स्कोनफ्लाइज़ संकेतन: Difference between revisions

Revision as of 10:02, 4 April 2023

{{Short description|Notation to represent symmetry in point groups}

जर्मन गणितज्ञ आर्थर मोरिट्ज़ शोएनफ्लाइज़ के नाम पर शोयेनफ्लीज़(या स्कोनफ्लाइज़) संकेतन, एक संकेतन है जिसका उपयोग मुख्य रूप से तीन विमाओं में बिंदु समूहों को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। क्योंकि अकेले एक बिंदु समूह आणविक सममिति का वर्णन करने के लिए पूर्ण रूप से पर्याप्त है, संकेतन प्रायः पर्याप्त होता है और सामान्यतः स्पेक्ट्रोमिकी के लिए उपयोग किया जाता है। यद्यपि, क्रिस्टलिकी में, अतिरिक्त अनुवादकीय सममिति है, और बिंदु समूह क्रिस्टल की पूर्ण सममिति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं, इसलिए पूर्ण स्थान समूह सामान्यतः इसके अतिरिक्त उपयोग किया जाता है। पूर्ण समष्टि समूहों का नामकरण सामान्यतः अन्य सामान्य परम्परा, हरमन-मौगुइन संकेतन का पालन करता है, जिसे अंतरराष्ट्रीय संकेतन भी कहा जाता है।

यद्यपि मूर्धांक के बिना शोयेनफ्लीज़ संकेतन एक शुद्ध बिंदु समूह संकेतन है, वैकल्पिक रूप से, अलग-अलग स्थान समूहों को निर्दिष्ट करने के लिए मूर्धांक को जोड़ा जा सकता है। यद्यपि, समष्टि समूहों के लिए, अंतर्निहित सममिति तत्वों का संयोजन हरमन-मौगुइन संकेतन में अधिक स्पष्ट है, इसलिए बाद वाले अंकन को सामान्यतः समष्टि समूहों के लिए अधिमानित किया जाता है।

सममिति तत्व

सममिति तत्वों को व्युत्क्रम केंद्रों के लिए i, उचित घूर्णन अक्षों के लिए C, दर्पण तलों के लिए σ, और अनुचित घूर्णन अक्षों(घूर्णन-परावर्तन अक्षों) के लिए S द्वारा निरूपित किया जाता है। C और S सामान्यतः एक पादांक संख्या(संक्षेप में निरूपित n) द्वारा अनुगमन किया जाता है जो घूर्णन के क्रम को दर्शाता है।

परम्परा के अनुसार, अधिकतम कोटि के उचित घूर्णन के अक्ष को मुख्य अक्ष के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसके संबंध में अन्य सभी सममिति तत्वों का वर्णन किया गया है। एक ऊर्ध्वाधर दर्पण तल(मुख्य अक्ष युक्त) को σ_v निरूपित किया जाता है; एक क्षैतिज दर्पण तल(मुख्य अक्ष के लंबवत) को σ_h निरूपित किया जाता है।

बिंदु समूह

तीन विमाओं में, अनंत संख्या में बिंदु समूह होते हैं, परन्तु उन सभी को कई वर्गों द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है।

C_n(चक्रीय समूह के लिए) में एक n-गुना घूर्णन अक्ष होता है।
- C_nh सी है_n घूर्णन के अक्ष(क्षैतिज तल) के लंबवत दर्पण(प्रतिबिंब) तल के अतिरिक्त के साथ।
- C_nv C है_n घूर्णन के अक्ष(ऊर्ध्वाधर तलों) वाले n दर्पण तलों के अतिरिक्त के साथ।
C_s एक समूह को मात्र दर्पण तल(स्पीगल के लिए, दर्पण के लिए जर्मन) और कोई अन्य सममिति तत्वों के साथ दर्शाता है।
S_2n(स्पीगेल के लिए, दर्पण के लिए जर्मन) में मात्र 2n-गुना घूर्णन-प्रतिबिंब अक्ष होता है। सूचकांक सम होना चाहिए क्योंकि जब n विषम होता है तो एक n-गुना घूर्णन-परावर्तन अक्ष एक n-गुना घूर्णन अक्ष और एक लंब तल के संयोजन के समतुल्य होता है, इसलिए विषम n के लिए S_n = C_nh।
C_ni मात्र एक अनुचित घूर्णन है। इस संकेतन का कदाचित उपयोग किया जाता है क्योंकि किसी भी घूर्णव्युत्क्रम अक्ष को घूर्णन-प्रतिबिंब अक्ष के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: विषम n के लिए, C_ni = S_2n और C_2ni = S_n = C_nh, और यहां तक कि n के लिए, C_2ni = S_2n। मात्र अंकन C_i(अर्थ C_1i) सामान्यतः प्रयोग किया जाता है, और कुछ स्रोत C_3i, C_5i आदि लिखते हैं।
D_n(द्वितल समूह, या द्विपक्षी के लिए) में एक n-गुना घूर्णन अक्ष धनात्‍मक परिमाण n दोगुना अक्ष है जो उस अक्ष के लंबवत है।
- D_nh इसके अतिरिक्त, एक क्षैतिज दर्पण तल है और, परिणामस्वरूप, n ऊर्ध्वाधर दर्पण तल भी हैं, जिनमें से प्रत्येक में n-गुना अक्ष और दो गुना अक्षों में से एक है।
- D_nd में, D_nके तत्वों के अतिरिक्त है, n लंबवत दर्पण तल होते हैं जो दो गुना अक्षों(विकर्ण तलों) के बीच से गुजरते हैं।
T(चिराल चतुर्पाश्वीय समूह) में चतुष्फलक(तीन 2-गुना अक्ष और चार 3-गुना अक्ष) के घूर्णन अक्ष हैं।
- T_d विकर्ण दर्पण तल सम्मिलित हैं(प्रत्येक विकर्ण तल में मात्र एक दुगुना अक्ष होता है और दो अन्य दुगुना अक्षों के बीच से गुजरता है, जैसा कि D_2d में है)। विकर्ण तलों के इस जोड़ के परिणामस्वरूप तीन अनुचित घूर्णन संचालन S₄ होते हैं।
- T_h तीन क्षैतिज दर्पण तल सम्मिलित हैं। प्रत्येक तल में दो द्विगुना अक्ष होते हैं और तीसरे दोगुने अक्ष के लंबवत होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप व्युत्क्रम केंद्र i होता है।
O(चिरल अष्टफलकीय समूह) में एक अष्टफलक या घनक्षेत्र(तीन 4-गुना अक्ष, चार 3-गुना अक्ष, और छह विकर्ण 2-गुना अक्ष) के घूर्णन अक्ष होते हैं।
- O_h इसमें क्षैतिज दर्पण तल और, परिणामस्वरूप, ऊर्ध्वाधर दर्पण तल सम्मिलित हैं। इसमें व्युत्क्रम केंद्र और अनुचित घूर्णन संचालन भी सम्मिलित हैं।
I(चिराल विंशफलकी समूह) इंगित करता है कि समूह में एक विंशतिफलक या द्वादशफ़लक(छह 5-गुना अक्ष, दस 3-गुना अक्ष, और 15 2-गुना अक्ष) के घूर्णन अक्ष हैं।
- I_h क्षैतिज दर्पण तल सम्मिलित हैं और इसमें व्युत्क्रम केंद्र और अनुचित घूर्णन संचालन भी सम्मिलित हैं।

सभी समूह जिनमें एक से अधिक उच्च-क्रम अक्ष(क्रम 3 या अधिक) नहीं होते हैं, उन्हें नीचे दी गई तालिका में दिखाए अनुसार व्यवस्थित किया जा सकता है; लाल रंग के प्रतीकों का प्रयोग बहुत कम होता है।

	n = 1	2	3	4	5	6	7	8	...	∞
C_n	C₁	C₂	C₃	C₄	C₅	C₆	C₇	C₈	...	C_∞
C_nv	C_1v = C_1h	C_2v	C_3v	C_4v	C_5v	C_6v	C_7v	C_8v	...	C_∞v
C_nh	C_1h = C_s	C_2h	C_3h	C_4h	C_5h	C_6h	C_7h	C_8h	...	C_∞h
S_n	S₁ = C_s	S₂ = C_i	S₃ = C_3h	S₄	S₅ = C_5h	S₆	S₇ = C_7h	S₈	...	S_∞ = C_∞h
C_ni(अनावश्यक)	C_1i = C_i	C_2i = C_s	C_3i = S₆	C_4i = S₄	C_5i = S₁₀	C_6i = C_3h	C_7i = S₁₄	C_8i = S₈	...	C_∞i = C_∞h
D_n	D₁ = C₂	D₂	D₃	D₄	D₅	D₆	D₇	D₈	...	D_∞
D_nh	D_1h = C_2v	D_2h	D_3h	D_4h	D_5h	D_6h	D_7h	D_8h	...	D_∞h
D_nd	D_1d = C_2h	D_2d	D_3d	D_4d	D_5d	D_6d	D_7d	D_8d	...	D_∞d = D_∞h

क्रिस्टलिकी में, क्रिस्टलोग्राफिक प्रतिबंध प्रमेय के कारण, n 1, 2, 3, 4, या 6 के मानों तक सीमित है। गैर-क्रिस्टलोग्राफिक समूहों को धूसर पृष्ठभूमि के साथ दिखाया गया है। D_4d और D_6d वर्जित भी हैं क्योंकि उनमें क्रमश: n = 8 और 12 के साथ अनुचित घूर्णन होते हैं। तालिका में 27 बिंदु समूह धनात्‍मक परिमाण T, T_d, T_h, O और O_h 32 क्रिस्टलोग्राफिक बिंदु समूह बनाते हैं।

n = ∞ वाले समूह को सीमा समूह या क्यूरी समूह कहा जाता है। दो और सीमा समूह हैं, जो तालिका में सूचीबद्ध नहीं हैं: K(कुगेल के लिए, जर्मन के लिए गेंद, गोला), 3-आयामी समष्टि में सभी घूर्णनों का समूह; और K_h, सभी घूर्णनों और प्रतिबिंबों का समूह। गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में उन्हें क्रमशः SO(3) और O(3) प्रतीकों के साथ विशेष लांबिक समूह और त्रि-आयामी समष्टि में लांबिक समूह के रूप में जाना जाता है।

समष्टि समूह

समष्टि समूहों की सूची दिए गए बिंदु समूह के साथ सूची 1, 2, 3, ...(उसी क्रम में उनकी अंतरराष्ट्रीय संख्या के रूप में) द्वारा क्रमांकित की जाती है और यह संख्या संबंधित बिंदु समूह के लिए शोयेनफ्लीज़ प्रतीक के मूर्धांक के रूप में जोड़ी जाती है। उदाहरण के लिए, समूह संख्या 3 से 5 जिसका बिंदु समूह C₂ है, में शोयेनफ्लीज़ प्रतीक C¹
₂, C²
₂, C³
₂ हैं।

जबकि बिंदु समूहों की स्थितियों में, शोयेनफ्लीज़ प्रतीक समूह के सममिति तत्वों को स्पष्ट रूप से परिभाषित करता है, समष्टि समूह के लिए अतिरिक्त मूर्धांक में समष्टि समूह के अनुवाद संबंधी सममिति(जाली केंद्र, अक्षों और तलों के अनुवाद संबंधी घटक) के विषय में कोई जानकारी नहीं है, इसलिए किसी की आवश्यकता है विशेष सारणियों को संदर्भित करने के लिए, जिसमें शोयेनफ्लीज़ और हरमन-मौगुइन संकेतन के बीच पत्राचार के विषय में जानकारी सम्मिलित है। ऐसी तालिका समष्टि समूहों की सूची पृष्ठ में दी गई है।

यह भी देखें

क्रिस्टलोग्राफिक बिंदु समूह
बिंदु समूह तीन विमाओं में
गोलाकार सममिति समूहों की सूची

संदर्भ

Flurry, R. L., Symmetry Groups : Theory and Chemical Applications. Prentice-Hall, 1980. ISBN 978-0-13-880013-0 LCCN: 79-18729
Cotton, F. A., Chemical Applications of Group Theory, John Wiley & Sons: New York, 1990. ISBN 0-471-51094-7
Harris, D., Bertolucci, M., Symmetry and Spectroscopy. New York, Dover Publications, 1989.

बाहरी संबंध

Symmetry @ Otterbein

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 <nowiki>{{Short description|Notation to represent symmetry in point groups}</nowiki>
-[[जर्मनों]] गणितज्ञ [[आर्थर मोरिट्ज़ शोएनफ्लाइज़]] के नाम पर स्कोएनफ्लाइज़ (या स्कोनफ्लाइज़) संकेतन, एक संकेतन है जिसका उपयोग मुख्य रूप से [[तीन आयामों में बिंदु समूह|तीन आयामों में बिंदु समूहों]] को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। क्योंकि अकेले एक बिंदु समूह [[आणविक समरूपता]] का वर्णन करने के लिए पूर्ण रूप से पर्याप्त है, संकेतन प्रायः  पर्याप्त होता है और आमतौर पर [[स्पेक्ट्रोस्कोपी]] के लिए उपयोग किया जाता है। हालांकि, [[क्रिस्टलोग्राफी]] में, अतिरिक्त [[अनुवादकीय समरूपता]] है, और बिंदु समूह क्रिस्टल की पूर्ण समरूपता का वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं, इसलिए पूर्ण स्थान समूह आमतौर पर इसके बजाय उपयोग किया जाता है। पूर्ण [[अंतरिक्ष समूह]]ों का नामकरण आम तौर पर एक अन्य आम सम्मेलन, हरमन-मौगुइन नोटेशन का पालन करता है, जिसे अंतरराष्ट्रीय नोटेशन भी कहा जाता है।
+[[जर्मनों|जर्मन]] गणितज्ञ [[आर्थर मोरिट्ज़ शोएनफ्लाइज़]] के नाम पर शोयेनफ्लीज़(या स्कोनफ्लाइज़) संकेतन, एक संकेतन है जिसका उपयोग मुख्य रूप से [[तीन आयामों में बिंदु समूह|तीन विमाओं में बिंदु समूहों]] को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। क्योंकि अकेले एक बिंदु समूह [[आणविक समरूपता|आणविक सममिति]] का वर्णन करने के लिए पूर्ण रूप से पर्याप्त है, संकेतन प्रायः पर्याप्त होता है और सामान्यतः [[स्पेक्ट्रोस्कोपी|स्पेक्ट्रोमिकी]] के लिए उपयोग किया जाता है। यद्यपि, [[क्रिस्टलोग्राफी|क्रिस्टलिकी]] में, अतिरिक्त [[अनुवादकीय समरूपता|अनुवादकीय सममिति]] है, और बिंदु समूह क्रिस्टल की पूर्ण सममिति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं, इसलिए पूर्ण स्थान समूह सामान्यतः इसके अतिरिक्त उपयोग किया जाता है। पूर्ण [[अंतरिक्ष समूह|समष्टि समूहों]] का नामकरण सामान्यतः अन्य सामान्य परम्परा, हरमन-मौगुइन संकेतन का पालन करता है, जिसे अंतरराष्ट्रीय संकेतन भी कहा जाता है।
-हालांकि सुपरस्क्रिप्ट के बिना स्कोएनफ्लाइज़ संकेतन एक शुद्ध बिंदु समूह संकेतन है, वैकल्पिक रूप से, अलग-अलग स्थान समूहों को निर्दिष्ट करने के लिए सुपरस्क्रिप्ट को जोड़ा जा सकता है। हालांकि, अंतरिक्ष समूहों के लिए, अंतर्निहित [[समरूपता तत्व]]ों का कनेक्शन हरमन-मौगुइन संकेतन में अधिक स्पष्ट है, इसलिए बाद वाले अंकन को आमतौर पर अंतरिक्ष समूहों के लिए पसंद किया जाता है।
+यद्यपि मूर्धांक के बिना शोयेनफ्लीज़ संकेतन एक शुद्ध बिंदु समूह संकेतन है, वैकल्पिक रूप से, अलग-अलग स्थान समूहों को निर्दिष्ट करने के लिए मूर्धांक को जोड़ा जा सकता है। यद्यपि, समष्टि समूहों के लिए, अंतर्निहित [[समरूपता तत्व|सममिति तत्वों]] का संयोजन हरमन-मौगुइन संकेतन में अधिक स्पष्ट है, इसलिए बाद वाले अंकन को सामान्यतः समष्टि समूहों के लिए अधिमानित किया जाता है।
-== समरूपता तत्व ==
+== सममिति तत्व ==
-समरूपता तत्वों को उलटा केंद्रों के लिए i, उचित घूर्णन अक्षों के लिए C, दर्पण तलों के लिए σ, और अनुचित घूर्णन अक्षों (रोटेशन-परावर्तन अक्षों) के लिए S द्वारा निरूपित किया जाता है। सी और एस आमतौर पर एक सबस्क्रिप्ट नंबर (सार रूप से निरूपित एन) द्वारा पीछा किया जाता है जो रोटेशन के क्रम को दर्शाता है।
+सममिति तत्वों को व्युत्क्रम केंद्रों के लिए i, उचित घूर्णन अक्षों के लिए C, दर्पण तलों के लिए σ, और अनुचित घूर्णन अक्षों(घूर्णन-परावर्तन अक्षों) के लिए S द्वारा निरूपित किया जाता है। C और S सामान्यतः एक पादांक संख्या(संक्षेप में निरूपित n) द्वारा अनुगमन किया जाता है जो घूर्णन के क्रम को दर्शाता है।
-परिपाटी के अनुसार, अधिकतम कोटि के उचित घूर्णन के अक्ष को मुख्य अक्ष के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसके संबंध में अन्य सभी समरूपता तत्वों का वर्णन किया गया है। एक ऊर्ध्वाधर दर्पण तल (मुख्य अक्ष युक्त) को σ निरूपित किया जाता है<sub>v</sub>; एक क्षैतिज दर्पण तल (मुख्य अक्ष के लंबवत) को σ निरूपित किया जाता है<sub>h</sub>.
+परम्परा के अनुसार, अधिकतम कोटि के उचित घूर्णन के अक्ष को मुख्य अक्ष के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसके संबंध में अन्य सभी सममिति तत्वों का वर्णन किया गया है। एक ऊर्ध्वाधर दर्पण तल(मुख्य अक्ष युक्त) को σ<sub>v</sub> निरूपित किया जाता है; एक क्षैतिज दर्पण तल(मुख्य अक्ष के लंबवत) को σ<sub>h</sub> निरूपित किया जाता है।
 == बिंदु समूह ==
-{{Main|Point groups in three dimensions}}
+{{Main|तीन विमाओं में बिंदु समूह}}
-{{See also|Molecular symmetry}}
+{{See also|आणविक समरूपता}}
-तीन आयामों में, अनंत संख्या में बिंदु समूह होते हैं, लेकिन उन सभी को कई परिवारों द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है।
-* सी<sub>''n''</sub> ([[चक्रीय समूह]] के लिए) में एक n-गुना घूर्णन अक्ष होता है।
+तीन विमाओं में, अनंत संख्या में बिंदु समूह होते हैं, परन्तु उन सभी को कई वर्गों द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है।
-** सी<sub>''n''h</sub> सी है<sub>''n''</sub> रोटेशन के अक्ष (क्षैतिज विमान) के लंबवत एक दर्पण (प्रतिबिंब) विमान के अतिरिक्त के साथ।
-** सी<sub>''n''v</sub> सी है<sub>''n''</sub> रोटेशन के अक्ष (ऊर्ध्वाधर विमानों) वाले एन दर्पण विमानों के अतिरिक्त के साथ।
+* C<sub>''n''</sub>([[चक्रीय समूह]] के लिए) में एक n-गुना घूर्णन अक्ष होता है।
-* सी<sub>s</sub> एक समूह को केवल दर्पण तल (स्पीगेल के लिए, दर्पण के लिए जर्मन) और कोई अन्य समरूपता तत्वों के साथ दर्शाता है।
+** C<sub>''n''h</sub> सी है<sub>''n''</sub> घूर्णन के अक्ष(क्षैतिज तल) के लंबवत दर्पण(प्रतिबिंब) तल के अतिरिक्त के साथ।
-* एस<sub>2''n''</sub> (स्पीगेल के लिए, दर्पण के लिए जर्मन) में केवल 2n-गुना घूर्णन-प्रतिबिंब अक्ष होता है। सूचकांक सम होना चाहिए क्योंकि जब n विषम होता है तो एक n-गुना घूर्णन-परावर्तन अक्ष एक n-गुना घूर्णन अक्ष और एक लंब तल के संयोजन के समतुल्य होता है, इसलिए S<sub>''n''</sub> = सी<sub>''n''h</sub> विषम एन के लिए
+** C<sub>''n''v</sub> C है<sub>''n''</sub> घूर्णन के अक्ष(ऊर्ध्वाधर तलों) वाले n दर्पण तलों के अतिरिक्त के साथ।
-* सी<sub>''n''i</sub> केवल एक [[अनुचित घुमाव]] है। इस संकेतन का शायद ही कभी उपयोग किया जाता है क्योंकि किसी भी रोटोइनवर्जन अक्ष को रोटेशन-प्रतिबिंब अक्ष के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: विषम एन, सी के लिए<sub>''n''i</sub> = एस<sub>2''n''</sub> और सी<sub>2''n''i</sub> = एस<sub>''n''</sub> = सी<sub>''n''h</sub>, और सम n के लिए, C<sub>2''n''i</sub> = एस<sub>2''n''</sub>. केवल अंकन सी<sub>i</sub> (अर्थ सी<sub>1i</sub>) आमतौर पर प्रयोग किया जाता है, और कुछ स्रोत सी लिखते हैं<sub>3i</sub>, सी<sub>5i</sub> वगैरह
+* C<sub>s</sub> एक समूह को मात्र दर्पण तल(स्पीगल के लिए, दर्पण के लिए जर्मन) और कोई अन्य सममिति तत्वों के साथ दर्शाता है।
-*डी<sub>''n''</sub> ([[डायहेड्रल समूह]], या दो तरफा के लिए) में एक एन-फोल्ड रोटेशन एक्सिस प्लस एन टू फोल्ड एक्सिस है जो उस एक्सिस के लंबवत है।
+* S<sub>2''n''</sub>(स्पीगेल के लिए, दर्पण के लिए जर्मन) में मात्र 2n-गुना घूर्णन-प्रतिबिंब अक्ष होता है। सूचकांक सम होना चाहिए क्योंकि जब n विषम होता है तो एक n-गुना घूर्णन-परावर्तन अक्ष एक n-गुना घूर्णन अक्ष और एक लंब तल के संयोजन के समतुल्य होता है, इसलिए विषम n के लिए S<sub>''n''</sub> = C<sub>''n''h</sub>।
-** डी<sub>''n''h</sub> इसके अलावा, एक क्षैतिज दर्पण तल है और, परिणामस्वरूप, n ऊर्ध्वाधर दर्पण तल भी हैं, जिनमें से प्रत्येक में n-गुना अक्ष और दो गुना अक्षों में से एक है।
+* C<sub>''n''i</sub> मात्र एक [[अनुचित घुमाव|अनुचित घूर्णन]] है। इस संकेतन का कदाचित उपयोग किया जाता है क्योंकि किसी भी घूर्णव्युत्क्रम अक्ष को घूर्णन-प्रतिबिंब अक्ष के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: विषम n के लिए, C<sub>''n''i</sub> = S<sub>2''n''</sub> और C<sub>2''n''i</sub> = S<sub>''n''</sub> = C<sub>''n''h</sub>, और यहां तक कि n के लिए, C<sub>2''n''i</sub> = S<sub>2''n''</sub>। मात्र अंकन C<sub>i</sub>(अर्थ C<sub>1i</sub>) सामान्यतः प्रयोग किया जाता है, और कुछ स्रोत C<sub>3i</sub>, C<sub>5i</sub> आदि लिखते हैं।
-** डी<sub>''n''d</sub> डी के तत्वों के अलावा है<sub>''n''</sub>, n वर्टिकल मिरर प्लेन जो दो गुना अक्षों (विकर्ण विमानों) के बीच से गुजरते हैं।
+*D<sub>''n''</sub>([[डायहेड्रल समूह|द्वितल समूह]], या द्विपक्षी के लिए) में एक n-गुना घूर्णन अक्ष धनात्‍मक परिमाण n दोगुना अक्ष है जो उस अक्ष के लंबवत है।
-* टी (चिराल [[ चतुर्पाश्वीय ]] समूह) में टेट्राहेड्रॉन (तीन 2-गुना अक्ष और चार 3-गुना अक्ष) के घूर्णन अक्ष हैं।
+** D<sub>''n''h</sub> इसके अतिरिक्त, एक क्षैतिज दर्पण तल है और, परिणामस्वरूप, n ऊर्ध्वाधर दर्पण तल भी हैं, जिनमें से प्रत्येक में n-गुना अक्ष और दो गुना अक्षों में से एक है।
-** टी<sub>d</sub> विकर्ण दर्पण तल शामिल हैं (प्रत्येक विकर्ण तल में केवल एक दुगुना अक्ष होता है और दो अन्य दुगुना अक्षों के बीच से गुजरता है, जैसा कि D में है<sub>2d</sub>). विकर्ण विमानों के इस जोड़ के परिणामस्वरूप तीन अनुचित रोटेशन ऑपरेशन एस होते हैं<sub>4</sub>.
+** D<sub>''n''d</sub> में, D<sub>''n''</sub>के तत्वों के अतिरिक्त है, n लंबवत दर्पण तल होते हैं जो दो गुना अक्षों(विकर्ण तलों) के बीच से गुजरते हैं।
-** ''टी''<sub>h</sub> तीन क्षैतिज दर्पण विमान शामिल हैं। प्रत्येक तल में दो द्विगुना अक्ष होते हैं और तीसरे दोगुने अक्ष के लंबवत होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप व्युत्क्रम केंद्र i होता है।
+* T(चिराल [[ चतुर्पाश्वीय |चतुर्पाश्वीय]] समूह) में चतुष्फलक(तीन 2-गुना अक्ष और चार 3-गुना अक्ष) के घूर्णन अक्ष हैं।
-* ''O'' (चिरल ऑक्टाहेड्रोन समूह) में एक [[अष्टफलक]] या [[ घनक्षेत्र ]] (तीन 4-गुना अक्ष, चार 3-गुना अक्ष, और छह विकर्ण 2-गुना अक्ष) के घूर्णन अक्ष होते हैं।
+** T<sub>d</sub> विकर्ण दर्पण तल सम्मिलित हैं(प्रत्येक विकर्ण तल में मात्र एक दुगुना अक्ष होता है और दो अन्य दुगुना अक्षों के बीच से गुजरता है, जैसा कि D<sub>2d</sub> में है)। विकर्ण तलों के इस जोड़ के परिणामस्वरूप तीन अनुचित घूर्णन संचालन S<sub>4</sub> होते हैं।
-** ''ओ''<sub>h</sub> इसमें क्षैतिज दर्पण तल और, परिणामस्वरूप, ऊर्ध्वाधर दर्पण तल शामिल हैं। इसमें उलटा केंद्र और अनुचित रोटेशन ऑपरेशन भी शामिल हैं।
+** ''T''<sub>h</sub> तीन क्षैतिज दर्पण तल सम्मिलित हैं। प्रत्येक तल में दो द्विगुना अक्ष होते हैं और तीसरे दोगुने अक्ष के लंबवत होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप व्युत्क्रम केंद्र i होता है।
-* I (चिराल इकोसैहेड्रॉन समूह) इंगित करता है कि समूह में एक [[विंशतिफलक]] या [[द्वादशफ़लक]] (छह 5-गुना अक्ष, दस 3-गुना अक्ष, और 15 2-गुना अक्ष) के घूर्णन अक्ष हैं।
+* ''O''(चिरल अष्टफलकीय समूह) में एक [[अष्टफलक]] या [[ घनक्षेत्र |घनक्षेत्र]](तीन 4-गुना अक्ष, चार 3-गुना अक्ष, और छह विकर्ण 2-गुना अक्ष) के घूर्णन अक्ष होते हैं।
-** मैं<sub>h</sub> क्षैतिज दर्पण विमान शामिल हैं और इसमें उलटा केंद्र और अनुचित रोटेशन ऑपरेशन भी शामिल हैं।
+** ''O''<sub>h</sub> इसमें क्षैतिज दर्पण तल और, परिणामस्वरूप, ऊर्ध्वाधर दर्पण तल सम्मिलित हैं। इसमें व्युत्क्रम केंद्र और अनुचित घूर्णन संचालन भी सम्मिलित हैं।
-सभी समूह जिनमें एक से अधिक उच्च-क्रम अक्ष (क्रम 3 या अधिक) नहीं होते हैं, उन्हें नीचे दी गई तालिका में दिखाए अनुसार व्यवस्थित किया जा सकता है; लाल रंग के प्रतीकों का प्रयोग बहुत कम होता है।
+* I(चिराल विंशफलकी समूह) इंगित करता है कि समूह में एक [[विंशतिफलक]] या [[द्वादशफ़लक]](छह 5-गुना अक्ष, दस 3-गुना अक्ष, और 15 2-गुना अक्ष) के घूर्णन अक्ष हैं।
+** I<sub>h</sub> क्षैतिज दर्पण तल सम्मिलित हैं और इसमें व्युत्क्रम केंद्र और अनुचित घूर्णन संचालन भी सम्मिलित हैं।
+सभी समूह जिनमें एक से अधिक उच्च-क्रम अक्ष(क्रम 3 या अधिक) नहीं होते हैं, उन्हें नीचे दी गई तालिका में दिखाए अनुसार व्यवस्थित किया जा सकता है; लाल रंग के प्रतीकों का प्रयोग बहुत कम होता है।
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 |style="background:silver"| <span style="color:red;">''S''<sub>∞</sub></span> = ''C''<sub>∞h</sub>
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-! ''C''<sub>''n''i</sub> (redundant)
+! ''C''<sub>''n''i</sub>(अनावश्यक)
 | <span style="color:red;">''C''<sub>1i</sub></span> = ''C''<sub>i</sub>
 | ''C''<sub>2i</sub> = ''C''<sub>s</sub>
@@ Line 133: / Line 134: @@
 |style="background:silver"| <span style="color:red;">''D''<sub>∞d</sub></span> = ''D''<sub>∞h</sub>
 |}
-क्रिस्टलोग्राफी में, [[क्रिस्टलोग्राफिक प्रतिबंध प्रमेय]] के कारण, n 1, 2, 3, 4, या 6 के मानों तक सीमित है। गैर-क्रिस्टलोग्राफिक समूहों को धूसर पृष्ठभूमि के साथ दिखाया गया है। डी<sub>4d</sub> और डी<sub>6d</sub> वर्जित भी हैं क्योंकि उनमें क्रमश: n = 8 और 12 के साथ अनुचित घुमाव होते हैं। तालिका में 27 बिंदु समूह प्लस टी, टी<sub>d</sub>, टी<sub>h</sub>, ओ और ओ<sub>h</sub> 32 [[क्रिस्टलोग्राफिक बिंदु समूह]] का गठन।
+क्रिस्टलिकी में, [[क्रिस्टलोग्राफिक प्रतिबंध प्रमेय]] के कारण, n 1, 2, 3, 4, या 6 के मानों तक सीमित है। गैर-क्रिस्टलोग्राफिक समूहों को धूसर पृष्ठभूमि के साथ दिखाया गया है। D<sub>4d</sub> और D<sub>6d</sub> वर्जित भी हैं क्योंकि उनमें क्रमश: n = 8 और 12 के साथ अनुचित घूर्णन होते हैं। तालिका में 27 बिंदु समूह धनात्‍मक परिमाण T, T<sub>d</sub>, T<sub>h</sub>, O और O<sub>h</sub> 32 [[क्रिस्टलोग्राफिक बिंदु समूह]] बनाते हैं।
-n = ∞ वाले समूह को सीमा समूह या [[क्यूरी समूह]] कहा जाता है। दो और सीमा समूह हैं, जो तालिका में सूचीबद्ध नहीं हैं: K (कुगेल के लिए, जर्मन के लिए गेंद, गोला), 3-आयामी अंतरिक्ष में सभी घुमावों का समूह; और के<sub>h</sub>, सभी घुमावों और प्रतिबिंबों का समूह। गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में उन्हें क्रमशः SO(3) और O(3) प्रतीकों के साथ विशेष [[ऑर्थोगोनल समूह]] और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में ऑर्थोगोनल समूह के रूप में जाना जाता है।
+n = ∞ वाले समूह को सीमा समूह या [[क्यूरी समूह]] कहा जाता है। दो और सीमा समूह हैं, जो तालिका में सूचीबद्ध नहीं हैं: K(कुगेल के लिए, जर्मन के लिए गेंद, गोला), 3-आयामी समष्टि में सभी घूर्णनों का समूह; और K<sub>h</sub>, सभी घूर्णनों और प्रतिबिंबों का समूह। गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में उन्हें क्रमशः SO(3) और O(3) प्रतीकों के साथ विशेष [[ऑर्थोगोनल समूह|लांबिक समूह]] और त्रि-आयामी समष्टि में लांबिक समूह के रूप में जाना जाता है।
-== अंतरिक्ष समूह ==
+== समष्टि समूह ==
-अंतरिक्ष समूहों की सूची # दिए गए बिंदु समूह के साथ सूची 1, 2, 3, ... (उसी क्रम में उनकी अंतरराष्ट्रीय संख्या के रूप में) द्वारा क्रमांकित की जाती है और यह संख्या संबंधित बिंदु समूह के लिए शॉनफ्लाइज़ प्रतीक के सुपरस्क्रिप्ट के रूप में जोड़ी जाती है . उदाहरण के लिए, समूह संख्या 3 से 5 जिसका बिंदु समूह C है<sub>2</sub> Schönflies के प्रतीक C हैं{{sup sub|1|2}}, सी{{sup sub|2|2}}, सी{{sup sub|3|2}}.
+समष्टि समूहों की सूची दिए गए बिंदु समूह के साथ सूची 1, 2, 3, ...(उसी क्रम में उनकी अंतरराष्ट्रीय संख्या के रूप में) द्वारा क्रमांकित की जाती है और यह संख्या संबंधित बिंदु समूह के लिए शोयेनफ्लीज़ प्रतीक के मूर्धांक के रूप में जोड़ी जाती है। उदाहरण के लिए, समूह संख्या 3 से 5 जिसका बिंदु समूह C<sub>2</sub> है, में शोयेनफ्लीज़ प्रतीक C{{sup sub|1|2}}, C{{sup sub|2|2}}, C{{sup sub|3|2}} हैं।
-जबकि बिंदु समूहों के मामले में, शॉनफ्लाइज़ प्रतीक समूह के समरूपता तत्वों को स्पष्ट रूप से परिभाषित करता है, अंतरिक्ष समूह के लिए अतिरिक्त सुपरस्क्रिप्ट में अंतरिक्ष समूह के अनुवाद संबंधी समरूपता (जाली केंद्र, अक्षों और विमानों के अनुवाद संबंधी घटक) के बारे में कोई जानकारी नहीं है, इसलिए किसी की आवश्यकता है विशेष सारणियों को संदर्भित करने के लिए, जिसमें शॉनफ्लाइज़ और हरमन-मौगुइन संकेतन के बीच पत्राचार के बारे में जानकारी शामिल है। ऐसी तालिका [[अंतरिक्ष समूहों की सूची]] पृष्ठ में दी गई है।
+जबकि बिंदु समूहों की स्थितियों में, शोयेनफ्लीज़ प्रतीक समूह के सममिति तत्वों को स्पष्ट रूप से परिभाषित करता है, समष्टि समूह के लिए अतिरिक्त मूर्धांक में समष्टि समूह के अनुवाद संबंधी सममिति(जाली केंद्र, अक्षों और तलों के अनुवाद संबंधी घटक) के विषय में कोई जानकारी नहीं है, इसलिए किसी की आवश्यकता है विशेष सारणियों को संदर्भित करने के लिए, जिसमें शोयेनफ्लीज़ और हरमन-मौगुइन संकेतन के बीच पत्राचार के विषय में जानकारी सम्मिलित है। ऐसी तालिका [[अंतरिक्ष समूहों की सूची|समष्टि समूहों की सूची]] पृष्ठ में दी गई है।
 == यह भी देखें ==
 * क्रिस्टलोग्राफिक बिंदु समूह
-* बिंदु समूह तीन आयामों में
+* बिंदु समूह तीन विमाओं में
-* [[गोलाकार समरूपता समूहों की सूची]]
+* [[गोलाकार समरूपता समूहों की सूची|गोलाकार सममिति समूहों की सूची]]
 == संदर्भ ==

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