विभेदक: Difference between revisions

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गणित में, बहुपद का विभेदक एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक बहुपद गुणनखंडन, संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c$ का विभेदक

b^{2}-4ac,

है, वह मात्रा जो द्विघात सूत्र में वर्गमूल के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि $a\neq 0,$ यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। वास्तविक संख्या गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।^[1] इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक होता है, और यदि इसके एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है।

अधिक सामान्यतः, एक बहुपद की धनात्मक घात के एक अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।

कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; द्विघात रूप का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक सजातीय बहुपद , या एक प्रक्षेपी ऊनविम सतह के एक रूप (गणित) का विभेदक (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।

उत्पत्ति

विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर द्वारा निर्मित किया गया था।^[2]

परिभाषा

मान लीजिए

A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}

घात $n$ का एक बहुपद (इसका अर्थ है $a_{n}\neq 0$ ), जैसे कि गुणांक $a_{0},\ldots ,a_{n}$ एक क्षेत्र (गणित) से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। $A$ और उसके रूपात्मक व्युत्पन्न,

A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}

का परिणामी, पूर्णांक गुणांकों के साथ

a_{0},\ldots ,a_{n}

में एक बहुपद है, जो

A

और

A'

सिल्वेस्टर आव्यूह का निर्धारक है। सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ

a_{n}

और

na_{n}

हैं, और परिणामी इस प्रकार

a_{n}

का गुणक है। इसलिए विभेदक - इसके संकेत तक - को

a_{n}

:

\operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')

द्वारा

A

और

A'

के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है

ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक होगा जब बहुपद के सभी मूल वास्तविक हों। यदि गुणांकों के वलय (गणित) में शून्य विभाजक होते हैं तो $a_{n}$ द्वारा विभाजन ठीक रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। निर्धारक की गणना करने से पूर्व सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ में $a_{n}$ को 1- से बदलकर ऐसी समस्या से बचा जा सकता है। किसी भी विषय में, विभेदक पूर्णांक गुणांक वाले $a_{0},\ldots ,a_{n}$ में एक बहुपद है।

मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति

जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो क्षेत्र के बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार में इसके $n$ मूल, $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ होती हैं, आवश्यक नहीं कि सभी अलग हों। (यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो मूलों को जटिल संख्याओं के क्षेत्र में लिया जा सकता है, जहां बीजगणित का मौलिक प्रमेय लागू होता है।)

मूलों के संदर्भ में, विभेदक

\operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j})

के बराबर है।

इस प्रकार यह वेंडरमोंडे बहुपद गुणा $a_{n}^{2n-2}$ का वर्ग है।

विभेदक के लिए यह अभिव्यक्ति प्रायः एक परिभाषा के रूप में ली जाती है। यह स्पष्ट करता है कि यदि बहुपद का एक बहुपद है, तो इसका विभेदक शून्य है, और यह कि, वास्तविक गुणांकों के विषय में, यदि सभी मूल वास्तविक और सरल मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक है। पूर्व परिभाषा के विपरीत, यह अभिव्यक्ति गुणांक में स्पष्ट रूप से एक बहुपद नहीं है, परन्तु यह या तो गैलोज सिद्धांत के मौलिक प्रमेय से या सममित बहुपदों के मौलिक प्रमेय अनुसरण करता है और वीटा के सूत्रों से यह देखते हुए कि यह अभिव्यक्ति $A$ के मूल में एक सममित बहुपद है।

कम घात

एक रेखीय बहुपद (घात 1) का विभेदक शायद ही कभी माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे सामान्यतः 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है (खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलनों का उपयोग करके और यह मानते हुए कि सिल्वेस्टर आव्यूह के दो ब्लॉकों में से एक खाली आव्यूह है)। एक अचर बहुपद (अर्थात् घात 0 का बहुपद) के विभेदक के लिए कोई सामान्य परिपाटी नहीं है।

छोटी घात के लिए, विभेदक सरल है (नीचे देखें), परन्तु उच्च घात के लिए, यह बोझिल हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक सामान्य बहुपद चतुर्थक समारोह के विभेदक के 16 पद हैं,^[3] एक पंचक समारोह के 59 पद हैं,^[4] और एक यौन समीकरण के 246 पद हैं।^[5] यह OEIS क्रम है A007878।

घात 2

द्विघात बहुपद $ax^{2}+bx+c\,$ विभेदक है

b^{2}-4ac\,.

विभेदक का वर्गमूल द्विघात बहुपद के मूलों के द्विघात सूत्र में प्रकट होता है:

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

जहां विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि दो मूल समान हैं। यदि $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं, यदि विभेदक धनात्मक है तो बहुपद की दो विशिष्ट वास्तविक मूल हैं, और यदि ऋणात्मक है तो दो जटिल संयुग्मी मूल हैं।^[6] विभेदक का उत्पाद है $a 2$ और मूलों के अंतर का वर्ग।

यदि $a, b, c$ परिमेय संख्याएँ हैं, तो विभेदक परिमेय संख्या का वर्ग है यदि और मात्र यदि दो मूल परिमेय संख्याएँ हैं।

घात 3

घन के विभेदक का शून्य सेट

x 3 + bx 2 + cx + d

, यानी संतोषजनक अंक

b 2 c 2 - 4 c 3 - 4 b 3 d - 27 d 2 + 18 bcd = 0

।

घन बहुपद $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ विभेदक है

b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,.

एक डिप्रेस्ड क्यूबिक#डिप्रेस्ड क्यूबिक पॉलीनॉमियल के विशेष विषय में $x^{3}+px+q$ , विभेदक सरल करता है

-4p^{3}-27q^{2}\,.

विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल बराबर हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, और विभेदक शून्य नहीं है, तो विभेदक धनात्मक है यदि मूल तीन अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं, और ऋणात्मक है यदि एक वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्म मूल हैं।^[7] विभेदक से दृढ़ता से संबंधित मात्रा का वर्गमूल घन समीकरण#सामान्य घन सूत्र में दिखाई देता है। विशेष रूप से, यह मात्रा हो सकती है $-3$ परिमेय संख्या के वर्ग के साथ विभेदक, या उसके गुणनफल का गुणा; उदाहरण के लिए, का वर्ग $1/18$ कार्डानो सूत्र के विषय में।

यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं (या किसी संख्या क्षेत्र से संबंधित हैं), तो विभेदक एक परिमेय संख्या का वर्ग है (या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और मात्र यदि घन समीकरण का गैलोज़ समूह क्रम का चक्रीय समूह (समूह सिद्धांत) तीन है।

घात 4

चतुर्थक बहुपद का विभेदक

x 4 + cx 2 + dx + e

। सतह बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है (

c, d, e

) जहां बहुपद की मूल दोहराई जाती है। कस्पिडल एज ट्रिपल रूट के साथ बहुपदों से मेल खाती है, और स्व-चौराहा दो अलग-अलग दोहराई गई मूलों वाले बहुपदों से मेल खाती है।

चतुर्थक बहुपद

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,$ विभेदक है

{\begin{aligned}{}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\[4pt]&{}-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\[4pt]&{}+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\\[4pt]&{}-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\,.\end{aligned}}

विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल समान हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और विभेदक ऋणात्मक है, तो दो वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्मी मूल होते हैं। इसके विपरीत, यदि विभेदक धनात्मक है, तो मूल या तो सभी वास्तविक हैं या सभी गैर-वास्तविक हैं।

गुण

शून्य विभेदक

किसी क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का कुछ क्षेत्र विस्तार में बहुपद हो।

एक अभिन्न डोमेन पर एक बहुपद का विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद और इसके औपचारिक व्युत्पन्न में एक गैर-निरंतर सामान्य भाजक है।

विशेषता (बीजगणित) 0 में, यह कहने के बराबर है कि बहुपद वर्ग-मुक्त बहुपद नहीं है | वर्ग-मुक्त (अर्थात, एक गैर-निरंतर बहुपद के वर्ग से विभाज्य)।

अशून्य विशेषता में $p$ , विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद वर्ग-मुक्त नहीं है या इसमें एक अलघुकरणीय बहुपद है जो वियोज्य नहीं है (अर्थात्, अलघुकरणीय कारक एक बहुपद है $x^{p}$ )।

चर के परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम

एक बहुपद का विभेदक, स्केलिंग तक, चर के किसी प्रक्षेपी परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक प्रक्षेपी परिवर्तन के रूप में अनुवाद, समरूपता और व्युत्क्रम के उत्पाद में विघटित हो सकता है, इसका परिणाम सरल परिवर्तनों के लिए निम्नलिखित सूत्र में होता है, जहाँ $P (x)$ घात के बहुपद को दर्शाता है $n$ , साथ $a_{n}$ अग्रणी गुणांक के रूप में।

अनुवाद द्वारा व्युत्क्रम:

\operatorname {Disc} _{x}(P(x+\alpha ))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))

यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति का परिणाम है

समरूपता द्वारा आक्रमण:

\operatorname {Disc} _{x}(P(\alpha x))=\alpha ^{n(n-1)}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))

यह मूलों, या विभेदक की अर्ध-समरूपता के संदर्भ में अभिव्यक्ति का परिणाम है।

व्युत्क्रम द्वारा व्युत्क्रम:

\operatorname {Disc} _{x}(P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))

कब

P(0)\neq 0.

यहाँ,

P^{\mathrm {r} }\!\!\;

के पारस्परिक बहुपद को दर्शाता है

P

; वह है, यदि

P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},

और

a_{0}\neq 0,

तब

P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x)=x^{n}P(1/x)=a_{0}x^{n}+\cdots +a_{n}.

रिंग होमोमोर्फिज्म के तहत इनवेरियन

होने देना $\varphi \colon R\to S$ क्रमविनिमेय वलयों का एक वलय समरूपता हो। एक बहुपद दिया

A=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}

में $R [x]$ , समरूपता $\varphi$ पर कार्य करता है $A$ बहुपद बनाने के लिए

A^{\varphi }=\varphi (a_{n})x^{n}+\varphi (a_{n-1})x^{n-1}+\cdots +\varphi (a_{0})

में $S [x]$ ।

विभेदक के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है $\varphi$ निम्नलिखित अर्थ में। यदि $\varphi (a_{n})\neq 0,$ तब

\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A)).

जैसा कि विभेदक को एक निर्धारक के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, यह संपत्ति निर्धारकों की समान संपत्ति से तुरंत परिणाम देती है।

यदि $\varphi (a_{n})=0,$ तब $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))$ शून्य हो सकता है या नहीं। एक है, जब $\varphi (a_{n})=0,$

\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=\varphi (a_{n-1})^{2}\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi }).

जब कोई मात्र यह जानने में रुचि रखता है कि क्या एक विभेदक शून्य है (जैसा कि सामान्यतः बीजगणितीय ज्यामिति में होता है), तो इन गुणों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0

यदि और मात्र यदि या तो

\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0

या

\deg(A)-\deg(A^{\varphi })\geq 2.

इसे प्रायः ऐसा कहने के रूप में व्याख्यायित किया जाता है $\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0$ यदि और मात्र यदि $A^{\varphi }$ एक बहु रूट है (संभवतः अनंत पर इंगित)।

बहुपदों का गुणनफल

यदि $R = PQ$ में बहुपदों का गुणनफल है $x$ , तब

{\begin{aligned}\operatorname {disc} _{x}(R)&=\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)^{2}\operatorname {disc} _{x}(Q)\\[5pt]{}&=(-1)^{pq}\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)\operatorname {Res} _{x}(Q,P)\operatorname {disc} _{x}(Q),\end{aligned}}

कहाँ $\operatorname {Res} _{x}$ परिणामी को चर के संबंध में दर्शाता है $x$ , और $p$ और $q$ की संबंधित डिग्रियां हैं $P$ और $Q$ ।

यह संपत्ति संबंधित बहुपदों की मूलों के संदर्भ में परिणामी और विभेदक के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करके तुरंत अनुसरण करती है।

एकरूपता

विभेदक गुणांकों में एक सजातीय बहुपद है; यह मूलों में एक सजातीय बहुपद भी है और इस प्रकार गुणांकों में अर्ध-सजातीय बहुपद|अर्ध-सजातीय।

घात के बहुपद का विभेदक $n$ घात का सजातीय है $2 n - 2$ गुणांक में। इसे दो तरह से देखा जा सकता है। रूट-एंड-लीडिंग-टर्म फॉर्मूले के संदर्भ में, सभी गुणांकों को गुणा करके $λ$ मूलों को नहीं बदलता है, परन्तु अग्रणी शब्द को इससे गुणा करता है $λ$ । एक के निर्धारक के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के संदर्भ में $(2 n - 1) \times (2 n - 1)$ आव्यूह (गणित) (सिल्वेस्टर आव्यूह) द्वारा विभाजित $a n$ , निर्धारक घात का सजातीय है $2 n - 1$ प्रविष्टियों में, और द्वारा विभाजित $a n$ घात बनाता है $2 n - 2$ ।

घात के बहुपद का विभेदक $n$ घात का सजातीय है $n (n - 1)$ मूलों में। यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति से अनुसरण करता है, जो एक स्थिर और का उत्पाद है ${\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}$ मूलों के वर्ग अंतर।

घात के बहुपद का विभेदक $n$ घात का अर्ध-सजातीय है $n (n - 1)$ गुणांकों में, यदि, प्रत्येक के लिए $i$ , का गुणांक $x^{i}$ भार दिया जाता है $n - i$ । यह समान घात का अर्ध-सजातीय भी है, यदि, प्रत्येक के लिए $i$ , का गुणांक $x^{i}$ भार दिया जाता है $i$ । यह सामान्य तथ्य का परिणाम है कि मूलों में सजातीय और सममित बहुपद वाले प्रत्येक बहुपद को मूलों के प्राथमिक सममित कार्यों में अर्ध-सजातीय बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

बहुपद पर विचार करें

P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.

यह प्रत्येक एकपदी में घातांकों के पूर्वगामी से अनुसरण करता है $a_{0}^{i_{0}},\dots ,a_{n}^{i_{n}}$ विभेदक में प्रकट होना दो समीकरणों को संतुष्ट करता है

i_{0}+i_{1}+\cdots +i_{n}=2n-2

और

i_{1}+2i_{2}+\cdots +ni_{n}=n(n-1),

और समीकरण भी

ni_{0}+(n-1)i_{1}+\cdots +i_{n-1}=n(n-1),

जो दूसरे समीकरण को प्रथम वाले से गुणा करके प्राप्त किया जाता है $n$ ।

यह विभेदक में संभावित शर्तों को प्रतिबंधित करता है। सामान्य द्विघात बहुपद के लिए विभेदक में मात्र दो संभावनाएँ और दो पद होते हैं, जबकि तीन चरों में घात दो के सामान्य सजातीय बहुपद में 6 पद होते हैं। सामान्य घन बहुपद के लिए, विभेदक में पाँच संभावनाएँ और पाँच पद हैं, जबकि 5 चरों में 4 घात के सामान्य सजातीय बहुपद में 70 पद हैं।

उच्च घात के लिए, ऐसे मोनोमियल हो सकते हैं जो उपरोक्त समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और विभेदक में प्रकट नहीं होते हैं। पहला उदाहरण चतुर्थांश बहुपद के लिए है $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$ , जिस स्थिति में मोनोमियल $bc^{4}d$ विभेदक में प्रकट हुए बिना समीकरणों को संतुष्ट करता है।

असली मूल

इस खंड में, सभी बहुपदों में वास्तविक संख्या गुणांक होते हैं।

में देखा गया है § Low degrees कि विभेदक का संकेत घात 2 और 3 के बहुपदों के लिए मूलों की प्रकृति पर पूरी जानकारी प्रदान करता है। उच्च घात के लिए, विभेदक द्वारा प्रदान की गई जानकारी कम पूर्ण है, परन्तु फिर भी उपयोगी है। अधिक सटीक, घात के बहुपद के लिए $n$ , किसी के पास:

बहुपद का बहुपद होता है यदि और मात्र यदि उसका विभेदक शून्य हो।
यदि विभेदक धनात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणक है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। $k \leq n /4$ जैसे कि हैं $2 k$ जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और $n - 4 k$ असली मूल।
यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज नहीं है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। $k \leq (n - 2)/4$ जैसे कि हैं $2 k + 1$ जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और $n - 4 k + 2$ असली मूल।

सजातीय द्विभाजित बहुपद

होने देना

A(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}

घात का एक सजातीय बहुपद हो $n$ दो अनिश्चित में।

मान लीजिए, फिलहाल, कि $a_{0}$ और $a_{n}$ दोनों अशून्य हैं, एक के पास है

\operatorname {Disc} _{x}(A(x,1))=\operatorname {Disc} _{y}(A(1,y)).

द्वारा इस मात्रा को नकारना $\operatorname {Disc} ^{h}(A),$ किसी के पास

\operatorname {Disc} _{x}(A)=y^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A),

और

\operatorname {Disc} _{y}(A)=x^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A).

इन्हीं गुणों के कारण मात्रा $\operatorname {Disc} ^{h}(A)$ का विभेदक या सजातीय विभेदक कहा जाता है $A$ ।

यदि $a_{0}$ और $a_{n}$ शून्य होने की अनुमति है, बहुपद $A (x, 1)$ और $A (1, y)$ से छोटी घात हो सकती है $n$ । इस विषय में, उपरोक्त सूत्र और परिभाषा मान्य रहती है, यदि विभेदकों की गणना इस प्रकार की जाती है जैसे कि सभी बहुपदों की घात होगी $n$ । इसका मतलब है कि भेदभाव करने वालों की गणना की जानी चाहिए $a_{0}$ और $a_{n}$ अनिश्चित, उनके लिए उनके वास्तविक मूल्यों का प्रतिस्थापन इस गणना के बाद किया जा रहा है। समान रूप से, के सूत्र § Invariance under ring homomorphisms उपयोग किया जाना चाहिए।

== बीजगणितीय ज्यामिति == में प्रयोग करें

बीजगणितीय ज्यामिति में विभेदकों का विशिष्ट उपयोग समतल बीजगणितीय वक्रों का अध्ययन करने के लिए है, और अधिक सामान्यतः ऊनविम पृष्ठ होने देना $V$ ऐसा वक्र या ऊनविम सतह हो; $V$ को बहुभिन्नरूपी बहुपद के शून्य समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस बहुपद को एक अनिश्चित में एक अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है, अन्य अनिश्चित में गुणांक के रूप में बहुपद के साथ। चयनित अनिश्चित के संबंध में विभेदक एक हाइपरसफेस को परिभाषित करता है $W$ अन्य अनिश्चित के स्थान पर। के अंक $W$ बिल्कुल बिंदुओं का प्रक्षेपण है $V$ (अनंत पर बिंदुओं सहित), जो या तो एकवचन हैं या एक स्पर्शरेखा स्थान है जो चयनित अनिश्चित के अक्ष के समानांतर है।

उदाहरण के लिए, चलो $f$ में एक द्विभाजित बहुपद हो $X$ और $Y$ वास्तविक गुणांकों के साथ, ताकि $f = 0$ एक वास्तविक समतल बीजगणितीय वक्र का अंतर्निहित समीकरण है। देखना $f$ में एक अविभाजित बहुपद के रूप में $Y$ गुणांक के आधार पर $X$ , तो विभेदक एक बहुपद है $X$ जिसकी मूल हैं $X$ -एकवचन बिंदुओं के निर्देशांक, स्पर्शरेखा के समानांतर बिंदुओं के $Y$ -अक्ष और कुछ स्पर्शोन्मुख के समानांतर $Y$ -एक्सिस। दूसरे शब्दों में, की मूलों की गणना $Y$ -विभेदक और $X$ -discriminant किसी को वक्र के सभी उल्लेखनीय बिंदुओं की गणना करने की अनुमति देता है, सिवाय विभक्ति बिंदुओं के।

सामान्यीकरण

विभेदक की अवधारणा के दो वर्ग हैं। प्रथम वर्ग एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक है, जो द्विघात क्षेत्रों सहित कुछ मामलों में क्षेत्र को परिभाषित करने वाले बहुपद का विभेदक है।

गुणांक के आधार पर समस्याओं के लिए द्वितीय श्रेणी के भेदभाव उत्पन्न होते हैं, जब गुणांक में एक एकल बहुपद के लुप्त होने की समस्या के पतित उदाहरण या विलक्षणता की विशेषता होती है। यह एक बहुपद के विभेदक का मामला है, जो दो मूलों के ढहने पर शून्य होता है। अधिकांश विषय, जहां इस तरह के सामान्यीकृत विभेदक को परिभाषित किया गया है, निम्नलिखित के उदाहरण हैं।

होने देना $A$ में एक सजातीय बहुपद हो $n$ विशेषता (बीजगणित) 0, या एक अभाज्य संख्या विशेषता के क्षेत्र में अनिश्चित है जो बहुपद की घात को विभाजित नहीं करता है। बहुपद $A$ एक प्रोजेक्टिव हाइपरसफेस को परिभाषित करता है, जिसमें बीजगणितीय किस्म का विलक्षण बिंदु होता है यदि और मात्र $n$ का आंशिक डेरिवेटिव $A$ में एक फ़ंक्शन का एक गैर-तुच्छ सामान्य शून्य है। यह मामला है यदि और मात्र यदि इन आंशिक डेरिवेटिव का बहुभिन्नरूपी परिणाम शून्य है, और इस परिणामी को विभेदक के रूप में माना जा सकता है $A$ । हालाँकि, व्युत्पत्ति के परिणामस्वरूप पूर्णांक गुणांक के कारण, यह बहुभिन्नरूपी परिणामी की शक्ति से विभाज्य हो सकता है $n$ , और एक विभेदक के रूप में लेना बेहतर है, परिणामी का आदिम भाग, सामान्य गुणांक के साथ गणना की जाती है। विशेषता पर प्रतिबंध की आवश्यकता है क्योंकि अन्यथा आंशिक व्युत्पन्न का एक सामान्य शून्य आवश्यक रूप से बहुपद का शून्य नहीं है (सजातीय बहुपदों के लिए यूलर की पहचान देखें)।

घात के एक सजातीय द्विभाजित बहुपद के विषय में $d$ , यह सामान्य विभेदक है $d^{d-2}$ विभेदक में परिभाषित गुना § Homogeneous bivariate polynomial। कई अन्य शास्त्रीय प्रकार के भेदभाव, जो कि सामान्य परिभाषा के उदाहरण हैं, अगले खंडों में वर्णित हैं।

द्विघात रूप

एक द्विघात रूप एक सदिश स्थान पर एक कार्य है, जिसे घात 2 के एक सजातीय बहुपद द्वारा कुछ [[आधार (सदिश स्थल)]] पर परिभाषित किया गया है:

Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ =\ \sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j},

या, आव्यूह रूप में,

Q(X)=XAX^{\mathrm {T} },

के लिए $n\times n$ सममित आव्यूह $A=(a_{ij})$ , द $1\times n$ पंक्ति वेक्टर $X=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , और यह $n\times 1$ स्तंभ वेक्टर $X^{\mathrm {T} }$ । विशेषता (बीजगणित) में 2 से भिन्न,^[8] का विभेदक या निर्धारक $Q$ का निर्धारक है $A$ ।^[9] का हेसियन निर्धारक $Q$ है $2^{n}$ इसके भेदभाव का समय। के आंशिक डेरिवेटिव का बहुभिन्नरूपी परिणामी $Q$ इसके हेस्सियन निर्धारक के बराबर है। तो, एक द्विघात रूप का विभेदक एक विभेदक की उपरोक्त सामान्य परिभाषा का एक विशेष मामला है।

एक द्विघात रूप का विभेदक चर के रैखिक परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है (जो कि सदिश स्थान के आधार पर एक परिवर्तन है, जिस पर द्विघात रूप परिभाषित किया गया है) निम्नलिखित अर्थों में: चर का एक रैखिक परिवर्तन एक गैर-एकवचन आव्यूह द्वारा परिभाषित किया गया है $S$ , आव्यूह को बदलता है $A$ में $S^{\mathrm {T} }A\,S,$ और इस प्रकार विभेदक को के सारणिक के वर्ग से गुणा करता है $S$ । इस प्रकार विभेदक मात्र एक वर्ग द्वारा गुणा करने तक ही ठीक रूप से परिभाषित होता है। दूसरे शब्दों में, एक क्षेत्र पर द्विघात रूप का विभेदक $K$ का एक तत्व है $K /(K \times) 2$ , के गुणक मोनोइड का भागफल मोनोइड $K$ अशून्य वर्गों के उपसमूह द्वारा (अर्थात, के दो तत्व $K$ समान तुल्यता वर्ग में हैं यदि एक दूसरे का गैर-शून्य वर्ग द्वारा उत्पाद है)। यह इस प्रकार है कि जटिल संख्याओं पर, एक विभेदक 0 या 1 के बराबर होता है। वास्तविक संख्याओं पर, एक विभेदक -1, 0, या 1 के बराबर होता है। परिमेय संख्याओं पर, एक विभेदक एक अद्वितीय वर्ग-मुक्त के बराबर होता है पूर्णांक।

कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी के एक प्रमेय द्वारा, 2 से भिन्न विशेषता के एक क्षेत्र पर एक द्विघात रूप, चर के एक रैखिक परिवर्तन के बाद, विकर्ण रूप में व्यक्त किया जा सकता है

a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.

अधिक यथार्थ रूप से, एक द्विघात रूपों को योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

\sum _{i=1}^{n}a_{i}L_{i}^{2}

जहां $L i$ स्वतंत्र रैखिक रूप हैं और $n$ चरों की संख्या है (कुछ $a i$ शून्य हो सकता है)। समान रूप से, किसी भी सममित आव्यूह के लिए $A$ , एक प्रारंभिक आव्यूह है $S$ ऐसा है कि $S^{\mathrm {T} }A\,S$ एक विकर्ण आव्यूह है। तब विभेदक का उत्पाद है $a i$ , जिसे एक वर्ग के रूप में ठीक रूप से परिभाषित किया गया है $K /(K \times) 2$ ।

ज्यामितीय रूप से, तीन चरों में एक द्विघात रूप का विभेदक प्रक्षेपी वक्र का समीकरण है। विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि वक्र रेखाओं में विघटित हो (संभवतः क्षेत्र के बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार पर)।

चार चरों में एक द्विघात रूप प्रक्षेपी सतह का समीकरण है। सतह में एक बीजगणितीय विविधता का एक विलक्षण बिंदु है यदि और मात्र इसका विभेदक शून्य है। इस विषय में, या तो सतह कोन समतल में विघटित किया जा सकता है, या इसका एक अनूठा विलक्षण बिंदु है, और यह एक शंकु या एक सिलेंडर है। वास्तविक पर, यदि विभेदक धनात्मक है, तो सतह का या तो कोई वास्तविक बिंदु नहीं है या हर जगह एक ऋणात्मक गॉसियन वक्रता है। यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो सतह के वास्तविक बिंदु होते हैं, और एक ऋणात्मक गाऊसी वक्रता होती है।

शांकव खंड

एक शंक्वाकार खंड एक समतल वक्र है जिसे फॉर्म के एक अंतर्निहित समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0,

कहाँ $a, b, c, d, e, f$ वास्तविक संख्याएँ हैं।

दो द्विघात रूप, और इस प्रकार दो विभेदक एक शंकु खंड से जुड़े हो सकते हैं।

पहला द्विघात रूप है

ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dxz+2eyz+fz^{2}=0.

इसका विभेदक निर्धारक है

{\begin{vmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{vmatrix}}.

यदि शंक्वाकार खंड दो रेखाओं, एक दोहरी रेखा या एक बिंदु में पतित हो जाता है तो यह शून्य है।

दूसरा विभेदक, जो मात्र वही है जिसे कई प्रारंभिक पाठ्यपुस्तकों में माना जाता है, समीकरण के घात दो के सजातीय भाग का विभेदक है। यह बराबर है^[10]

b^{2}-ac,

और शांकव खंड के आकार को निर्धारित करता है। यदि यह विभेदक ऋणात्मक है, तो वक्र का या तो कोई वास्तविक बिंदु नहीं है, या एक दीर्घवृत्त या एक वृत्त है, या, यदि पतित है, तो एक बिंदु तक कम हो जाता है। यदि विभेदक शून्य है, तो वक्र एक परवलय है, या, यदि पतित है, तो एक दोहरी रेखा या दो समानांतर रेखाएँ हैं। यदि विभेदक धनात्मक है, तो वक्र एक अतिपरवलय है, या, यदि पतित है, तो प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी।

वास्तविक चतुर्भुज सतह

आयाम तीन के यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक वास्तविक चतुष्कोणीय सतह एक ऐसी सतह है जिसे तीन चर में घात दो के बहुपद के शून्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। शंक्वाकार वर्गों के लिए दो विभेदक हैं जिन्हें स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। दोनों एक चतुष्कोणीय सतह की प्रकृति के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए उपयोगी हैं।

होने देना $P(x,y,z)$ तीन चरों में घात दो का एक बहुपद हो जो एक वास्तविक चतुष्कोणीय सतह को परिभाषित करता है। पहला संबद्ध द्विघात रूप, $Q_{4},$ चार चरों पर निर्भर करता है, और एक बहुपद के समरूपीकरण द्वारा प्राप्त किया जाता है $P$ ; वह है

Q_{4}(x,y,z,t)=t^{2}P(x/t,y/t,z/t).

आइए इसके विभेदक को निरूपित करें $\Delta _{4}.$ दूसरा द्विघात रूप, $Q_{3},$ तीन चर पर निर्भर करता है, और घात दो की शर्तें शामिल हैं $P$ ; वह है

Q_{3}(x,y,z)=Q_{4}(x,y,z,0).

आइए इसके विभेदक को निरूपित करें $\Delta _{3}.$ यदि $\Delta _{4}>0,$ और सतह के वास्तविक बिंदु हैं, तो यह या तो अतिशयोक्तिपूर्ण परवलयज है या एक-पत्रक अतिपरवलयज है। दोनों ही मामलों में, यह एक शासित सतह है जिसमें हर बिंदु पर ऋणात्मक गॉसियन वक्रता होती है।

यदि $\Delta _{4}<0,$ सतह या तो एक दीर्घवृत्ताभ या एक दो-शीट अतिपरवलयज या एक दीर्घवृत्तीय परवलयज है। सभी मामलों में, इसके प्रत्येक बिंदु पर धनात्मक गाऊसी वक्रता होती है।

यदि $\Delta _{4}=0,$ सतह में एक बीजगणितीय किस्म का एक विलक्षण बिंदु है, संभवतः अनंत पर इंगित करता है। यदि मात्र एक विलक्षण बिंदु है, तो सतह एक बेलन या शंक्वाकार सतह है। यदि कई एकवचन बिंदु हैं तो सतह में दो तल होते हैं, एक दोहरा तल या एक रेखा।

कब $\Delta _{4}\neq 0,$ का संकेत $\Delta _{3},$ यदि नहीं 0, कोई उपयोगी जानकारी प्रदान नहीं करता है, जैसा कि बदल रहा है $P$ में $- P$ सतह को नहीं बदलता, बल्कि के संकेत को बदल देता है $\Delta _{3}.$ हालांकि, यदि $\Delta _{4}\neq 0$ और $\Delta _{3}=0,$ सतह एक परवलयज है, जो अण्डाकार या अतिशयोक्तिपूर्ण है, के संकेत के आधार पर $\Delta _{4}.$

एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक

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संदर्भ

↑ "Discriminant | mathematics". Encyclopedia Britannica (in English). Retrieved 2020-08-09.
↑ Sylvester, J. J. (1851). "विहित रूपों और अतिनिर्धारकों के सिद्धांत में एक उल्लेखनीय खोज पर". Philosophical Magazine. 4th series. 2: 391–410.
Sylvester coins the word "discriminant" on page 406.
↑ Wang, Dongming (2004). Elimination practice: software tools and applications. Imperial College Press. ch. 10 p. 180. ISBN 1-86094-438-8.
↑ Gelfand, Israel M.; Kapranov, Mikhail M.; Zelevinsky, Andrei V. (1994). Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Birkhäuser. p. 1. ISBN 3-7643-3660-9. Archived from the original on 2013-01-13.
↑ Dickenstein, Alicia; Emiris, Ioannis Z. (2005). Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications. Springer. ch. 1 p. 26. ISBN 3-540-24326-7.
↑ Irving, Ronald S. (2004). Integers, polynomials, and rings. Springer-Verlag New York, Inc. ch. 10.3 pp. 153–154. ISBN 0-387-40397-3.
↑ Irving, Ronald S. (2004). Integers, polynomials, and rings. Springer-Verlag New York, Inc. ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156. ISBN 0-387-40397-3.
↑ In characteristic 2, the discriminant of a quadratic form is not defined, and is replaced by the Arf invariant.
↑ Cassels, J. W. S. (1978). वाजिब द्विघात रूप. London Mathematical Society Monographs. Vol. 13. Academic Press. p. 6. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029.
↑ Fanchi, John R. (2006). Math refresher for scientists and engineers. John Wiley and Sons. sec. 3.2, p. 45. ISBN 0-471-75715-2.

बाहरी संबंध

[1] "Discriminant | mathematics". Encyclopedia Britannica (in English). Retrieved 2020-08-09.

[2] Sylvester, J. J. (1851). "विहित रूपों और अतिनिर्धारकों के सिद्धांत में एक उल्लेखनीय खोज पर". Philosophical Magazine. 4th series. 2: 391–410.
Sylvester coins the word "discriminant" on page 406.

[3] Wang, Dongming (2004). Elimination practice: software tools and applications. Imperial College Press. ch. 10 p. 180. ISBN 1-86094-438-8.

[4] Gelfand, Israel M.; Kapranov, Mikhail M.; Zelevinsky, Andrei V. (1994). Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Birkhäuser. p. 1. ISBN 3-7643-3660-9. Archived from the original on 2013-01-13.

[5] Dickenstein, Alicia; Emiris, Ioannis Z. (2005). Solving polynomial equations: foundations, algorithms, and applications. Springer. ch. 1 p. 26. ISBN 3-540-24326-7.

[6] Irving, Ronald S. (2004). Integers, polynomials, and rings. Springer-Verlag New York, Inc. ch. 10.3 pp. 153–154. ISBN 0-387-40397-3.

[7] Irving, Ronald S. (2004). Integers, polynomials, and rings. Springer-Verlag New York, Inc. ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156. ISBN 0-387-40397-3.

[8] In characteristic 2, the discriminant of a quadratic form is not defined, and is replaced by the Arf invariant.

[9] Cassels, J. W. S. (1978). वाजिब द्विघात रूप. London Mathematical Society Monographs. Vol. 13. Academic Press. p. 6. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029.

[10] Fanchi, John R. (2006). Math refresher for scientists and engineers. John Wiley and Sons. sec. 3.2, p. 45. ISBN 0-471-75715-2.

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[2]

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v t e बहुपद और बहुपद कार्य
डिग्री	शून्य बहुपद (डिग्री अपरिभाषित या −1 या and) निरंतर कार्य (0) रैखिक फ़ंक्शन (1) रेखीय समीकरण द्विघात कार्य (2) द्विघात समीकरण क्यूबिक फंक्शन (3) घन समीकरण चतुर्थक कार्य (4) चतुर्थक समीकरण क्विंटिक फंक्शन (5) सेक्स्टिक समीकरण (6) सेप्टिक समीकरण (7)
गुणों से	Univariate bivariate बहुभिन्नरूपी मोनोमियल बिनोमियल ट्रिनोमियल irreducible वर्ग-मुक्त सजातीय quasi-homogenous
औजार और एल्गोरिदम	कारक सबसे बड़ा आम भाजक डिवीजन हॉर्नर की मूल्यांकन की विधि परिणामी भेदभावपूर्ण Gröbner आधार

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Contents

उत्पत्ति

परिभाषा

मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति

कम घात

घात 2

घात 3

घात 4

गुण

शून्य विभेदक

चर के परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम

रिंग होमोमोर्फिज्म के तहत इनवेरियन

बहुपदों का गुणनफल

एकरूपता

असली मूल

सजातीय द्विभाजित बहुपद

सामान्यीकरण

द्विघात रूप

शांकव खंड

वास्तविक चतुर्भुज सतह

एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक

संदर्भ

बाहरी संबंध

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Function of the coefficients of a polynomial that gives information on its roots}}
 {{Other uses}}
-गणित में, [[बहुपद]] का विविक्तकर एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विवेचक [[बहुपद गुणनखंडन]], [[संख्या सिद्धांत]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
+गणित में, [[बहुपद]] का विभेदक एक मात्रा है जो गुणांकों पर निर्भर करता है और किसी फलन के शून्य के कुछ गुणों को उनकी गणना किए बिना निकालने की अनुमति देता है। अधिक यथार्थ रूप से, यह मूल बहुपद के गुणांकों का बहुपद फलन है। विभेदक [[बहुपद गुणनखंडन]], [[संख्या सिद्धांत]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
-[[द्विघात बहुपद]]  <math>ax^2+bx+c</math> का विविक्तकर
+[[द्विघात बहुपद]]  <math>ax^2+bx+c</math> का विभेदक
 :<math>b^2-4ac,</math>
-है, वह मात्रा जो [[द्विघात सूत्र]] में [[वर्गमूल]] के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि <math>a\ne 0,</math> यह विविक्तकर शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। [[वास्तविक संख्या]] गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक  है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।<ref>{{Cite web|title=Discriminant {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/discriminant|access-date=2020-08-09|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विविक्तकर शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विवेचक धनात्मक  होता है, और यदि इसके  एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है।
+है, वह मात्रा जो [[द्विघात सूत्र]] में [[वर्गमूल]] के अंतर्गत प्रकट होती है। यदि <math>a\ne 0,</math> यह विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद का दोहरा मूल है। [[वास्तविक संख्या]] गुणांक के विषय में, यदि बहुपद की दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो यह धनात्मक  है और यदि दो अलग-अलग जटिल संयुग्मी मूल हैं तो यह ऋणात्मक है।<ref>{{Cite web|title=Discriminant {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/discriminant|access-date=2020-08-09|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> इसी प्रकार, एक त्रिघात बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक वाले घन के विषय में, यदि बहुपद के तीन अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक  होता है, और यदि इसके  एक वास्तविक मूल और दो अलग-अलग जटिल संयुग्म मूल होते हैं, तो ऋणात्मक होता है।
-अधिक सामान्यतः, एक बहुपद की धनात्मक  घात के एक अविभाजित बहुपद का विवेचक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विवेचक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।
+अधिक सामान्यतः, एक बहुपद की धनात्मक  घात के एक अविभाजित बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का एक बहुमूल हो। वास्तविक गुणांक और कोई बहुमूल नहीं होने के लिए, विभेदक धनात्मक होता है यदि गैर-वास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज (गणित) है (कोई भी नहीं सहित), और अन्यथा ऋणात्मक है।
-कई सामान्यीकरणों को विवेचक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विवेचक; [[द्विघात रूप]] का विवेचक; और अधिक सामान्यतः, एक [[सजातीय बहुपद]] , या एक प्रक्षेपी ऊनविम सतह के एक [[रूप (गणित)]] का विभेदक (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।
+कई सामान्यीकरणों को विभेदक भी कहा जाता है: एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक; [[द्विघात रूप]] का विभेदक; और अधिक सामान्यतः, एक [[सजातीय बहुपद]] , या एक प्रक्षेपी ऊनविम सतह के एक [[रूप (गणित)]] का विभेदक (ये तीन अवधारणाएँ अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं)।
 == उत्पत्ति ==
-डिस्क्रिमिनेंट शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ [[जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर]] द्वारा गढ़ा गया था।<ref>{{cite journal|first=J. J.|last=Sylvester|date=1851|title=विहित रूपों और अतिनिर्धारकों के सिद्धांत में एक उल्लेखनीय खोज पर|journal=Philosophical Magazine|series=4th series|volume=2|pages=391–410}}<br>Sylvester coins the word "discriminant" on [https://books.google.com/books?id=DBNDAQAAIAAJ&pg=PA406#v=onepage&q&f=false page 406].</ref>
+विभेदक शब्द 1851 में ब्रिटिश गणितज्ञ [[जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर]] द्वारा  निर्मित किया गया था।<ref>{{cite journal|first=J. J.|last=Sylvester|date=1851|title=विहित रूपों और अतिनिर्धारकों के सिद्धांत में एक उल्लेखनीय खोज पर|journal=Philosophical Magazine|series=4th series|volume=2|pages=391–410}}<br>Sylvester coins the word "discriminant" on [https://books.google.com/books?id=DBNDAQAAIAAJ&pg=PA406#v=onepage&q&f=false page 406].</ref>
 == परिभाषा ==
-होने देना
+मान लीजिए
 :<math>A(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math>
-एक बहुपद की घात का एक बहुपद हो {{math|''n''}} (इसका मतलब यह है <math>a_n\ne 0</math>), जैसे कि गुणांक <math>a_0, \ldots, a_n</math> एक [[क्षेत्र (गणित)]] से संबंधित हैं, या, अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय से संबंधित हैं। का परिणाम है {{math|''A''}} और इसका [[औपचारिक व्युत्पन्न]],
+घात {{math|''n''}} का एक बहुपद (इसका अर्थ है <math>a_n\ne 0</math>), जैसे कि गुणांक <math>a_0, \ldots, a_n</math> एक [[क्षेत्र (गणित)]] से संबंधित हैं, या अधिक सामान्यतः, एक क्रमविनिमेय वलय के लिए हैं। {{math|''A''}} और उसके  [[औपचारिक व्युत्पन्न|रूपात्मक व्युत्पन्न]],
-:<math>A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1,</math> में बहुपद है <math>a_0, \ldots, a_n</math> [[पूर्णांक]] गुणांक के साथ, जो [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स]] का निर्धारक है {{math|''A''}} और {{math|''A''{{void}}′}}. सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के पहले कॉलम की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ हैं <math>a_n</math> और <math>na_n,</math> और परिणामी इस प्रकार का एक गुणक है <math>a_n.</math> इसलिए विवेचक - इसके चिह्न तक - के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''A''}} और {{math|''A'{{void}}''}} द्वारा <math>a_n</math>:
+:<math>A'(x) = na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1</math>का परिणामी, [[पूर्णांक]] गुणांकों के साथ  <math>a_0, \ldots, a_n</math> में एक बहुपद है, जो {{math|''A''}} और {{math|''A''{{void}}′}} [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स|सिल्वेस्टर आव्यूह]] का निर्धारक है। सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ की गैर-शून्य प्रविष्टियाँ  <math>a_n</math> और <math>na_n</math> हैं, और परिणामी इस प्रकार <math>a_n</math> का गुणक है। इसलिए विभेदक - इसके संकेत तक - को <math>a_n</math>:
 :<math>\operatorname{Disc}_x(A) = \frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} \operatorname{Res}_x(A,A')</math>
-ऐतिहासिक रूप से, इस चिन्ह को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विवेचक धनात्मक  होगा जब बहुपद की सभी मूल वास्तविक हों। द्वारा विभाजन <math>a_n</math> यदि गुणांकों के वलय (गणित) में शून्य विभाजक हैं, तो अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। बदलने से ऐसी समस्या से बचा जा सकता है <math>a_n</math> सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के पहले कॉलम में 1 से - निर्धारक की गणना करने से पहले। किसी भी विषय में, विवेचक एक बहुपद है <math>a_0, \ldots, a_n</math> पूर्णांक गुणांक के साथ।
+:द्वारा  {{math|''A''}} और {{math|''A'{{void}}''}} के परिणाम के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है
+ऐतिहासिक रूप से, इस संकेत को इस प्रकार चुना गया है कि, वास्तविक के ऊपर, विभेदक धनात्मक  होगा जब बहुपद के सभी मूल वास्तविक हों। यदि गुणांकों के वलय (गणित) में शून्य विभाजक होते हैं तो  <math>a_n</math> द्वारा विभाजन ठीक रूप  से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। निर्धारक की गणना करने से पूर्व  सिल्वेस्टर आव्यूह के प्रथम स्तंभ में <math>a_n</math> को 1- से बदलकर ऐसी समस्या से बचा जा सकता है। किसी भी विषय में, विभेदक पूर्णांक गुणांक वाले  <math>a_0, \ldots, a_n</math>  में एक बहुपद है।
 === मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति ===
-जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो यह होता है {{math|''n''}} मूल, <math>r_1, r_2, \dots, r_n</math>क्षेत्र के किसी भी [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में, जरूरी नहीं कि सभी अलग-अलग हों। (यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो मूलों को [[जटिल संख्या]]ओं के क्षेत्र में लिया जा सकता है, जहां [[बीजगणित का मौलिक प्रमेय]] लागू होता है।)
+जब उपरोक्त बहुपद को एक क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित किया जाता है, तो क्षेत्र के [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में इसके {{math|''n''}} मूल, <math>r_1, r_2, \dots, r_n</math> होती हैं, आवश्यक नहीं कि सभी अलग हों। (यदि गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं, तो मूलों को [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] के क्षेत्र में लिया जा सकता है, जहां [[बीजगणित का मौलिक प्रमेय]] लागू होता है।)
-मूलों के संदर्भ में, विवेचक के बराबर है
+मूलों के संदर्भ में, विभेदक
 :<math>\operatorname{Disc}_x(A) = a_n^{2n-2}\prod_{i < j} (r_i-r_j)^2
-= (-1)^{n(n-1)/2} a_n^{2n-2} \prod_{i \neq j} (r_i-r_j).</math>
+= (-1)^{n(n-1)/2} a_n^{2n-2} \prod_{i \neq j} (r_i-r_j)</math>
-इस प्रकार यह वेंडरमोंडे बहुपद समय का वर्ग है <math>a_n^{2n-2} </math>.
+:के बराबर है।
+इस प्रकार यह वेंडरमोंडे बहुपद गुणा   <math>a_n^{2n-2} </math> का वर्ग है।
-विवेचक के लिए यह अभिव्यक्ति अक्सर एक परिभाषा के रूप में ली जाती है। यह स्पष्ट करता है कि यदि बहुपद का एक बहुपद है, तो इसका विवेचक शून्य है, और यह कि, वास्तविक गुणांकों के विषय में, यदि सभी मूल वास्तविक और सरल मूल हैं, तो विवेचक धनात्मक  है। पिछली परिभाषा के विपरीत, यह अभिव्यक्ति गुणांक में स्पष्ट रूप से एक बहुपद नहीं है, लेकिन यह या तो गैलोज सिद्धांत के मौलिक प्रमेय से या [[सममित बहुपद]]ों के मौलिक प्रमेय और वीटा के सूत्रों से यह देखते हुए कि यह अभिव्यक्ति एक सममित बहुपद है की मूल {{math|''A''}}.
+विभेदक के लिए यह अभिव्यक्ति प्रायः एक परिभाषा के रूप में ली जाती है। यह स्पष्ट करता है कि यदि बहुपद का एक बहुपद है, तो इसका विभेदक शून्य है, और यह कि, वास्तविक गुणांकों के विषय में, यदि सभी मूल वास्तविक और सरल मूल हैं, तो विभेदक धनात्मक  है। पूर्व परिभाषा के विपरीत, यह अभिव्यक्ति गुणांक में स्पष्ट रूप से एक बहुपद नहीं है, परन्तु   यह या तो गैलोज सिद्धांत के मौलिक प्रमेय से या [[सममित बहुपद|सममित बहुपदों]] के मौलिक प्रमेय अनुसरण करता है और वीटा के सूत्रों से यह देखते हुए कि यह अभिव्यक्ति {{math|''A''}} के मूल में एक सममित बहुपद है।
 == कम घात ==
-एक रेखीय बहुपद (घात 1) का विविक्तकर शायद ही कभी माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे सामान्यतः 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है ([[खाली उत्पाद]] के लिए सामान्य सम्मेलनों का उपयोग करके और यह मानते हुए कि सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के दो ब्लॉकों में से एक [[खाली मैट्रिक्स]] है)। एक अचर बहुपद (अर्थात् घात 0 का बहुपद) के विविक्तकर के लिए कोई सामान्य परिपाटी नहीं है।
+एक रेखीय बहुपद (घात 1) का विभेदक शायद ही कभी माना जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसे सामान्यतः 1 के बराबर परिभाषित किया जाता है ([[खाली उत्पाद]] के लिए सामान्य सम्मेलनों का उपयोग करके और यह मानते हुए कि सिल्वेस्टर आव्यूह के दो ब्लॉकों में से एक [[खाली मैट्रिक्स|खाली आव्यूह]] है)। एक अचर बहुपद (अर्थात् घात 0 का बहुपद) के विभेदक के लिए कोई सामान्य परिपाटी नहीं है।
-छोटी घात के लिए, विवेचक सरल है (नीचे देखें), लेकिन उच्च घात के लिए, यह बोझिल हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक [[सामान्य बहुपद]] [[चतुर्थक समारोह]] के विविक्तकर के 16 पद हैं,<ref>{{cite book
+छोटी घात के लिए, विभेदक सरल है (नीचे देखें), परन्तु   उच्च घात के लिए, यह बोझिल हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक [[सामान्य बहुपद]] [[चतुर्थक समारोह]] के विभेदक के 16 पद हैं,<ref>{{cite book
 |title=Elimination practice: software tools and applications
 |first1=Dongming
@@ Line 77: / Line 79: @@
 |at=ch. 1 p. 26}}
 </ref>
-यह [[OEIS]] क्रम है {{OEIS link|A007878}}.
+यह [[OEIS]] क्रम है {{OEIS link|A007878}}।
 <!-- Please don't add numbers of terms of higher degrees (like 7/1103, 8/5247 and others of http://oeis.org/A007878) without providing proper sources. Thanks -->
@@ Line 84: / Line 86: @@
 {{see also|Quadratic equation#Discriminant}}
-द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c \,</math> विवेचक है
+द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c \,</math> विभेदक है
 :<math>b^2-4ac\,.</math>
-विवेचक का वर्गमूल द्विघात बहुपद के मूलों के द्विघात सूत्र में प्रकट होता है:
+विभेदक का वर्गमूल द्विघात बहुपद के मूलों के द्विघात सूत्र में प्रकट होता है:
 :<math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.</math>
-जहां विविक्तकर शून्य है यदि और मात्र यदि दो मूल समान हैं। यदि {{math|''a'', ''b'', ''c''}} वास्तविक संख्याएँ हैं, यदि विवेचक धनात्मक है तो बहुपद की दो विशिष्ट वास्तविक मूल हैं, और यदि ऋणात्मक है तो दो जटिल संयुग्मी मूल हैं।<ref>{{cite book
+जहां विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि दो मूल समान हैं। यदि {{math|''a'', ''b'', ''c''}} वास्तविक संख्याएँ हैं, यदि विभेदक धनात्मक है तो बहुपद की दो विशिष्ट वास्तविक मूल हैं, और यदि ऋणात्मक है तो दो जटिल संयुग्मी मूल हैं।<ref>{{cite book
 |title=Integers, polynomials, and rings
 |first1=Ronald S.
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 |url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154
 |at=ch. 10.3 pp. 153–154}}</ref>
-विवेचक का उत्पाद है {{math|''a''{{sup|2}}}} और मूलों के अंतर का वर्ग।
+विभेदक का उत्पाद है {{math|''a''{{sup|2}}}} और मूलों के अंतर का वर्ग।
-यदि {{math|''a'', ''b'', ''c''}} परिमेय संख्याएँ हैं, तो विवेचक परिमेय संख्या का वर्ग है यदि और मात्र यदि दो मूल परिमेय संख्याएँ हैं।
+यदि {{math|''a'', ''b'', ''c''}} परिमेय संख्याएँ हैं, तो विभेदक परिमेय संख्या का वर्ग है यदि और मात्र यदि दो मूल परिमेय संख्याएँ हैं।
 === घात 3 ===
 {{seealso|Cubic equation#Discriminant}}
-[[File:Discriminant of cubic polynomials..png|thumb|घन के विवेचक का शून्य सेट {{math|''x''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}}, यानी संतोषजनक अंक {{math|1=''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> – 4''c''<sup>3</sup> – 4''b''<sup>3</sup>''d'' – 27''d''<sup>2</sup> + 18''bcd'' = 0}}.]]घन बहुपद <math>ax^3+bx^2+cx+d \,</math> विवेचक है
+[[File:Discriminant of cubic polynomials..png|thumb|घन के विभेदक का शून्य सेट {{math|''x''<sup>3</sup> + ''bx''<sup>2</sup> + ''cx'' + ''d''}}, यानी संतोषजनक अंक {{math|1=''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> – 4''c''<sup>3</sup> – 4''b''<sup>3</sup>''d'' – 27''d''<sup>2</sup> + 18''bcd'' = 0}}।]]घन बहुपद <math>ax^3+bx^2+cx+d \,</math> विभेदक है
 :<math>b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd\,.</math>
-एक डिप्रेस्ड क्यूबिक#डिप्रेस्ड क्यूबिक पॉलीनॉमियल के विशेष विषय में <math>x^3+px+q</math>, विवेचक सरल करता है
+एक डिप्रेस्ड क्यूबिक#डिप्रेस्ड क्यूबिक पॉलीनॉमियल के विशेष विषय में <math>x^3+px+q</math>, विभेदक सरल करता है
 :<math> -4p^3-27q^2\,.</math>
-विविक्तकर शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल बराबर हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, और विवेचक शून्य नहीं है, तो विवेचक धनात्मक  है यदि मूल तीन अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं, और ऋणात्मक है यदि एक वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्म मूल हैं।<ref>{{cite book
+विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल बराबर हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं, और विभेदक शून्य नहीं है, तो विभेदक धनात्मक  है यदि मूल तीन अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं, और ऋणात्मक है यदि एक वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्म मूल हैं।<ref>{{cite book
 |title=Integers, polynomials, and rings
 |first1=Ronald S.
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 |url=https://books.google.com/books?id=B4k6ltaxm5YC&pg=PA154
 |at=ch. 10 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156}}</ref>
-विवेचक से दृढ़ता से संबंधित मात्रा का वर्गमूल घन समीकरण#सामान्य घन सूत्र में दिखाई देता है। विशेष रूप से, यह मात्रा हो सकती है {{math|−3}} परिमेय संख्या के वर्ग के साथ विवेचक, या उसके गुणनफल का गुणा; उदाहरण के लिए, का वर्ग {{math|1/18}} कार्डानो सूत्र के विषय में।
+विभेदक से दृढ़ता से संबंधित मात्रा का वर्गमूल घन समीकरण#सामान्य घन सूत्र में दिखाई देता है। विशेष रूप से, यह मात्रा हो सकती है {{math|−3}} परिमेय संख्या के वर्ग के साथ विभेदक, या उसके गुणनफल का गुणा; उदाहरण के लिए, का वर्ग {{math|1/18}} कार्डानो सूत्र के विषय में।
-यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं (या किसी [[संख्या क्षेत्र]] से संबंधित हैं), तो विवेचक एक परिमेय संख्या का वर्ग है (या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और मात्र यदि घन समीकरण का गैलोज़ समूह क्रम का [[चक्रीय समूह]] (समूह सिद्धांत) तीन है।
+यदि बहुपद अप्रासंगिक है और इसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं (या किसी [[संख्या क्षेत्र]] से संबंधित हैं), तो विभेदक एक परिमेय संख्या का वर्ग है (या संख्या क्षेत्र से एक संख्या) यदि और मात्र यदि घन समीकरण का गैलोज़ समूह क्रम का [[चक्रीय समूह]] (समूह सिद्धांत) तीन है।
 === घात 4 ===
-[[File:Quartic Discriminant.png|thumb|चतुर्थक बहुपद का विविक्तकर {{math|''x''<sup>4</sup> + ''cx''<sup>2</sup> + ''dx'' + ''e''}}. सतह बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है ({{math|''c'', ''d'', ''e''}}) जहां बहुपद की मूल दोहराई जाती है। कस्पिडल एज ट्रिपल रूट के साथ बहुपदों से मेल खाती है, और स्व-चौराहा दो अलग-अलग दोहराई गई मूलों वाले बहुपदों से मेल खाती है।]][[चतुर्थक बहुपद]]
+[[File:Quartic Discriminant.png|thumb|चतुर्थक बहुपद का विभेदक {{math|''x''<sup>4</sup> + ''cx''<sup>2</sup> + ''dx'' + ''e''}}। सतह बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है ({{math|''c'', ''d'', ''e''}}) जहां बहुपद की मूल दोहराई जाती है। कस्पिडल एज ट्रिपल रूट के साथ बहुपदों से मेल खाती है, और स्व-चौराहा दो अलग-अलग दोहराई गई मूलों वाले बहुपदों से मेल खाती है।]][[चतुर्थक बहुपद]]
 <math> ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\,</math>
-विवेचक है
+विभेदक है
 :<math>\begin{align}
 {} & 256a^3e^3-192a^2bde^2-128a^2c^2e^2+144a^2cd^2e \\[4pt]
@@ Line 130: / Line 132: @@
 & {} -4b^3d^3-4b^2c^3e+b^2c^2d^2\,.
 \end{align}</math>
-विविक्तकर शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल समान हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और विवेचक ऋणात्मक है, तो दो वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्मी मूल होते हैं। इसके विपरीत, यदि विवेचक धनात्मक  है, तो मूल या तो सभी वास्तविक हैं या सभी गैर-वास्तविक हैं।
+विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि कम से कम दो मूल समान हों। यदि गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और विभेदक ऋणात्मक है, तो दो वास्तविक मूल और दो जटिल संयुग्मी मूल होते हैं। इसके विपरीत, यदि विभेदक धनात्मक  है, तो मूल या तो सभी वास्तविक हैं या सभी गैर-वास्तविक हैं।
 == गुण ==
-=== शून्य विवेचक ===
+=== शून्य विभेदक ===
-किसी क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद का विविक्तकर शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का कुछ क्षेत्र विस्तार में बहुपद हो।
+किसी क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद का विभेदक शून्य होता है यदि और मात्र यदि बहुपद का कुछ क्षेत्र विस्तार में बहुपद हो।
 एक [[अभिन्न डोमेन]] पर एक बहुपद का विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद और इसके औपचारिक व्युत्पन्न में एक गैर-निरंतर सामान्य भाजक है।
@@ Line 141: / Line 143: @@
 [[विशेषता (बीजगणित)]] 0 में, यह कहने के बराबर है कि बहुपद वर्ग-मुक्त बहुपद नहीं है | वर्ग-मुक्त (अर्थात, एक गैर-निरंतर बहुपद के वर्ग से विभाज्य)।
-अशून्य विशेषता में {{math|''p''}}, विवेचक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद वर्ग-मुक्त नहीं है या इसमें एक [[अलघुकरणीय बहुपद]] है जो वियोज्य नहीं है (अर्थात्, अलघुकरणीय कारक एक बहुपद है <math>x^p</math>).
+अशून्य विशेषता में {{math|''p''}}, विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि बहुपद वर्ग-मुक्त नहीं है या इसमें एक [[अलघुकरणीय बहुपद]] है जो वियोज्य नहीं है (अर्थात्, अलघुकरणीय कारक एक बहुपद है <math>x^p</math>)।
 === चर के परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम ===
-एक बहुपद का विविक्[[तक]]र, स्केलिंग तक, चर के किसी प्रक्षेपी परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक प्रक्षेपी परिवर्तन के रूप में अनुवाद, समरूपता और व्युत्क्रम के उत्पाद में विघटित हो सकता है, इसका परिणाम सरल परिवर्तनों के लिए निम्नलिखित सूत्र में होता है, जहाँ {{math|''P''(''x'')}} घात के बहुपद को दर्शाता है {{math|''n''}}, साथ <math>a_n</math> अग्रणी गुणांक के रूप में।
+एक बहुपद का विभेदक, स्केलिंग तक, चर के किसी प्रक्षेपी परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक प्रक्षेपी परिवर्तन के रूप में अनुवाद, समरूपता और व्युत्क्रम के उत्पाद में विघटित हो सकता है, इसका परिणाम सरल परिवर्तनों के लिए निम्नलिखित सूत्र में होता है, जहाँ {{math|''P''(''x'')}} घात के बहुपद को दर्शाता है {{math|''n''}}, साथ <math>a_n</math> अग्रणी गुणांक के रूप में।
 * अनुवाद द्वारा व्युत्क्रम:
 ::<math>\operatorname{Disc}_x(P(x+\alpha)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math>
-: यह मूलों के संदर्भ में विवेचक की अभिव्यक्ति का परिणाम है
+: यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति का परिणाम है
 * समरूपता द्वारा आक्रमण:
 ::<math>\operatorname{Disc}_x(P(\alpha x)) = \alpha^{n(n-1)}\operatorname{Disc}_x(P(x))</math>
-: यह मूलों, या विवेचक की अर्ध-समरूपता के संदर्भ में अभिव्यक्ति का परिणाम है।
+: यह मूलों, या विभेदक की अर्ध-समरूपता के संदर्भ में अभिव्यक्ति का परिणाम है।
 * व्युत्क्रम द्वारा व्युत्क्रम:
 ::<math>\operatorname{Disc}_x(P^{\mathrm{r}}\!\!\;(x)) = \operatorname{Disc}_x(P(x))</math>
@@ Line 163: / Line 165: @@
 में {{math|''R''[''x'']}}, समरूपता <math>\varphi</math> पर कार्य करता है {{math|''A''}} बहुपद बनाने के लिए
 :<math>A^\varphi = \varphi(a_n)x^n+\varphi(a_{n-1})x^{n-1}+ \cdots+\varphi(a_0)</math>
-में {{math|''S''[''x'']}}.
+में {{math|''S''[''x'']}}।
-विवेचक के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है <math>\varphi</math> निम्नलिखित अर्थ में। यदि <math>\varphi(a_n)\ne 0,</math> तब
+विभेदक के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है <math>\varphi</math> निम्नलिखित अर्थ में। यदि <math>\varphi(a_n)\ne 0,</math> तब
 :<math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi) = \varphi(\operatorname{Disc}_x(A)).</math>
-जैसा कि विवेचक को एक निर्धारक के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, यह संपत्ति निर्धारकों की समान संपत्ति से तुरंत परिणाम देती है।
+जैसा कि विभेदक को एक निर्धारक के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, यह संपत्ति निर्धारकों की समान संपत्ति से तुरंत परिणाम देती है।
 यदि <math>\varphi(a_n)= 0,</math> तब <math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A))</math> शून्य हो सकता है या नहीं। एक है, जब <math>\varphi(a_n)= 0,</math>
 :<math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = \varphi(a_{n-1})^2\operatorname{Disc}_x(A^\varphi).</math>
-जब कोई मात्र यह जानने में रुचि रखता है कि क्या एक विवेचक शून्य है (जैसा कि सामान्यतः बीजगणितीय ज्यामिति में होता है), तो इन गुणों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:
+जब कोई मात्र यह जानने में रुचि रखता है कि क्या एक विभेदक शून्य है (जैसा कि सामान्यतः बीजगणितीय ज्यामिति में होता है), तो इन गुणों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:
 :<math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = 0</math> यदि और मात्र यदि या तो <math>\operatorname{Disc}_x(A^\varphi)=0</math> या <math>\deg(A)-\deg(A^\varphi)\ge 2.</math>
-इसे अक्सर ऐसा कहने के रूप में व्याख्यायित किया जाता है <math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = 0</math> यदि और मात्र यदि <math>A^\varphi</math> एक बहु रूट है (संभवतः अनंत पर इंगित)।
+इसे प्रायः ऐसा कहने के रूप में व्याख्यायित किया जाता है <math>\varphi(\operatorname{Disc}_x(A)) = 0</math> यदि और मात्र यदि <math>A^\varphi</math> एक बहु रूट है (संभवतः अनंत पर इंगित)।
 ===बहुपदों का गुणनफल===
@@ Line 182: / Line 184: @@
 {}&=(-1)^{pq}\operatorname{disc}_x(P)\operatorname{Res}_x(P,Q)\operatorname{Res}_x(Q,P)\operatorname{disc}_x(Q),
 \end{align}</math>
-कहाँ <math>\operatorname{Res}_x</math> परिणामी को चर के संबंध में दर्शाता है {{math|''x''}}, और {{math|''p''}} और {{math|''q''}} की संबंधित डिग्रियां हैं {{math|''P''}} और {{math|''Q''}}.
+कहाँ <math>\operatorname{Res}_x</math> परिणामी को चर के संबंध में दर्शाता है {{math|''x''}}, और {{math|''p''}} और {{math|''q''}} की संबंधित डिग्रियां हैं {{math|''P''}} और {{math|''Q''}}।
-यह संपत्ति संबंधित बहुपदों की मूलों के संदर्भ में परिणामी और विविक्तकर के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करके तुरंत अनुसरण करती है।
+यह संपत्ति संबंधित बहुपदों की मूलों के संदर्भ में परिणामी और विभेदक के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करके तुरंत अनुसरण करती है।
 === एकरूपता ===
 विभेदक गुणांकों में एक सजातीय बहुपद है; यह मूलों में एक सजातीय बहुपद भी है और इस प्रकार गुणांकों में [[अर्ध-सजातीय बहुपद]]|अर्ध-सजातीय।
-घात के बहुपद का विभेदक {{math|''n''}} घात का सजातीय है {{math|2''n'' − 2}} गुणांक में। इसे दो तरह से देखा जा सकता है। रूट-एंड-लीडिंग-टर्म फॉर्मूले के संदर्भ में, सभी गुणांकों को गुणा करके {{mvar|λ}} मूलों को नहीं बदलता है, लेकिन अग्रणी शब्द को इससे गुणा करता है {{mvar|λ}}. एक के निर्धारक के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के संदर्भ में {{math|(2''n'' − 1)&thinsp;×&thinsp;(2''n'' − 1)}} [[मैट्रिक्स (गणित)]] (सिल्वेस्टर मैट्रिक्स) द्वारा विभाजित {{mvar|a<sub>n</sub>}}, निर्धारक घात का सजातीय है {{math|2''n'' − 1}} प्रविष्टियों में, और द्वारा विभाजित {{mvar|a<sub>n</sub>}} घात बनाता है {{math|2''n'' − 2}}.
+घात के बहुपद का विभेदक {{math|''n''}} घात का सजातीय है {{math|2''n'' − 2}} गुणांक में। इसे दो तरह से देखा जा सकता है। रूट-एंड-लीडिंग-टर्म फॉर्मूले के संदर्भ में, सभी गुणांकों को गुणा करके {{mvar|λ}} मूलों को नहीं बदलता है, परन्तु   अग्रणी शब्द को इससे गुणा करता है {{mvar|λ}}। एक के निर्धारक के रूप में इसकी अभिव्यक्ति के संदर्भ में {{math|(2''n'' − 1)&thinsp;×&thinsp;(2''n'' − 1)}} [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] (सिल्वेस्टर आव्यूह) द्वारा विभाजित {{mvar|a<sub>n</sub>}}, निर्धारक घात का सजातीय है {{math|2''n'' − 1}} प्रविष्टियों में, और द्वारा विभाजित {{mvar|a<sub>n</sub>}} घात बनाता है {{math|2''n'' − 2}}।
-घात के बहुपद का विभेदक {{math|''n''}} घात का सजातीय है {{math|''n''(''n'' − 1)}} मूलों में। यह मूलों के संदर्भ में विवेचक की अभिव्यक्ति से अनुसरण करता है, जो एक स्थिर और का उत्पाद है <math>\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}</math> मूलों के वर्ग अंतर।
+घात के बहुपद का विभेदक {{math|''n''}} घात का सजातीय है {{math|''n''(''n'' − 1)}} मूलों में। यह मूलों के संदर्भ में विभेदक की अभिव्यक्ति से अनुसरण करता है, जो एक स्थिर और का उत्पाद है <math>\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}</math> मूलों के वर्ग अंतर।
-घात के बहुपद का विभेदक {{math|''n''}} घात का अर्ध-सजातीय है {{math|''n''(''n'' − 1)}} गुणांकों में, यदि, प्रत्येक के लिए {{math|''i''}}, का गुणांक <math>x^i</math> भार दिया जाता है {{math|''n'' − ''i''}}. यह समान घात का अर्ध-सजातीय भी है, यदि, प्रत्येक के लिए {{math|''i''}}, का गुणांक <math>x^i</math> भार दिया जाता है {{math|''i''}}. यह सामान्य तथ्य का परिणाम है कि मूलों में सजातीय और सममित बहुपद वाले प्रत्येक बहुपद को मूलों के प्राथमिक सममित कार्यों में अर्ध-सजातीय बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+घात के बहुपद का विभेदक {{math|''n''}} घात का अर्ध-सजातीय है {{math|''n''(''n'' − 1)}} गुणांकों में, यदि, प्रत्येक के लिए {{math|''i''}}, का गुणांक <math>x^i</math> भार दिया जाता है {{math|''n'' − ''i''}}। यह समान घात का अर्ध-सजातीय भी है, यदि, प्रत्येक के लिए {{math|''i''}}, का गुणांक <math>x^i</math> भार दिया जाता है {{math|''i''}}। यह सामान्य तथ्य का परिणाम है कि मूलों में सजातीय और सममित बहुपद वाले प्रत्येक बहुपद को मूलों के प्राथमिक सममित कार्यों में अर्ध-सजातीय बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
 बहुपद पर विचार करें
 :<math> P=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_0.</math>
-यह प्रत्येक [[एकपद]]ी में घातांकों के पूर्वगामी से अनुसरण करता है <math>a_0^{i_0}, \dots , a_n^{i_n}</math> विविक्तकर में प्रकट होना दो समीकरणों को संतुष्ट करता है
+यह प्रत्येक [[एकपद]]ी में घातांकों के पूर्वगामी से अनुसरण करता है <math>a_0^{i_0}, \dots , a_n^{i_n}</math> विभेदक में प्रकट होना दो समीकरणों को संतुष्ट करता है
 :<math>i_0+i_1+\cdots+i_n=2n-2</math>
 और
@@ Line 203: / Line 205: @@
 और समीकरण भी
 :<math>ni_0 +(n-1)i_1+ \cdots+ i_{n-1}=n(n-1),</math>
-जो दूसरे समीकरण को पहले वाले से गुणा करके प्राप्त किया जाता है {{math|''n''}}.
+जो दूसरे समीकरण को प्रथम वाले से गुणा करके प्राप्त किया जाता है {{math|''n''}}।
-यह विवेचक में संभावित शर्तों को प्रतिबंधित करता है। सामान्य द्विघात बहुपद के लिए विवेचक में मात्र दो संभावनाएँ और दो पद होते हैं, जबकि तीन चरों में घात दो के सामान्य सजातीय बहुपद में 6 पद होते हैं। सामान्य घन बहुपद के लिए, विवेचक में पाँच संभावनाएँ और पाँच पद हैं, जबकि 5 चरों में 4 घात के सामान्य सजातीय बहुपद में 70 पद हैं।
+यह विभेदक में संभावित शर्तों को प्रतिबंधित करता है। सामान्य द्विघात बहुपद के लिए विभेदक में मात्र दो संभावनाएँ और दो पद होते हैं, जबकि तीन चरों में घात दो के सामान्य सजातीय बहुपद में 6 पद होते हैं। सामान्य घन बहुपद के लिए, विभेदक में पाँच संभावनाएँ और पाँच पद हैं, जबकि 5 चरों में 4 घात के सामान्य सजातीय बहुपद में 70 पद हैं।
-उच्च घात के लिए, ऐसे मोनोमियल हो सकते हैं जो उपरोक्त समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और विवेचक में प्रकट नहीं होते हैं। पहला उदाहरण चतुर्थांश बहुपद के लिए है <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math>, जिस स्थिति में मोनोमियल <math>bc^4d</math> विवेचक में प्रकट हुए बिना समीकरणों को संतुष्ट करता है।
+उच्च घात के लिए, ऐसे मोनोमियल हो सकते हैं जो उपरोक्त समीकरणों को संतुष्ट करते हैं और विभेदक में प्रकट नहीं होते हैं। पहला उदाहरण चतुर्थांश बहुपद के लिए है <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math>, जिस स्थिति में मोनोमियल <math>bc^4d</math> विभेदक में प्रकट हुए बिना समीकरणों को संतुष्ट करता है।
 == असली मूल ==
 इस खंड में, सभी बहुपदों में वास्तविक संख्या गुणांक होते हैं।
-में देखा गया है {{slink||Low degrees}} कि विवेचक का चिन्ह घात 2 और 3 के बहुपदों के लिए मूलों की प्रकृति पर पूरी जानकारी प्रदान करता है। उच्च घात के लिए, विवेचक द्वारा प्रदान की गई जानकारी कम पूर्ण है, लेकिन फिर भी उपयोगी है। अधिक सटीक, घात के बहुपद के लिए {{math|''n''}}, किसी के पास:
+में देखा गया है {{slink||Low degrees}} कि विभेदक का संकेत घात 2 और 3 के बहुपदों के लिए मूलों की प्रकृति पर पूरी जानकारी प्रदान करता है। उच्च घात के लिए, विभेदक द्वारा प्रदान की गई जानकारी कम पूर्ण है, परन्तु   फिर भी उपयोगी है। अधिक सटीक, घात के बहुपद के लिए {{math|''n''}}, किसी के पास:
-* बहुपद का बहुपद होता है यदि और मात्र यदि उसका विविक्तकर शून्य हो।
+* बहुपद का बहुपद होता है यदि और मात्र यदि उसका विभेदक शून्य हो।
-* यदि विविक्तकर धनात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणक है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। {{math|''k'' ≤ ''n''/4}} जैसे कि हैं {{math|2''k''}} जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और {{math|''n'' − 4''k''}} असली मूल।
+* यदि विभेदक धनात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणक है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। {{math|''k'' ≤ ''n''/4}} जैसे कि हैं {{math|2''k''}} जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और {{math|''n'' − 4''k''}} असली मूल।
-* यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज नहीं है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। {{math|''k'' ≤ (''n'' − 2)/4}} जैसे कि हैं {{math|2''k'' + 1}} जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और {{math|''n'' − 4''k'' + 2}} असली मूल।
+* यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो अवास्तविक मूलों की संख्या 4 का गुणज नहीं है। अर्थात्, एक अऋणात्मक पूर्णांक है। {{math|''k'' ≤ (''n'' − 2)/4}} जैसे कि हैं {{math|2''k'' + 1}} जटिल संयुग्म मूलों के जोड़े और {{math|''n'' − 4''k'' + 2}} असली मूल।
 == सजातीय द्विभाजित बहुपद ==
@@ Line 230: / Line 232: @@
 और
 :<math>\operatorname{Disc}_y (A) =x^{n(n-1)} \operatorname{Disc}^h (A).</math>
-इन्हीं गुणों के कारण मात्रा <math>\operatorname{Disc}^h (A)</math> का विवेचक या सजातीय विवेचक कहा जाता है {{math|''A''}}.
+इन्हीं गुणों के कारण मात्रा <math>\operatorname{Disc}^h (A)</math> का विभेदक या सजातीय विभेदक कहा जाता है {{math|''A''}}।
-यदि <math>a_0</math> और <math>a_n</math> शून्य होने की अनुमति है, बहुपद {{math|''A''(''x'', 1)}} और {{math|''A''(1, ''y'')}} से छोटी घात हो सकती है {{math|''n''}}. इस विषय में, उपरोक्त सूत्र और परिभाषा मान्य रहती है, यदि विवेचकों की गणना इस प्रकार की जाती है जैसे कि सभी बहुपदों की घात होगी {{mvar|''n''}}. इसका मतलब है कि भेदभाव करने वालों की गणना की जानी चाहिए <math>a_0</math> और <math>a_n</math> अनिश्चित, उनके लिए उनके वास्तविक मूल्यों का प्रतिस्थापन इस गणना के बाद किया जा रहा है। समान रूप से, के सूत्र {{slink||Invariance under ring homomorphisms}} उपयोग किया जाना चाहिए।
+यदि <math>a_0</math> और <math>a_n</math> शून्य होने की अनुमति है, बहुपद {{math|''A''(''x'', 1)}} और {{math|''A''(1, ''y'')}} से छोटी घात हो सकती है {{math|''n''}}। इस विषय में, उपरोक्त सूत्र और परिभाषा मान्य रहती है, यदि विभेदकों की गणना इस प्रकार की जाती है जैसे कि सभी बहुपदों की घात होगी {{mvar|''n''}}। इसका मतलब है कि भेदभाव करने वालों की गणना की जानी चाहिए <math>a_0</math> और <math>a_n</math> अनिश्चित, उनके लिए उनके वास्तविक मूल्यों का प्रतिस्थापन इस गणना के बाद किया जा रहा है। समान रूप से, के सूत्र {{slink||Invariance under ring homomorphisms}} उपयोग किया जाना चाहिए।
 == बीजगणितीय ज्यामिति == में प्रयोग करें
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 बीजगणितीय ज्यामिति में विभेदकों का विशिष्ट उपयोग समतल [[बीजगणितीय वक्र]]ों का अध्ययन करने के लिए है, और अधिक सामान्यतः [[ऊनविम पृष्ठ]] होने देना {{math|''V''}} ऐसा वक्र या ऊनविम सतह हो; {{math|''V''}} को [[बहुभिन्नरूपी बहुपद]] के शून्य समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस बहुपद को एक अनिश्चित में एक अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है, अन्य अनिश्चित में गुणांक के रूप में बहुपद के साथ। चयनित अनिश्चित के संबंध में विभेदक एक हाइपरसफेस को परिभाषित करता है {{math|''W''}} अन्य अनिश्चित के स्थान पर। के अंक {{math|''W''}} बिल्कुल बिंदुओं का प्रक्षेपण है {{math|''V''}} (अनंत पर बिंदुओं सहित), जो या तो एकवचन हैं या एक [[स्पर्शरेखा स्थान]] है जो चयनित अनिश्चित के अक्ष के समानांतर है।
-उदाहरण के लिए, चलो {{mvar|f}} में एक द्विभाजित बहुपद हो {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} वास्तविक गुणांकों के साथ, ताकि{{math|1=''f'' &thinsp;= 0}} एक वास्तविक समतल बीजगणितीय वक्र का अंतर्निहित समीकरण है। देखना {{mvar|f}} में एक अविभाजित बहुपद के रूप में {{mvar|Y}} गुणांक के आधार पर {{mvar|X}}, तो विवेचक एक बहुपद है {{mvar|X}} जिसकी मूल हैं {{mvar|X}}-एकवचन बिंदुओं के निर्देशांक, स्पर्शरेखा के समानांतर बिंदुओं के {{mvar|Y}}-अक्ष और कुछ स्पर्शोन्मुख के समानांतर {{mvar|Y}}-एक्सिस। दूसरे शब्दों में, की मूलों की गणना {{mvar|Y}}-विभेदक और {{mvar|X}}-discriminant किसी को वक्र के सभी उल्लेखनीय बिंदुओं की गणना करने की अनुमति देता है, सिवाय विभक्ति बिंदुओं के।
+उदाहरण के लिए, चलो {{mvar|f}} में एक द्विभाजित बहुपद हो {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} वास्तविक गुणांकों के साथ, ताकि{{math|1=''f'' &thinsp;= 0}} एक वास्तविक समतल बीजगणितीय वक्र का अंतर्निहित समीकरण है। देखना {{mvar|f}} में एक अविभाजित बहुपद के रूप में {{mvar|Y}} गुणांक के आधार पर {{mvar|X}}, तो विभेदक एक बहुपद है {{mvar|X}} जिसकी मूल हैं {{mvar|X}}-एकवचन बिंदुओं के निर्देशांक, स्पर्शरेखा के समानांतर बिंदुओं के {{mvar|Y}}-अक्ष और कुछ स्पर्शोन्मुख के समानांतर {{mvar|Y}}-एक्सिस। दूसरे शब्दों में, की मूलों की गणना {{mvar|Y}}-विभेदक और {{mvar|X}}-discriminant किसी को वक्र के सभी उल्लेखनीय बिंदुओं की गणना करने की अनुमति देता है, सिवाय विभक्ति बिंदुओं के।
 == सामान्यीकरण ==
-विवेचक की अवधारणा के दो वर्ग हैं। प्रथम वर्ग एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विविक्तकर है, जो [[द्विघात क्षेत्र]]ों सहित कुछ मामलों में क्षेत्र को परिभाषित करने वाले बहुपद का विवेचक है।
+विभेदक की अवधारणा के दो वर्ग हैं। प्रथम वर्ग एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक है, जो [[द्विघात क्षेत्र]]ों सहित कुछ मामलों में क्षेत्र को परिभाषित करने वाले बहुपद का विभेदक है।
-गुणांक के आधार पर समस्याओं के लिए द्वितीय श्रेणी के भेदभाव उत्पन्न होते हैं, जब गुणांक में एक एकल बहुपद के लुप्त होने की समस्या के पतित उदाहरण या विलक्षणता की विशेषता होती है। यह एक बहुपद के विविक्तकर का मामला है, जो दो मूलों के ढहने पर शून्य होता है। अधिकांश विषय, जहां इस तरह के सामान्यीकृत विभेदक को परिभाषित किया गया है, निम्नलिखित के उदाहरण हैं।
+गुणांक के आधार पर समस्याओं के लिए द्वितीय श्रेणी के भेदभाव उत्पन्न होते हैं, जब गुणांक में एक एकल बहुपद के लुप्त होने की समस्या के पतित उदाहरण या विलक्षणता की विशेषता होती है। यह एक बहुपद के विभेदक का मामला है, जो दो मूलों के ढहने पर शून्य होता है। अधिकांश विषय, जहां इस तरह के सामान्यीकृत विभेदक को परिभाषित किया गया है, निम्नलिखित के उदाहरण हैं।
-होने देना {{math|''A''}} में एक सजातीय बहुपद हो {{math|''n''}} विशेषता (बीजगणित) 0, या एक [[अभाज्य संख्या]] विशेषता के क्षेत्र में अनिश्चित है जो बहुपद की घात को विभाजित नहीं करता है। बहुपद {{math|''A''}} एक प्रोजेक्टिव हाइपरसफेस को परिभाषित करता है, जिसमें बीजगणितीय किस्म का विलक्षण बिंदु होता है यदि और मात्र {{math|''n''}} का आंशिक डेरिवेटिव {{math|''A''}} में एक फ़ंक्शन का एक गैर-तुच्छ सामान्य शून्य है। यह मामला है यदि और मात्र यदि इन आंशिक डेरिवेटिव का बहुभिन्नरूपी परिणाम शून्य है, और इस परिणामी को विभेदक के रूप में माना जा सकता है {{math|''A''}}. हालाँकि, व्युत्पत्ति के परिणामस्वरूप पूर्णांक गुणांक के कारण, यह बहुभिन्नरूपी परिणामी की शक्ति से विभाज्य हो सकता है {{math|''n''}}, और एक विवेचक के रूप में लेना बेहतर है, परिणामी का [[आदिम भाग]], सामान्य गुणांक के साथ गणना की जाती है। विशेषता पर प्रतिबंध की आवश्यकता है क्योंकि अन्यथा आंशिक व्युत्पन्न का एक सामान्य शून्य आवश्यक रूप से बहुपद का शून्य नहीं है (सजातीय बहुपदों के लिए यूलर की पहचान देखें)।
+होने देना {{math|''A''}} में एक सजातीय बहुपद हो {{math|''n''}} विशेषता (बीजगणित) 0, या एक [[अभाज्य संख्या]] विशेषता के क्षेत्र में अनिश्चित है जो बहुपद की घात को विभाजित नहीं करता है। बहुपद {{math|''A''}} एक प्रोजेक्टिव हाइपरसफेस को परिभाषित करता है, जिसमें बीजगणितीय किस्म का विलक्षण बिंदु होता है यदि और मात्र {{math|''n''}} का आंशिक डेरिवेटिव {{math|''A''}} में एक फ़ंक्शन का एक गैर-तुच्छ सामान्य शून्य है। यह मामला है यदि और मात्र यदि इन आंशिक डेरिवेटिव का बहुभिन्नरूपी परिणाम शून्य है, और इस परिणामी को विभेदक के रूप में माना जा सकता है {{math|''A''}}। हालाँकि, व्युत्पत्ति के परिणामस्वरूप पूर्णांक गुणांक के कारण, यह बहुभिन्नरूपी परिणामी की शक्ति से विभाज्य हो सकता है {{math|''n''}}, और एक विभेदक के रूप में लेना बेहतर है, परिणामी का [[आदिम भाग]], सामान्य गुणांक के साथ गणना की जाती है। विशेषता पर प्रतिबंध की आवश्यकता है क्योंकि अन्यथा आंशिक व्युत्पन्न का एक सामान्य शून्य आवश्यक रूप से बहुपद का शून्य नहीं है (सजातीय बहुपदों के लिए यूलर की पहचान देखें)।
-घात के एक सजातीय द्विभाजित बहुपद के विषय में {{math|''d''}}, यह सामान्य विवेचक है <math>d^{d-2}</math> विभेदक में परिभाषित गुना {{slink||Homogeneous bivariate polynomial}}. कई अन्य शास्त्रीय प्रकार के भेदभाव, जो कि सामान्य परिभाषा के उदाहरण हैं, अगले खंडों में वर्णित हैं।
+घात के एक सजातीय द्विभाजित बहुपद के विषय में {{math|''d''}}, यह सामान्य विभेदक है <math>d^{d-2}</math> विभेदक में परिभाषित गुना {{slink||Homogeneous bivariate polynomial}}। कई अन्य शास्त्रीय प्रकार के भेदभाव, जो कि सामान्य परिभाषा के उदाहरण हैं, अगले खंडों में वर्णित हैं।
 === द्विघात रूप ===
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 :<math>Q(x_1,\ldots,x_n) \ =\ \sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2+\sum_{1\le i <j\le n}a_{ij}x_i x_j,</math>
-या, मैट्रिक्स रूप में,
+या, आव्यूह रूप में,
 :<math>Q(X) =X A X^\mathrm T,</math>
-के लिए <math>n\times n</math> [[सममित मैट्रिक्स]] <math>A=(a_{ij})</math>, द <math>1\times n</math> पंक्ति वेक्टर <math>X=(x_1,\ldots,x_n)</math>, और यह <math>n\times 1</math> कॉलम वेक्टर <math>X^{\mathrm{T}}</math>. विशेषता (बीजगणित) में 2 से भिन्न,<ref>In characteristic 2, the discriminant of a quadratic form is not defined, and is replaced by the [[Arf invariant]].</ref> का विवेचक या निर्धारक {{math|''Q''}} का निर्धारक है {{math|''A''}}.<ref>{{cite book | first=J. W. S. | last=Cassels | author-link=J. W. S. Cassels | title=वाजिब द्विघात रूप| series=London Mathematical Society Monographs | volume=13 | publisher=[[Academic Press]] | year=1978 | isbn=0-12-163260-1 | zbl=0395.10029 | page=6 }}</ref>
+के लिए <math>n\times n</math> [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] <math>A=(a_{ij})</math>, द <math>1\times n</math> पंक्ति वेक्टर <math>X=(x_1,\ldots,x_n)</math>, और यह <math>n\times 1</math> स्तंभ वेक्टर <math>X^{\mathrm{T}}</math>। विशेषता (बीजगणित) में 2 से भिन्न,<ref>In characteristic 2, the discriminant of a quadratic form is not defined, and is replaced by the [[Arf invariant]].</ref> का विभेदक या निर्धारक {{math|''Q''}} का निर्धारक है {{math|''A''}}।<ref>{{cite book | first=J. W. S. | last=Cassels | author-link=J. W. S. Cassels | title=वाजिब द्विघात रूप| series=London Mathematical Society Monographs | volume=13 | publisher=[[Academic Press]] | year=1978 | isbn=0-12-163260-1 | zbl=0395.10029 | page=6 }}</ref>
-का [[हेसियन निर्धारक]] {{math|''Q''}} है <math>2^n</math> इसके भेदभाव का समय। के आंशिक डेरिवेटिव का बहुभिन्नरूपी परिणामी {{math|''Q''}} इसके हेस्सियन निर्धारक के बराबर है। तो, एक द्विघात रूप का विवेचक एक विवेचक की उपरोक्त सामान्य परिभाषा का एक विशेष मामला है।
+का [[हेसियन निर्धारक]] {{math|''Q''}} है <math>2^n</math> इसके भेदभाव का समय। के आंशिक डेरिवेटिव का बहुभिन्नरूपी परिणामी {{math|''Q''}} इसके हेस्सियन निर्धारक के बराबर है। तो, एक द्विघात रूप का विभेदक एक विभेदक की उपरोक्त सामान्य परिभाषा का एक विशेष मामला है।
-एक द्विघात रूप का विभेदक चर के रैखिक परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है (जो कि सदिश स्थान के आधार पर एक परिवर्तन है, जिस पर द्विघात रूप परिभाषित किया गया है) निम्नलिखित अर्थों में: चर का एक रैखिक परिवर्तन एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया गया है {{math|''S''}}, मैट्रिक्स को बदलता है {{math|''A''}} में <math>S^\mathrm T A\,S,</math> और इस प्रकार विवेचक को के सारणिक के वर्ग से गुणा करता है {{math|''S''}}. इस प्रकार विविक्तकर मात्र एक वर्ग द्वारा गुणा करने तक ही अच्छी तरह से परिभाषित होता है। दूसरे शब्दों में, एक क्षेत्र पर द्विघात रूप का विवेचक {{math|''K''}} का एक तत्व है {{math|''K''/(''K''<sup>×</sup>)<sup>2</sup>}}, के गुणक [[मोनोइड]] का [[भागफल मोनोइड]] {{math|''K''}} अशून्य वर्गों के [[उपसमूह]] द्वारा (अर्थात, के दो तत्व {{math|''K''}} समान [[तुल्यता वर्ग]] में हैं यदि एक दूसरे का गैर-शून्य वर्ग द्वारा उत्पाद है)। यह इस प्रकार है कि जटिल संख्याओं पर, एक विवेचक 0 या 1 के बराबर होता है। वास्तविक संख्याओं पर, एक विवेचक -1, 0, या 1 के बराबर होता है। परिमेय संख्याओं पर, एक विवेचक एक अद्वितीय वर्ग-मुक्त के बराबर होता है पूर्णांक।
+एक द्विघात रूप का विभेदक चर के रैखिक परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है (जो कि सदिश स्थान के आधार पर एक परिवर्तन है, जिस पर द्विघात रूप परिभाषित किया गया है) निम्नलिखित अर्थों में: चर का एक रैखिक परिवर्तन एक गैर-एकवचन आव्यूह द्वारा परिभाषित किया गया है {{math|''S''}}, आव्यूह को बदलता है {{math|''A''}} में <math>S^\mathrm T A\,S,</math> और इस प्रकार विभेदक को के सारणिक के वर्ग से गुणा करता है {{math|''S''}}। इस प्रकार विभेदक मात्र एक वर्ग द्वारा गुणा करने तक ही ठीक रूप  से परिभाषित होता है। दूसरे शब्दों में, एक क्षेत्र पर द्विघात रूप का विभेदक {{math|''K''}} का एक तत्व है {{math|''K''/(''K''<sup>×</sup>)<sup>2</sup>}}, के गुणक [[मोनोइड]] का [[भागफल मोनोइड]] {{math|''K''}} अशून्य वर्गों के [[उपसमूह]] द्वारा (अर्थात, के दो तत्व {{math|''K''}} समान [[तुल्यता वर्ग]] में हैं यदि एक दूसरे का गैर-शून्य वर्ग द्वारा उत्पाद है)। यह इस प्रकार है कि जटिल संख्याओं पर, एक विभेदक 0 या 1 के बराबर होता है। वास्तविक संख्याओं पर, एक विभेदक -1, 0, या 1 के बराबर होता है। परिमेय संख्याओं पर, एक विभेदक एक अद्वितीय वर्ग-मुक्त के बराबर होता है पूर्णांक।
 [[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] के एक प्रमेय द्वारा, 2 से भिन्न विशेषता के एक क्षेत्र पर एक द्विघात रूप, चर के एक रैखिक परिवर्तन के बाद, विकर्ण रूप में व्यक्त किया जा सकता है
@@ Line 265: / Line 267: @@
 अधिक यथार्थ रूप से, एक द्विघात रूपों को योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 :<math>\sum_{i=1}^n a_i L_i^2</math>
-जहां {{math|''L''<sub>''i''</sub>}} स्वतंत्र रैखिक रूप हैं और {{mvar|n}} चरों की संख्या है (कुछ {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} शून्य हो सकता है)। समान रूप से, किसी भी सममित मैट्रिक्स के लिए {{math|''A''}}, एक प्रारंभिक मैट्रिक्स है {{math|''S''}} ऐसा है कि <math>S^\mathrm T A\,S</math> एक [[विकर्ण मैट्रिक्स]] है।
+जहां {{math|''L''<sub>''i''</sub>}} स्वतंत्र रैखिक रूप हैं और {{mvar|n}} चरों की संख्या है (कुछ {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} शून्य हो सकता है)। समान रूप से, किसी भी सममित आव्यूह के लिए {{math|''A''}}, एक प्रारंभिक आव्यूह है {{math|''S''}} ऐसा है कि <math>S^\mathrm T A\,S</math> एक [[विकर्ण मैट्रिक्स|विकर्ण आव्यूह]] है।
-तब विवेचक का उत्पाद है {{math|''a''<sub>''i''</sub>}}, जिसे एक वर्ग के रूप में अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है {{math|''K''/(''K''<sup>×</sup>)<sup>2</sup>}}.
+तब विभेदक का उत्पाद है {{math|''a''<sub>''i''</sub>}}, जिसे एक वर्ग के रूप में ठीक रूप  से परिभाषित किया गया है {{math|''K''/(''K''<sup>×</sup>)<sup>2</sup>}}।
-ज्यामितीय रूप से, तीन चरों में एक द्विघात रूप का विभेदक [[प्रक्षेपी वक्र]] का समीकरण है। विवेचक शून्य है यदि और मात्र यदि वक्र रेखाओं में विघटित हो (संभवतः क्षेत्र के बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार पर)।
+ज्यामितीय रूप से, तीन चरों में एक द्विघात रूप का विभेदक [[प्रक्षेपी वक्र]] का समीकरण है। विभेदक शून्य है यदि और मात्र यदि वक्र रेखाओं में विघटित हो (संभवतः क्षेत्र के बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार पर)।
-चार चरों में एक द्विघात रूप प्रक्षेपी सतह का समीकरण है। सतह में एक बीजगणितीय विविधता का एक विलक्षण बिंदु है यदि और मात्र इसका विभेदक शून्य है। इस विषय में, या तो सतह [[कोन]] समतल में विघटित किया जा सकता है, या इसका एक अनूठा विलक्षण बिंदु है, और यह एक शंकु या एक [[सिलेंडर]] है। वास्तविक पर, यदि विवेचक धनात्मक  है, तो सतह का या तो कोई वास्तविक बिंदु नहीं है या हर जगह एक ऋणात्मक [[गॉसियन वक्रता]] है। यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो सतह के वास्तविक बिंदु होते हैं, और एक ऋणात्मक गाऊसी वक्रता होती है।
+चार चरों में एक द्विघात रूप प्रक्षेपी सतह का समीकरण है। सतह में एक बीजगणितीय विविधता का एक विलक्षण बिंदु है यदि और मात्र इसका विभेदक शून्य है। इस विषय में, या तो सतह [[कोन]] समतल में विघटित किया जा सकता है, या इसका एक अनूठा विलक्षण बिंदु है, और यह एक शंकु या एक [[सिलेंडर]] है। वास्तविक पर, यदि विभेदक धनात्मक  है, तो सतह का या तो कोई वास्तविक बिंदु नहीं है या हर जगह एक ऋणात्मक [[गॉसियन वक्रता]] है। यदि विभेदक ऋणात्मक है, तो सतह के वास्तविक बिंदु होते हैं, और एक ऋणात्मक गाऊसी वक्रता होती है।
 === शांकव खंड ===
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 कहाँ {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'', ''f''}} वास्तविक संख्याएँ हैं।
-दो द्विघात रूप, और इस प्रकार दो विवेचक एक शंकु खंड से जुड़े हो सकते हैं।
+दो द्विघात रूप, और इस प्रकार दो विभेदक एक शंकु खंड से जुड़े हो सकते हैं।
 पहला द्विघात रूप है
 :<math>ax^2+ 2bxy + cy^2 + 2dxz + 2eyz + fz^2 = 0.</math>
-इसका विवेचक निर्धारक है
+इसका विभेदक निर्धारक है
 :<math>\begin{vmatrix} a & b & d\\b & c & e\\d & e & f \end{vmatrix}. </math>
 यदि शंक्वाकार खंड दो रेखाओं, एक दोहरी रेखा या एक बिंदु में पतित हो जाता है तो यह शून्य है।
-दूसरा विवेचक, जो मात्र वही है जिसे कई प्रारंभिक पाठ्यपुस्तकों में माना जाता है, समीकरण के घात दो के सजातीय भाग का विवेचक है। यह बराबर है<ref>{{cite book
+दूसरा विभेदक, जो मात्र वही है जिसे कई प्रारंभिक पाठ्यपुस्तकों में माना जाता है, समीकरण के घात दो के सजातीय भाग का विभेदक है। यह बराबर है<ref>{{cite book
 |title=Math refresher for scientists and engineers
 |first1=John R.
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 </ref>
 :<math>b^2 - ac,</math>
-और शांकव खंड के आकार को निर्धारित करता है। यदि यह विवेचक ऋणात्मक है, तो वक्र का या तो कोई वास्तविक बिंदु नहीं है, या एक दीर्घवृत्त या एक वृत्त है, या, यदि पतित है, तो एक बिंदु तक कम हो जाता है। यदि विवेचक शून्य है, तो वक्र एक [[परवलय]] है, या, यदि पतित है, तो एक दोहरी रेखा या दो समानांतर रेखाएँ हैं। यदि विवेचक धनात्मक  है, तो वक्र एक अतिपरवलय है, या, यदि पतित है, तो प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी।
+और शांकव खंड के आकार को निर्धारित करता है। यदि यह विभेदक ऋणात्मक है, तो वक्र का या तो कोई वास्तविक बिंदु नहीं है, या एक दीर्घवृत्त या एक वृत्त है, या, यदि पतित है, तो एक बिंदु तक कम हो जाता है। यदि विभेदक शून्य है, तो वक्र एक [[परवलय]] है, या, यदि पतित है, तो एक दोहरी रेखा या दो समानांतर रेखाएँ हैं। यदि विभेदक धनात्मक  है, तो वक्र एक अतिपरवलय है, या, यदि पतित है, तो प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी।
 === वास्तविक [[चतुर्भुज सतह]] ===
@@ Line 303: / Line 305: @@
 होने देना <math>P(x,y,z)</math> तीन चरों में घात दो का एक बहुपद हो जो एक वास्तविक चतुष्कोणीय सतह को परिभाषित करता है। पहला संबद्ध द्विघात रूप, <math>Q_4,</math> चार चरों पर निर्भर करता है, और एक बहुपद के समरूपीकरण द्वारा प्राप्त किया जाता है {{math|''P''}}; वह है
 :<math>Q_4(x,y,z,t)=t^2P(x/t,y/t, z/t).</math>
-आइए इसके विविक्तकर को निरूपित करें <math>\Delta_4.</math>
+आइए इसके विभेदक को निरूपित करें <math>\Delta_4.</math>
 दूसरा द्विघात रूप, <math>Q_3,</math> तीन चर पर निर्भर करता है, और घात दो की शर्तें शामिल हैं {{math|''P''}}; वह है
 :<math>Q_3(x,y,z)=Q_4(x, y,z,0).</math>
-आइए इसके विविक्तकर को निरूपित करें <math>\Delta_3.</math>
+आइए इसके विभेदक को निरूपित करें <math>\Delta_3.</math>
 यदि <math>\Delta_4>0,</math> और सतह के वास्तविक बिंदु हैं, तो यह या तो [[अतिशयोक्तिपूर्ण परवलयज]] है या एक-पत्रक अतिपरवलयज है। दोनों ही मामलों में, यह एक [[शासित सतह]] है जिसमें हर बिंदु पर ऋणात्मक गॉसियन वक्रता होती है।
@@ Line 313: / Line 315: @@
 यदि <math>\Delta_4=0,</math> सतह में एक बीजगणितीय किस्म का एक विलक्षण बिंदु है, संभवतः अनंत पर इंगित करता है। यदि मात्र एक विलक्षण बिंदु है, तो सतह एक बेलन या शंक्वाकार सतह है। यदि कई एकवचन बिंदु हैं तो सतह में दो तल होते हैं, एक दोहरा तल या एक रेखा।
-कब <math>\Delta_4\ne 0,</math> का चिन्ह <math>\Delta_3,</math> यदि नहीं 0, कोई उपयोगी जानकारी प्रदान नहीं करता है, जैसा कि बदल रहा है {{math|''P''}} में {{math|−''P''}} सतह को नहीं बदलता, बल्कि के चिह्न को बदल देता है <math>\Delta_3.</math> हालांकि, यदि <math>\Delta_4\ne 0</math> और <math>\Delta_3 = 0,</math> सतह एक परवलयज है, जो अण्डाकार या अतिशयोक्तिपूर्ण है, के संकेत के आधार पर <math>\Delta_4.</math>
+कब <math>\Delta_4\ne 0,</math> का संकेत <math>\Delta_3,</math> यदि नहीं 0, कोई उपयोगी जानकारी प्रदान नहीं करता है, जैसा कि बदल रहा है {{math|''P''}} में {{math|−''P''}} सतह को नहीं बदलता, बल्कि के संकेत को बदल देता है <math>\Delta_3.</math> हालांकि, यदि <math>\Delta_4\ne 0</math> और <math>\Delta_3 = 0,</math> सतह एक परवलयज है, जो अण्डाकार या अतिशयोक्तिपूर्ण है, के संकेत के आधार पर <math>\Delta_4.</math>

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विभेदक: Difference between revisions

Revision as of 12:21, 16 March 2023

उत्पत्ति

परिभाषा

मूलों के संदर्भ में अभिव्यक्ति

कम घात

घात 2

घात 3

घात 4

गुण

शून्य विभेदक

चर के परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम

रिंग होमोमोर्फिज्म के तहत इनवेरियन

बहुपदों का गुणनफल

एकरूपता

असली मूल

सजातीय द्विभाजित बहुपद

सामान्यीकरण

द्विघात रूप

शांकव खंड

वास्तविक चतुर्भुज सतह

एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक

संदर्भ

बाहरी संबंध

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