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आँकड़ों में, '''परिशुद्धता आव्यूह''' या '''संकेन्द्रण आव्यूह''' सहप्रसरण आव्यूह या विस्तार आव्यूह <math>P = \Sigma^{-1}</math> का आव्यूह व्युत्क्रम होता है।<ref>{{cite book |first=Morris H. |last=DeGroot |author-link=Morris H. DeGroot |title=इष्टतम सांख्यिकीय निर्णय|location=New York |publisher=McGraw-Hill |year=1969 |page=56 }}</ref><ref>{{cite book |first1=Russell |last1=Davidson |first2=James G. |last2=MacKinnon |author2-link=James G. MacKinnon |title=अर्थमिति में अनुमान और अनुमान|location=New York |publisher=Oxford University Press |year=1993 |isbn=0-19-506011-3 |page=144 |url=https://books.google.com/books?id=Ot6DByCF6osC&pg=PA144 }}</ref><ref name=dodge>{{cite book |last=Dodge |first=Y. |year=2003 |title=द ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी ऑफ स्टैटिस्टिकल टर्म्स|publisher=Oxford University Press |isbn=0-19-920613-9 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/oxforddictionary0000unse }}</ref> [[अविभाज्य वितरण]] के लिए, परिशुद्धता आव्यूह एक अदिश (गणित) परिशुद्धता आव्यूह में व्युत्क्रम हो जाता है जिसे विचलन के गुणक व्युत्क्रम <math>p = \frac{1}{\sigma^2}</math> के रूप में परिभाषित किया जाता है।<ref name="Bolstad Curran 2016 p. 221">{{cite book | last1=Bolstad | first1=W.M. | last2=Curran | first2=J.M. | title=बायेसियन सांख्यिकी का परिचय| publisher=Wiley | year=2016 | isbn=978-1-118-59315-8 | url=https://books.google.com/books?id=6GjmDAAAQBAJ&pg=PA221 | access-date=2022-08-13 | page=221}}</ref> | |||
सांख्यिकीय विस्तार के अन्य संक्षिप्त आँकड़ों को यथार्थता (या अयथार्थता) भी कहा जाता है<ref name="Natrella 2013 p. 21-PA14">{{cite book | last=Natrella | first=M.G. | title=प्रायोगिक सांख्यिकी| publisher=Dover Publications | series=Dover Books on Mathematics | year=2013 | isbn=978-0-486-15455-8 | url=https://books.google.com/books?id=eWBzIn9r1ZUC&pg=SA21-PA14 | language=it | access-date=2022-08-14 | page=21-PA14}}</ref><ref name="Balakrishnan 2009 p. 537">{{cite book | last=Balakrishnan | first=N. | title=जीवन और स्वास्थ्य विज्ञान में सांख्यिकी के तरीके और अनुप्रयोग| publisher=Wiley | series=Methods and Applications of Statistics | year=2009 | isbn=978-0-470-40509-3 | url=https://books.google.com/books?id=ZkfeQu8wnHgC&pg=PA537 | access-date=2022-08-14 | page=537}}</ref> जिसमें [[मानक विचलन]] का व्युत्क्रम, <math>p = \frac{1}{\sigma}</math> स्वयं मानक विचलन और सापेक्ष मानक विचलन<ref name="Ellison Farrant Barwick 2009 p. 145">{{cite book | last1=Ellison | first1=S.L.R. | last2=Farrant | first2=T.J. | last3=Barwick | first3=V. | title=Practical Statistics for the Analytical Scientist: A Bench Guide | publisher=Royal Society of Chemistry | series=Valid Analytical Measurement | year=2009 | isbn=978-0-85404-131-2 | url=https://books.google.com/books?id=buXUWfo7gngC&pg=PA145 | access-date=2022-08-14 | page=145}}</ref> के साथ-साथ [[मानक त्रुटि]]<ref name="Wilburn 1984 p. 62">{{cite book | last=Wilburn | first=A.J. | title=लेखा परीक्षकों के लिए व्यावहारिक सांख्यिकीय नमूनाकरण| publisher=Taylor & Francis | series=Statistics: A Series of Textbooks and Monographs | year=1984 | isbn=978-0-8247-7124-9 | url=https://books.google.com/books?id=V0WETIr0KSEC&pg=PA62 | access-date=2022-08-14 | page=62}}</ref> की अतिरिक्त चौड़ाई और [[विश्वास अंतराल|विश्वास्यता अंतराल]] सम्मिलित हैं।<ref name="Cumming 2013 p. 366">{{cite book | last=Cumming | first=G. | title=Understanding The New Statistics: Effect Sizes, Confidence Intervals, and Meta-Analysis | publisher=Taylor & Francis | series=Multivariate Applications Series | year=2013 | isbn=978-1-136-65918-8 | url=https://books.google.com/books?id=fgqR3aBtuVkC&pg=PT366 | access-date=2022-08-14 | page=366}}</ref> | |||
== उपयोग == | == उपयोग == | ||
परिशुद्धता आव्यूह का एक विशेष उपयोग [[बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण]] के [[बायेसियन विश्लेषण|बेजविश्लेषण]] के संदर्भ में किया जाता है उदाहरण के लिए, बर्नार्डो और स्मिथ कुछ सरलीकरणों के कारण सहप्रसरण आव्यूह के अतिरिक्त परिशुद्धता आव्यूह के संदर्भ में बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण को पैरामीटर को बनाने मे अपेक्षाकृत रुचि होती हैं। वह तब उत्पन्न होता है।<ref>Bernardo, J. M. & Smith, A.F.M. (2000) ''Bayesian Theory'', Wiley {{ISBN|0-471-49464-X}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि पूर्ववर्ती फलन और संभाविता फलन दोनों [[गाऊसी समारोह|गाऊसी फलन]] के रूप है और इन दोनों का परिशुद्धता आव्यूह सम्मिलित है क्योंकि उनका सहप्रसरण आव्यूह पूर्ण है और इस प्रकार व्युत्क्रम है तब पिछले आव्यूह का परिशुद्धता आव्यूह आधार योग होगा तथा पूर्ववर्ती फलन और संभाविता फलन के परिशुद्धता आव्यूह के समान हो सकता है। एक [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] के व्युत्क्रम के रूप में, वास्तविक-मान यादृच्छिक चर का परिशुद्धता आव्यूह, यदि यह सम्मिलित है तो यह [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|धनात्मक-निश्चित आव्यूह]] और सममित आव्यूह है। | |||
एक [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]] के व्युत्क्रम के रूप में, वास्तविक- | |||
परिशुद्धता आव्यूह उपयोगी होने का एक और कारण यह है कि यदि दो आयाम <math>i</math> और <math>j</math> हैं एक बहुचर सामान्य की [[सशर्त स्वतंत्रता|सशर्त स्वतंत्र]] है, फिर <math>ij</math> और <math>ji</math> परिशुद्धता आव्यूह <math>0</math> के तत्व हैं इसका तात्पर्य यह है कि जब कई आयाम सशर्त रूप से स्वतंत्र होते हैं, तो परिशुद्धता आव्यूह विरल हो जाते हैं जिससे उनके साथ कार्य करते समय अभिकलनात्मक दक्षता हो सकती है। इसका यह भी अर्थ है कि परिशुद्धता आव्यूह [[आंशिक सहसंबंध]] के विचार से निकटता से संबंधित होता हैं। | |||
परिशुद्धता आव्यूह सामान्य न्यूनतम वर्गों की तुलना में सामान्यीकृत कम से कम वर्गों में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है, जहां <math>P</math> पहचान आव्यूह है और कम से कम भारित वर्गों के लिए, जहां <math>P</math> विकर्ण है। | |||
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इस अर्थ में | इस अर्थ में परिशुद्धता शब्द ("अवलोकन की शुद्धता का माप") पहली बार [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] (1809) "सूर्य के आसपास शंक्वाकार वर्गों में आकाशीय पिंडों की गति का सिद्धांत" (पृष्ठ 212) के कार्यों में दिखाया गया है। गॉस की परिभाषा आधुनिक परिभाषा <math>\sqrt2</math> से कई गुना भिन्न है वह परिशुद्धताता के साथ एक [[सामान्य वितरण]] के घनत्व फलन <math>h</math> के लिए मानक विचलन का व्युत्क्रम है: | ||
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Revision as of 09:22, 25 March 2023
आँकड़ों में, परिशुद्धता आव्यूह या संकेन्द्रण आव्यूह सहप्रसरण आव्यूह या विस्तार आव्यूह का आव्यूह व्युत्क्रम होता है।[1][2][3] अविभाज्य वितरण के लिए, परिशुद्धता आव्यूह एक अदिश (गणित) परिशुद्धता आव्यूह में व्युत्क्रम हो जाता है जिसे विचलन के गुणक व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है।[4]
सांख्यिकीय विस्तार के अन्य संक्षिप्त आँकड़ों को यथार्थता (या अयथार्थता) भी कहा जाता है[5][6] जिसमें मानक विचलन का व्युत्क्रम, स्वयं मानक विचलन और सापेक्ष मानक विचलन[7] के साथ-साथ मानक त्रुटि[8] की अतिरिक्त चौड़ाई और विश्वास्यता अंतराल सम्मिलित हैं।[9]
उपयोग
परिशुद्धता आव्यूह का एक विशेष उपयोग बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के बेजविश्लेषण के संदर्भ में किया जाता है उदाहरण के लिए, बर्नार्डो और स्मिथ कुछ सरलीकरणों के कारण सहप्रसरण आव्यूह के अतिरिक्त परिशुद्धता आव्यूह के संदर्भ में बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण को पैरामीटर को बनाने मे अपेक्षाकृत रुचि होती हैं। वह तब उत्पन्न होता है।[10] उदाहरण के लिए, यदि पूर्ववर्ती फलन और संभाविता फलन दोनों गाऊसी फलन के रूप है और इन दोनों का परिशुद्धता आव्यूह सम्मिलित है क्योंकि उनका सहप्रसरण आव्यूह पूर्ण है और इस प्रकार व्युत्क्रम है तब पिछले आव्यूह का परिशुद्धता आव्यूह आधार योग होगा तथा पूर्ववर्ती फलन और संभाविता फलन के परिशुद्धता आव्यूह के समान हो सकता है। एक हर्मिटियन आव्यूह के व्युत्क्रम के रूप में, वास्तविक-मान यादृच्छिक चर का परिशुद्धता आव्यूह, यदि यह सम्मिलित है तो यह धनात्मक-निश्चित आव्यूह और सममित आव्यूह है।
परिशुद्धता आव्यूह उपयोगी होने का एक और कारण यह है कि यदि दो आयाम और हैं एक बहुचर सामान्य की सशर्त स्वतंत्र है, फिर और परिशुद्धता आव्यूह के तत्व हैं इसका तात्पर्य यह है कि जब कई आयाम सशर्त रूप से स्वतंत्र होते हैं, तो परिशुद्धता आव्यूह विरल हो जाते हैं जिससे उनके साथ कार्य करते समय अभिकलनात्मक दक्षता हो सकती है। इसका यह भी अर्थ है कि परिशुद्धता आव्यूह आंशिक सहसंबंध के विचार से निकटता से संबंधित होता हैं।
परिशुद्धता आव्यूह सामान्य न्यूनतम वर्गों की तुलना में सामान्यीकृत कम से कम वर्गों में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है, जहां पहचान आव्यूह है और कम से कम भारित वर्गों के लिए, जहां विकर्ण है।
व्युत्पत्ति
इस अर्थ में परिशुद्धता शब्द ("अवलोकन की शुद्धता का माप") पहली बार कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1809) "सूर्य के आसपास शंक्वाकार वर्गों में आकाशीय पिंडों की गति का सिद्धांत" (पृष्ठ 212) के कार्यों में दिखाया गया है। गॉस की परिभाषा आधुनिक परिभाषा से कई गुना भिन्न है वह परिशुद्धताता के साथ एक सामान्य वितरण के घनत्व फलन के लिए मानक विचलन का व्युत्क्रम है:
जहाँ (देखें: घातांक # अंकन का इतिहास) बाद में व्हिटेकर और रॉबिन्सन (1924) "प्रेक्षणों की गणना" ने इस आव्यूह को मापांक (परिशुद्धता का) कहा है लेकिन यह शब्द उपयोग से बाहर हो गया है।[11]
संदर्भ
- ↑ DeGroot, Morris H. (1969). इष्टतम सांख्यिकीय निर्णय. New York: McGraw-Hill. p. 56.
- ↑ Davidson, Russell; MacKinnon, James G. (1993). अर्थमिति में अनुमान और अनुमान. New York: Oxford University Press. p. 144. ISBN 0-19-506011-3.
- ↑ Dodge, Y. (2003). द ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी ऑफ स्टैटिस्टिकल टर्म्स. Oxford University Press. ISBN 0-19-920613-9.
- ↑ Bolstad, W.M.; Curran, J.M. (2016). बायेसियन सांख्यिकी का परिचय. Wiley. p. 221. ISBN 978-1-118-59315-8. Retrieved 2022-08-13.
- ↑ Natrella, M.G. (2013). प्रायोगिक सांख्यिकी. Dover Books on Mathematics (in italiano). Dover Publications. p. 21-PA14. ISBN 978-0-486-15455-8. Retrieved 2022-08-14.
- ↑ Balakrishnan, N. (2009). जीवन और स्वास्थ्य विज्ञान में सांख्यिकी के तरीके और अनुप्रयोग. Methods and Applications of Statistics. Wiley. p. 537. ISBN 978-0-470-40509-3. Retrieved 2022-08-14.
- ↑ Ellison, S.L.R.; Farrant, T.J.; Barwick, V. (2009). Practical Statistics for the Analytical Scientist: A Bench Guide. Valid Analytical Measurement. Royal Society of Chemistry. p. 145. ISBN 978-0-85404-131-2. Retrieved 2022-08-14.
- ↑ Wilburn, A.J. (1984). लेखा परीक्षकों के लिए व्यावहारिक सांख्यिकीय नमूनाकरण. Statistics: A Series of Textbooks and Monographs. Taylor & Francis. p. 62. ISBN 978-0-8247-7124-9. Retrieved 2022-08-14.
- ↑ Cumming, G. (2013). Understanding The New Statistics: Effect Sizes, Confidence Intervals, and Meta-Analysis. Multivariate Applications Series. Taylor & Francis. p. 366. ISBN 978-1-136-65918-8. Retrieved 2022-08-14.
- ↑ Bernardo, J. M. & Smith, A.F.M. (2000) Bayesian Theory, Wiley ISBN 0-471-49464-X
- ↑ "गणित के कुछ शब्दों का सबसे पुराना ज्ञात उपयोग".
