कांग्रुम

पैर और कर्ण (7,13) और (13,17) के साथ दो समकोण त्रिभुजों की लंबाई ${\sqrt {120}}$ की तीसरी भुजा के बराबर है। इस भुजा का वर्ग, 120, एक सर्वांगसम है: यह अंकगणितीय प्रगति में लगातार मानों के बीच का अंतर है। वर्गों की संख्या 72, 132, 172। समतुल्य रूप से, तीन पीले वृत्तों के बीच के दो वलय (गणित) का क्षेत्रफल समान क्षेत्रफल π गुणा सर्वांगसम होता है।

संख्या सिद्धांत में, एक सर्वांगसम (बहुवचन सर्वांगसम) तीन वर्गों की अंकगणितीय प्रगति में क्रमिक वर्ग संख्याओं के बीच दो वर्गों का अंतर है।

अर्थात् यदि $x^{2}$, $y^{2}$, और $z^{2}$ (पूर्णांक के लिए $x$, $y$, और $z$) तीन वर्ग संख्याएँ हैं जो एक दूसरे से समान दूरी पर हैं, तो उनके बीच की दूरी, $z^{2}-y^{2}=y^{2}-x^{2}$, को एक सर्वांगसम कहा जाता है।

सर्वांगसमता समस्या समांतर श्रेढ़ी में वर्ग ज्ञात करने और उनसे संबंधित सर्वांगसमता की समस्या है। इसे डायोफैंटाइन समीकरण के रूप में औपचारिक रूप दिया जा सकता है: जैसे कि पूर्णांक $x$, $y$, और $z$ को खोजें

$$y^{2}-x^{2}=z^{2}-y^{2}.$$

जब यह समीकरण संतुष्ट हो जाता है, तो समीकरण के दोनों पक्ष सर्वांगसम के बराबर होते हैं।

फाइबोनैचि ने सभी सर्वांगसमता को उनके संबंधित अंकगणितीय प्रगति के साथ उत्पन्न करने के लिए एक पैरामिट्रीकृत सूत्र ढूंढकर सर्वांगसम समस्या का समाधान किया। इस सूत्र के अनुसार, प्रत्येक सर्वांगसम पाइथागोरस त्रिभुज के क्षेत्रफल का चार गुना है। सर्वांगसम भी सर्वांगसम संख्याओं के साथ निकटता से जुड़े हुए हैं: प्रत्येक सर्वांगसम एक सर्वांगसम संख्या है, और प्रत्येक सर्वांगसम संख्या एक परिमेय संख्या के वर्ग द्वारा गुणा की गई सर्वांगसम होती है।

उदाहरण

एक उदाहरण के रूप में, संख्या 96 एक सर्वांगसम है क्योंकि यह क्रम 4, 100 और 196 (क्रमशः 2, 10 और 14 के वर्ग) में आसन्न वर्गों के बीच का अंतर है।

पहले कुछ सर्वांगसम हैं:

24, 96, 120, 216, 240, 336, 384, 480, 600, 720 … (sequence A256418 in the OEIS).

इतिहास

सर्वांगसम समस्या मूल रूप से 1225 में फ्रेडरिक II, पवित्र रोमन सम्राट द्वारा आयोजित एक गणितीय टूर्नामेंट के हिस्से के रूप में सामने आई थी, और उस समय फिबोनाची द्वारा सही उत्तर दिया गया था, जिन्होंने इस समस्या पर अपने वर्गों की पुस्तक में अपना काम अंकित किया था।

फाइबोनैचि को पहले से ही पता था कि एक सर्वांगसम का स्वयं एक वर्ग होना असंभव है, लेकिन उन्होंने इस तथ्य का संतोषजनक प्रमाण नहीं दिया था। ज्यामितीय रूप से, इसका अर्थ यह है कि पायथागॉरियन त्रिभुज के भुजाओं की जोड़ी के लिए यह संभव नहीं है कि वह किसी अन्य पायथागॉरियन त्रिकोण का भुजा और कर्ण हो। अंततः पियरे डी फर्मेट द्वारा एक प्रमाण दिया गया था, और परिणाम अब फर्मेट के सही त्रिकोण प्रमेय के रूप में जाना जाता है। फ़र्मेट ने भी अनुमान लगाया, और लियोनहार्ड यूलर ने प्रमाण किया कि अंकगणितीय प्रगति में चार वर्गों का कोई क्रम नहीं है।

पैरामीटरयुक्त समाधान

दो अलग-अलग धनात्मक पूर्णांक $m$ और $n$ (साथ $m>n$) चुनकर सर्वांगसम समस्या का समाधान किया जा सकता है; तो संख्या $4mn(m^{2}-n^{2})$ एक सर्वांगसम है। वर्गों की संबंधित अंकगणितीय प्रगति का मध्य वर्ग $(m^{2}+n^{2})^{2}$ है, और अन्य दो वर्ग सर्वांगसम को जोड़कर या घटाकर प्राप्त किए जा सकते हैं। इसके अतिरिक्त, एक सर्वांगसम को एक वर्ग संख्या से गुणा करने पर एक अन्य सर्वांगसम उत्पन्न होता है, जिसके वर्गों की प्रगति को उसी गुणक से गुणा किया जाता है। सभी समाधान इन दो विधियों में से एक में उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, इन सूत्रों द्वारा $m=3$ और $n=1$ के साथ सर्वांगसम 96 का निर्माण किया जा सकता है, जबकि सर्वांगसम 216 छोटी सर्वांगसम 24 को वर्ग संख्या 9 से गुणा करने पर प्राप्त होती है।

बर्नार्ड फ्रेनिकल डी बेस्सी द्वारा दिए गए इस समाधान का एक समकक्ष सूत्रीकरण यह है कि अंकगणितीय प्रगति में तीन वर्गों के लिए $x^{2}$, $y^{2}$, और $z^{2}$, मध्य संख्या $y$ एक पाइथागोरस त्रिभुज और अन्य दो संख्याओं का कर्ण है $x$ और $z$ त्रिभुज के दो पैरों का क्रमशः अंतर और योग है। सर्वांगसम उसी पाइथागोरस त्रिभुज के क्षेत्रफल का चार गुना है। सर्वांगसम 96 के साथ एक अंकगणितीय प्रगति का उदाहरण इस तरह से एक समकोण त्रिभुज से प्राप्त किया जा सकता है जिसकी भुजाएँ और कर्ण लंबाई 6, 8, और 10 हैं।

सर्वांगसम संख्याओं से संबंध

एक सर्वांगसम संख्या को परिमेय भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।

क्योंकि प्रत्येक सर्वांगसम को पायथागॉरियन त्रिभुज के क्षेत्र के रूप में (पैरामीटरीकृत समाधान का उपयोग करके) प्राप्त किया जा सकता है, यह इस बात का अनुसरण करता है कि प्रत्येक सर्वांगसम सर्वांगसम है। इसके विपरीत, प्रत्येक सर्वांगसम संख्या एक परिमेय संख्या के वर्ग द्वारा गुणा की गई सर्वांगसम होती है। चूँकि, यह परीक्षण करना कि क्या कोई संख्या एक सर्वांगसम है, यह जाँचने की तुलना में बहुत आसान है कि कोई संख्या सर्वांगसम है या नहीं हैं। सर्वांगसम समस्या के लिए, पैरामिट्रीकृत समाधान इस परीक्षण समस्या को पैरामीटर मानों के परिमित समूह की जाँच करने के लिए कम कर देता है। इसके विपरीत, सर्वांगसम संख्या समस्या के लिए, एक परिमित परीक्षण प्रक्रिया को केवल अनुमानित तौर पर जाना जाता है, टनल के प्रमेय के माध्यम से, इस धारणा के तहत कि बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान सत्य है।

यह भी देखें

• ऑटोमेडियन त्रिभुज, एक त्रिकोण जिसके लिए तीन तरफ के वर्ग एक अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं
• थियोडोरस का सर्पिल, समकोण त्रिभुजों से बनता है, जिनकी (गैर-पूर्णांक) भुजाएँ, जब वर्गित होती हैं, एक अनंत अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W., "Congruum Problem", MathWorld