक रेखांकन को केवल संभाव्यता वितरण द्वारा या यादृच्छिक प्रक्रिया द्वारा वर्णित किया जा सकता है। जो उन्हें उत्पन्न करता है।^[1]^[2] यादृच्छिक रेखांकन का सिद्धांत ग्राफ सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत के बीच प्रतिच्छेदन पर स्थित है। गणितीय दृष्टिकोण से यादृच्छिक ग्राफ़ का उपयोग विशिष्ट ग्राफ़ के गुणों के बारे में प्रश्नों के उत्तर देने के लिए किया जाता है। इसके व्यावहारिक अनुप्रयोग उन सभी क्षेत्रों में पाए जाते हैं। जिनमें जटिल नेटवर्क को मॉडलिंग करने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार कई यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल ज्ञात होते हैं। जो विभिन्न क्षेत्रों में सामने आने वाले विविध प्रकार के जटिल नेटवर्क को प्रतिबिंबित करते हैं। गणितीय संदर्भ में यादृच्छिक ग्राफ लगभग विशेष रूप से एर्डोस-रेनी मॉडल को संदर्भित करता है। एर्डोस-रेनी यादृच्छिक ग्राफ मॉडल अन्य संदर्भों में किसी भी ग्राफ़ मॉडल को यादृच्छिक ग्राफ़ के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

मॉडल

यादृच्छिक ग्राफ n अलग-अलग कोने के समूह से प्रारम्भ करके और यादृच्छिक रूप से उनके बीच क्रमिक किनारों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस क्षेत्र में अध्ययन का उद्देश्य यह निर्धारित करना है कि ग्राफ की एक विशेष संपत्ति किस स्तर पर उत्पन्न होने की संभावना है।^[3] अलग-अलग यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल ग्राफ़ पर अलग-अलग संभाव्यता वितरण उत्पन्न करते हैं। एडगर गिल्बर्ट द्वारा प्रस्तावित सबसे सामान्यतः अध्ययन किया जाने वाला है। जिसे G(n,p) निरूपित किया गया है। जिसमें हर संभावित बढ़त स्वतंत्र रूप से प्रायिकता 0 < p < 1 के साथ होती है। m किनारों के साथ $N={\tbinom {n}{2}}$ किसी एक विशेष यादृच्छिक ग्राफ को प्राप्त करने की प्रायिकता $p^{m}(1-p)^{N-m}$ है।^[4]

एक निकटतम संबंधित मॉडल एर्डोस-रेनी मॉडल G(n,M) को दर्शाता है। बिल्कुल M किनारों वाले सभी ग्राफों के लिए समान संभावना प्रदान करता है। 0 ≤ M ≤ N के साथ G(n,M) है। ${\tbinom {N}{M}}$ तत्व और प्रत्येक तत्व प्रायिकता के साथ होता $1/{\tbinom {N}{M}}$ है।^[3] बाद वाले मॉडल को 'यादृच्छिक ग्राफ प्रक्रिया' के एक विशेष समय (M) पर एक स्नैपशॉट के रूप में देखा जा सकता है। ${\tilde {G}}_{n}$ , जो एक अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया है। जो n कोने और बिना किनारों से प्रारम्भ होती है और प्रत्येक चरण में किनारों के समूह से समान रूप से चुने गए नए किनारे को जोड़ती है।

यदि इसके बजाय हम वर्टिकल के एक अनंत समूह के साथ प्रारम्भ करते हैं, और फिर से हर संभावित किनारे को प्रायिकता 0 <p <1 के साथ स्वतंत्र रूप से होने देते हैं, तो हमें एक वस्तु G मिलती है जिसे 'अनंत यादृच्छिक ग्राफ' कहा जाता है। तुच्छ मामलों को छोड़कर जहां p 0 या 1 है, ऐसे G में लगभग निश्चित रूप से निम्नलिखित संपत्ति होती है:

कोई भी n + m तत्व दिया गया है $a_{1},\ldots ,a_{n},b_{1},\ldots ,b_{m}\in V$ , V में एक शीर्ष c है जो प्रत्येक के निकट है $a_{1},\ldots ,a_{n}$ और किसी के निकट नहीं है $b_{1},\ldots ,b_{m}$ </ब्लॉककोट>
यह पता चला है कि यदि वर्टेक्स समूह गणनीय है, तो ग्राफ समरूपता तक, इस संपत्ति के साथ केवल एक ही ग्राफ है, अर्थात् राडो ग्राफ। इस प्रकार कोई भी अनगिनत अनंत यादृच्छिक ग्राफ लगभग निश्चित रूप से राडो ग्राफ है, जिसे इस कारण से कभी-कभी केवल यादृच्छिक ग्राफ कहा जाता है। हालांकि, बेशुमार ग्राफ़ के लिए अनुरूप परिणाम सही नहीं है, जिनमें से कई (नॉनिसोमोर्फिक) ग्राफ़ हैं जो उपरोक्त संपत्ति को संतुष्ट करते हैं।
एक अन्य मॉडल, जो गिल्बर्ट के यादृच्छिक ग्राफ मॉडल का सामान्यीकरण करता है, यादृच्छिक डॉट-उत्पाद मॉडल है। एक यादृच्छिक डॉट-उत्पाद ग्राफ प्रत्येक शीर्ष के साथ एक वास्तविक वेक्टर को जोड़ता है। किसी भी कोने u और v के बीच किनारे uv की संभावना उनके संबंधित वैक्टर के डॉट उत्पाद u • v का कुछ कार्य है।
नेटवर्क संभाव्यता मैट्रिक्स किनारे की संभावनाओं के माध्यम से यादृच्छिक रेखांकन करता है, जो संभावना का प्रतिनिधित्व करता है $p_{i,j}$ वह एक दिया हुआ किनारा $e_{i,j}$ एक निर्दिष्ट समय अवधि के लिए मौजूद है। यह मॉडल निर्देशित और अप्रत्यक्ष रूप से एक्स्टेंसिबल है; भारित और भारित; और स्थिर या गतिशील रेखांकन संरचना।
एम ≃ पीएन के लिए, जहां एन संभव किनारों की अधिकतम संख्या है, दो सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किए जाने वाले मॉडल, जी (एन, एम) और जी (एन, पी), लगभग विनिमेय हैं।^[5] यादृच्छिक नियमित ग्राफ एक विशेष मामला बनाते हैं, ऐसे गुणों के साथ जो सामान्य रूप से रैंडम ग्राफ़ से भिन्न हो सकते हैं।
एक बार जब हमारे पास यादृच्छिक ग्राफ़ का एक मॉडल होता है, तो ग्राफ़ पर प्रत्येक फ़ंक्शन एक यादृच्छिक चर बन जाता है। इस मॉडल का अध्ययन यह निर्धारित करने के लिए है कि क्या, या कम से कम संभावना का अनुमान है कि एक संपत्ति हो सकती है।^[4]

शब्दावली

यादृच्छिक ग्राफ के संदर्भ में 'लगभग हर' शब्द रिक्त स्थान और संभावनाओं के अनुक्रम को संदर्भित करता है, जैसे कि त्रुटि संभावना शून्य हो जाती है।^[4]

गुण

यादृच्छिक रेखांकन का सिद्धांत यादृच्छिक रेखांकन के विशिष्ट गुणों का अध्ययन करता है, जो किसी विशेष वितरण से तैयार किए गए रेखांकन के लिए उच्च संभावना रखते हैं। उदाहरण के लिए, हम दिए गए मान के लिए पूछ सकते हैं $n$ और $p$ इसकी क्या संभावना है $G(n,p)$ कनेक्शन (गणित) है। ऐसे प्रश्नों का अध्ययन करने में, शोधकर्ता अक्सर यादृच्छिक रेखांकन के स्पर्शोन्मुख व्यवहार पर ध्यान केंद्रित करते हैं - वे मूल्य जो विभिन्न संभावनाओं के रूप में परिवर्तित होते हैं $n$ बहुत बड़ा हो जाता है। परकोलेशन सिद्धांत यादृच्छिक रेखांकन की संबद्धता की विशेषता बताता है, विशेष रूप से असीम रूप से बड़े वाले।
परकोलेशन ग्राफ की मजबूती से संबंधित है (जिसे नेटवर्क भी कहा जाता है)। का एक यादृच्छिक ग्राफ दिया $n$ नोड्स और एक औसत डिग्री $\langle k\rangle$ . अगला हम बेतरतीब ढंग से एक अंश निकालते हैं $1-p$ नोड्स की और केवल एक अंश छोड़ दें $p$ . एक महत्वपूर्ण रिसाव सीमा मौजूद है $p_{c}={\tfrac {1}{\langle k\rangle }}$ जिसके नीचे ऊपर रहते हुए नेटवर्क खंडित हो जाता है $p_{c}$ एक विशाल जुड़ा हुआ घटक मौजूद है।^[6]^[5]^[7]^[8]^[9]
स्थानीयकृत परकोलेशन एक नोड को उसके पड़ोसियों, अगले निकटतम पड़ोसियों आदि को एक अंश तक हटाने के लिए संदर्भित करता है $1-p$ नेटवर्क से नोड्स हटा दिए जाते हैं। यह दिखाया गया था कि डिग्री के प्वासों वितरण के साथ यादृच्छिक ग्राफ के लिए $p_{c}={\tfrac {1}{\langle k\rangle }}$ बिल्कुल यादृच्छिक हटाने के लिए।
संभाव्यता पद्धति में रैंडम ग्राफ़ का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जहाँ कोई कुछ गुणों वाले ग्राफ़ के अस्तित्व को सिद्ध करने का प्रयास करता है। एक यादृच्छिक ग्राफ पर एक संपत्ति का अस्तित्व अक्सर ज़ेमेरीडी नियमितता लेम्मा के माध्यम से, लगभग सभी ग्राफों पर उस संपत्ति के अस्तित्व का संकेत दे सकता है।
यादृच्छिक नियमित रेखांकन में, $G(n,r-reg)$ का समूह हैं $r$ -नियमित रेखांकन के साथ $r=r(n)$ ऐसा है कि $n$ और $m$ प्राकृतिक संख्या हैं, $3\leq r<n$ , और $rn=2m$ सम है।^[3]
एक ग्राफ का डिग्री अनुक्रम $G$ में $G^{n}$ समूह में केवल किनारों की संख्या पर निर्भर करता है^[3]: $V_{n}^{(2)}=\left\{ij\ :\ 1\leq j\leq n,i\neq j\right\}\subset V^{(2)},\qquad i=1,\cdots ,n.$ अगर किनारे, $M$ एक यादृच्छिक ग्राफ में $G_{M}$ यह सुनिश्चित करने के लिए काफी बड़ा है कि लगभग हर $G_{M}$ न्यूनतम डिग्री कम से कम 1 है, तो लगभग हर $G_{M}$ जुड़ा हुआ है और, अगर $n$ सम है, लगभग हर $G_{M}$ पूर्ण मिलान है। विशेष रूप से, जिस क्षण लगभग हर यादृच्छिक ग्राफ में अंतिम पृथक शीर्ष गायब हो जाता है, ग्राफ जुड़ा हो जाता है।^[3]
लगभग हर ग्राफ़ प्रक्रिया सम संख्याओं पर होती है, जिसके किनारे न्यूनतम डिग्री को 1 तक बढ़ाते हैं या एक यादृच्छिक ग्राफ़ से थोड़ा अधिक होता है ${\tfrac {n}{4}}\log(n)$ किनारों और 1 के करीब संभावना के साथ यह सुनिश्चित करता है कि ग्राफ़ में पूर्ण मिलान हो, अधिकतम एक शीर्ष के अपवाद के साथ।
कुछ स्थिर के लिए $c$ , लगभग हर लेबल वाले ग्राफ़ के साथ $n$ शिखर और कम से कम $cn\log(n)$ किनारों हैमिल्टनियन चक्र है। प्रायिकता 1 की ओर अग्रसर होने के साथ, वह विशेष किनारा जो न्यूनतम डिग्री को 2 तक बढ़ाता है, ग्राफ को हैमिल्टनियन बनाता है।
यादृच्छिक ग्राफ के गुण ग्राफ परिवर्तनों के तहत बदल सकते हैं या अपरिवर्तित रह सकते हैं। उदाहरण के लिए, अलिर्ज़ा माशघी | मशघी ए. एट अल। ने प्रदर्शित किया कि एक परिवर्तन जो यादृच्छिक ग्राफ़ को उनके किनारे-दोहरे ग्राफ़ (या लाइन ग्राफ़) में परिवर्तित करता है, लगभग समान डिग्री वितरण के साथ ग्राफ़ का एक समूह बनाता है, लेकिन डिग्री सहसंबंध और ए के साथ महत्वपूर्ण रूप से उच्च क्लस्टरिंग गुणांक।^[10]

रंग

शीर्ष V (G) = {1, ..., n} के साथ ऑर्डर n के एक यादृच्छिक ग्राफ G को देखते हुए, रंगों की संख्या पर लालची एल्गोरिथ्म द्वारा, रंगों को 1, 2, ... रंगों से रंगा जा सकता है। (शीर्ष 1 रंगीन 1 है, शीर्ष 2 रंगीन 1 है यदि यह शीर्ष 1 के निकट नहीं है, अन्यथा यह 2 रंगीन है, आदि)।^[3]कई क्यू रंगों को दिए गए यादृच्छिक ग्राफ़ के उचित रंगों की संख्या, जिसे इसके रंगीन बहुपद कहा जाता है, अब तक अज्ञात है। पैरामीटर n और किनारों की संख्या m या कनेक्शन प्रायिकता p के साथ यादृच्छिक ग्राफ़ के रंगीन बहुपद के शून्य के स्केलिंग को सांकेतिक पैटर्न मिलान के आधार पर एक एल्गोरिथ्म का उपयोग करके अनुभवजन्य रूप से अध्ययन किया गया है।^[11]

रैंडम पेड़

Main article: Random tree

एक रैंडम ट्रीप एक ट्री (ग्राफ थ्योरी) या आर्बोरेसेंस (ग्राफ थ्योरी) है जो एक स्टोचैस्टिक प्रक्रिया द्वारा बनता है। क्रम n और आकार M(n) के यादृच्छिक रेखांकन की एक बड़ी श्रृंखला में क्रम k के पेड़ घटकों की संख्या का वितरण विषम रूप से पॉइसन वितरण है। यादृच्छिक पेड़ के प्रकारों में एक समान फैला हुआ पेड़ , यादृच्छिक न्यूनतम फैले पेड़, यादृच्छिक बाइनरी ट्री , ट्रैप, तेजी से रैंडम ट्री, ब्राउनियन पेड़ और यादृच्छिक वन शामिल हैं।

सशर्त यादृच्छिक रेखांकन

संभाव्यता स्थान पर परिभाषित दिए गए यादृच्छिक ग्राफ मॉडल पर विचार करें $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ और जाने ${\mathcal {P}}(G):\Omega \rightarrow R^{m}$ एक वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन बनें जो प्रत्येक ग्राफ़ को निर्दिष्ट करता है $\Omega$ एम गुणों का एक वेक्टर। एक निश्चित के लिए $\mathbf {p} \in R^{m}$ , सशर्त यादृच्छिक रेखांकन वे मॉडल हैं जिनमें संभाव्यता मापी जाती है $P$ सभी ग्राफों को शून्य प्रायिकता प्रदान करता है जैसे कि ' ${\mathcal {P}}(G)\neq \mathbf {p}$ .
विशेष मामले सशर्त रूप से समान यादृच्छिक ग्राफ हैं, जहां $P$ निर्दिष्ट गुणों वाले सभी ग्राफ़ों को समान संभावना प्रदान करता है। उन्हें एर्डोस-रेनी मॉडल जी (एन, एम) के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जब कंडीशनिंग जानकारी जरूरी नहीं कि किनारों की संख्या एम हो, लेकिन जो भी अन्य मनमाने ढंग से ग्राफ संपत्ति है ${\mathcal {P}}(G)$ . इस मामले में बहुत कम विश्लेषणात्मक परिणाम उपलब्ध हैं और औसत गुणों के अनुभवजन्य वितरण प्राप्त करने के लिए सिमुलेशन की आवश्यकता है।

इतिहास

रैंडम ग्राफ मॉडल का सबसे पहला उपयोग 1938 में हेलेन हॉल जेनिंग्स और याकूब मोरेनो द्वारा किया गया था, जहां यादृच्छिक मॉडल के साथ उनके नेटवर्क डेटा में पारस्परिक लिंक के अंश की तुलना करने के अध्ययन में एक चांस सोशियोग्राम (एक निर्देशित एर्दोस-रेनी मॉडल) पर विचार किया गया था।^[12] 1951 में रे सोलोमनॉफ़ और अनातोल रैपोपोर्ट द्वारा रेंडम नेट नाम के तहत एक और प्रयोग, निश्चित आउट-डिग्री के साथ निर्देशित ग्राफ़ के एक मॉडल का उपयोग करके और बेतरतीब ढंग से चुने गए अनुलग्नकों को अन्य कोने में किया गया था।^[13] रैंडम ग्राफ़ के एर्डोस-रेनी मॉडल को पहली बार पॉल एर्दोस और अल्फ्रेड रेनी द्वारा उनके 1959 के पेपर ऑन रैंडम ग्राफ़ में परिभाषित किया गया था।^[9] और स्वतंत्र रूप से गिल्बर्ट द्वारा अपने पेपर रैंडम ग्राफ़ में।^[7]

यह भी देखें

बोस-आइंस्टीन संक्षेपण: एक नेटवर्क सिद्धांत दृष्टिकोण

गुहा विधि

जटिल नेटवर्क

दोहरे चरण का विकास

एर्डोस-रेनी मॉडल

घातीय यादृच्छिक ग्राफ मॉडल

ग्राफ सिद्धांत

अन्योन्याश्रित नेटवर्क

नेटवर्क विज्ञान

टपकन

परकोलेशन थ्योरी

जेलेशन का रैंडम ग्राफ थ्योरी

नियमित ग्राफ

स्केल मुक्त नेटवर्क

सेमीलाइनर प्रतिक्रिया

स्टोकेस्टिक ब्लॉक मॉडल

लांचिनेट्टी-फॉर्चुनैटो-रेडिची बेंचमार्क

संदर्भ

↑ Bollobás, Béla (2001). यादृच्छिक रेखांकन (2nd ed.). Cambridge University Press.

↑ Frieze, Alan; Karonski, Michal (2015). यादृच्छिक रेखांकन का परिचय. Cambridge University Press.

↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 ^3.4 ^3.5 Béla Bollobás, Random Graphs, 1985, Academic Press Inc., London Ltd.

↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 Béla Bollobás, Probabilistic Combinatorics and Its Applications, 1991, Providence, RI: American Mathematical Society.

↑ ^5.0 ^5.1 Bollobas, B. and Riordan, O.M. "Mathematical results on scale-free random graphs" in "Handbook of Graphs and Networks" (S. Bornholdt and H.G. Schuster (eds)), Wiley VCH, Weinheim, 1st ed., 2003

↑ Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named Random Graphs

↑ ^7.0 ^7.1 Gilbert, E. N. (1959), "Random graphs", Annals of Mathematical Statistics, 30 (4): 1141–1144, doi:10.1214/aoms/1177706098.

↑ Newman, M. E. J. (2010). Networks: An Introduction. Oxford.

↑ ^9.0 ^9.1 Erdős, P. Rényi, A (1959) "On Random Graphs I" in Publ. Math. Debrecen 6, p. 290–297 [1] Archived 2020-08-07 at the Wayback Machine

↑ Ramezanpour, A.; Karimipour, V.; Mashaghi, A. (2003). "असंबद्ध नेटवर्क से सहसंबद्ध नेटवर्क बनाना". Phys. Rev. E. 67 (46107): 046107. arXiv:cond-mat/0212469. Bibcode:2003PhRvE..67d6107R. doi:10.1103/PhysRevE.67.046107. PMID 12786436. S2CID 33054818.

↑ Van Bussel, Frank; Ehrlich, Christoph; Fliegner, Denny; Stolzenberg, Sebastian; Timme, Marc (2010). "यादृच्छिक रेखांकन के रंगीन बहुपद". J. Phys. A: Math. Theor. 43 (17): 175002. arXiv:1709.06209. Bibcode:2010JPhA...43q5002V. doi:10.1088/1751-8113/43/17/175002. S2CID 15723612.

↑ Moreno, Jacob L; Jennings, Helen Hall (Jan 1938). "सामाजिक विन्यास के आँकड़े". Sociometry. 1 (3/4): 342–374. doi:10.2307/2785588. JSTOR 2785588.

↑ Solomonoff, Ray; Rapoport, Anatol (June 1951). "यादृच्छिक जाल की कनेक्टिविटी". Bulletin of Mathematical Biophysics. 13 (2): 107–117. doi:10.1007/BF02478357.

v
t
e
Stochastic processes
Discrete time

Bernoulli process

Branching process

Chinese restaurant process

Galton–Watson process

Independent and identically distributed random variables

Markov chain

Moran process

Random walk
Loop-erased

Self-avoiding

Biased

Maximal entropy

Continuous time

Additive process

Bessel process

Birth–death process
pure birth

Brownian motion
Bridge

Excursion

Fractional

Geometric

Meander

Cauchy process

Contact process

Continuous-time random walk

Cox process

Diffusion process

Empirical process

Feller process

Fleming–Viot process

Gamma process

Geometric process

Hawkes process

Hunt process

Interacting particle systems

Itô diffusion

Itô process

Jump diffusion

Jump process

Lévy process

Local time

Markov additive process

McKean–Vlasov process

Ornstein–Uhlenbeck process

Poisson process
Compound

Non-homogeneous

Schramm–Loewner evolution

Semimartingale

Sigma-martingale

Stable process

Superprocess

Telegraph process

Variance gamma process

Wiener process

Wiener sausage

Both

Branching process

Galves–Löcherbach model

Gaussian process

Hidden Markov model (HMM)

Markov process

Martingale
Differences

Local

Sub-

Super-

Random dynamical system

Regenerative process

Renewal process

Stochastic chains with memory of variable length

White noise

Fields and other

Dirichlet process

Gaussian random field

Gibbs measure

Hopfield model

Ising model
Potts model

Boolean network

Markov random field

Percolation

Pitman–Yor process

Point process
Cox

Poisson

Random field

Random graph

Time series models

Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model

Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model

Autoregressive (AR) model

Autoregressive–moving-average (ARMA) model

Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model

Moving-average (MA) model

Financial models

Binomial options pricing model

Black–Derman–Toy

Black–Karasinski

Black–Scholes

Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS)

Chen

Constant elasticity of variance (CEV)

Cox–Ingersoll–Ross (CIR)

Garman–Kohlhagen

Heath–Jarrow–Morton (HJM)

Heston

Ho–Lee

Hull–White

LIBOR market

Rendleman–Bartter

SABR volatility

Vašíček

Wilkie

Actuarial models

Bühlmann

Cramér–Lundberg

Risk process

Sparre–Anderson

Queueing models

Bulk

Fluid

Generalized queueing network

M/G/1

M/M/1

M/M/c

Properties

Càdlàg paths

Continuous

Continuous paths

Ergodic

Exchangeable

Feller-continuous

Gauss–Markov

Markov

Mixing

Piecewise deterministic

Predictable

Progressively measurable

Self-similar

Stationary

Time-reversible

Limit theorems

Central limit theorem

Donsker's theorem

Doob's martingale convergence theorems

Ergodic theorem

Fisher–Tippett–Gnedenko theorem

Large deviation principle

Law of large numbers (weak/strong)

Law of the iterated logarithm

Maximal ergodic theorem

Sanov's theorem

Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)

Inequalities

Burkholder–Davis–Gundy

Doob's martingale

Doob's upcrossing

Kunita–Watanabe

Marcinkiewicz–Zygmund

Tools

Cameron–Martin formula

Convergence of random variables

Doléans-Dade exponential

Doob decomposition theorem

Doob–Meyer decomposition theorem

Doob's optional stopping theorem

Dynkin's formula

Feynman–Kac formula

Filtration

Girsanov theorem

Infinitesimal generator

Itô integral

Itô's lemma

Karhunen–Loève theorem

Kolmogorov continuity theorem

Kolmogorov extension theorem

Lévy–Prokhorov metric

Malliavin calculus

Martingale representation theorem

Optional stopping theorem

Prokhorov's theorem

Quadratic variation

Reflection principle

Skorokhod integral

Skorokhod's representation theorem

Skorokhod space

Snell envelope

Stochastic differential equation
Tanaka

Stopping time

Stratonovich integral

Uniform integrability

Usual hypotheses

Wiener space
Classical

Abstract

Disciplines

Actuarial mathematics

Control theory

Econometrics

Ergodic theory

Extreme value theory (EVT)

Large deviations theory

Mathematical finance

Mathematical statistics

Probability theory

Queueing theory

Renewal theory

Ruin theory

Signal processing

Statistics

Stochastic analysis

Time series analysis

Machine learning

List of topics

Category

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[यादृच्छिक_रेखांकन-1] Bollobás, Béla (2001). यादृच्छिक रेखांकन (2nd ed.). Cambridge University Press.

[Introduction_to_Random_graphs-2] Frieze, Alan; Karonski, Michal (2015). यादृच्छिक रेखांकन का परिचय. Cambridge University Press.

[Random_Graphs2-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 ^3.4 ^3.5 Béla Bollobás, Random Graphs, 1985, Academic Press Inc., London Ltd.

[Random_Graphs3-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 Béla Bollobás, Probabilistic Combinatorics and Its Applications, 1991, Providence, RI: American Mathematical Society.

[Handbook-5] 5.0 ^5.1 Bollobas, B. and Riordan, O.M. "Mathematical results on scale-free random graphs" in "Handbook of Graphs and Networks" (S. Bornholdt and H.G. Schuster (eds)), Wiley VCH, Weinheim, 1st ed., 2003

[Random_Graphs-6] Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named Random Graphs

[Random_graphs-7] 7.0 ^7.1 Gilbert, E. N. (1959), "Random graphs", Annals of Mathematical Statistics, 30 (4): 1141–1144, doi:10.1214/aoms/1177706098.

[8] Newman, M. E. J. (2010). Networks: An Introduction. Oxford.

[On_Random_Graphs-9] 9.0 ^9.1 Erdős, P. Rényi, A (1959) "On Random Graphs I" in Publ. Math. Debrecen 6, p. 290–297 [1] Archived 2020-08-07 at the Wayback Machine

[10] Ramezanpour, A.; Karimipour, V.; Mashaghi, A. (2003). "असंबद्ध नेटवर्क से सहसंबद्ध नेटवर्क बनाना". Phys. Rev. E. 67 (46107): 046107. arXiv:cond-mat/0212469. Bibcode:2003PhRvE..67d6107R. doi:10.1103/PhysRevE.67.046107. PMID 12786436. S2CID 33054818.

[Chromatic_Polynomials_of_Random_Graphs-11] Van Bussel, Frank; Ehrlich, Christoph; Fliegner, Denny; Stolzenberg, Sebastian; Timme, Marc (2010). "यादृच्छिक रेखांकन के रंगीन बहुपद". J. Phys. A: Math. Theor. 43 (17): 175002. arXiv:1709.06209. Bibcode:2010JPhA...43q5002V. doi:10.1088/1751-8113/43/17/175002. S2CID 15723612.

[12] Moreno, Jacob L; Jennings, Helen Hall (Jan 1938). "सामाजिक विन्यास के आँकड़े". Sociometry. 1 (3/4): 342–374. doi:10.2307/2785588. JSTOR 2785588.

[13] Solomonoff, Ray; Rapoport, Anatol (June 1951). "यादृच्छिक जाल की कनेक्टिविटी". Bulletin of Mathematical Biophysics. 13 (2): 107–117. doi:10.1007/BF02478357.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

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[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

@@ Line 6: / Line 6: @@
 == मॉडल ==
-n अलग-अलग कोने के सेट से शुरू करके और यादृच्छिक रूप से उनके बीच क्रमिक किनारों को जोड़कर एक यादृच्छिक ग्राफ प्राप्त किया जाता है। इस क्षेत्र में अध्ययन का उद्देश्य यह निर्धारित करना है कि ग्राफ की एक विशेष संपत्ति किस स्तर पर उत्पन्न होने की संभावना है।<ref name = "Random Graphs2">[[Béla Bollobás]], ''Random Graphs'', 1985, Academic Press Inc., London Ltd.</ref> अलग-अलग यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल ग्राफ़ पर अलग-अलग संभाव्यता वितरण उत्पन्न करते हैं। [[एडगर गिल्बर्ट]] द्वारा प्रस्तावित सबसे आम तौर पर अध्ययन किया जाने वाला एक है, जिसे ''जी''(''एन'',''पी'') निरूपित किया गया है, जिसमें हर संभावित बढ़त स्वतंत्र रूप से प्रायिकता 0 <''पी'' <1 के साथ होती है। ''एम'' किनारों के साथ ''किसी एक विशेष'' यादृच्छिक ग्राफ को प्राप्त करने की प्रायिकता है <math>p^m (1-p)^{N-m}</math> अंकन के साथ <math>N = \tbinom{n}{2}</math>.<ref name = "Random Graphs3">[[Béla Bollobás]], ''Probabilistic Combinatorics and Its Applications'', 1991, Providence, RI: American Mathematical Society.</ref>
+यादृच्छिक ग्राफ n अलग-अलग कोने के समूह से प्रारम्भ करके और यादृच्छिक रूप से उनके बीच क्रमिक किनारों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस क्षेत्र में अध्ययन का उद्देश्य यह निर्धारित करना है कि ग्राफ की एक विशेष संपत्ति किस स्तर पर उत्पन्न होने की संभावना है।<ref name = "Random Graphs2">[[Béla Bollobás]], ''Random Graphs'', 1985, Academic Press Inc., London Ltd.</ref> अलग-अलग यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल ग्राफ़ पर अलग-अलग संभाव्यता वितरण उत्पन्न करते हैं। [[एडगर गिल्बर्ट]] द्वारा प्रस्तावित सबसे सामान्यतः अध्ययन किया जाने वाला है। जिसे ''G''(''n'',''p'') निरूपित किया गया है। जिसमें हर संभावित बढ़त स्वतंत्र रूप से प्रायिकता 0 < ''p'' < 1 के साथ होती है। m किनारों के साथ<math>N = \tbinom{n}{2}</math> ''किसी एक विशेष'' यादृच्छिक ग्राफ को प्राप्त करने की प्रायिकता <math>p^m (1-p)^{N-m}</math> है।<ref name = "Random Graphs3">[[Béla Bollobás]], ''Probabilistic Combinatorics and Its Applications'', 1991, Providence, RI: American Mathematical Society.</ref>
-एक करीबी से संबंधित मॉडल, एर्डोस-रेनी मॉडल जी (एन, एम) को दर्शाता है, बिल्कुल एम किनारों वाले सभी ग्राफों के लिए समान संभावना प्रदान करता है। 0 ≤ एम ≤ एन के साथ, जी (एन, एम) है <math>\tbinom{N}{M}</math> तत्व और प्रत्येक तत्व प्रायिकता के साथ होता है <math>1/\tbinom{N}{M}</math>.<ref name = "Random Graphs2" />  बाद वाले मॉडल को 'यादृच्छिक ग्राफ प्रक्रिया' के एक विशेष समय (एम) पर एक स्नैपशॉट के रूप में देखा जा सकता है। <math>\tilde{G}_n</math>, जो एक [[अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया]] है जो n कोने और बिना किनारों से शुरू होती है, और प्रत्येक चरण में लापता किनारों के सेट से समान रूप से चुने गए एक नए किनारे को जोड़ती है।
-यदि इसके बजाय हम वर्टिकल के एक अनंत सेट के साथ शुरू करते हैं, और फिर से हर संभावित किनारे को प्रायिकता 0 <p <1 के साथ स्वतंत्र रूप से होने देते हैं, तो हमें एक वस्तु G मिलती है जिसे 'अनंत यादृच्छिक ग्राफ' कहा जाता है। तुच्छ मामलों को छोड़कर जहां p 0 या 1 है, ऐसे G में [[लगभग निश्चित रूप से]] निम्नलिखित संपत्ति होती है:
+एक निकटतम संबंधित मॉडल एर्डोस-रेनी मॉडल ''G''(''n'',''M'') को दर्शाता है। बिल्कुल ''M'' किनारों वाले सभी ग्राफों के लिए समान संभावना प्रदान करता है। 0 ≤ ''M'' ≤ ''N'' के साथ ''G''(''n'',''M'') है। <math>\tbinom{N}{M}</math> तत्व और प्रत्येक तत्व प्रायिकता के साथ होता <math>1/\tbinom{N}{M}</math> है।<ref name="Random Graphs2" />  बाद वाले मॉडल को 'यादृच्छिक ग्राफ प्रक्रिया' के एक विशेष समय (''M'') पर एक स्नैपशॉट के रूप में देखा जा सकता है। <math>\tilde{G}_n</math>, जो एक [[अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया]] है। जो n कोने और बिना किनारों से प्रारम्भ होती है और प्रत्येक चरण में किनारों के समूह से समान रूप से चुने गए नए किनारे को जोड़ती है।
+यदि इसके बजाय हम वर्टिकल के एक अनंत समूह के साथ प्रारम्भ करते हैं, और फिर से हर संभावित किनारे को प्रायिकता 0 <p <1 के साथ स्वतंत्र रूप से होने देते हैं, तो हमें एक वस्तु G मिलती है जिसे 'अनंत यादृच्छिक ग्राफ' कहा जाता है। तुच्छ मामलों को छोड़कर जहां p 0 या 1 है, ऐसे G में [[लगभग निश्चित रूप से]] निम्नलिखित संपत्ति होती है:
 <blockquote> कोई भी n + m तत्व दिया गया है <math>a_1,\ldots, a_n,b_1,\ldots, b_m \in V</math>, V में एक शीर्ष c है जो प्रत्येक के निकट है <math>a_1,\ldots, a_n</math> और किसी के निकट नहीं है <math>b_1,\ldots, b_m</math></ब्लॉककोट>
-यह पता चला है कि यदि वर्टेक्स सेट [[ गणनीय ]] है, तो [[ग्राफ समरूपता]] [[तक]], इस संपत्ति के साथ केवल एक ही ग्राफ है, अर्थात् [[राडो ग्राफ]]। इस प्रकार कोई भी अनगिनत अनंत यादृच्छिक ग्राफ लगभग निश्चित रूप से राडो ग्राफ है, जिसे इस कारण से कभी-कभी केवल यादृच्छिक ग्राफ कहा जाता है। हालांकि, बेशुमार ग्राफ़ के लिए अनुरूप परिणाम सही नहीं है, जिनमें से कई (नॉनिसोमोर्फिक) ग्राफ़ हैं जो उपरोक्त संपत्ति को संतुष्ट करते हैं।
+यह पता चला है कि यदि वर्टेक्स समूह [[ गणनीय | गणनीय]] है, तो [[ग्राफ समरूपता]] [[तक]], इस संपत्ति के साथ केवल एक ही ग्राफ है, अर्थात् [[राडो ग्राफ]]। इस प्रकार कोई भी अनगिनत अनंत यादृच्छिक ग्राफ लगभग निश्चित रूप से राडो ग्राफ है, जिसे इस कारण से कभी-कभी केवल यादृच्छिक ग्राफ कहा जाता है। हालांकि, बेशुमार ग्राफ़ के लिए अनुरूप परिणाम सही नहीं है, जिनमें से कई (नॉनिसोमोर्फिक) ग्राफ़ हैं जो उपरोक्त संपत्ति को संतुष्ट करते हैं।
 एक अन्य मॉडल, जो गिल्बर्ट के यादृच्छिक ग्राफ मॉडल का सामान्यीकरण करता है, यादृच्छिक डॉट-उत्पाद मॉडल है। एक यादृच्छिक डॉट-उत्पाद ग्राफ प्रत्येक शीर्ष के साथ एक [[वास्तविक वेक्टर]] को जोड़ता है। किसी भी कोने ''u'' और ''v'' के बीच किनारे ''uv'' की संभावना उनके संबंधित वैक्टर के [[डॉट उत्पाद]] u • v का कुछ कार्य है।
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 [[नेटवर्क संभाव्यता मैट्रिक्स]] किनारे की संभावनाओं के माध्यम से यादृच्छिक रेखांकन करता है, जो संभावना का प्रतिनिधित्व करता है <math>p_{i,j}</math> वह एक दिया हुआ किनारा <math>e_{i,j}</math> एक निर्दिष्ट समय अवधि के लिए मौजूद है। यह मॉडल निर्देशित और अप्रत्यक्ष रूप से एक्स्टेंसिबल है; भारित और भारित; और स्थिर या गतिशील रेखांकन संरचना।
-एम ≃ पीएन के लिए, जहां एन संभव किनारों की अधिकतम संख्या है, दो सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किए जाने वाले मॉडल, जी (एन, एम) और जी (एन, पी), लगभग विनिमेय हैं।<ref name ="Handbook ">[[Béla Bollobás|Bollobas, B.]] and Riordan, O.M. "Mathematical results on scale-free random graphs" in "Handbook of Graphs and Networks" (S. Bornholdt and H.G. Schuster (eds)), Wiley VCH, Weinheim, 1st ed., 2003</ref>
+एम ≃ पीएन के लिए, जहां एन संभव किनारों की अधिकतम संख्या है, दो सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किए जाने वाले मॉडल, जी (एन, एम) और जी (एन, पी), लगभग विनिमेय हैं।<ref name="Handbook">[[Béla Bollobás|Bollobas, B.]] and Riordan, O.M. "Mathematical results on scale-free random graphs" in "Handbook of Graphs and Networks" (S. Bornholdt and H.G. Schuster (eds)), Wiley VCH, Weinheim, 1st ed., 2003</ref>
 [[यादृच्छिक नियमित ग्राफ]] एक विशेष मामला बनाते हैं, ऐसे गुणों के साथ जो सामान्य रूप से रैंडम ग्राफ़ से भिन्न हो सकते हैं।
-एक बार जब हमारे पास यादृच्छिक ग्राफ़ का एक मॉडल होता है, तो ग्राफ़ पर प्रत्येक फ़ंक्शन एक यादृच्छिक चर बन जाता है। इस मॉडल का अध्ययन यह निर्धारित करने के लिए है कि क्या, या कम से कम संभावना का अनुमान है कि एक संपत्ति हो सकती है।<ref name = "Random Graphs3" />
+एक बार जब हमारे पास यादृच्छिक ग्राफ़ का एक मॉडल होता है, तो ग्राफ़ पर प्रत्येक फ़ंक्शन एक यादृच्छिक चर बन जाता है। इस मॉडल का अध्ययन यह निर्धारित करने के लिए है कि क्या, या कम से कम संभावना का अनुमान है कि एक संपत्ति हो सकती है।<ref name="Random Graphs3" />
 == शब्दावली ==
-यादृच्छिक ग्राफ के संदर्भ में 'लगभग हर' शब्द रिक्त स्थान और संभावनाओं के अनुक्रम को संदर्भित करता है, जैसे कि त्रुटि संभावना शून्य हो जाती है।<ref name = "Random Graphs3" />
+यादृच्छिक ग्राफ के संदर्भ में 'लगभग हर' शब्द रिक्त स्थान और संभावनाओं के अनुक्रम को संदर्भित करता है, जैसे कि त्रुटि संभावना शून्य हो जाती है।<ref name="Random Graphs3" />
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 यादृच्छिक रेखांकन का सिद्धांत यादृच्छिक रेखांकन के विशिष्ट गुणों का अध्ययन करता है, जो किसी विशेष वितरण से तैयार किए गए रेखांकन के लिए उच्च संभावना रखते हैं। उदाहरण के लिए, हम दिए गए मान के लिए पूछ सकते हैं <math>n</math> और <math>p</math> इसकी क्या संभावना है <math>G(n,p)</math> [[कनेक्शन (गणित)]] है। ऐसे प्रश्नों का अध्ययन करने में, शोधकर्ता अक्सर यादृच्छिक रेखांकन के स्पर्शोन्मुख व्यवहार पर ध्यान केंद्रित करते हैं - वे मूल्य जो विभिन्न संभावनाओं के रूप में परिवर्तित होते हैं <math>n</math> बहुत बड़ा हो जाता है। [[परकोलेशन सिद्धांत]] यादृच्छिक रेखांकन की संबद्धता की विशेषता बताता है, विशेष रूप से असीम रूप से बड़े वाले।
-परकोलेशन ग्राफ की मजबूती से संबंधित है (जिसे नेटवर्क भी कहा जाता है)। का एक यादृच्छिक ग्राफ दिया <math>n</math> नोड्स और एक औसत डिग्री <math>\langle k\rangle</math>. अगला हम बेतरतीब ढंग से एक अंश निकालते हैं <math>1-p</math> नोड्स की और केवल एक अंश छोड़ दें <math>p</math>. एक महत्वपूर्ण रिसाव सीमा मौजूद है <math>p_c=\tfrac{1}{\langle k\rangle}</math> जिसके नीचे ऊपर रहते हुए नेटवर्क खंडित हो जाता है <math>p_c</math> एक विशाल जुड़ा हुआ घटक मौजूद है।<ref name = "Random Graphs" /><ref name ="Handbook " /><ref name = "Random graphs" /><ref>{{cite book  |title=Networks: An Introduction |last= Newman |first=M. E. J. |year= 2010 |publisher=  Oxford}}</ref><ref name ="On Random Graphs" />
+परकोलेशन ग्राफ की मजबूती से संबंधित है (जिसे नेटवर्क भी कहा जाता है)। का एक यादृच्छिक ग्राफ दिया <math>n</math> नोड्स और एक औसत डिग्री <math>\langle k\rangle</math>. अगला हम बेतरतीब ढंग से एक अंश निकालते हैं <math>1-p</math> नोड्स की और केवल एक अंश छोड़ दें <math>p</math>. एक महत्वपूर्ण रिसाव सीमा मौजूद है <math>p_c=\tfrac{1}{\langle k\rangle}</math> जिसके नीचे ऊपर रहते हुए नेटवर्क खंडित हो जाता है <math>p_c</math> एक विशाल जुड़ा हुआ घटक मौजूद है।<ref name="Random Graphs" /><ref name="Handbook" /><ref name="Random graphs" /><ref>{{cite book  |title=Networks: An Introduction |last= Newman |first=M. E. J. |year= 2010 |publisher=  Oxford}}</ref><ref name="On Random Graphs" />
 स्थानीयकृत परकोलेशन एक नोड को उसके पड़ोसियों, अगले निकटतम पड़ोसियों आदि को एक अंश तक हटाने के लिए संदर्भित करता है <math>1-p</math> नेटवर्क से नोड्स हटा दिए जाते हैं। यह दिखाया गया था कि डिग्री के प्वासों वितरण के साथ यादृच्छिक ग्राफ के लिए <math>p_c=\tfrac{1}{\langle k\rangle}</math> बिल्कुल यादृच्छिक हटाने के लिए।
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 संभाव्यता पद्धति में रैंडम ग्राफ़ का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जहाँ कोई कुछ गुणों वाले ग्राफ़ के अस्तित्व को सिद्ध करने का प्रयास करता है। एक यादृच्छिक ग्राफ पर एक संपत्ति का अस्तित्व अक्सर ज़ेमेरीडी नियमितता लेम्मा के माध्यम से, लगभग सभी ग्राफों पर उस संपत्ति के अस्तित्व का संकेत दे सकता है।
-यादृच्छिक नियमित रेखांकन में, <math>G(n,r-reg)</math> का सेट हैं <math>r</math>-नियमित रेखांकन के साथ <math>r = r(n)</math> ऐसा है कि <math>n</math> और <math>m</math> प्राकृतिक संख्या हैं, <math>3 \le r  < n</math>, और <math>rn = 2m</math> सम है।<ref name = "Random Graphs2" />
+यादृच्छिक नियमित रेखांकन में, <math>G(n,r-reg)</math> का समूह हैं <math>r</math>-नियमित रेखांकन के साथ <math>r = r(n)</math> ऐसा है कि <math>n</math> और <math>m</math> प्राकृतिक संख्या हैं, <math>3 \le r  < n</math>, और <math>rn = 2m</math> सम है।<ref name="Random Graphs2" />
-एक ग्राफ का डिग्री अनुक्रम <math>G</math> में <math>G^n</math> सेट में केवल किनारों की संख्या पर निर्भर करता है<ref name = "Random Graphs2" />:<math>V_n^{(2)} = \left \{ij \ : \ 1 \leq j \leq n, i \neq j \right \} \subset V^{(2)}, \qquad  i=1, \cdots, n.</math>
+एक ग्राफ का डिग्री अनुक्रम <math>G</math> में <math>G^n</math> समूह में केवल किनारों की संख्या पर निर्भर करता है<ref name="Random Graphs2" />:<math>V_n^{(2)} = \left \{ij \ : \ 1 \leq j \leq n, i \neq j \right \} \subset V^{(2)}, \qquad  i=1, \cdots, n.</math>
-अगर किनारे, <math>M</math> एक यादृच्छिक ग्राफ में <math>G_M</math> यह सुनिश्चित करने के लिए काफी बड़ा है कि लगभग हर <math>G_M</math> न्यूनतम डिग्री कम से कम 1 है, तो लगभग हर <math>G_M</math> जुड़ा हुआ है और, अगर <math>n</math> सम है, लगभग हर <math>G_M</math> पूर्ण मिलान है। विशेष रूप से, जिस क्षण लगभग हर यादृच्छिक ग्राफ में अंतिम पृथक शीर्ष गायब हो जाता है, ग्राफ जुड़ा हो जाता है।<ref name = "Random Graphs2" />
+अगर किनारे, <math>M</math> एक यादृच्छिक ग्राफ में <math>G_M</math> यह सुनिश्चित करने के लिए काफी बड़ा है कि लगभग हर <math>G_M</math> न्यूनतम डिग्री कम से कम 1 है, तो लगभग हर <math>G_M</math> जुड़ा हुआ है और, अगर <math>n</math> सम है, लगभग हर <math>G_M</math> पूर्ण मिलान है। विशेष रूप से, जिस क्षण लगभग हर यादृच्छिक ग्राफ में अंतिम पृथक शीर्ष गायब हो जाता है, ग्राफ जुड़ा हो जाता है।<ref name="Random Graphs2" />
 लगभग हर ग्राफ़ प्रक्रिया सम संख्याओं पर होती है, जिसके किनारे न्यूनतम डिग्री को 1 तक बढ़ाते हैं या एक यादृच्छिक ग्राफ़ से थोड़ा अधिक होता है <math>\tfrac{n}{4}\log(n)</math> किनारों और 1 के करीब संभावना के साथ यह सुनिश्चित करता है कि ग्राफ़ में पूर्ण मिलान हो, अधिकतम एक शीर्ष के अपवाद के साथ।
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 == रंग ==
-शीर्ष V (G) = {1, ..., n} के साथ ऑर्डर n के एक यादृच्छिक ग्राफ G को देखते हुए, रंगों की संख्या पर लालची एल्गोरिथ्म द्वारा, रंगों को 1, 2, ... रंगों से रंगा जा सकता है। (शीर्ष 1 रंगीन 1 है, शीर्ष 2 रंगीन 1 है यदि यह शीर्ष 1 के निकट नहीं है, अन्यथा यह 2 रंगीन है, आदि)।<ref name = "Random Graphs2" />कई क्यू रंगों को दिए गए यादृच्छिक ग्राफ़ के उचित रंगों की संख्या, जिसे इसके [[रंगीन बहुपद]] कहा जाता है, अब तक अज्ञात है। पैरामीटर n और किनारों की संख्या m या कनेक्शन प्रायिकता p के साथ यादृच्छिक ग्राफ़ के रंगीन बहुपद के शून्य के स्केलिंग को सांकेतिक पैटर्न मिलान के आधार पर एक एल्गोरिथ्म का उपयोग करके अनुभवजन्य रूप से अध्ययन किया गया है।<ref name = "Chromatic Polynomials of Random Graphs">{{cite journal | last1 = Van Bussel | first1 = Frank | last2 = Ehrlich | first2 = Christoph | last3 = Fliegner | first3 = Denny | last4 = Stolzenberg | first4 = Sebastian | last5 = Timme | first5 = Marc | year = 2010 | title = यादृच्छिक रेखांकन के रंगीन बहुपद| journal = J. Phys. A: Math. Theor. | volume = 43 | issue = 17| page = 175002 | doi = 10.1088/1751-8113/43/17/175002 | arxiv = 1709.06209 | bibcode = 2010JPhA...43q5002V | s2cid = 15723612 }}</ref>
+शीर्ष V (G) = {1, ..., n} के साथ ऑर्डर n के एक यादृच्छिक ग्राफ G को देखते हुए, रंगों की संख्या पर लालची एल्गोरिथ्म द्वारा, रंगों को 1, 2, ... रंगों से रंगा जा सकता है। (शीर्ष 1 रंगीन 1 है, शीर्ष 2 रंगीन 1 है यदि यह शीर्ष 1 के निकट नहीं है, अन्यथा यह 2 रंगीन है, आदि)।<ref name="Random Graphs2" />कई क्यू रंगों को दिए गए यादृच्छिक ग्राफ़ के उचित रंगों की संख्या, जिसे इसके [[रंगीन बहुपद]] कहा जाता है, अब तक अज्ञात है। पैरामीटर n और किनारों की संख्या m या कनेक्शन प्रायिकता p के साथ यादृच्छिक ग्राफ़ के रंगीन बहुपद के शून्य के स्केलिंग को सांकेतिक पैटर्न मिलान के आधार पर एक एल्गोरिथ्म का उपयोग करके अनुभवजन्य रूप से अध्ययन किया गया है।<ref name="Chromatic Polynomials of Random Graphs">{{cite journal | last1 = Van Bussel | first1 = Frank | last2 = Ehrlich | first2 = Christoph | last3 = Fliegner | first3 = Denny | last4 = Stolzenberg | first4 = Sebastian | last5 = Timme | first5 = Marc | year = 2010 | title = यादृच्छिक रेखांकन के रंगीन बहुपद| journal = J. Phys. A: Math. Theor. | volume = 43 | issue = 17| page = 175002 | doi = 10.1088/1751-8113/43/17/175002 | arxiv = 1709.06209 | bibcode = 2010JPhA...43q5002V | s2cid = 15723612 }}</ref>
 == रैंडम पेड़ ==
 {{main|Random tree}}
-एक रैंडम [[ट्रीप]] एक ट्री (ग्राफ थ्योरी) या आर्बोरेसेंस (ग्राफ थ्योरी) है जो एक स्टोचैस्टिक प्रक्रिया द्वारा बनता है। क्रम n और आकार M(n) के यादृच्छिक रेखांकन की एक बड़ी श्रृंखला में क्रम k के पेड़ घटकों की संख्या का वितरण विषम रूप से पॉइसन वितरण है। [[ यादृच्छिक पेड़ ]] के प्रकारों में [[ एक समान फैला हुआ पेड़ ]], [[यादृच्छिक न्यूनतम फैले पेड़]], [[ यादृच्छिक बाइनरी ट्री ]], ट्रैप, तेजी से रैंडम ट्री, [[ ब्राउनियन पेड़ ]] और [[ यादृच्छिक वन ]] शामिल हैं।
+एक रैंडम [[ट्रीप]] एक ट्री (ग्राफ थ्योरी) या आर्बोरेसेंस (ग्राफ थ्योरी) है जो एक स्टोचैस्टिक प्रक्रिया द्वारा बनता है। क्रम n और आकार M(n) के यादृच्छिक रेखांकन की एक बड़ी श्रृंखला में क्रम k के पेड़ घटकों की संख्या का वितरण विषम रूप से पॉइसन वितरण है। [[ यादृच्छिक पेड़ | यादृच्छिक पेड़]] के प्रकारों में [[ एक समान फैला हुआ पेड़ | एक समान फैला हुआ पेड़]] , [[यादृच्छिक न्यूनतम फैले पेड़]], [[ यादृच्छिक बाइनरी ट्री | यादृच्छिक बाइनरी ट्री]] , ट्रैप, तेजी से रैंडम ट्री, [[ ब्राउनियन पेड़ | ब्राउनियन पेड़]] और [[ यादृच्छिक वन | यादृच्छिक वन]] शामिल हैं।
 == सशर्त यादृच्छिक रेखांकन ==
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 == इतिहास ==
-रैंडम ग्राफ मॉडल का सबसे पहला उपयोग 1938 में [[हेलेन हॉल जेनिंग्स]] और [[ याकूब मोरेनो ]] द्वारा किया गया था, जहां यादृच्छिक मॉडल के साथ उनके नेटवर्क डेटा में पारस्परिक लिंक के अंश की तुलना करने के अध्ययन में एक चांस सोशियोग्राम (एक निर्देशित एर्दोस-रेनी मॉडल) पर विचार किया गया था।<ref>{{cite journal |last1=Moreno |first1=Jacob L |last2=Jennings |first2=Helen Hall |title=सामाजिक विन्यास के आँकड़े|journal=Sociometry |date=Jan 1938 |volume=1 |issue=3/4 |pages=342–374 |doi=10.2307/2785588|jstor=2785588 }}</ref> 1951 में [[रे सोलोमनॉफ]]़ और [[अनातोल रैपोपोर्ट]] द्वारा रेंडम नेट नाम के तहत एक और प्रयोग, निश्चित आउट-डिग्री के साथ निर्देशित ग्राफ़ के एक मॉडल का उपयोग करके और बेतरतीब ढंग से चुने गए अनुलग्नकों को अन्य कोने में किया गया था।<ref>{{cite journal |last1=Solomonoff |first1=Ray |last2=Rapoport |first2=Anatol |title=यादृच्छिक जाल की कनेक्टिविटी|journal=Bulletin of Mathematical Biophysics |date=June 1951 |volume=13 |issue=2 |pages=107–117 |doi=10.1007/BF02478357}}</ref>
+रैंडम ग्राफ मॉडल का सबसे पहला उपयोग 1938 में [[हेलेन हॉल जेनिंग्स]] और [[ याकूब मोरेनो | याकूब मोरेनो]] द्वारा किया गया था, जहां यादृच्छिक मॉडल के साथ उनके नेटवर्क डेटा में पारस्परिक लिंक के अंश की तुलना करने के अध्ययन में एक चांस सोशियोग्राम (एक निर्देशित एर्दोस-रेनी मॉडल) पर विचार किया गया था।<ref>{{cite journal |last1=Moreno |first1=Jacob L |last2=Jennings |first2=Helen Hall |title=सामाजिक विन्यास के आँकड़े|journal=Sociometry |date=Jan 1938 |volume=1 |issue=3/4 |pages=342–374 |doi=10.2307/2785588|jstor=2785588 }}</ref> 1951 में [[रे सोलोमनॉफ]]़ और [[अनातोल रैपोपोर्ट]] द्वारा रेंडम नेट नाम के तहत एक और प्रयोग, निश्चित आउट-डिग्री के साथ निर्देशित ग्राफ़ के एक मॉडल का उपयोग करके और बेतरतीब ढंग से चुने गए अनुलग्नकों को अन्य कोने में किया गया था।<ref>{{cite journal |last1=Solomonoff |first1=Ray |last2=Rapoport |first2=Anatol |title=यादृच्छिक जाल की कनेक्टिविटी|journal=Bulletin of Mathematical Biophysics |date=June 1951 |volume=13 |issue=2 |pages=107–117 |doi=10.1007/BF02478357}}</ref>
-रैंडम ग्राफ़ के एर्डोस-रेनी मॉडल को पहली बार पॉल एर्दोस और अल्फ्रेड रेनी द्वारा उनके 1959 के पेपर ऑन रैंडम ग्राफ़ में परिभाषित किया गया था।<ref name ="On Random Graphs">[[Paul Erdős|Erdős, P.]] [[Alfréd Rényi|Rényi, A]] (1959) "On Random Graphs I" in Publ. Math. Debrecen 6, p.&nbsp;290&ndash;297 [http://www.renyi.hu/~p_erdos/1959-11.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200807021117/https://www.renyi.hu/~p_erdos/1959-11.pdf |date=2020-08-07 }}</ref> और स्वतंत्र रूप से गिल्बर्ट द्वारा अपने पेपर रैंडम ग्राफ़ में।<ref name = "Random graphs">{{citation |last= Gilbert |first= E. N. |author-link=Edgar Gilbert|year=1959 |title=Random graphs |journal=Annals of Mathematical Statistics |volume= 30|issue= 4 |pages=1141–1144|doi=10.1214/aoms/1177706098 |doi-access=free }}.</ref>
+रैंडम ग्राफ़ के एर्डोस-रेनी मॉडल को पहली बार पॉल एर्दोस और अल्फ्रेड रेनी द्वारा उनके 1959 के पेपर ऑन रैंडम ग्राफ़ में परिभाषित किया गया था।<ref name="On Random Graphs">[[Paul Erdős|Erdős, P.]] [[Alfréd Rényi|Rényi, A]] (1959) "On Random Graphs I" in Publ. Math. Debrecen 6, p.&nbsp;290&ndash;297 [http://www.renyi.hu/~p_erdos/1959-11.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200807021117/https://www.renyi.hu/~p_erdos/1959-11.pdf |date=2020-08-07 }}</ref> और स्वतंत्र रूप से गिल्बर्ट द्वारा अपने पेपर रैंडम ग्राफ़ में।<ref name="Random graphs">{{citation |last= Gilbert |first= E. N. |author-link=Edgar Gilbert|year=1959 |title=Random graphs |journal=Annals of Mathematical Statistics |volume= 30|issue= 4 |pages=1141–1144|doi=10.1214/aoms/1177706098 |doi-access=free }}.</ref>
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 * ग्राफ सिद्धांत
 * [[अन्योन्याश्रित नेटवर्क]]
-* [[ नेटवर्क विज्ञान ]]
+* [[ नेटवर्क विज्ञान | नेटवर्क विज्ञान]]
-* [[ टपकन ]]
+* [[ टपकन | टपकन]]
 * परकोलेशन थ्योरी
 * जेलेशन का रैंडम ग्राफ थ्योरी
 * [[नियमित ग्राफ]]
-* [[ स्केल मुक्त नेटवर्क ]]
+* [[ स्केल मुक्त नेटवर्क | स्केल मुक्त नेटवर्क]]
 * सेमीलाइनर प्रतिक्रिया
 * [[स्टोकेस्टिक ब्लॉक मॉडल]]
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 {{Stochastic processes}}
-{{DEFAULTSORT:Random Graph}}[[Category: ग्राफ सिद्धांत]] [[Category: यादृच्छिक रेखांकन|*]]
+{{DEFAULTSORT:Random Graph}}
+[[Category: ग्राफ सिद्धांत]]
+[[index.php?title=Category:यादृच्छिक रेखांकन|*]]
 [[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 21/03/2023]]

v t e Stochastic processes
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Galves–Löcherbach model Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
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