4-मैनिफोल्ड: Difference between revisions
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गणित में, 4- | गणित में, 4-मैनिफोल्ड एक 4-आयामी [[टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड|सामयिक मैनिफोल्ड]] है। एक सुचारु 4-मैनिफोल्ड एक [[चिकनी संरचना|सुचारु संरचना]] के साथ 4-मैनिफोल्ड है। आयाम चार में, निचले आयामों के साथ स्पष्ट विपरीतता में, सामयिक और सुचारु मैनिफोल्ड अत्यधिक अलग हैं। कुछ सामयिक 4-मैनिफोल्ड स्थित हैं जो कोई सुचारु संरचना स्वीकार नहीं करते हैं, और यहां तक कि यदि कोई सुचारु संरचना स्थित है, तो यह अद्वितीय नहीं होना चाहिए(अर्थात सुचारु 4-मैनिफोल्ड हैं जो [[होमियोमॉर्फिक]] हैं परन्तु [[ डिफियोमॉर्फिक |डिफियोमॉर्फिक]] नहीं हैं)। | ||
भौतिकी में 4- | भौतिकी में 4-मैनिफोल्ड महत्वपूर्ण हैं क्योंकि [[सामान्य सापेक्षता]] में, अंतरिक्ष-समय को [[छद्म-रीमैनियन]] 4-मैनिफोल्ड के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है। | ||
== सामयिक 4- | == सामयिक 4-मैनिफोल्ड == | ||
मात्र संयोजित सुसम्बद्ध 4- | मात्र संयोजित सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड का [[होमोटॉपी प्रकार]] मात्र मध्य आयामी समरूपता पर प्रतिच्छेदन के रूप(4-मैनिफोल्ड) पर निर्भर करता है। {{harvs|txt=yes|first=माइकल|last=फ्रीडमैन|authorlink=Michael Freedman|year=1982}} की एक प्रसिद्ध प्रमेय का तात्पर्य है कि [[होमियोमोर्फिज्म]] प्रकार का मैनिफोल्ड मात्र इस प्रतिच्छेदन के रूप पर निर्भर करता है, और एक <math>\Z/2\Z</math> निश्चर पर जिसे किर्बी-सीबेनमैन निश्चर कहा जाता है, और इसके अतिरिक्त [[यूनिमॉड्यूलर जाली]] और किर्बी-सीबेनमैन निश्चर का प्रत्येक संयोजन उत्पन्न हो सकता है, अतिरिक्त इसके कि यदि रूप सम है, तो किर्बी-सीबेनमैन निश्चर को हस्ताक्षर/8(मॉड 2) होना चाहिए। | ||
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* विशेष स्थिति में जब रूप 0 होता है, तो इसका तात्पर्य 4-आयामी स्थलीय पोंकारे अनुमान से है। | * विशेष स्थिति में जब रूप 0 होता है, तो इसका तात्पर्य 4-आयामी स्थलीय पोंकारे अनुमान से है। | ||
*यदि रूप E8 जाली है, तो यह | *यदि रूप E8 जाली है, तो यह मैनिफोल्ड देता है जिसे E8 मैनिफोल्ड कहा जाता है, किसी भी साधारण परिसर के लिए मैनिफोल्ड होमियोमॉर्फिक नहीं। | ||
*यदि रूप <math>\Z</math> है, किर्बी-सीबेनमैन निश्चर के आधार पर दो | *यदि रूप <math>\Z</math> है, किर्बी-सीबेनमैन निश्चर के आधार पर दो मैनिफोल्ड हैं: एक 2-आयामी जटिल प्रक्षेपीय स्थान है, और दूसरा काल्पनिक प्रक्षेपीय स्थान है, जिसमें एक ही समस्थेयता प्रकार है परन्तु होमोमोर्फिक नहीं है(और कोई सुचारु संरचना नहीं है)। | ||
*जब रूप का पद लगभग 28 से अधिक होता है, तो यूनिमॉड्यूलर जाली वर्गीकरण पद के साथ बहुत तीव्रता से बढ़ना प्रारम्भ हो जाता है, इसलिए बड़ी संख्या में मात्र जुड़े हुए सामयिक 4- | *जब रूप का पद लगभग 28 से अधिक होता है, तो यूनिमॉड्यूलर जाली वर्गीकरण पद के साथ बहुत तीव्रता से बढ़ना प्रारम्भ हो जाता है, इसलिए बड़ी संख्या में मात्र जुड़े हुए सामयिक 4-मैनिफोल्ड होते हैं(जिनमें से अधिकांश में लगभग कोई रुचि नहीं प्रतीत होती है)। | ||
फ्रीडमैन के वर्गीकरण को कुछ विषयों में विस्तारित किया जा सकता है जब मौलिक समूह बहुत जटिल नहीं है; उदाहरण के लिए, जब यह <math>\Z</math> होता है, <math>\Z</math> के समूह वलय पर हर्मिटियन रूपों का उपयोग करते हुए उपरोक्त के समान एक वर्गीकरण होता है। यदि मौलिक समूह बहुत बड़ा है(उदाहरण के लिए, 2 उत्पादक पर एक मुक्त समूह), तो फ्रीडमैन की तकनीकें विफल होने लगती हैं और इस प्रकारके | फ्रीडमैन के वर्गीकरण को कुछ विषयों में विस्तारित किया जा सकता है जब मौलिक समूह बहुत जटिल नहीं है; उदाहरण के लिए, जब यह <math>\Z</math> होता है, <math>\Z</math> के समूह वलय पर हर्मिटियन रूपों का उपयोग करते हुए उपरोक्त के समान एक वर्गीकरण होता है। यदि मौलिक समूह बहुत बड़ा है(उदाहरण के लिए, 2 उत्पादक पर एक मुक्त समूह), तो फ्रीडमैन की तकनीकें विफल होने लगती हैं और इस प्रकारके मैनिफोल्ड के विषय में बहुत कम जानकारी है। | ||
किसी भी सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह के लिए इसके मूलभूत समूह के रूप में एक(सुचारु) सुसम्बद्ध 4- | किसी भी सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह के लिए इसके मूलभूत समूह के रूप में एक(सुचारु) सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड बनाना सरल है। जैसा कि यह बताने के लिए कोई कलन विधि नहीं है कि क्या दो सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत किए गए समूह समरूप हैं(यद्यपि एक को नगण्य माना जाता है) यह बताने के लिए कोई कलन विधि नहीं है कि क्या दो 4-मैनिफोल्ड में एक ही मौलिक समूह है। यह एक कारण है कि क्यों 4-मैनिफोल्ड पर अधिकतर काम मात्र जुड़े हुए विषय पर विचार करता है: कई समस्याओं का सामान्य विषय पूर्व से ही अशिष्ट होने के लिए जाना जाता है। | ||
== सुचारु 4- | == सुचारु 4-मैनिफोल्ड == | ||
अधिकतम 6 आयामों के | अधिकतम 6 आयामों के मैनिफोल्ड के लिए, किसी भी भाग की रैखिक(पीएल) संरचना को अनिवार्य रूप से अद्वितीय विधि से सुचारु किया जा सकता है,<ref>{{citation | ||
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| year = 2011}}.</ref> इसलिए विशेष रूप से 4 आयामी [[ पीएल कई गुना |पीएल | | year = 2011}}.</ref> इसलिए विशेष रूप से 4 आयामी [[ पीएल कई गुना |पीएल मैनिफोल्ड]] का सिद्धांत 4 आयामी सुचारु मैनिफोल्ड के सिद्धांत के समान है। | ||
सुचारु 4- | सुचारु 4-मैनिफोल्ड के सिद्धांत में एक बड़ी खुली समस्या है, मात्र जुड़े हुए सुसम्बद्ध वाले को वर्गीकृत करना। जैसा कि सामयिक ज्ञात हैं, यह दो भागों में विभाजित है: | ||
# कौन से सामयिक | # कौन से सामयिक मैनिफोल्ड सुचारु हैं? | ||
# विभिन्न सुचारु संरचनाओं को एक सुगम | # विभिन्न सुचारु संरचनाओं को एक सुगम मैनिफोल्ड पर वर्गीकृत करें। | ||
प्रथम समस्या का लगभग पूर्ण उत्तर है, जिसमें मात्र सुसम्बद्ध 4- | प्रथम समस्या का लगभग पूर्ण उत्तर है, जिसमें मात्र सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड से जुड़ी सुचारु संरचनाएं हैं। सबसे पूर्व, किर्बी-सीबेनमैन वर्ग को अंतर्धान होना चाहिए। | ||
*यदि प्रतिच्छेदन रूप निश्चित है डोनाल्डसन का प्रमेय {{harv|डोनाल्डसन|1983}} एक पूर्ण उत्तर देता है: एक सुचारु संरचना होती है यदि और मात्र यदि रूप विकर्णीय है। | *यदि प्रतिच्छेदन रूप निश्चित है डोनाल्डसन का प्रमेय {{harv|डोनाल्डसन|1983}} एक पूर्ण उत्तर देता है: एक सुचारु संरचना होती है यदि और मात्र यदि रूप विकर्णीय है। | ||
*यदि रूप अनिश्चित और विषम है तो एक सुचारु संरचना होती है। | *यदि रूप अनिश्चित और विषम है तो एक सुचारु संरचना होती है। | ||
*यदि रूप अनिश्चित है और यहां तक कि हम यह भी मान सकते हैं कि यदि आवश्यक हो तो निर्देशन बदलकर यह गैर-सकारात्मक हस्ताक्षर का है, जिस स्थिति में यह कुछ m और n के लिए E8(−1) की II1,1 और 2n प्रतियों की m प्रतियों के योग के लिए समरूपी है। यदि m ≥ 3n(ताकि आयाम कम से कम 11/8 गुना |हस्ताक्षर|) तो एक सुचारु संरचना है, जो n [[K3 सतह|K3 सतहों]] और m − 3n ''S''<sup>2</sup>×''S''<sup>2</sup> की प्रतियों का एक जुड़ा हुआ योग लेकर दी गई है। यदि m ≤ 2n(तो आयाम अधिक से अधिक 10/8 गुना है | हस्ताक्षर |) तो फुरुता ने सिद्ध किया कि कोई सुचारु सरंचना स्थित नहीं है | *यदि रूप अनिश्चित है और यहां तक कि हम यह भी मान सकते हैं कि यदि आवश्यक हो तो निर्देशन बदलकर यह गैर-सकारात्मक हस्ताक्षर का है, जिस स्थिति में यह कुछ m और n के लिए E8(−1) की II1,1 और 2n प्रतियों की m प्रतियों के योग के लिए समरूपी है। यदि m ≥ 3n(ताकि आयाम कम से कम 11/8 गुना |हस्ताक्षर|) तो एक सुचारु संरचना है, जो n [[K3 सतह|K3 सतहों]] और m − 3n ''S''<sup>2</sup>×''S''<sup>2</sup> की प्रतियों का एक जुड़ा हुआ योग लेकर दी गई है। यदि m ≤ 2n(तो आयाम अधिक से अधिक 10/8 गुना है | हस्ताक्षर |) तो फुरुता ने सिद्ध किया कि कोई सुचारु सरंचना स्थित नहीं है । यह 10/8 और 11/8 के बीच एक छोटा सा अंतर छोड़ देता है जहां उत्तर अधिकतर ज्ञात होता है।(उपर्युक्त सबसे छोटी स्थित में n = 2 और m = 5 है, परन्तु बाहर कर दिया जाता है, इसलिए सबसे छोटा जाली जिसके लिए उत्तर वर्तमान में ज्ञात नहीं है, वह जाली II<sub>7,55</sub> पद 62 का n = 3 और m = 7 है। इस क्षेत्र में वर्त्तमान की(2019 तक) प्रगति के लिए देखें।<ref>{{cite arXiv | last1 = Hopkins | first1 = Michael J. | authorlink = Michael J. Hopkins | last2 = Lin | first2 = Jianfeng | last3 = Shi | first3 = XiaoLin | last4 = Xu | first4 = Zhouli | title = Intersection Forms of Spin 4-Manifolds and the Pin(2)-Equivariant Mahowald Invariant | year = 2019 | class = math.AT | eprint = 1812.04052 | mode=cs2 }}.</ref>) "11/8 अनुमान" बताता है कि यदि आयाम 11/8 गुना से कम है तो सुचारु संरचनाएं स्थित नहीं हैं। | ||
इसके विपरीत, सुचारु 4- | इसके विपरीत, सुचारु 4-मैनिफोल्ड पर सुचारु संरचनाओं को वर्गीकृत करने के दूसरे प्रश्न के विषय में बहुत कम जानकारी है; वस्तुतः, वहाँ एक भी सुचारु 4-मैनिफोल्ड नहीं है जहाँ उत्तर ज्ञात हो। डोनाल्डसन ने दिखाया कि कुछ सरल रूप से जुड़े सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड हैं, जैसे कि [[डोलगाचेव सतह|डोलगाचेव सतहें]], अलग-अलग सुचारु संरचनाओं की अगणनीय अनंत संख्या के साथ। R<sup>4</sup> पर विभिन्न सुचारु संरचनाओं की एक अगणनीय संख्या है विजातीय R<sup>4 देखें । फिंट्यूशेल और स्टर्न ने दिखाया कि कई अलग-अलग मैनिफोल्ड पर बड़ी संख्या में अलग-अलग सुचारु संरचनाओं(मनमानी अभिन्न बहुपदों द्वारा अनुक्रमित) के निर्माण के लिए सर्जरी का उपयोग कैसे किया जाता है, यह दिखाने के लिए कि सुचारु संरचनाएं अलग-अलग हैं। उनके परिणाम बताते हैं कि सरली से जुड़े सुचारु 4-मैनिफोल्ड का कोई वर्गीकरण बहुत जटिल होगा। यह वर्गीकरण कैसा दिख सकता है, इसके विषय में वर्तमान में कोई सत्याभासी अनुमान नहीं है।(कुछ प्रारंभिक अनुमान हैं कि सभी सरली से जुड़े सुचारु 4-मैनिफोल्ड बीजगणितीय सतहों के जुड़े योग हो सकते हैं, या [[सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड]], संभवतः विपरीत झुकाव के साथ, अस्वीकृत कर दिया गया है।) | ||
==4 आयामों में विशेष घटनाएं== | ==4 आयामों में विशेष घटनाएं== | ||
मैनिफोल्ड के विषय में कई मौलिक प्रमेय हैं जो कम से कम 3 आयामों में कम-आयामी विधियों द्वारा और कम से कम 5 आयामों में पूर्ण रूप से भिन्न उच्च-आयामी विधियों द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं, परन्तु जो आयाम 4 में असत्य हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: | |||
*4 के अतिरिक्त अन्य आयामों में, किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय पीएल संरचना के अस्तित्व में बाधा प्रदान करता है; दूसरे शब्दों में एक सुसम्बद्ध सामयिक | *4 के अतिरिक्त अन्य आयामों में, किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय पीएल संरचना के अस्तित्व में बाधा प्रदान करता है; दूसरे शब्दों में एक सुसम्बद्ध सामयिक मैनिफोल्ड में पीएल संरचना होती है यदि और मात्र यदि H<sup>4</sup>(M,'Z'/2'Z') में इसका किर्बी-सीबेनमैन निश्चरअंतर्धान हो जाता है। आयाम 3 और निचले में, प्रत्येक सामयिक मैनिफोल्ड अनिवार्य रूप से अद्वितीय पीएल संरचना को स्वीकार करता है। आयाम 4 में अंतर्धान होने वाले किर्बी-सीबेनमैन निश्चर के कई उदाहरण हैं परन्तु कोई पीएल संरचना नहीं है। | ||
*4 के अतिरिक्त किसी भी आयाम में, एक सुसम्बद्ध सामयिक | *4 के अतिरिक्त किसी भी आयाम में, एक सुसम्बद्ध सामयिक मैनिफोल्ड में अनिवार्य रूप से विशिष्ट पीएल या सुचारु संरचनाओं की मात्र एक सीमित संख्या होती है। आयाम 4 में, सुसम्बद्ध मैनिफोल्ड में गैर-डिफियोमॉर्फिक सुचारु संरचनाओं की संख्या अनंत संख्या में हो सकती है। | ||
*चार एकमात्र आयाम n है जिसके लिए 'R'<sup>n</sup> में विजातीय सुचारु संरचना हो सकती है। 'R'<sup>4</sup> में विजातीय सुचारु संरचनाओं की एक अगणनीय संख्या है; विजातीय R<sup>4 देखें । | *चार एकमात्र आयाम n है जिसके लिए 'R'<sup>n</sup> में विजातीय सुचारु संरचना हो सकती है। 'R'<sup>4</sup> में विजातीय सुचारु संरचनाओं की एक अगणनीय संख्या है; विजातीय R<sup>4 देखें । | ||
*सुचारू पॉइनकेयर अनुमान का समाधान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों में जाना जाता है(यह सामान्यतः कम से कम 7 आयामों में असत्य होता है; [[विदेशी क्षेत्र|विजातीय क्षेत्र]] देखें)। पीएल | *सुचारू पॉइनकेयर अनुमान का समाधान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों में जाना जाता है(यह सामान्यतः कम से कम 7 आयामों में असत्य होता है; [[विदेशी क्षेत्र|विजातीय क्षेत्र]] देखें)। पीएल मैनिफोल्ड के लिए पोंकारे अनुमान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों के लिए सिद्ध किया गया है, परन्तु यह ज्ञात नहीं है कि यह 4 आयामों में सत्य है या नहीं(यह 4 आयामों में सुचारु पोंकारे अनुमान के बराबर है)। | ||
* सहज h-कोबोर्डवाद प्रमेय सह-बोर्डवाद के लिए मान्य है, अथवा न तो सह-बोर्डवाद और न ही इसकी सीमा का आयाम 4 हो। यह विफल हो सकता है यदि सह-बोर्डवाद की सीमा का आयाम 4 हो(जैसा कि [[साइमन डोनाल्डसन]] द्वारा दिखाया गया है)।<ref>{{Cite journal |last=Donaldson |first=Simon K. |title=तर्कहीनता और एच-कोबर्डिज्म अनुमान|journal=J. Differential Geom. |volume=26 |issue=1 |year=1987 |pages=141–168 |doi=10.4310/jdg/1214441179 |mr=0892034 | url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214441179 |doi-access=free }}</ref> यदि सह-बोर्डवाद का आयाम 4 है, तो यह अज्ञात है कि h-सह-बोर्डवाद प्रमेय धारण करता है या नहीं। | * सहज h-कोबोर्डवाद प्रमेय सह-बोर्डवाद के लिए मान्य है, अथवा न तो सह-बोर्डवाद और न ही इसकी सीमा का आयाम 4 हो। यह विफल हो सकता है यदि सह-बोर्डवाद की सीमा का आयाम 4 हो(जैसा कि [[साइमन डोनाल्डसन]] द्वारा दिखाया गया है)।<ref>{{Cite journal |last=Donaldson |first=Simon K. |title=तर्कहीनता और एच-कोबर्डिज्म अनुमान|journal=J. Differential Geom. |volume=26 |issue=1 |year=1987 |pages=141–168 |doi=10.4310/jdg/1214441179 |mr=0892034 | url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214441179 |doi-access=free }}</ref> यदि सह-बोर्डवाद का आयाम 4 है, तो यह अज्ञात है कि h-सह-बोर्डवाद प्रमेय धारण करता है या नहीं। | ||
* 4 के बराबर नहीं होने वाले आयाम के सामयिक | * 4 के बराबर नहीं होने वाले आयाम के सामयिक मैनिफोल्ड में एक हैंडलबॉडी अपघटन है। आयाम 4 के मैनिफोल्ड में एक हैंडलबॉडी अपघटन होता है यदि और मात्र यदि वे सुचारु हों। | ||
* सुसम्बद्ध 4-आयामी सामयिक | * सुसम्बद्ध 4-आयामी सामयिक मैनिफोल्ड हैं जो किसी भी साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं हैं। आयाम में कम से कम 5 सामयिक मैनिफोल्ड का अस्तित्व एक साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं एक खुली समस्या थी। [[सिप्रियन मनोलेस्कु]] ने दिखाया कि 5 से अधिक या उसके बराबर प्रत्येक आयाम में मैनिफोल्ड हैं, जो एक साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं हैं।<ref>{{cite journal |first=Ciprian |last=Manolescu |authorlink=Ciprian Manolescu| title=Pin(2)-equivariant Seiberg–Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture |journal=[[Journal of the American Mathematical Society|J. Amer. Math. Soc.]] |volume=29 |year=2016 |pages=147–176 |doi=10.1090/jams829|arxiv=1303.2354 |s2cid=16403004 }}</ref> | ||
== आयाम 4 में व्हिटनी चाल की विफलता == | == आयाम 4 में व्हिटनी चाल की विफलता == | ||
[[फ्रैंक क्विन (गणितज्ञ)|फ्पद क्विन(गणितज्ञ)]] के अनुसार, आयाम 2n के | [[फ्रैंक क्विन (गणितज्ञ)|फ्पद क्विन(गणितज्ञ)]] के अनुसार, आयाम 2n के मैनिफोल्ड के दो n-आयामी उपमैनिफोल्ड सामान्यतः अलग-अलग बिंदुओं में स्वयं को और एक-दूसरे को काटते हैं। व्हिटनी ट्रिक इन प्रतिच्छेदन को सरल बनाने के लिए एक अंत:स्थापन 2-डिस्क में एक आइसोटोप का उपयोग करती है। साधारणतया यह 2-डिस्क के अंत:स्थापन के लिए n-आयामी अंत:स्थापन के अध्ययन को कम करता है। परन्तु यह कमी नहीं है जब अंत:स्थापन 4 है: 2 डिस्क स्वयं मध्य-आयामी हैं, इसलिए उन्हें अंत:स्थापन करने का प्रयास ठीक उसी समस्या का सामना करता है जिसे वे हल करने वाले हैं। यही वह परिघटना है जो आयाम 4 को दूसरों से अलग करती है।<ref>{{cite book |author=Quinn, F.|editor1=Ranicki, A. |editor2=Yamasaki, M. |year=1996 |url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0176/josai.pdf |chapter=Problems in low-dimensional topology|title=Surgery and Geometric Topology: Proceedings of a conference held at Josai University, Sakado, Sept. 1996 |pages=97–104}}</ref> | ||
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* [[किर्बी कैलकुलस]] | * [[किर्बी कैलकुलस]] | ||
* [[बीजगणितीय सतह]] | * [[बीजगणितीय सतह]] | ||
*[[3-कई गुना|3- | *[[3-कई गुना|3-मैनिफोल्ड]] | ||
*[[5-कई गुना|5- | *[[5-कई गुना|5-मैनिफोल्ड]] | ||
*एनरिक -कोडैरा वर्गीकरण | *एनरिक -कोडैरा वर्गीकरण | ||
* [[कैसन हैंडल]] | * [[कैसन हैंडल]] | ||
Revision as of 11:42, 20 March 2023
गणित में, 4-मैनिफोल्ड एक 4-आयामी सामयिक मैनिफोल्ड है। एक सुचारु 4-मैनिफोल्ड एक सुचारु संरचना के साथ 4-मैनिफोल्ड है। आयाम चार में, निचले आयामों के साथ स्पष्ट विपरीतता में, सामयिक और सुचारु मैनिफोल्ड अत्यधिक अलग हैं। कुछ सामयिक 4-मैनिफोल्ड स्थित हैं जो कोई सुचारु संरचना स्वीकार नहीं करते हैं, और यहां तक कि यदि कोई सुचारु संरचना स्थित है, तो यह अद्वितीय नहीं होना चाहिए(अर्थात सुचारु 4-मैनिफोल्ड हैं जो होमियोमॉर्फिक हैं परन्तु डिफियोमॉर्फिक नहीं हैं)।
भौतिकी में 4-मैनिफोल्ड महत्वपूर्ण हैं क्योंकि सामान्य सापेक्षता में, अंतरिक्ष-समय को छद्म-रीमैनियन 4-मैनिफोल्ड के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है।
सामयिक 4-मैनिफोल्ड
मात्र संयोजित सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड का होमोटॉपी प्रकार मात्र मध्य आयामी समरूपता पर प्रतिच्छेदन के रूप(4-मैनिफोल्ड) पर निर्भर करता है। माइकल फ्रीडमैन (1982) की एक प्रसिद्ध प्रमेय का तात्पर्य है कि होमियोमोर्फिज्म प्रकार का मैनिफोल्ड मात्र इस प्रतिच्छेदन के रूप पर निर्भर करता है, और एक निश्चर पर जिसे किर्बी-सीबेनमैन निश्चर कहा जाता है, और इसके अतिरिक्त यूनिमॉड्यूलर जाली और किर्बी-सीबेनमैन निश्चर का प्रत्येक संयोजन उत्पन्न हो सकता है, अतिरिक्त इसके कि यदि रूप सम है, तो किर्बी-सीबेनमैन निश्चर को हस्ताक्षर/8(मॉड 2) होना चाहिए।
उदाहरण:
- विशेष स्थिति में जब रूप 0 होता है, तो इसका तात्पर्य 4-आयामी स्थलीय पोंकारे अनुमान से है।
- यदि रूप E8 जाली है, तो यह मैनिफोल्ड देता है जिसे E8 मैनिफोल्ड कहा जाता है, किसी भी साधारण परिसर के लिए मैनिफोल्ड होमियोमॉर्फिक नहीं।
- यदि रूप है, किर्बी-सीबेनमैन निश्चर के आधार पर दो मैनिफोल्ड हैं: एक 2-आयामी जटिल प्रक्षेपीय स्थान है, और दूसरा काल्पनिक प्रक्षेपीय स्थान है, जिसमें एक ही समस्थेयता प्रकार है परन्तु होमोमोर्फिक नहीं है(और कोई सुचारु संरचना नहीं है)।
- जब रूप का पद लगभग 28 से अधिक होता है, तो यूनिमॉड्यूलर जाली वर्गीकरण पद के साथ बहुत तीव्रता से बढ़ना प्रारम्भ हो जाता है, इसलिए बड़ी संख्या में मात्र जुड़े हुए सामयिक 4-मैनिफोल्ड होते हैं(जिनमें से अधिकांश में लगभग कोई रुचि नहीं प्रतीत होती है)।
फ्रीडमैन के वर्गीकरण को कुछ विषयों में विस्तारित किया जा सकता है जब मौलिक समूह बहुत जटिल नहीं है; उदाहरण के लिए, जब यह होता है, के समूह वलय पर हर्मिटियन रूपों का उपयोग करते हुए उपरोक्त के समान एक वर्गीकरण होता है। यदि मौलिक समूह बहुत बड़ा है(उदाहरण के लिए, 2 उत्पादक पर एक मुक्त समूह), तो फ्रीडमैन की तकनीकें विफल होने लगती हैं और इस प्रकारके मैनिफोल्ड के विषय में बहुत कम जानकारी है।
किसी भी सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह के लिए इसके मूलभूत समूह के रूप में एक(सुचारु) सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड बनाना सरल है। जैसा कि यह बताने के लिए कोई कलन विधि नहीं है कि क्या दो सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत किए गए समूह समरूप हैं(यद्यपि एक को नगण्य माना जाता है) यह बताने के लिए कोई कलन विधि नहीं है कि क्या दो 4-मैनिफोल्ड में एक ही मौलिक समूह है। यह एक कारण है कि क्यों 4-मैनिफोल्ड पर अधिकतर काम मात्र जुड़े हुए विषय पर विचार करता है: कई समस्याओं का सामान्य विषय पूर्व से ही अशिष्ट होने के लिए जाना जाता है।
सुचारु 4-मैनिफोल्ड
अधिकतम 6 आयामों के मैनिफोल्ड के लिए, किसी भी भाग की रैखिक(पीएल) संरचना को अनिवार्य रूप से अद्वितीय विधि से सुचारु किया जा सकता है,[1] इसलिए विशेष रूप से 4 आयामी पीएल मैनिफोल्ड का सिद्धांत 4 आयामी सुचारु मैनिफोल्ड के सिद्धांत के समान है।
सुचारु 4-मैनिफोल्ड के सिद्धांत में एक बड़ी खुली समस्या है, मात्र जुड़े हुए सुसम्बद्ध वाले को वर्गीकृत करना। जैसा कि सामयिक ज्ञात हैं, यह दो भागों में विभाजित है:
- कौन से सामयिक मैनिफोल्ड सुचारु हैं?
- विभिन्न सुचारु संरचनाओं को एक सुगम मैनिफोल्ड पर वर्गीकृत करें।
प्रथम समस्या का लगभग पूर्ण उत्तर है, जिसमें मात्र सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड से जुड़ी सुचारु संरचनाएं हैं। सबसे पूर्व, किर्बी-सीबेनमैन वर्ग को अंतर्धान होना चाहिए।
- यदि प्रतिच्छेदन रूप निश्चित है डोनाल्डसन का प्रमेय (डोनाल्डसन 1983) एक पूर्ण उत्तर देता है: एक सुचारु संरचना होती है यदि और मात्र यदि रूप विकर्णीय है।
- यदि रूप अनिश्चित और विषम है तो एक सुचारु संरचना होती है।
- यदि रूप अनिश्चित है और यहां तक कि हम यह भी मान सकते हैं कि यदि आवश्यक हो तो निर्देशन बदलकर यह गैर-सकारात्मक हस्ताक्षर का है, जिस स्थिति में यह कुछ m और n के लिए E8(−1) की II1,1 और 2n प्रतियों की m प्रतियों के योग के लिए समरूपी है। यदि m ≥ 3n(ताकि आयाम कम से कम 11/8 गुना |हस्ताक्षर|) तो एक सुचारु संरचना है, जो n K3 सतहों और m − 3n S2×S2 की प्रतियों का एक जुड़ा हुआ योग लेकर दी गई है। यदि m ≤ 2n(तो आयाम अधिक से अधिक 10/8 गुना है | हस्ताक्षर |) तो फुरुता ने सिद्ध किया कि कोई सुचारु सरंचना स्थित नहीं है । यह 10/8 और 11/8 के बीच एक छोटा सा अंतर छोड़ देता है जहां उत्तर अधिकतर ज्ञात होता है।(उपर्युक्त सबसे छोटी स्थित में n = 2 और m = 5 है, परन्तु बाहर कर दिया जाता है, इसलिए सबसे छोटा जाली जिसके लिए उत्तर वर्तमान में ज्ञात नहीं है, वह जाली II7,55 पद 62 का n = 3 और m = 7 है। इस क्षेत्र में वर्त्तमान की(2019 तक) प्रगति के लिए देखें।[2]) "11/8 अनुमान" बताता है कि यदि आयाम 11/8 गुना से कम है तो सुचारु संरचनाएं स्थित नहीं हैं।
इसके विपरीत, सुचारु 4-मैनिफोल्ड पर सुचारु संरचनाओं को वर्गीकृत करने के दूसरे प्रश्न के विषय में बहुत कम जानकारी है; वस्तुतः, वहाँ एक भी सुचारु 4-मैनिफोल्ड नहीं है जहाँ उत्तर ज्ञात हो। डोनाल्डसन ने दिखाया कि कुछ सरल रूप से जुड़े सुसम्बद्ध 4-मैनिफोल्ड हैं, जैसे कि डोलगाचेव सतहें, अलग-अलग सुचारु संरचनाओं की अगणनीय अनंत संख्या के साथ। R4 पर विभिन्न सुचारु संरचनाओं की एक अगणनीय संख्या है विजातीय R4 देखें । फिंट्यूशेल और स्टर्न ने दिखाया कि कई अलग-अलग मैनिफोल्ड पर बड़ी संख्या में अलग-अलग सुचारु संरचनाओं(मनमानी अभिन्न बहुपदों द्वारा अनुक्रमित) के निर्माण के लिए सर्जरी का उपयोग कैसे किया जाता है, यह दिखाने के लिए कि सुचारु संरचनाएं अलग-अलग हैं। उनके परिणाम बताते हैं कि सरली से जुड़े सुचारु 4-मैनिफोल्ड का कोई वर्गीकरण बहुत जटिल होगा। यह वर्गीकरण कैसा दिख सकता है, इसके विषय में वर्तमान में कोई सत्याभासी अनुमान नहीं है।(कुछ प्रारंभिक अनुमान हैं कि सभी सरली से जुड़े सुचारु 4-मैनिफोल्ड बीजगणितीय सतहों के जुड़े योग हो सकते हैं, या सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड, संभवतः विपरीत झुकाव के साथ, अस्वीकृत कर दिया गया है।)
4 आयामों में विशेष घटनाएं
मैनिफोल्ड के विषय में कई मौलिक प्रमेय हैं जो कम से कम 3 आयामों में कम-आयामी विधियों द्वारा और कम से कम 5 आयामों में पूर्ण रूप से भिन्न उच्च-आयामी विधियों द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं, परन्तु जो आयाम 4 में असत्य हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
- 4 के अतिरिक्त अन्य आयामों में, किर्बी-सीबेनमैन अपरिवर्तनीय पीएल संरचना के अस्तित्व में बाधा प्रदान करता है; दूसरे शब्दों में एक सुसम्बद्ध सामयिक मैनिफोल्ड में पीएल संरचना होती है यदि और मात्र यदि H4(M,'Z'/2'Z') में इसका किर्बी-सीबेनमैन निश्चरअंतर्धान हो जाता है। आयाम 3 और निचले में, प्रत्येक सामयिक मैनिफोल्ड अनिवार्य रूप से अद्वितीय पीएल संरचना को स्वीकार करता है। आयाम 4 में अंतर्धान होने वाले किर्बी-सीबेनमैन निश्चर के कई उदाहरण हैं परन्तु कोई पीएल संरचना नहीं है।
- 4 के अतिरिक्त किसी भी आयाम में, एक सुसम्बद्ध सामयिक मैनिफोल्ड में अनिवार्य रूप से विशिष्ट पीएल या सुचारु संरचनाओं की मात्र एक सीमित संख्या होती है। आयाम 4 में, सुसम्बद्ध मैनिफोल्ड में गैर-डिफियोमॉर्फिक सुचारु संरचनाओं की संख्या अनंत संख्या में हो सकती है।
- चार एकमात्र आयाम n है जिसके लिए 'R'n में विजातीय सुचारु संरचना हो सकती है। 'R'4 में विजातीय सुचारु संरचनाओं की एक अगणनीय संख्या है; विजातीय R4 देखें ।
- सुचारू पॉइनकेयर अनुमान का समाधान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों में जाना जाता है(यह सामान्यतः कम से कम 7 आयामों में असत्य होता है; विजातीय क्षेत्र देखें)। पीएल मैनिफोल्ड के लिए पोंकारे अनुमान 4 के अतिरिक्त अन्य सभी आयामों के लिए सिद्ध किया गया है, परन्तु यह ज्ञात नहीं है कि यह 4 आयामों में सत्य है या नहीं(यह 4 आयामों में सुचारु पोंकारे अनुमान के बराबर है)।
- सहज h-कोबोर्डवाद प्रमेय सह-बोर्डवाद के लिए मान्य है, अथवा न तो सह-बोर्डवाद और न ही इसकी सीमा का आयाम 4 हो। यह विफल हो सकता है यदि सह-बोर्डवाद की सीमा का आयाम 4 हो(जैसा कि साइमन डोनाल्डसन द्वारा दिखाया गया है)।[3] यदि सह-बोर्डवाद का आयाम 4 है, तो यह अज्ञात है कि h-सह-बोर्डवाद प्रमेय धारण करता है या नहीं।
- 4 के बराबर नहीं होने वाले आयाम के सामयिक मैनिफोल्ड में एक हैंडलबॉडी अपघटन है। आयाम 4 के मैनिफोल्ड में एक हैंडलबॉडी अपघटन होता है यदि और मात्र यदि वे सुचारु हों।
- सुसम्बद्ध 4-आयामी सामयिक मैनिफोल्ड हैं जो किसी भी साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं हैं। आयाम में कम से कम 5 सामयिक मैनिफोल्ड का अस्तित्व एक साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं एक खुली समस्या थी। सिप्रियन मनोलेस्कु ने दिखाया कि 5 से अधिक या उसके बराबर प्रत्येक आयाम में मैनिफोल्ड हैं, जो एक साधारण जटिल के लिए होमोमोर्फिक नहीं हैं।[4]
आयाम 4 में व्हिटनी चाल की विफलता
फ्पद क्विन(गणितज्ञ) के अनुसार, आयाम 2n के मैनिफोल्ड के दो n-आयामी उपमैनिफोल्ड सामान्यतः अलग-अलग बिंदुओं में स्वयं को और एक-दूसरे को काटते हैं। व्हिटनी ट्रिक इन प्रतिच्छेदन को सरल बनाने के लिए एक अंत:स्थापन 2-डिस्क में एक आइसोटोप का उपयोग करती है। साधारणतया यह 2-डिस्क के अंत:स्थापन के लिए n-आयामी अंत:स्थापन के अध्ययन को कम करता है। परन्तु यह कमी नहीं है जब अंत:स्थापन 4 है: 2 डिस्क स्वयं मध्य-आयामी हैं, इसलिए उन्हें अंत:स्थापन करने का प्रयास ठीक उसी समस्या का सामना करता है जिसे वे हल करने वाले हैं। यही वह परिघटना है जो आयाम 4 को दूसरों से अलग करती है।[5]
यह भी देखें
- किर्बी कैलकुलस
- बीजगणितीय सतह
- 3-मैनिफोल्ड
- 5-मैनिफोल्ड
- एनरिक -कोडैरा वर्गीकरण
- कैसन हैंडल
- अकबुलुत कॉर्क
संदर्भ
- ↑ Milnor, John (2011), "Differential topology forty-six years later" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 58 (6): 804–809, MR 2839925.
- ↑ Hopkins, Michael J.; Lin, Jianfeng; Shi, XiaoLin; Xu, Zhouli (2019), "Intersection Forms of Spin 4-Manifolds and the Pin(2)-Equivariant Mahowald Invariant", arXiv:1812.04052 [math.AT].
- ↑ Donaldson, Simon K. (1987). "तर्कहीनता और एच-कोबर्डिज्म अनुमान". J. Differential Geom. 26 (1): 141–168. doi:10.4310/jdg/1214441179. MR 0892034.
- ↑ Manolescu, Ciprian (2016). "Pin(2)-equivariant Seiberg–Witten Floer homology and the Triangulation Conjecture". J. Amer. Math. Soc. 29: 147–176. arXiv:1303.2354. doi:10.1090/jams829. S2CID 16403004.
- ↑ Quinn, F. (1996). "Problems in low-dimensional topology". In Ranicki, A.; Yamasaki, M. (eds.). Surgery and Geometric Topology: Proceedings of a conference held at Josai University, Sakado, Sept. 1996 (PDF). pp. 97–104.
- Donaldson, Simon K. (1983), "An application of gauge theory to four-dimensional topology", Journal of Differential Geometry, 18 (2): 279–315, doi:10.4310/jdg/1214437665
- Donaldson, Simon K.; Kronheimer, Peter B. (1997), The Geometry of Four-Manifolds, Oxford Mathematical Monographs, Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-850269-9
- Freed, Daniel S.; Uhlenbeck, Karen K. (1984), Instantons and four-manifolds, Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol. 1, Springer-Verlag, New York, doi:10.1007/978-1-4684-0258-2, ISBN 0-387-96036-8, MR 0757358
- Freedman, Michael Hartley (1982), "The topology of four-dimensional manifolds", Journal of Differential Geometry, 17 (3): 357–453, doi:10.4310/jdg/1214437136, MR 0679066
- Freedman, Michael H.; Quinn, Frank (1990), Topology of 4-manifolds, Princeton, N.J.: Princeton University Press, ISBN 0-691-08577-3
- Furuta, Mikio (2001), "Monopole Equation and the 11/8-Conjecture", Mathematical Research Letters, 8: 279–291, doi:10.4310/mrl.2001.v8.n3.a5, MR 1839478
- Kirby, Robion C. (1989), The topology of 4-manifolds, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1374, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0089031, ISBN 978-3-540-51148-9, MR 1001966
- Gompf, Robert E.; Stipsicz, András I. (1999), 4-Manifolds and Kirby Calculus, Grad. Studies in Math., vol. 20, American Mathematical Society, MR 1707327
- Kirby, R. C.; Taylor, L. R. (1998). "A survey of 4-manifolds through the eyes of surgery". arXiv:math.GT/9803101.
- Mandelbaum, R. (1980), "Four-dimensional topology: an introduction", Bull. Amer. Math. Soc., 2: 1–159, doi:10.1090/S0273-0979-1980-14687-X
- Matveev, S. V. (2001) [1994], "Four-dimensional manifolds", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- Scorpan, A. (2005), The wild world of 4-manifolds, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3749-4
बाहरी संबंध
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