प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह

Not to be confused with वैकल्पिक मैट्रिक्स.

${\begin{matrix}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-1&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\end{matrix}}$

आकार 3 के सात वैकल्पिक चिह्न आव्यूह

गणित में, प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह 0s, 1s, और -1s का एक वर्ग आव्यूह है, जैसे कि प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ का योग 1 है और प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में गैर-शून्य प्रविष्टियां संकेत में प्रत्यावर्ती होती हैं। क्रमपरिवर्तन आव्यूह स्क्वायर आव्यूह को सामान्य करते हैं और निर्धारक की गणना करने के लिए डोडसन संघनन का उपयोग करते समय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। वे सांख्यिकीय यांत्रिकी से डोमेन दीवार सीमा स्थितियों के साथ छह-शीर्ष मॉडल से भी निकटता से संबंधित हैं। पूर्व संदर्भ में उन्हें सबसे पहले विलियम मिल्स, डेविड पी. रॉबिंस और हावर्ड रुम्सी द्वारा परिभाषित किया गया था।

उदाहरण

एक क्रमचय आव्यूह एक प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह है, और प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह एक क्रमचय आव्यूह है यदि और केवल यदि कोई प्रविष्टि सामान्य नहीं है −1.

एक प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह का उदाहरण जो क्रमचय आव्यूह नहीं है

पहेली चित्र

:${\begin{bmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&-1&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.$

प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह प्रमेय

प्रत्यावर्ती चिह्न आव्यूह प्रमेय बताता है कि की संख्या $n\times n$ प्रत्यावर्ती संकेत आव्यूह है

$\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {(3k+1)!}{(n+k)!}}={\frac {1!\,4!\,7!\cdots (3n-2)!}{n!\,(n+1)!\cdots (2n-1)!}}.$

इस क्रम में n = 0, 1, 2, 3, … के लिए पहले कुछ पद हैं

1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, … (sequence A005130 in the OEIS).

यह प्रमेय पहली बार 1992 में डोरोन ज़िलबर्गर द्वारा सिद्ध किया गया था। 1995 में, ग्रेग कूपरबर्ग ने एक छोटा प्रमाण दिया डोमेन-दीवार सीमा नियमो के साथ सिक्स-वर्टेक्स मॉडल के लिए यांग-बैक्सटर समीकरण पर आधारित, जो अनातोली इज़ेरगिन के कारण एक निर्धारक गणना का उपयोग करता है। 2005 में, इल फिशर द्वारा तीसरा प्रमाण दिया गया था जिसे ऑपरेटर विधि कहा जाता है।

रज़ूमोव-स्ट्रोगनोव समस्या

2001 में, ए. रज़ूमोव और वाई. स्ट्रोगानोव ने ओ (1) लूप मॉडल, फुली पैक्ड लूप मॉडल (एफपीएल) और एएसएम के बीच संबंध का अनुमान लगाया। यह अनुमान 2010 में कैंटिनी और स्पोर्टिएलो द्वारा सिद्ध किया गया था।

अग्रिम पठन

• Bressoud, David M., Proofs and Confirmations, MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, D.C., 1999.
• Bressoud, David M. and Propp, James, How the alternating sign matrix conjecture was solved, Notices of the American Mathematical Society, 46 (1999), 637–646.
• Mills, William H., Robbins, David P., and Rumsey, Howard Jr., Proof of the Macdonald conjecture, Inventiones Mathematicae, 66 (1982), 73–87.
• Mills, William H., Robbins, David P., and Rumsey, Howard Jr., Alternating sign matrices and descending plane partitions, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 34 (1983), 340–359.
• Propp, James, The many faces of alternating-sign matrices, Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, Special issue on Discrete Models: Combinatorics, Computation, and Geometry (July 2001).
• Razumov, A. V., Stroganov Yu. G., Combinatorial nature of ground state vector of O(1) loop model, Theor. Math. Phys., 138 (2004), 333–337.
• Razumov, A. V., Stroganov Yu. G., O(1) loop model with different boundary conditions and symmetry classes of alternating-sign matrices], Theor. Math. Phys., 142 (2005), 237–243, arXiv:cond-mat/0108103
• Robbins, David P., The story of $1,2,7,42,429,7436,\dots$, The Mathematical Intelligencer, 13 (2), 12–19 (1991), doi:10.1007/BF03024081.
• Zeilberger, Doron, Proof of the refined alternating sign matrix conjecture, New York Journal of Mathematics 2 (1996), 59–68.

बाहरी संबंध

• Alternating sign matrix entry in MathWorld
• Alternating sign matrices entry in the FindStat database