यादृच्छिक तत्व: Difference between revisions

Revision as of 11:40, 28 March 2023

प्रायिकता सिद्धांत में, यादृच्छिक तत्व सरल वास्तविक रेखा की तुलना में अधिक जटिल स्थानों के लिए यादृच्छिक चर की अवधारणा का सामान्यीकरण है। इस अवधारणा को मौरिस फ्रेचेट (1948) द्वारा पेश किया गया था जिन्होंने टिप्पणी की कि "प्रायिकता सिद्धांत के विकास और इसके अनुप्रयोगों के क्षेत्र के विस्तार ने उन योजनाओं से गुजरने की आवश्यकता को जन्म दिया है जहां (यादृच्छिक) प्रयोगों के परिणामों को संख्या या संख्याओं के परिमित समुच्चय द्वारा वर्णित किया जा सकता है संख्याओं की, योजनाओं के लिए जहां प्रयोगों के परिणाम प्रतिनिधित्व करते हैं, उदाहरण के लिए यादृच्छिक सदिश, फलन (गणित), प्रक्रियाओं, क्षेत्र (गणित), श्रृंखला (गणित), परिवर्तन (ज्यामिति), और समुच्चय (गणित) या समुच्चय के संग्रह का प्रतिनिधित्व करते हैं।^[1]

"यादृच्छिक तत्व" का आधुनिक उपयोग अक्सर मान लेता है कि मान का समष्टि एक सांस्थितिक सदिश समष्टि है, अक्सर सबसेट के निर्दिष्ट प्राकृतिक सिग्मा बीजगणित के साथ बनच या हिल्बर्ट समष्टि होता है।^[2]

परिभाषा

मान ले $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ प्रायिकता समष्टि है, और $(E,{\mathcal {E}})$ मापने योग्य समष्टि है। E में मानों वाला यादृच्छिक तत्व फलन है X: Ω→E जो $({\mathcal {F}},{\mathcal {E}})$ -मापने योग्य है। यही है, फलन X ऐसा है कि किसी के लिए भी $B\in {\mathcal {E}}$ , B की पूर्वकल्पना निहित ${\mathcal {F}}$ है।

कभी-कभी यादृच्छिक तत्वों में मान के साथ $E$ , $E$ -महत्वपूर्ण यादृच्छिक चर कहा जाता है।

ध्यान दें अगर $(E,{\mathcal {E}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ , जहाँ $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ इसका बोरेल σ-बीजगणित है, तो यादृच्छिक तत्व की परिभाषा यादृच्छिक चर की चिरसम्मत परिभाषा है।

यादृच्छिक तत्व की परिभाषा $X$ बनच समष्टि में मान के साथ $B$ आमतौर पर सबसे छोटे का उपयोग करने के लिए समझा जाता है $\sigma$ -बीजगणित B पर जिसके लिए प्रत्येक बाध्य रैखिक कार्यात्मक औसत दर्जे का है। एक समतुल्य परिभाषा, इस मामले में, उपरोक्त के लिए, वह मानचित्र है $X:\Omega \rightarrow B$ , प्रायिकता समष्टि से, यादृच्छिक तत्व है यदि $f\circ X$ प्रत्येक परिबद्ध रैखिक फलन f, या, समतुल्य, के लिए यादृच्छिक चर है $X$ दुर्बल रूप से मापने योग्य है।

यादृच्छिक तत्वों के उदाहरण

यादृच्छिक चर

यादृच्छिक चर सबसे सरल प्रकार का यादृच्छिक तत्व है। यह एक नक्शा है $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ संभावित परिणामों $\Omega$ को $\mathbb {R}$ के समुच्चय से मापने योग्य फलन है।

वास्तविक-महत्वपूर्ण फलन के रूप में, $X$ अक्सर किसी दी गई घटना की कुछ संख्यात्मक मात्रा का वर्णन करता है। उदाहरण एक निश्चित संख्या में सिक्के पलटने के बाद शीर्ष की संख्या; विभिन्न लोगों की ऊंचाई है।

जब की छवि (गणित) (या श्रेणी), $X$ परिमित या गणनीय रूप से अनंत है, यादृच्छिक चर को असतत यादृच्छिक चर कहा जाता है^[3] और इसके वितरण को प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो छवि $X$ में प्रत्येक मान को प्रायिकता प्रदान करता है, यदि छवि असंख्य अनंत है तो $X$ सतत यादृच्छिक चर कहा जाता है। विशेष मामले में कि यह बिल्कुल निरंतर है, इसके वितरण को प्रायिकता घनत्व फलन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो अंतरालों को संभावनाएं प्रदान करता है; विशेष रूप से, प्रत्येक अलग-अलग बिंदु में बिल्कुल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए आवश्यक रूप से शून्य प्रायिकता होनी चाहिए। सभी निरंतर यादृच्छिक चर बिल्कुल निरंतर नहीं होते हैं,^[4] उदाहरण के लिए मिश्रण वितरण ऐसे यादृच्छिक चरों को प्रायिकता घनत्व या प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है।

यादृच्छिक सदिश

यादृच्छिक सदिश एक कॉलम सदिश सदिश स्थल $\mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}$ (या इसका स्थानान्तरण, जो पंक्ति सदिश है) जिसके घटक अदिश (गणित) हैं - समान प्रायिकता समष्टि पर यादृच्छिक चर $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ , जहाँ $\Omega$ नमूना समष्टि है, ${\mathcal {F}}$ सिग्मा-बीजगणित (सभी घटनाओं का संग्रह) है, और $P$ प्रायिकता माप है (प्रत्येक ईवेंट की प्रायिकता लौटाने वाला फलन)।

यादृच्छिक सदिश अक्सर विभिन्न प्रकार के कुल यादृच्छिक चर के अंतर्निहित कार्यान्वयन के रूप में उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण यादृच्छिक मैट्रिक्स, यादृच्छिक ट्री, यादृच्छिक क्रम, यादृच्छिक प्रक्रिया, आदि हैं।

यादृच्छिक मैट्रिक्स

यादृच्छिक मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स (गणित) -महत्वपूर्ण यादृच्छिक तत्व है। भौतिक प्रणालियों के कई महत्वपूर्ण गुणों को गणितीय रूप से मैट्रिक्स समस्याओं के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जाली मॉडल (भौतिकी) की तापीय चालकता की गणना जाली के भीतर कण-कण अंतःक्रियाओं के गतिशील मैट्रिक्स से की जा सकती है।

यादृच्छिक फलन

यादृच्छिक फलन एक प्रकार का यादृच्छिक तत्व है जिसमें फलन के कुछ परिवार से एक परिणाम का चयन किया जाता है, जहां परिवार में फलन के प्रांत से कोडोमेन तक सभी मानचित्रों के कुछ वर्ग होते हैं। उदाहरण के लिए, कक्षा सभी निरंतर फलन या सभी चरण फलन तक सीमित हो सकती है। एक ही बोध से विभिन्न बिंदुओं पर मूल्यांकन किए गए यादृच्छिक फलन द्वारा निर्धारित मान आमतौर पर सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र नहीं होंगे, लेकिन मॉडल के आधार पर, अलग-अलग बोध से समान या अलग-अलग बिंदुओं पर निर्धारित मान को स्वतंत्र माना जा सकता है।

यादृच्छिक प्रक्रिया

यादृच्छिक प्रक्रिया यादृच्छिक चर का संग्रह है, जो समय के साथ यादृच्छिक मान की कुछ प्रणाली के विकास का प्रतिनिधित्व करती है। यह नियतात्मक प्रक्रिया (या नियतात्मक प्रणाली) का प्रायिकतात्मक समकक्ष है। एक ऐसी प्रक्रिया का वर्णन करने के बजाय जो केवल एक ही तरीके से विकसित हो सकती है (उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, सामान्य अंतर समीकरण के समाधान के मामले में), यादृच्छिक या यादृच्छिक प्रक्रिया में कुछ अनिश्चितता होती है: भले ही प्रारंभिक स्थिति (या प्रारंभिक बिंदु) ) ज्ञात है, ऐसी कई (अक्सर असीम रूप से कई) दिशाएँ हैं जिनमें प्रक्रिया विकसित हो सकती है।

असतत-समय प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम के साधारण मामले में, सतत-समय प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम के विपरीत, प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम में यादृच्छिक चर का अनुक्रम (गणित) और इन यादृच्छिक चर से जुड़ी समय श्रृंखला शामिल होती है (उदाहरण के लिए, मार्कोव श्रृंखला भी देखें) असतत-समय मार्कोव श्रृंखला के रूप में जाना जाता है)।

यादृच्छिक क्षेत्र

प्रायिकता समष्टि दिया गया $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ और मापने योग्य समष्टि X, X-वैल्यू यादृच्छिक क्षेत्र टोपोलॉजिकल स्पेसT में तत्वों द्वारा अनुक्रमित X-वैल्यू यादृच्छिक चर का एक संग्रह है।। यानी, यादृच्छिक क्षेत्र F एक संग्रह है

\{F_{t}:t\in T\}

जहां प्रत्येक $F_{t}$ एक X-महत्वपूर्ण यादृच्छिक चर है।

मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र (एमआरएफ), गिब्स यादृच्छिक क्षेत्र (जीआरएफ), सशर्त यादृच्छिक क्षेत्र (सीआरएफ), और गॉसियन यादृच्छिक क्षेत्र सहित कई प्रकार के यादृच्छिक क्षेत्र मौजूद हैं। एक एमआरएफ मार्कोवियन संपत्ति प्रदर्शित करता है

P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i}),\,

जहाँ $\partial _{i}$ यादृच्छिक चर X_i के निकटतम का एक समूह है, दूसरे शब्दों में, प्रायिकता है कि यादृच्छिक चर मान लेता है अन्य यादृच्छिक चर पर केवल उन लोगों के माध्यम से निर्भर करता है जो इसके निकटतम हैं। एक एमआरएफ में यादृच्छिक चर की प्रायिकता द्वारा दी जाती है

P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(\omega )}{\sum _{\omega '}P(\omega ')}},

जहां Ω' यादृच्छिक चर X_i को छोड़कर Ω की समान प्राप्ति है, 1974 में जूलियन बेसाग द्वारा प्रस्तावित एमआरएफ और जीआरएफ के बीच संबंध का सहारा लिए बिना, इस समीकरण के साथ गणना करना मुश्किल है।

यादृच्छिक माप

यादृच्छिक माप एक माप-मूल्यवान यादृच्छिक यादृच्छिक तत्व है।^[5]^[6] बता दें कि X एक पूर्ण वियोज्य मीट्रिक समष्टि है और ${\mathfrak {B}}(X)$ इसके बोरेल सेटों का σ-बीजगणित है। यदि μ(A) < ∞ प्रत्येक बंधे हुए बोरेल समुच्चय A के लिए X पर बोरेल माप μ निश्चित रूप से परिमित है। $M_{X}$ पर सभी सीमित परिमित उपायों का समष्टि हो ${\mathfrak {B}}(X)$ , मान ले (Ω, ℱ, P) प्रायिकता समष्टि हो, तो यादृच्छिक माप इस प्रायिकता समष्टि से मापने योग्य समष्टि ( $M_{X}$ , ${\mathfrak {B}}(M_{X})$ )मैप करता है।^[7] आम तौर पर एक उपाय को विघटित किया जा सकता है:

\mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},

यहाँ $\mu _{d}$ परमाणुओं के बिना एक विसरित माप है, जबकि $\mu _{a}$ विशुद्ध रूप से परमाणु माप है।

यादृच्छिक समुच्चय

यादृच्छिक समुच्चय एक समुच्चय-महत्वपूर्ण यादृच्छिक तत्व है।

एक विशिष्ट उदाहरण यादृच्छिक कॉम्पैक्ट समुच्चय है। मान ले $(M,d)$ पूर्ण समष्टि वियोज्य समष्टि मीट्रिक समष्टि है। मान ले ${\mathcal {K}}$ के सभी कॉम्पैक्ट सबसेट के समुच्चय $M$ को निरूपित करता है। हॉसडॉर्फ मीट्रिक $h$ पर ${\mathcal {K}}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.

$({\mathcal {K}},h)$ पूर्ण वियोज्य मीट्रिक समष्टि भी है। संबंधित खुले उपसमुच्चय σ- बीजगणित पर ${\mathcal {K}}$ उत्पन्न करते हैं, बोरेल सिग्मा बीजगणित ${\mathcal {B}}({\mathcal {K}})$ का ${\mathcal {K}}$ है।

यादृच्छिक कॉम्पैक्ट समुच्चय एक मापनीय फलन है $K$ प्रायिकता समष्टि से $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ में $({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))$ है।

दूसरा तरीका यादृच्छिक कॉम्पैक्ट समुच्चय एक मापनीय फलन है $K\colon \Omega \to 2^{M}$ ऐसा है कि $K(\omega )$ लगभग निश्चित रूप से कॉम्पैक्ट है और

\omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)

प्रत्येक के लिए मापने योग्य फलन $x\in M$ है।

यादृच्छिक ज्यामितीय वस्तुएँ

इनमें यादृच्छिक बिंदु, यादृच्छिक आंकड़े,^[8] और यादृच्छिक आकार है।^[8]

संदर्भ

↑ Fréchet, M. (1948). "Les éléments aléatoires de nature quelconque dans un espace distancié". Annales de l'Institut Henri Poincaré. 10 (4): 215–310.
↑ V.V. Buldygin, A.B. Kharazishvili. Geometric Aspects of Probability Theory and Mathematical Statistics. – Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. – 2000
↑ Yates, Daniel S.; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). सांख्यिकी का अभ्यास (2nd ed.). New York: Freeman. ISBN 978-0-7167-4773-4. Archived from the original on 2005-02-09.
↑ L. Castañeda; V. Arunachalam & S. Dharmaraja (2012). अनुप्रयोगों के साथ संभाव्यता और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का परिचय. Wiley. p. 67. ISBN 9781118344941.
↑ Kallenberg, O., Random Measures, 4th edition. Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin (1986). ISBN 0-12-394960-2 MR854102. An authoritative but rather difficult reference.
↑ Jan Grandell, Point processes and random measures, Advances in Applied Probability 9 (1977) 502-526. MR0478331 JSTOR A nice and clear introduction.
↑ Daley, D. J.; Vere-Jones, D. (2003). बिंदु प्रक्रियाओं के सिद्धांत का परिचय. Probability and its Applications. doi:10.1007/b97277. ISBN 0-387-95541-0.
↑ ^8.0 ^8.1 Stoyan, D., and Stoyan, H. (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. Methods of Geometrical Statistics. Chichester, New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-93757-6

साहित्य

}

हॉफमैन-जोर्गेनसन जे., पिसिएर जी. (1976) ऐन.प्रोब। , वी.4, 587-589।
मौरियर ई. (1955) रैंडम एलिमेंट्स इन ए बनच स्पेस (ये)। पेरिस।
प्रोखोरोव यू.वी. (1999) यादृच्छिक तत्व। संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी। विश्वकोश। मॉस्को: द ग्रेट रशियन एनसाइक्लोपीडिया, पी।

बाहरी संबंध

Entry in Springer Encyclopedia of Mathematics

<!-

[1] Fréchet, M. (1948). "Les éléments aléatoires de nature quelconque dans un espace distancié". Annales de l'Institut Henri Poincaré. 10 (4): 215–310.

[2] V.V. Buldygin, A.B. Kharazishvili. Geometric Aspects of Probability Theory and Mathematical Statistics. – Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. – 2000

[Yates-3] Yates, Daniel S.; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). सांख्यिकी का अभ्यास (2nd ed.). New York: Freeman. ISBN 978-0-7167-4773-4. Archived from the original on 2005-02-09.

[4] L. Castañeda; V. Arunachalam & S. Dharmaraja (2012). अनुप्रयोगों के साथ संभाव्यता और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का परिचय. Wiley. p. 67. ISBN 9781118344941.

[RN-5] Kallenberg, O., Random Measures, 4th edition. Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin (1986). ISBN 0-12-394960-2 MR854102. An authoritative but rather difficult reference.

[G-6] Jan Grandell, Point processes and random measures, Advances in Applied Probability 9 (1977) 502-526. MR0478331 JSTOR A nice and clear introduction.

[daleyPPI2003-7] Daley, D. J.; Vere-Jones, D. (2003). बिंदु प्रक्रियाओं के सिद्धांत का परिचय. Probability and its Applications. doi:10.1007/b97277. ISBN 0-387-95541-0.

[Stoyan-8] 8.0 ^8.1 Stoyan, D., and Stoyan, H. (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. Methods of Geometrical Statistics. Chichester, New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-93757-6

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 यादृच्छिक सदिश एक [[कॉलम वेक्टर|कॉलम सदिश]][[ सदिश स्थल | सदिश स्थल]] <math>\mathbf{X}=(X_1,...,X_n)^T </math> (या इसका स्थानान्तरण, जो पंक्ति सदिश है) जिसके घटक [[अदिश (गणित)]] हैं - समान प्रायिकता समष्टि पर यादृच्छिक चर <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math>, जहाँ <math>\Omega</math> नमूना समष्टि है, <math>\mathcal{F}</math> [[सिग्मा-बीजगणित]] (सभी घटनाओं का संग्रह) है, और <math>P</math> प्रायिकता माप है (प्रत्येक ईवेंट की प्रायिकता लौटाने वाला फलन)।
-यादृच्छिक सदिश अक्सर विभिन्न प्रकार के कुल यादृच्छिक चर के अंतर्निहित कार्यान्वयन के रूप में उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण [[यादृच्छिक मैट्रिक्स]], [[यादृच्छिक पेड़|रैंडम ट्री]], यादृच्छिक क्रम, [[यादृच्छिक प्रक्रिया]], आदि हैं।
+यादृच्छिक सदिश अक्सर विभिन्न प्रकार के कुल यादृच्छिक चर के अंतर्निहित कार्यान्वयन के रूप में उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण [[यादृच्छिक मैट्रिक्स]], [[यादृच्छिक पेड़|यादृच्छिक ट्री]], यादृच्छिक क्रम, [[यादृच्छिक प्रक्रिया]], आदि हैं।
 === यादृच्छिक मैट्रिक्स ===
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 {{main|यादृच्छिक कार्य}}
-एक यादृच्छिक फलन एक प्रकार का यादृच्छिक तत्व है जिसमें फलन के कुछ परिवार से एक परिणाम का चयन किया जाता है, जहां परिवार में फलन के डोमेन से [[कोडोमेन]] तक सभी मानचित्रों के कुछ वर्ग होते हैं। उदाहरण के लिए, कक्षा सभी [[निरंतर कार्य|निरंतर]] फलन या सभी चरण फलन तक सीमित हो सकती है। एक ही बोध से विभिन्न बिंदुओं पर मूल्यांकन किए गए एक यादृच्छिक फलन द्वारा निर्धारित मान आमतौर पर [[सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र]] नहीं होंगे, लेकिन मॉडल के आधार पर, अलग-अलग बोध से समान या अलग-अलग बिंदुओं पर निर्धारित मान को स्वतंत्र माना जा सकता है।
+यादृच्छिक फलन एक प्रकार का यादृच्छिक तत्व है जिसमें फलन के कुछ परिवार से एक परिणाम का चयन किया जाता है, जहां परिवार में फलन के प्रांत से [[कोडोमेन]] तक सभी मानचित्रों के कुछ वर्ग होते हैं। उदाहरण के लिए, कक्षा सभी [[निरंतर कार्य|निरंतर]] फलन या सभी चरण फलन तक सीमित हो सकती है। एक ही बोध से विभिन्न बिंदुओं पर मूल्यांकन किए गए यादृच्छिक फलन द्वारा निर्धारित मान आमतौर पर [[सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र]] नहीं होंगे, लेकिन मॉडल के आधार पर, अलग-अलग बोध से समान या अलग-अलग बिंदुओं पर निर्धारित मान को स्वतंत्र माना जा सकता है।
 === यादृच्छिक प्रक्रिया ===
-{{main|Random process}}
+{{main|यादृच्छिक प्रक्रिया}}
-एक यादृच्छिक प्रक्रिया यादृच्छिक चर का संग्रह है, जो समय के साथ यादृच्छिक मान की कुछ प्रणाली के विकास का प्रतिनिधित्व करती है। यह एक नियतात्मक प्रक्रिया (या [[नियतात्मक प्रणाली]]) का संभाव्य समकक्ष है। एक ऐसी प्रक्रिया का वर्णन करने के बजाय जो केवल एक ही तरीके से विकसित हो सकती है (उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, सामान्य अंतर समीकरण के समाधान के मामले में), एक यादृच्छिक या यादृच्छिक प्रक्रिया में कुछ अनिश्चितता होती है: भले ही प्रारंभिक स्थिति (या प्रारंभिक बिंदु) ) ज्ञात है, ऐसी कई (अक्सर असीम रूप से कई) दिशाएँ हैं जिनमें प्रक्रिया विकसित हो सकती है।
-असतत-समय स्टोचैस्टिक प्रक्रिया के साधारण मामले में, सतत-समय स्टोचैस्टिक प्रक्रिया के विपरीत, एक स्टोचैस्टिक प्रक्रिया में यादृच्छिक चर का [[अनुक्रम (गणित)]] और इन यादृच्छिक चर से जुड़ी [[समय श्रृंखला]] शामिल होती है (उदाहरण के लिए, [[मार्कोव श्रृंखला]] भी देखें) असतत-समय मार्कोव श्रृंखला के रूप में जाना जाता है)।
+यादृच्छिक प्रक्रिया यादृच्छिक चर का संग्रह है, जो समय के साथ यादृच्छिक मान की कुछ प्रणाली के विकास का प्रतिनिधित्व करती है। यह नियतात्मक प्रक्रिया (या [[नियतात्मक प्रणाली]]) का प्रायिकतात्मक समकक्ष है। एक ऐसी प्रक्रिया का वर्णन करने के बजाय जो केवल एक ही तरीके से विकसित हो सकती है (उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, सामान्य अंतर समीकरण के समाधान के मामले में), यादृच्छिक या यादृच्छिक प्रक्रिया में कुछ अनिश्चितता होती है: भले ही प्रारंभिक स्थिति (या प्रारंभिक बिंदु) ) ज्ञात है, ऐसी कई (अक्सर असीम रूप से कई) दिशाएँ हैं जिनमें प्रक्रिया विकसित हो सकती है।
+असतत-समय प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम के साधारण मामले में, सतत-समय प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम के विपरीत, प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम में यादृच्छिक चर का [[अनुक्रम (गणित)]] और इन यादृच्छिक चर से जुड़ी [[समय श्रृंखला]] शामिल होती है (उदाहरण के लिए, [[मार्कोव श्रृंखला]] भी देखें) असतत-समय मार्कोव श्रृंखला के रूप में जाना जाता है)।
 === यादृच्छिक क्षेत्र ===
-{{main|Random field}}
+{{main|यादृच्छिक क्षेत्र}}
-एक प्रायिकता समष्टि दिया गया <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math> और मापने योग्य समष्टि X,
-X-वैल्यू रैंडम फील्ड X-वैल्यू का एक संग्रह है
+प्रायिकता समष्टि दिया गया <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math> और मापने योग्य समष्टि X, X-वैल्यू यादृच्छिक क्षेत्र टोपोलॉजिकल स्पेस''T''  में तत्वों द्वारा अनुक्रमित X-वैल्यू यादृच्छिक चर का एक संग्रह है।। यानी, यादृच्छिक क्षेत्र  ''F'' एक संग्रह है
-टोपोलॉजिकल स्पेस टी में तत्वों द्वारा अनुक्रमित यादृच्छिक चर। यानी, एक यादृच्छिक क्षेत्र एफ एक संग्रह है
 : <math> \{ F_t : t \in T \}</math>
 जहां प्रत्येक <math>F_t</math> एक X-महत्वपूर्ण यादृच्छिक चर है।
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 : <math>P(X_i=x_i|X_j=x_j, i\neq j) =P(X_i=x_i|\partial_i), \,</math>
-जहाँ <math>\partial_i</math> यादृच्छिक चर X के पड़ोसियों का एक समूह है<sub>''i''</sub>. दूसरे शब्दों में, प्रायिकता है कि एक यादृच्छिक चर मान लेता है अन्य यादृच्छिक चर पर केवल उन लोगों के माध्यम से निर्भर करता है जो इसके तत्काल पड़ोसी हैं। एक MRF में एक यादृच्छिक चर की प्रायिकता किसके द्वारा दी जाती है
+जहाँ <math>\partial_i</math> यादृच्छिक चर ''X<sub>i</sub>'' के निकटतम का एक समूह है, दूसरे शब्दों में, प्रायिकता है कि यादृच्छिक चर मान लेता है अन्य यादृच्छिक चर पर केवल उन लोगों के माध्यम से निर्भर करता है जो इसके निकटतम हैं। एक एमआरएफ में यादृच्छिक चर की प्रायिकता द्वारा दी जाती है
 : <math> P(X_i=x_i|\partial_i) = \frac{P(\omega)}{\sum_{\omega'}P(\omega')},  </math>
-जहां Ω' यादृच्छिक चर X को छोड़कर Ω की समान प्राप्ति है<sub>''i''</sub>. 1974 में [[जूलियन बेसाग]] द्वारा प्रस्तावित एमआरएफ और जीआरएफ के बीच संबंध का सहारा लिए बिना, इस समीकरण के साथ गणना करना मुश्किल है।
+जहां Ω' यादृच्छिक चर ''X<sub>i</sub>'' को छोड़कर Ω की समान प्राप्ति है, 1974 में [[जूलियन बेसाग]] द्वारा प्रस्तावित एमआरएफ और जीआरएफ के बीच संबंध का सहारा लिए बिना, इस समीकरण के साथ गणना करना मुश्किल है।
 === यादृच्छिक माप ===
-{{main|Random measure}}
+{{main|यादृच्छिक माप}}
-एक यादृच्छिक माप एक माप (गणित) है - यादृच्छिक यादृच्छिक तत्व।<ref name="RN">[[Olav Kallenberg|Kallenberg, O.]], ''Random Measures'', 4th edition. Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin (1986). {{isbn|0-12-394960-2}} {{MR|854102}}. An authoritative but rather difficult reference.
+यादृच्छिक माप एक माप-मूल्यवान यादृच्छिक यादृच्छिक तत्व है।<ref name="RN">[[Olav Kallenberg|Kallenberg, O.]], ''Random Measures'', 4th edition. Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin (1986). {{isbn|0-12-394960-2}} {{MR|854102}}. An authoritative but rather difficult reference.
 </ref><ref name="G">Jan Grandell, Point processes and random measures, ''Advances in Applied Probability'' 9 (1977) 502-526. {{MR|0478331}} [https://www.jstor.org/stable/1426111 JSTOR] A nice and clear introduction.
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+</ref> बता दें कि X एक पूर्ण वियोज्य मीट्रिक समष्टि है और <math>\mathfrak{B}(X)</math> इसके बोरेल सेटों का σ-बीजगणित है।  यदि μ(A) < ∞ प्रत्येक बंधे हुए बोरेल समुच्चय A के लिए X पर बोरेल माप μ निश्चित रूप से परिमित है। <math>M_X</math> पर सभी सीमित परिमित उपायों का समष्टि हो <math>\mathfrak{B}(X)</math>, मान ले {{nowrap|(Ω, ℱ, ''P'')}} प्रायिकता समष्टि हो, तो यादृच्छिक माप इस प्रायिकता समष्टि से मापने योग्य समष्टि {{nowrap|(<math>M_X</math>,&thinsp;<math>\mathfrak{B}(M_X)</math>)}}मैप करता है।<ref name="daleyPPI2003">{{Cite book | doi = 10.1007/b97277 | first1 = D. J. | last1 = Daley | first2 = D. | last2 = Vere-Jones| title = बिंदु प्रक्रियाओं के सिद्धांत का परिचय| series = Probability and its Applications | year = 2003 | isbn = 0-387-95541-0 }}</ref> आम तौर पर एक उपाय को विघटित किया जा सकता है:
 :<math> \mu=\mu_d + \mu_a = \mu_d + \sum_{n=1}^N \kappa_n \delta_{X_n}, </math>
 यहाँ <math>\mu_d</math> परमाणुओं के बिना एक विसरित माप है, जबकि <math>\mu_a</math> विशुद्ध रूप से परमाणु माप है।
-=== रैंडम समुच्चय ===
+=== यादृच्छिक समुच्चय ===
-एक यादृच्छिक समुच्चय एक समुच्चय-महत्वपूर्ण यादृच्छिक तत्व है।
+यादृच्छिक समुच्चय एक समुच्चय-महत्वपूर्ण यादृच्छिक तत्व है।
-एक विशिष्ट उदाहरण एक [[यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट|यादृच्छिक कॉम्पैक्ट समुच्चय]] है। मान ले <math>(M, d)</math> एक पूर्ण समष्टि वियोज्य समष्टि [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समष्टि]] हो। मान ले <math>\mathcal{K}</math> के सभी कॉम्पैक्ट सबसेट के समुच्चय को निरूपित करें <math>M</math>. हॉसडॉर्फ मीट्रिक <math>h</math> पर <math>\mathcal{K}</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
+एक विशिष्ट उदाहरण [[यादृच्छिक कॉम्पैक्ट सेट|यादृच्छिक कॉम्पैक्ट समुच्चय]] है। मान ले <math>(M, d)</math> पूर्ण समष्टि वियोज्य समष्टि [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समष्टि]] है। मान ले <math>\mathcal{K}</math> के सभी कॉम्पैक्ट सबसेट के समुच्चय <math>M</math> को निरूपित करता है। हॉसडॉर्फ मीट्रिक <math>h</math> पर <math>\mathcal{K}</math> द्वारा परिभाषित किया गया है।
 :<math>h(K_{1}, K_{2}) := \max \left\{ \sup_{a \in K_{1}} \inf_{b \in K_{2}} d(a, b), \sup_{b \in K_{2}} \inf_{a \in K_{1}} d(a, b) \right\}.</math>
-<math>(\mathcal{K}, h)</math> एक पूर्ण वियोज्य मीट्रिक समष्टि भी है। संबंधित खुले उपसमुच्चय एक सिग्मा बीजगणित उत्पन्न करते हैं|σ-बीजगणित पर <math>\mathcal{K}</math>, [[बोरेल सिग्मा बीजगणित]] <math>\mathcal{B}(\mathcal{K})</math> का <math>\mathcal{K}</math>.
+<math>(\mathcal{K}, h)</math> पूर्ण वियोज्य मीट्रिक समष्टि भी है। संबंधित खुले उपसमुच्चय σ- बीजगणित पर <math>\mathcal{K}</math>उत्पन्न करते हैं, [[बोरेल सिग्मा बीजगणित]] <math>\mathcal{B}(\mathcal{K})</math> का <math>\mathcal{K}</math> है।
-एक यादृच्छिक कॉम्पैक्ट समुच्चय एक औसत दर्जे का फलन है <math>K</math> प्रायिकता समष्टि से <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math> में <math>(\mathcal{K}, \mathcal{B} (\mathcal{K}) )</math>.
+यादृच्छिक कॉम्पैक्ट समुच्चय एक मापनीय फलन है <math>K</math> प्रायिकता समष्टि से <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math> में <math>(\mathcal{K}, \mathcal{B} (\mathcal{K}) )</math> है।
-दूसरा तरीका रखो, एक यादृच्छिक कॉम्पैक्ट समुच्चय एक औसत दर्जे का फलन है <math>K \colon \Omega \to 2^{M}</math> ऐसा है कि <math>K(\omega)</math> [[लगभग निश्चित रूप से]] कॉम्पैक्ट है और
+दूसरा तरीका यादृच्छिक कॉम्पैक्ट समुच्चय एक मापनीय फलन है <math>K \colon \Omega \to 2^{M}</math> ऐसा है कि <math>K(\omega)</math> [[लगभग निश्चित रूप से]] कॉम्पैक्ट है और
 :<math>\omega \mapsto \inf_{b \in K(\omega)} d(x, b)</math>
-प्रत्येक के लिए एक मापने योग्य फलन है <math>x \in M</math>.
+प्रत्येक के लिए मापने योग्य फलन <math>x \in M</math>  है।
 === यादृच्छिक ज्यामितीय वस्तुएँ ===
-इनमें यादृच्छिक बिंदु, यादृच्छिक आंकड़े,<ref name=Stoyan>Stoyan, D., and Stoyan, H. (1994) ''Fractals, Random Shapes and Point Fields. Methods of Geometrical Statistics''. Chichester, New York: John Wiley & Sons. {{isbn|0-471-93757-6}}</ref> और यादृच्छिक आकार।<ref name=Stoyan/>
+इनमें यादृच्छिक बिंदु, यादृच्छिक आंकड़े,<ref name=Stoyan>Stoyan, D., and Stoyan, H. (1994) ''Fractals, Random Shapes and Point Fields. Methods of Geometrical Statistics''. Chichester, New York: John Wiley & Sons. {{isbn|0-471-93757-6}}</ref> और यादृच्छिक आकार है।<ref name=Stoyan/>

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