बिना शर्त अभिसरण: Difference between revisions

Revision as of 23:29, 1 April 2023

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण, श्रृंखला बिना शर्त अभिसारी होती है यदि श्रृंखला के सभी पुनर्क्रम ही मान पर अभिसरण करते हैं। इसके विपरीत, श्रृंखला सशर्त अभिसरण है यदि यह अभिसरण करती है लेकिन अलग-अलग क्रम सभी ही मूल्य पर अभिसरण नहीं करते हैं। बिना शर्त अभिसरण आयाम (सदिश स्थल) | परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान में पूर्ण अभिसरण के बराबर है, लेकिन अनंत आयामों में कमजोर संपत्ति है।

परिभाषा

होने देना $X$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस बनें। होने देना $I$ एक सूचकांक सेट हो और $x_{i}\in X$ सभी के लिए $i\in I.$ श्रृंखला $\textstyle \sum _{i\in I}x_{i}$ बिना शर्त के अभिसरण कहा जाता है $x\in X,$ अगर

इंडेक्सिंग सेट $I_{0}:=\left\{i\in I:x_{i}\neq 0\right\}$ गणनीय है, और
प्रत्येक क्रमपरिवर्तन (आपत्ति) के लिए $\sigma :I_{0}\to I_{0}$ का $I_{0}=\left\{i_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ निम्नलिखित संबंध रखता है: $\sum _{k=1}^{\infty }x_{\sigma \left(i_{k}\right)}=x.$

वैकल्पिक परिभाषा

बिना शर्त अभिसरण को अक्सर समान तरीके से परिभाषित किया जाता है: प्रत्येक क्रम के लिए श्रृंखला बिना शर्त अभिसरण होती है $\left(\varepsilon _{n}\right)_{n=1}^{\infty },$ साथ $\varepsilon _{n}\in \{-1,+1\},$ श्रृंखला

\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}

अभिसरण।

अगर $X$ बानाच स्थान है, प्रत्येक पूर्ण अभिसरण श्रृंखला बिना शर्त अभिसरण है, लेकिन बातचीत (तर्क) निहितार्थ सामान्य रूप से नहीं होता है। दरअसल, अगर $X$ अनंत-आयामी बैनाच स्थान है, तो निरपेक्ष अभिसरण#पुनर्व्यवस्था और बिना शर्त अभिसरण|ड्वोरेट्ज़की-रोजर्स प्रमेय द्वारा इस स्थान में हमेशा बिना शर्त अभिसरण श्रृंखला मौजूद होती है जो बिल्कुल अभिसरण नहीं होती है। हालांकि कब $X=\mathbb {R} ^{n},$ रीमैन श्रृंखला प्रमेय द्वारा, श्रृंखला ${\textstyle \sum _{n}x_{n}}$ बिना शर्त अभिसरण है अगर और केवल अगर यह बिल्कुल अभिसरण है।

यह भी देखें

संदर्भ

Ch. Heil: A Basis Theory Primer
Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. ISBN 9780486601533.
Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 9780486661650.
Wojtaszczyk, P. (1996). Banach spaces for analysts. Cambridge University Press. ISBN 9780521566759.

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-गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]],                    श्रृंखला बिना शर्त अभिसारी होती है यदि श्रृंखला के सभी पुनर्क्रम                    ही मान पर अभिसरण करते हैं। इसके विपरीत,                    श्रृंखला [[सशर्त अभिसरण]] है यदि यह अभिसरण करती है लेकिन अलग-अलग क्रम सभी                    ही मूल्य पर अभिसरण नहीं करते हैं। बिना शर्त अभिसरण आयाम ([[सदिश स्थल]]) | परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान में [[पूर्ण अभिसरण]] के बराबर है, लेकिन अनंत आयामों में                    कमजोर संपत्ति है।
+गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]], श्रृंखला बिना शर्त अभिसारी होती है यदि श्रृंखला के सभी पुनर्क्रम ही मान पर अभिसरण करते हैं। इसके विपरीत, श्रृंखला [[सशर्त अभिसरण]] है यदि यह अभिसरण करती है लेकिन अलग-अलग क्रम सभी ही मूल्य पर अभिसरण नहीं करते हैं। बिना शर्त अभिसरण आयाम ([[सदिश स्थल]]) | परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान में [[पूर्ण अभिसरण]] के बराबर है, लेकिन अनंत आयामों में कमजोर संपत्ति है।
 == परिभाषा ==
-होने देना <math>X</math>                    [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] बनें। होने देना <math>I</math> एक [[ सूचकांक सेट ]] हो और <math>x_i \in X</math> सभी के लिए <math>i \in I.</math>
+होने देना <math>X</math> [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] बनें। होने देना <math>I</math> एक [[ सूचकांक सेट |सूचकांक सेट]] हो और <math>x_i \in X</math> सभी के लिए <math>i \in I.</math>
-श्रृंखला <math>\textstyle \sum_{i \in I} x_i</math> बिना शर्त के अभिसरण कहा जाता है  <math>x \in X,</math> अगर
+श्रृंखला <math>\textstyle \sum_{i \in I} x_i</math> बिना शर्त के अभिसरण कहा जाता है <math>x \in X,</math> अगर
 * इंडेक्सिंग सेट <math>I_0 := \left\{i \in I : x_i \neq 0\right\}</math> [[गणनीय]] है, और
 * प्रत्येक क्रम[[परिवर्तन]] (आपत्ति) के लिए <math>\sigma : I_0 \to I_0</math> का <math>I_0 = \left\{i_k\right\}_{k=1}^\infty</math> निम्नलिखित संबंध रखता है: <math>\sum_{k=1}^\infty x_{\sigma\left(i_k\right)} = x.</math>
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 == वैकल्पिक परिभाषा ==
-बिना शर्त अभिसरण को अक्सर                    समान तरीके से परिभाषित किया जाता है: प्रत्येक क्रम के लिए                    श्रृंखला बिना शर्त अभिसरण होती है <math>\left(\varepsilon_n\right)_{n=1}^\infty,</math> साथ <math>\varepsilon_n \in \{-1, +1\},</math> श्रृंखला
+बिना शर्त अभिसरण को अक्सर समान तरीके से परिभाषित किया जाता है: प्रत्येक क्रम के लिए श्रृंखला बिना शर्त अभिसरण होती है <math>\left(\varepsilon_n\right)_{n=1}^\infty,</math> साथ <math>\varepsilon_n \in \{-1, +1\},</math> श्रृंखला
 <math display=block>\sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n x_n</math>
 अभिसरण।
-अगर <math>X</math>                    बानाच स्थान है, प्रत्येक पूर्ण अभिसरण श्रृंखला बिना शर्त अभिसरण है, लेकिन [[बातचीत (तर्क)]] निहितार्थ सामान्य रूप से नहीं होता है। दरअसल, अगर <math>X</math>                    अनंत-आयामी बैनाच स्थान है, तो निरपेक्ष अभिसरण#पुनर्व्यवस्था और बिना शर्त अभिसरण|ड्वोरेट्ज़की-रोजर्स प्रमेय द्वारा इस स्थान में हमेशा                    बिना शर्त अभिसरण श्रृंखला मौजूद होती है जो बिल्कुल अभिसरण नहीं होती है। हालांकि कब <math>X = \R^n,</math> [[रीमैन श्रृंखला प्रमेय]] द्वारा, श्रृंखला <math display=inline>\sum_n x_n</math> बिना शर्त अभिसरण है अगर और केवल अगर यह बिल्कुल अभिसरण है।
+अगर <math>X</math> बानाच स्थान है, प्रत्येक पूर्ण अभिसरण श्रृंखला बिना शर्त अभिसरण है, लेकिन [[बातचीत (तर्क)]] निहितार्थ सामान्य रूप से नहीं होता है। दरअसल, अगर <math>X</math> अनंत-आयामी बैनाच स्थान है, तो निरपेक्ष अभिसरण#पुनर्व्यवस्था और बिना शर्त अभिसरण|ड्वोरेट्ज़की-रोजर्स प्रमेय द्वारा इस स्थान में हमेशा बिना शर्त अभिसरण श्रृंखला मौजूद होती है जो बिल्कुल अभिसरण नहीं होती है। हालांकि कब <math>X = \R^n,</math> [[रीमैन श्रृंखला प्रमेय]] द्वारा, श्रृंखला <math display=inline>\sum_n x_n</math> बिना शर्त अभिसरण है अगर और केवल अगर यह बिल्कुल अभिसरण है।
 == यह भी देखें ==

v t e Analysis in topological vector spaces
Basic concepts	Abstract Wiener space Classical Wiener space Bochner space Convex series Cylinder set measure Infinite-dimensional vector function Matrix calculus Vector calculus
Derivatives	Differentiable vector–valued functions from Euclidean space Differentiation in Fréchet spaces Fréchet derivative Total Functional derivative Gateaux derivative Directional Generalizations of the derivative Hadamard derivative Holomorphic Quasi-derivative
Measurability	Besov measure Cylinder set measure Canonical Gaussian Classical Wiener measure Measure like set functions infinite-dimensional Gaussian measure Projection-valued Vector Bochner / Weakly / Strongly measurable function Radonifying function
Integrals	Bochner Direct integral Dunford Gelfand–Pettis/Weak Regulated Paley–Wiener
Results	Cameron–Martin theorem Inverse function theorem Nash–Moser theorem Feldman–Hájek theorem No infinite-dimensional Lebesgue measure Sazonov's theorem Structure theorem for Gaussian measures
Related	Covariance operator
Functional calculus	Borel functional calculus Continuous functional calculus Holomorphic functional calculus
Applications	Banach manifold (bundle) Convenient vector space Choquet theory Fréchet manifold Hilbert manifold

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