एकल इंटीग्रल: Difference between revisions

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: <math>T(f)(x) = \int K(x,y)f(y) \, dy, </math>
: <math>T(f)(x) = \int K(x,y)f(y) \, dy, </math>
जिसका कर्नेल कार्य ''K'' : '''R'''<sup>''n''</sup>×'''R'''<sup>''n''</sup> → '''R''' विकर्ण x = y के साथ [[गणितीय विलक्षणता]] है। विशेष रूप से, विलक्षणता ऐसी है कि |K(x, y)| आकार का है I |x − y|<sup>−n</sup> असमान रूप से |x − y| के रूप में → 0 है I चूंकि इस प्रकार के अभिन्न सामान्य रूप से पूर्णरूपेण समाकलनीय नहीं हो सकते हैं, इसलिए कठोर परिभाषा को उन्हें |y − x| पर अभिन्न की सीमा के रूप में परिभाषित करना चाहिए। > ε ε → 0 के रूप में, लेकिन व्यवहार में यह तकनीकी है। सामान्यतः ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>) पर उनकी बाध्यता से परिणाम प्राप्त करने के लिए आगे की धारणाओं की आवश्यकता होती है I
जिसका कर्नेल कार्य ''K'' : '''R'''<sup>''n''</sup>×'''R'''<sup>''n''</sup> → '''R''' विकर्ण x = y के साथ [[गणितीय विलक्षणता]] है। विशेष रूप से, विलक्षणता ऐसी है कि |K(x, y)| आकार का है I |x − y|<sup>−n</sup> असमान रूप से |x − y| के रूप में → 0 होते है I चूंकि इस प्रकार के अभिन्न सामान्य रूप से पूर्णरूपेण समाकलनीय नहीं हो सकते हैं, इसलिए कठोर परिभाषा को उन्हें |y − x| पर अभिन्न की सीमा के रूप में परिभाषित करना चाहिए। > ε ε → 0 के रूप में, लेकिन व्यवहार में यह तकनीकी है। सामान्यतः ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>) पर उनकी बाध्यता से परिणाम प्राप्त करने के लिए आगे की धारणाओं की आवश्यकता होती है I


== हिल्बर्ट रूपांतरण ==
== हिल्बर्ट रूपांतरण ==
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यह दिखाया जा सकता है कि T, ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>) पर परिबद्ध है, और 1, 1) अनुमान को संतुष्ट करते है।
यह दिखाया जा सकता है कि T, ''L<sup>p</sup>''('''R'''<sup>''n''</sup>) पर परिबद्ध है, और 1, 1) अनुमान को संतुष्ट करते है।


संपत्ति 1. यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि कनवल्शन ({{EquationNote|1}}) वितरण के साथ (गणित) # टेम्पर्ड वितरण और फूरियर ट्रांसफॉर्म पी.वी. K [[कॉची प्रिंसिपल वैल्यू]] द्वारा दिया गया
संपत्ति 1 यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि, कनवल्शन ({{EquationNote|1}}) वितरण के साथ टेम्पर्ड वितरण और फूरियर ट्रांसफॉर्म p.v. ''K''  [[कॉची प्रिंसिपल वैल्यू]] द्वारा दिया गया है:-
:<math>\operatorname{p.v.}\,\, K[\phi] = \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_{|x|>\epsilon}\phi(x)K(x)\,dx</math>
:<math>\operatorname{p.v.}\,\, K[\phi] = \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_{|x|>\epsilon}\phi(x)K(x)\,dx</math>
एल पर एक अच्छी तरह से परिभाषित [[फूरियर गुणक]] है<sup>2</उप>। गुणों में से कोई भी 1. या 2. आवश्यक रूप से सत्यापित करना आसान नहीं है, और विभिन्न प्रकार की पर्याप्त शर्तें मौजूद हैं। आम तौर पर अनुप्रयोगों में, रद्द करने की स्थिति भी होती है
''L''<sup>2</sup> पर उत्तम प्रकार से परिभाषित [[फूरियर गुणक]] है I गुणों में से कोई भी 1 या 2 आवश्यक रूप से सत्यापित करना सरल नहीं है, और विभिन्न प्रकार की पर्याप्त स्थितियाँ उपस्तिथ होती हैं। सामान्यतः अनुप्रयोगों में, रद्द करने की स्थिति भी होती है I


: <math>\int_{R_1<|x|<R_2} K(x) \, dx = 0 ,\ \forall R_1,R_2 > 0</math>
: <math>\int_{R_1<|x|<R_2} K(x) \, dx = 0 ,\ \forall R_1,R_2 > 0</math>
जिसे चेक करना काफी आसान है। यह स्वचालित है, उदाहरण के लिए, यदि K एक विषम फलन है। यदि, इसके अलावा, कोई 2. और निम्न आकार की स्थिति मानता है
जिसका परिक्षण करना सरल होता है। यह स्वचालित है, उदाहरण के लिए, यदि K विषम फलन है। यदि, इसके अतिरिक्त, कोई 2 और निम्न आकार की स्थिति मानता है:-


: <math>\sup_{R>0} \int_{R<|x|<2R} |K(x)| \, dx \leq C,</math>
: <math>\sup_{R>0} \int_{R<|x|<2R} |K(x)| \, dx \leq C,</math>
तो यह दिखाया जा सकता है कि 1. अनुसरण करता है।
तो यह दिखाया जा सकता है कि 1 अनुसरण करता है।


चिकनाई की स्थिति 2. सिद्धांत रूप में जांचना भी अक्सर मुश्किल होता है, कर्नेल K की निम्नलिखित पर्याप्त स्थिति का उपयोग किया जा सकता है:
समतलता की स्थिति 2 सिद्धांत रूप में परिक्षण करना प्रायः कठिन होता है I कर्नेल K की निम्नलिखित पर्याप्त स्थिति का उपयोग किया जा सकता है:
* <math>K\in C^1(\mathbf{R}^n\setminus\{0\})</math>
* <math>K\in C^1(\mathbf{R}^n\setminus\{0\})</math>
* <math>|\nabla K(x)|\le\frac{C}{|x|^{n+1}}</math>
* <math>|\nabla K(x)|\le\frac{C}{|x|^{n+1}}</math>
ध्यान दें कि ये शर्तें हिल्बर्ट और रिज़ ट्रांसफ़ॉर्म के लिए पूरी होती हैं, इसलिए यह परिणाम उन परिणामों का विस्तार है।<ref name = grafakos>{{Citation | last = Grafakos | first = Loukas | title = Classical and Modern Fourier Analysis | chapter = 7 | publisher = Pearson Education, Inc. | place = New Jersey| year = 2004 }}</ref>
ध्यान दें कि ये स्थिति हिल्बर्ट और रिज़ रूपांतरण के लिए पूर्ण होती हैं, इसलिए यह परिणाम उन परिणामों का विस्तार है।<ref name = grafakos>{{Citation | last = Grafakos | first = Loukas | title = Classical and Modern Fourier Analysis | chapter = 7 | publisher = Pearson Education, Inc. | place = New Jersey| year = 2004 }}</ref>





Revision as of 13:45, 24 March 2023

गणित में, एकवचन अभिन्न हार्मोनिक विश्लेषण के लिए केंद्रीय होते हैं, और आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन से घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए होते हैं। सामान्यतः एकवचन अभिन्न प्राकृतिक संकारक होते है I

जिसका कर्नेल कार्य K : Rn×RnR विकर्ण x = y के साथ गणितीय विलक्षणता है। विशेष रूप से, विलक्षणता ऐसी है कि |K(x, y)| आकार का है I |x − y|−n असमान रूप से |x − y| के रूप में → 0 होते है I चूंकि इस प्रकार के अभिन्न सामान्य रूप से पूर्णरूपेण समाकलनीय नहीं हो सकते हैं, इसलिए कठोर परिभाषा को उन्हें |y − x| पर अभिन्न की सीमा के रूप में परिभाषित करना चाहिए। > ε ε → 0 के रूप में, लेकिन व्यवहार में यह तकनीकी है। सामान्यतः Lp(Rn) पर उनकी बाध्यता से परिणाम प्राप्त करने के लिए आगे की धारणाओं की आवश्यकता होती है I

हिल्बर्ट रूपांतरण

मूलप्ररूपी एकवचन अभिन्न संचालिका का हिल्बर्ट रूपांतरण H है। यह 'R' में x के लिए कर्नेल K(x) = 1/(πx) के विरुद्ध कनवल्शन द्वारा दिया गया है।

इनमें से सीधा उच्च आयाम एनालॉग्स रिज्ज़ ट्रांसफॉर्म हैं, जो K(x) = 1/x को प्रतिस्थापित करते हैं:-

जहां i = 1, …, n और 'Rn' में x का i-वाँ घटक है I ये सभी ऑपरेटर Lp पर बंधे होते हैं, और (1, 1) अनुमानों को संतुष्ट करते हैं।[1]

कनवल्शन प्ररूप का एकवचन अभिन्न

कनवल्शन प्ररूप का एकवचन अभिन्न ऑपरेटर T है, जिसे कर्नेल K के साथ कनवल्शन द्वारा परिभाषित किया गया है, जो कि Rn\{0} पर स्थानीय रूप से एकीकृत फंक्शन है। इस प्रकार

 

 

 

 

(1)

मान लीजिए कि कर्नेल संतुष्ट करता है:

  1. K के फूरियर रूपांतरण पर आकार की स्थिति इस प्रकार है:-
  2. समतलता की स्थिति: कुछ C > 0 के लिए,

यह दिखाया जा सकता है कि T, Lp(Rn) पर परिबद्ध है, और 1, 1) अनुमान को संतुष्ट करते है।

संपत्ति 1 यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि, कनवल्शन (1) वितरण के साथ टेम्पर्ड वितरण और फूरियर ट्रांसफॉर्म p.v. K कॉची प्रिंसिपल वैल्यू द्वारा दिया गया है:-

L2 पर उत्तम प्रकार से परिभाषित फूरियर गुणक है I गुणों में से कोई भी 1 या 2 आवश्यक रूप से सत्यापित करना सरल नहीं है, और विभिन्न प्रकार की पर्याप्त स्थितियाँ उपस्तिथ होती हैं। सामान्यतः अनुप्रयोगों में, रद्द करने की स्थिति भी होती है I

जिसका परिक्षण करना सरल होता है। यह स्वचालित है, उदाहरण के लिए, यदि K विषम फलन है। यदि, इसके अतिरिक्त, कोई 2 और निम्न आकार की स्थिति मानता है:-

तो यह दिखाया जा सकता है कि 1 अनुसरण करता है।

समतलता की स्थिति 2 सिद्धांत रूप में परिक्षण करना प्रायः कठिन होता है I कर्नेल K की निम्नलिखित पर्याप्त स्थिति का उपयोग किया जा सकता है:

ध्यान दें कि ये स्थिति हिल्बर्ट और रिज़ रूपांतरण के लिए पूर्ण होती हैं, इसलिए यह परिणाम उन परिणामों का विस्तार है।[2]


== गैर-संकल्प प्रकार == के एकवचन अभिन्न

ये और भी सामान्य ऑपरेटर हैं। हालांकि, चूंकि हमारी धारणाएं इतनी कमजोर हैं, इसलिए यह जरूरी नहीं है कि ये ऑपरेटर एल पर बंधे होंपी</सुप>.

काल्डेरन-ज़िगमंड गुठली

एक समारोह K : Rn×RnR को अल्बर्टो काल्डेरन | काल्डेरोन-एंटोनी ज़िगमंड कर्नेल कहा जाता है यदि यह कुछ स्थिरांक C > 0 और δ > के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है[2]<ओल प्रकार = ए> <ली>

</ली> <ली>

</ली> <ली>

</ली> </ अल>

गैर-संक्रमण प्रकार के एकवचन अभिन्न

T को Calderón–Zygmund Kernel K से संबंधित गैर-कनवल्शन प्रकार का एकवचन इंटीग्रल ऑपरेटर कहा जाता है यदि

जब भी f और g चिकने होते हैं और उनका समर्थन अलग होता है।[2]ऐसे ऑपरेटरों को एल पर बाध्य होने की आवश्यकता नहीं हैपी</सुप>

काल्डेरन-ज़िगमंड ऑपरेटर्स

एक Calderón-Zygmund कर्नेल K से जुड़े गैर-संक्रमण प्रकार T का एक विलक्षण अभिन्न अंग एक Calderón-Zygmund ऑपरेटर कहलाता है जब यह L पर घिरा होता है।2, यानी एक C > 0 ऐसा है

सभी सुचारू रूप से समर्थित ƒ के लिए।

यह साबित किया जा सकता है कि ऐसे ऑपरेटर वास्तव में सभी एल पर भी बंधे हुए हैंp 1 < p < ∞ के साथ।

टी (बी) प्रमेय

टी (बी) प्रमेय एक एकल इंटीग्रल ऑपरेटर के लिए काल्डेरॉन-ज़िग्मंड ऑपरेटर होने के लिए पर्याप्त शर्तें प्रदान करता है, जो कि एल पर बंधे होने के लिए काल्डेरॉन-ज़िग्मंड कर्नेल से जुड़े एकवचन इंटीग्रल ऑपरेटर के लिए है।2</उप>। परिणाम बताने के लिए हमें पहले कुछ शब्दों को परिभाषित करना होगा।

सामान्यीकृत टक्कर 'R' पर एक सहज कार्य φ हैn त्रिज्या 10 की एक गेंद में समर्थित है और मूल बिंदु पर केंद्रित है जैसे कि |∂α φ(x)| ≤ 1, सभी बहु-सूचकांकों के लिए |α| ≤ n + 2. τ द्वारा निरूपित करेंx(φ)(y) = φ(y - x) और φr(एक्स) = आर−nφ(x/r) 'R' में सभी x के लिएn और r > 0। एक ऑपरेटर को कमजोर रूप से बाध्य कहा जाता है यदि एक स्थिर सी ऐसा है कि

सभी सामान्यीकृत धक्कों के लिए φ और ψ। किसी फ़ंक्शन को अभिवृद्धि कहा जाता है यदि कोई स्थिरांक c > 0 ऐसा हो कि 'R' में सभी x के लिए Re(b)(x) ≥ c हो। एम द्वारा निरूपित करेंb एक फ़ंक्शन बी द्वारा गुणन द्वारा दिया गया संकारक।

टी (बी) प्रमेय में कहा गया है कि एक काल्डेरन-ज़िग्मंड कर्नेल से जुड़ा एक विलक्षण अभिन्न संचालिका टी एल पर बंधा हुआ है2 यदि यह कुछ परिबद्ध अभिवृद्धि कार्यों के लिए निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करता है b1 और बी2:[3] <ओल प्रकार = ए> <ली> कमजोर रूप से घिरा हुआ है; <ली> परिबद्ध माध्य दोलन में है; <ली> परिबद्ध माध्य दोलन में है, जहाँ Tt T का ट्रांसपोज़ ऑपरेटर है। </ओल>

यह भी देखें

  • बंद घटता पर एकवचन अभिन्न ऑपरेटर

टिप्पणियाँ

  1. Stein, Elias (1993). "हार्मोनिक विश्लेषण". Princeton University Press.
  2. 2.0 2.1 2.2 Grafakos, Loukas (2004), "7", Classical and Modern Fourier Analysis, New Jersey: Pearson Education, Inc.
  3. David; Semmes; Journé (1985). "Opérateurs de Calderón–Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation" (in français). Vol. 1. Revista Matemática Iberoamericana. pp. 1–56.


संदर्भ


बाहरी संबंध