सममित समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत

गणित में, सममित समूह का निरूपण सिद्धांत परिमित समूहों के निरूपण सिद्धांत का एक विशेष स्थिति है, जिसके लिए एक ठोस और विस्तृत सिद्धांत प्राप्त किया जा सकता है। इसमें सममित कार्य सिद्धांत से परमाणुओं, अणुओं और ठोस पदार्थों के क्वांटम रसायन अध्ययन तक संभावित अनुप्रयोगों का एक बड़ा क्षेत्र है।

सममित समूह S_n का क्रम n! है। इसके संयुग्मन वर्गों को n के विभाजन द्वारा लेबल किया जाता है। इसलिए एक परिमित समूह के निरूपण सिद्धांत के अनुसार, सम्मिश्र संख्याओं के ऊपर असमान अखंडनीय निरूपण की संख्या n के विभाजन की संख्या के समतुल्य है। परिमित समूहों के लिए सामान्य स्थिति के विपरीत, वास्तव में समान समुच्चय द्वारा असमान अखंडनीय निरूपण को पैरामीट्रिज करने का एक प्राकृतिक तरीका है , अर्थात् n के विभाजन या आकार n के समकक्ष यंग आरेखों द्वारा जो संयुग्मन वर्गों को पैरामीट्रिज करता है

इस तरह के प्रत्येक अखंडनीय निरूपण को वास्तव में पूर्णांकों पर सिद्ध किया जा सकता है (प्रत्येक क्रमपरिवर्तन पूर्णांक गुणांक वाले आव्यूह द्वारा कार्य करता है); यंग आरेख द्वारा दिए गए आकार के यंग सारणी द्वारा उत्पन्न समष्टि पर कार्य करने वाले यंग समरूपताओं की गणना करके इसे स्पष्ट रूप से निर्मित किया जा सकता है। आयाम $d_{\lambda }$ जो यंग आरेख $\lambda$ से संबंधित हुक लंबाई सूत्र द्वारा दिया जाता है।

प्रत्येक अखंडनीय निरूपण के लिए ρ हम एक अलघुकरणीय वर्ण, χ^ρ को जोड़ सकते हैं। अतः χ^ρ(π) की गणना करने के लिए जहां π एक क्रमचय है, कोई संयोजी मुर्नाघन-नाकायामा नियम का उपयोग कर सकता है। ^{ध्यान दें कि χρ संयुग्मन वर्गों पर स्थिर है जो सभी क्रमपरिवर्तन σ के लिए χρ(π) = χρ(σ−1πσ) है।}

अन्य क्षेत्रों (गणित) की तुलना में स्थिति और अधिक सम्मिश्र हो सकती है। यदि क्षेत्र K की विशेषता (बीजगणित) शून्य के समतुल्य या n से अधिक है तो मस्के के प्रमेय द्वारा समूह वलय KS_n अर्धसरल है। इन स्थिति में पूर्णांकों पर परिभाषित (यदि आवश्यक हो तो विशेषताओं को कम करने के बाद) अलघुकरणीय निरूपणों का पूर्ण समुच्चय देते हैं ।

हालाँकि, सममित समूह के अलघुकरणीय निरूपण यादृच्छिक विशेषता में ज्ञात नहीं हैं। इस संदर्भ में निरूपण के अतिरिक्त प्रतिरूपक (गणित) की भाषा का उपयोग करना अधिक सामान्य है। मापांक को कम करके पूर्णांकों पर परिभाषित एक अलघुकरणीय निरूपण से प्राप्त निरूपण सामान्य रूप से अप्रासंगिक नहीं होगा। इस तरह से बनाए गए प्रतिरूपक को स्पेक्ट मॉड्यूल कहा जाता है, और ऐसे प्रतिरूपक के अंदर हर अलघुकरणीय उत्पन्न होता है। अब बहुत कम अलघुकरणीय हैं, और हालांकि उन्हें वर्गीकृत किया जा सकता है लेकिन उन्हें बहुत कम समझा जाता है। उदाहरण के लिए, यहां तक ​​कि उनके आयाम (वेक्टर समष्टि) भी सामान्य रूप से ज्ञात नहीं हैं।

यादृच्छिक क्षेत्र पर सममित समूह के लिए अलघुकरणीय प्रतिरूपक का निर्धारण व्यापक रूप से निरूपण सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण खुली समस्याओं में से एक माना जाता है।

निम्न-आयामी निरूपण

सममित समूह

सममित समूहों के निम्नतम-आयामी निरूपण को स्पष्ट रूप से और यादृच्छिक क्षेत्रों पर वर्णित किया जा सकता है, विशेषता शून्य में सबसे छोटी दो प्रकार यहाँ वर्णित हैं:

प्रत्येक सममित समूह का एक आयामी निरूपण होता है जिसे सामान्य निरूपण कहा जाता है, जहां प्रत्येक तत्व एक-एक सर्वसम आव्यूह के रूप में कार्य करता है। n ≥ 2 के लिए, क्रम 1 का एक और अलघुकरणीय निरूपण है, जिसे संकेत निरूपण या प्रत्यावर्ती अंक कहा जाता है, जो क्रमपरिवर्तन के संकेत के आधार पर प्रविष्टि ±1 के साथ एक आव्यूह द्वारा क्रमपरिवर्तन लेता है। ये सममित समूहों के केवल एक आयामी निरूपण हैं, क्योंकि एक आयामी निरूपण एबेलियन हैं, और सममित समूह का एबेलियनकरण C₂ क्रम 2 का चक्रीय समूह है।

सभी n के लिए, क्रम n! के सममित समूह का एक n-आयामी निरूपण है, जिसे 'प्राकृतिक क्रमचय निरूपण' कहा जाता है, जिसमें n निर्देशांकों की स्वीकृति सम्मिलित है। इसमें सामान्य उपनिरूपण है जिसमें वैक्टर सम्मिलित हैं जिनके निर्देशांक सभी समान हैं। लंबकोणीय पूरक में वे वैक्टर होते हैं जिनके निर्देशांक शून्य और जब n ≥ 2 होते हैं, इस उप-समष्टि पर निरूपण (n − 1)-आयामी अलघुकरणीय निरूपण, मानक निरूपण कहा जाता है। एक अन्य (n − 1)-आयामी अलघुकरणीय निरूपण चिह्न निरूपण के साथ प्रदिश द्वारा पाया जाता है। मानक निरूपण $\Lambda ^{k}V$ की एक बाहरी घात $V$ अलघुकरणीय है, यदि $0\leq k\leq n-1$ हो। (फुल्टन एंड हैरिस 2004)

n ≥ 7 के लिए, ये S_n के निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय निरूपण हैं - अन्य सभी अलघुकरणीय निरूपणों का कम से कम n आयाम है। हालांकि n = 4 , S₄ से S₃ तक प्रक्षेपण S₄ द्वि-आयामी अलघुकरणीय निरूपण प्राप्त करने के लिए की स्वीकृति देता है। n = 6 के लिए, S₅ का असाधारण संक्रमणीय अंत:स्थापन S₆ में पांच आयामी अलघुकरणीय निरूपण की एक अन्य युग्म का उत्पादन करता है।

$S_{n}$ का अलघुकरणीय निरूपण	आयाम	$n$ आकार का यंग आरेख
सामान्य निरूपण	$1$	$(n)$
संकेत निरूपण	$1$	$(1^{n})=(1,1,\dots ,1)$
मानक निरूपण $V$	$n-1$	$(n-1,1)$
बाहरी घात $\Lambda ^{k}V$	${\binom {n-1}{k}}$	$(n-k,1^{k})$

प्रत्यावर्ती समूह

पाँच चतुष्फलक का मेल, जिस पर A₅ कार्य करता है, एक 3-आयामी प्रतिनिधित्व दे रहा है।

प्रत्यावर्ती समूह का निरूपण सिद्धांत समान है, हालांकि संकेत निरूपण गायब हो जाता है। के लिए n ≥ 7, निम्नतम-आयामी अलघुकरणीय निरूपण आयाम एक में सामान्य निरूपण हैं, और {{nowrap|(n − 1)}क्रमचय निरूपण के अन्य योग से }-आयामी निरूपण, उच्च आयाम वाले अन्य सभी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्वों के साथ, लेकिन छोटे n के लिए अपवाद हैं।

के लिए प्रत्यावर्ती समूह n ≥ 5 में केवल एक आयामी अलघुकरणीय निरूपण है, सामान्य निरूपण। के लिए n = 3, 4 ऑर्डर 3 के चक्रीय समूह के मानचित्रों के अनुरूप दो अतिरिक्त एक-आयामी अलघुकरणीय निरूपण हैं: A₃ ≅ C₃ और A₄ → A₄/V ≅ C₃.

• के लिए n ≥ 7, डिग्री का सिर्फ एक अलघुकरणीय निरूपण है n − 1, और यह एक गैर-सामान्य अलघुकरणीय निरूपण की सबसे छोटी डिग्री है।
• के लिए n = 3 का स्पष्ट अनुरूप (n − 1)-आयामी निरूपण कम हो जाता है - क्रमपरिवर्तन निरूपण नियमित निरूपण के साथ मेल खाता है, और इस प्रकार तीन एक-आयामी प्रतिनिधित्वों में टूट जाता है, जैसा कि A₃ ≅ C₃ एबेलियन है; चक्रीय समूहों के निरूपण सिद्धांत के लिए असतत फूरियर रूपांतरण देखें।
• के लिए n = 4, सिर्फ एक है n − 1 अलघुकरणीय निरूपण, लेकिन आयाम 1 के असाधारण अलघुकरणीय निरूपण हैं।
• के लिए n = 5, आइकोसाहेड्रल समरूपता के रूप में इसकी क्रिया के अनुरूप, आयाम 3 के दो दोहरे अलघुकरणीय निरूपण हैं।
• के लिए n = 6, ए के असाधारण सकर्मक एम्बेडिंग के अनुरूप आयाम 5 का एक अतिरिक्त अखंडनीय निरूपण है₅ में एक₆.

निरूपण के टेंसर उत्पाद

क्रोनकर गुणांक

के दो निरूपण के निरूपण का टेन्सर उत्पाद $S_{n}$ यंग डायग्राम के अनुरूप $\lambda ,\mu$ के अलघुकरणीय निरूपण का संयोजन है $S_{n}$,

$V_{\lambda }\otimes V_{\mu }\cong \sum _{\nu }C_{\lambda ,\mu ,\nu }V_{\nu }$

गुणांक $C_{\lambda \mu \nu }\in \mathbb {N}$ सममित समूह के क्रोनेकर गुणांक कहलाते हैं। उनकी गणना निरूपण के अंक सिद्धांत से की जा सकती है (Fulton & Harris 2004):

$C_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\rho }{\frac {1}{z_{\rho }}}\chi _{\lambda }(C_{\rho })\chi _{\mu }(C_{\rho })\chi _{\nu }(C_{\rho })$

योग विभाजन खत्म हो गया है $\rho$ का $n$, साथ $C_{\rho }$ संगत संयुग्मन वर्ग। पात्रों का मान $\chi _{\lambda }(C_{\rho })$ फ्रोबेनियस सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है। गुणांक $z_{\rho }$ हैं

$z_{\rho }=\prod _{j=0}^{n}j^{i_{j}}i_{j}!={\frac {n!}{|C_{\rho }|}}$

कहाँ $i_{j}$ बार की संख्या है $j$ प्रकट होता है $\rho$, ताकि $\sum i_{j}j=n$.

यंग डायग्राम के संदर्भ में लिखे गए कुछ उदाहरण (Hamermesh 1989):

$(n-1,1)\otimes (n-1,1)\cong (n)+(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)$

$(n-1,1)\otimes (n-2,2){\underset {n>4}{\cong }}(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)+(n-3,2,1)$

$(n-1,1)\otimes (n-2,1,1)\cong (n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)$

${\begin{aligned}(n-2,2)\otimes (n-2,2)\cong &(n)+(n-1,1)+2(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)\\&+2(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)+(n-4,4)+(n-4,3,1)+(n-4,2,2)\end{aligned}}$

कंप्यूटिंग के लिए एक सरल नियम है $(n-1,1)\otimes \lambda$ किसी भी यंग आरेख के लिए $\lambda$ (Hamermesh 1989): परिणाम उन सभी यंग आरेखों का योग है जो इससे प्राप्त किए गए हैं $\lambda$ एक बॉक्स को हटाकर और फिर एक बॉक्स को जोड़कर, जहां को छोड़कर गुणांक एक हैं $\lambda$ स्वयं, जिसका गुणांक है $\#\{\lambda _{i}\}-1$, यानी, अलग-अलग पंक्तियों की लंबाई में से एक घटाकर संख्या।

के अलघुकरणीय घटकों पर एक बाधा $V_{\lambda }\otimes V_{\mu }$ है (James & Kerber 1981)

$C_{\lambda ,\mu ,\nu }>0\implies |d_{\lambda }-d_{\mu }|\leq d_{\nu }\leq d_{\lambda }+d_{\mu }$

जहां गहराई $d_{\lambda }=n-\lambda _{1}$ यंग डायग्राम की संख्या उन बक्सों की संख्या है जो पहली पंक्ति से संबंधित नहीं हैं।

कम क्रोनकर गुणांक

के लिए $\lambda$ एक यंग आरेख और $n\geq \lambda _{1}$, $\lambda [n]=(n-|\lambda |,\lambda )$ आकार का एक यंग आरेख है $n$. तब $C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$ का एक बंधा हुआ, गैर-घटता कार्य है $n$, और

${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\lim _{n\to \infty }C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$

एक कम क्रोनकर गुणांक कहा जाता हैया स्थिर क्रोनकर गुणांक।के मूल्य पर ज्ञात सीमाएँ हैं $n$ कहाँ $C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}$ अपनी सीमा तक पहुँचता है।घटे हुए क्रोनकर गुणांकों के निरूपण की Deligne श्रेणियों के संरचना स्थिरांक हैं $S_{n}$ साथ $n\in \mathbb {C} -\mathbb {N}$. क्रोनकर गुणांकों के विपरीत, घटे हुए क्रोनकर गुणांकों को यंग आरेखों के किसी भी ट्रिपल के लिए परिभाषित किया गया है, जरूरी नहीं कि समान आकार का हो। अगर $|\nu |=|\lambda |+|\mu |$, तब ${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }$ लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक के साथ मेल खाता है $c_{\lambda ,\mu }^{\nu }$.कम क्रोनकर गुणांकों को सममित कार्यों के स्थान में आधारों के परिवर्तन के माध्यम से लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जा सकता है, जो अभिव्यक्तियों को जन्म देते हैं जो स्पष्ट रूप से अभिन्न हैं, हालांकि प्रकट रूप से सकारात्मक नहीं हैं।घटे हुए क्रोनकर गुणांकों को क्रोनकर और लिटलवुड-रिचर्डसन गुणांकों के रूप में भी लिखा जा सकता है। $c_{\alpha \beta \gamma }^{\lambda }$ लिटिलवुड के सूत्र के माध्यम से:${\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\lambda ',\mu ',\nu ',\alpha ,\beta ,\gamma }C_{\lambda ',\mu ',\nu '}c_{\lambda '\beta \gamma }^{\lambda }c_{\mu '\alpha \gamma }^{\mu }c_{\nu '\alpha \beta }^{\nu }$ इसके विपरीत, कम क्रोनकर गुणांकों के रैखिक संयोजनों के रूप में क्रोनकर गुणांकों को पुनर्प्राप्त करना संभव है।

कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली SageMath में घटे हुए क्रोनकर गुणांक लागू किए गए हैं।

सम्मिश्र निरूपण के आइगेनवेल्यू

एक तत्व दिया $w\in S_{n}$ चक्र-प्रकार का $\mu =(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{k})$ और आदेश $m={\text{lcm}}(\mu _{i})$, के eigenvalues $w$ के एक सम्मिश्र निरूपण में $S_{n}$ प्रकार के हैं $\omega ^{e_{j}}$ साथ $\omega =e^{\frac {2\pi i}{m}}$, जहां पूर्णांक $e_{j}\in {\frac {\mathbb {Z} }{m\mathbb {Z} }}$ के चक्रीय घातांक कहलाते हैं $w$ निरूपण के संबंध में।

सममित समूह (और पुष्पांजलि उत्पादों) के चक्रीय प्रतिपादकों का एक संयोजी विवरण है। परिभाषित $\left(b_{\mu }(1),\dots ,b_{\mu }(n)\right)=\left({\frac {m}{\mu _{1}}},2{\frac {m}{\mu _{1}}},\dots ,m,{\frac {m}{\mu _{2}}},2{\frac {m}{\mu _{2}}},\dots ,m,\dots \right)$, होने दें $\mu$-इंडेक्स ऑफ ए यंग_टेबलाऊ#टेबलॉक्स के मानों का योग हो $b_{\mu }$ सारणी के अवतरण पर, ${\text{ind}}_{\mu }(T)=\sum _{k\in \{{\text{descents}}(T)\}}b_{\mu }(k){\bmod {m}}$. फिर के निरूपण के चक्रीय घातांक $S_{n}$ यंग आरेख द्वारा वर्णित $\lambda$ हैं $\mu$इसी यंग सारणी के सूचकांक। विशेष रूप से, अगर $w$ आदेश का है $n$, तब $b_{\mu }(k)=k$, और ${\text{ind}}_{\mu }(T)$ के प्रमुख सूचकांक के साथ मेल खाता है $T$ (अवरोही का योग)। एक अलघुकरणीय निरूपण के चक्रीय घातांक $S_{n}$ फिर चक्रीय समूह के निरूपण में प्रतिबंधित_प्रतिनिधित्व का वर्णन करें ${\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}$, साथ $\omega ^{e_{j}}$ की छवि के रूप में व्याख्या की जा रही है $w$ द्वारा विशेषता (एक आयामी) निरूपण में $e_{j}$.

यह भी देखें

• प्रत्यावर्ती बहुपद
• सममित बहुपद
• मैं काम कर रहा हूं
• रॉबिन्सन-शेंस्टेड पत्राचार
• शूर-वेइल द्वैत
• जूसी-मर्फी तत्व
• गरनिर संबंध

उद्धृत प्रकाशन

• Fulton, William; Harris, Joe (2004). "Representation Theory". गणित में स्नातक ग्रंथ. New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN 0072-5285.
• Hamermesh, M (1989). समूह सिद्धांत और शारीरिक समस्याओं के लिए इसका अनुप्रयोग. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-66181-4. OCLC 20218471.
• James, Gordon; Kerber, Adalbert (1981), The representation theory of the symmetric group, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 16, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., ISBN 978-0-201-13515-2, MR 0644144
• James, G. D. (1983), "On the minimal dimensions of irreducible representations of symmetric groups", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 94 (3): 417–424, Bibcode:1983MPCPS..94..417J, doi:10.1017/S0305004100000803, ISSN 0305-0041, MR 0720791

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