यूलर ईंट: Difference between revisions

Revision as of 18:42, 23 March 2023

गणित में, एक ऑयलर ईंट, जिसका नाम लियोनहार्ड ऑयलर के नाम पर रखा गया है, एक आयताकार घनाभ है जिसके किनारों और फलक विकर्णों की लंबाई पूर्णांक होती है। एक अभाज्य ऑयलर ईंट एक ऑयलर ईंट होती है जिसके किनारे की लंबाई सापेक्षतः अभाज्य होती है। एक पूर्ण ऑयलर ईंट वह है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी एक पूर्णांक हो, लेकिन ऐसी ईंट अभी तक नहीं मिली है।

परिभाषा

ज्यामितीय पदों में ऑयलर ईंट की परिभाषा डायोफैंटिन समीकरणों की निम्नलिखित पद्धति के समाधान के बराबर है:

{\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}

जहाँ $a, b, c$ किनारे हैं और $d, e, f$ विकर्ण हैं।

गुण

यदि $(a, b, c)$ एक समाधान है, तो $(ka, kb, kc)$ भी किसी भी (k)का एक समाधान है। अतः,परिमेय संख्याओं में समाधान पूर्णांक समाधानों के सभी पुनर्विक्रय हैं। किनारे-लंबाई $(a, b, c)$ के साथ एक ऑयलर ईंट को देखते हुए, त्रिक $(bc, ac, ab)$ भी एक ऑयलर ईंट बनाता है।^[1]^{: p. 106}

एक आदिम यूलर ईंट का ठीक एक किनारा और दो फलक विकर्ण विषम होते हैं।

एक यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 3 से विभाज्य होते हैं।^[1]^{: p. 106}

एक यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 4 से विभाज्य होते हैं।^[1]^{: p. 106}

यूलर ईंट का कम से कम एक किनारा 11 से विभाज्य है।^[1]^{: p. 106}

उदाहरण

1719 में पॉल हल्के द्वारा खोजी गई सबसे छोटी यूलर ईंट में किनारे हैं $(a, b, c) = (44, 117, 240)$ और विकर्णों का सामना करें $(d, e, f) = (125, 244, 267)$ .^[2] किनारों के रूप में दिए गए कुछ अन्य छोटे आदिम समाधान $(a, b, c)$ - विकर्णों का सामना करें $(d, e, f)$ , नीचे हैं:

1000 से कम आयामों वाली सभी पांच आदिम यूलर ईंटें

:{| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"

|(|| 85,|| 132,|| 720||) — (|| 157,|| 725,|| 732||) |- |(||140,|| 480,|| 693||) — (|| 500,|| 707,|| 843||) |- |(||160,|| 231,|| 792||) — (|| 281,|| 808,|| 825||) |- |(||187,||1020,||1584||) — (||1037,||1595,||1884||) |- |(||195,|| 748,||6336||) — (|| 773,||6339,||6380||) |- |(||240,|| 252,|| 275||) — (|| 348,|| 365,|| 373||) |- |(||429,|| 880,||2340||) — (|| 979,||2379,||2500||) |- |(||495,||4888,||8160||) — (||4913,||8175,||9512||) |- |(||528,||5796,||6325||) — (||5820,||6347,||8579||) |}

सूत्र बनाना

यूलर ने समस्या के कम से कम दो पैरामीट्रिक समाधान खोजे, लेकिन दोनों में से कोई भी सभी समाधान नहीं देता।^[3] निकोलस सौंडरसन के साथ अनंत यूलर ईंटें उत्पन्न की जा सकती हैं^[4] पैरामीट्रिक सूत्र। होने देना $(u, v, w)$ एक पायथागॉरियन ट्रिपल बनें (यानी, $u 2 + v 2 = w 2$ ।) तब^[1]^: 105 किनारे

a=u|4v^{2}-w^{2}|,\quad b=v|4u^{2}-w^{2}|,\quad c=4uvw

चेहरा विकर्ण दें

d=w^{3},\quad e=u(4v^{2}+w^{2}),\quad f=v(4u^{2}+w^{2}).

कई यूलर ईंटें हैं जो ऊपर की तरह पैरामीट्रिज्ड नहीं हैं, उदाहरण के लिए किनारों वाली यूलर ईंट $(a, b, c) = (240, 252, 275)$ और विकर्णों का सामना करें $(d, e, f) = (348, 365, 373)$ .

पूर्ण घनाभ

Unsolved problem in mathematics:

Does a perfect cuboid exist?

(more unsolved problems in mathematics)

एक पूर्ण घनाभ (जिसे एक पूर्ण यूलर ईंट या संपूर्ण बॉक्स भी कहा जाता है) एक यूलर ईंट है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी पूर्णांक लंबाई का होता है। दूसरे शब्दों में, यूलर ईंट को परिभाषित करने वाले डायोफैंटाइन समीकरणों की प्रणाली में निम्नलिखित समीकरण जोड़ा गया है:

a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2},

कहाँ $g$ अंतरिक्ष विकर्ण है। As of September 2020^[update], एक पूर्ण घनाभ का कोई उदाहरण नहीं मिला था और किसी ने भी यह सिद्ध नहीं किया है कि कोई भी अस्तित्व में नहीं है।^[5]

किनारों के साथ यूलर ईंट

a, b, c

और विकर्णों का सामना करें

d, e, f

संपूर्ण कंप्यूटर खोजों से पता चलता है कि, यदि एक पूर्ण घनाभ मौजूद है,

विषम किनारा 2.5 × 10 से अधिक होना चाहिए¹³,^[5]
सबसे छोटा किनारा इससे बड़ा होना चाहिए 5×10¹¹.^[5]* अंतरिक्ष का विकर्ण 9 × 10 से अधिक होना चाहिए¹⁵.^[6]

मॉड्यूलर अंकगणित के आधार पर, गुणों के बारे में कुछ तथ्यों को जाना जाता है, जो एक आदिम पूर्ण घनाभ से संतुष्ट होना चाहिए, यदि कोई मौजूद है:^[7]

एक किनारा, दो फलक विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण विषम होना चाहिए, एक किनारा और शेष फलक विकर्ण 4 से विभाज्य होना चाहिए, और शेष किनारा 16 से विभाज्य होना चाहिए।
दो किनारों की लंबाई 3 से विभाज्य होनी चाहिए और उनमें से कम से कम एक किनारे की लंबाई 9 से विभाज्य होनी चाहिए।
एक किनारे की लंबाई 5 से विभाज्य होनी चाहिए।
एक किनारे की लंबाई 7 से विभाज्य होनी चाहिए।
एक किनारे की लंबाई 11 से विभाज्य होनी चाहिए।
एक किनारे की लंबाई 19 से विभाज्य होनी चाहिए।
एक किनारे या अंतरिक्ष का विकर्ण 13 से विभाज्य होना चाहिए।
एक किनारा, चेहरा विकर्ण या अंतरिक्ष विकर्ण 17 से विभाज्य होना चाहिए।
एक किनारा, चेहरा विकर्ण या अंतरिक्ष विकर्ण 29 से विभाज्य होना चाहिए।
एक किनारा, चेहरा विकर्ण या अंतरिक्ष विकर्ण 37 से विभाज्य होना चाहिए।

इसके साथ ही:

अंतरिक्ष का विकर्ण न तो प्रधान शक्ति है और न ही अर्धप्राइम।^[8]^{: p. 579}
अंतरिक्ष विकर्ण में केवल अभाज्य विभाजक ≡ 1(mod 4) हो सकते हैं।^[8]^{: p. 566}^[9]

यदि एक पूर्ण घनाभ मौजूद है और $a,b,c$ उसके किनारे हैं, $d,e,f$ - संबंधित चेहरा विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण $g$ , तब

भुजाओं की लंबाई वाला त्रिभुज $(d^{2},e^{2},f^{2})$ एक हेरोनियन त्रिभुज एक क्षेत्र है $abcg$ तर्कसंगत कोण द्विभाजक के साथ।^[10]
पक्ष की लंबाई के साथ तीव्र त्रिभुज $(af,be,cd)$ , भुजाओं की लंबाई के साथ अधिक त्रिभुज $(bf,ae,gd),(ad,cf,ge),(ce,bd,gf)$ हेरोनियन त्रिभुज हैं, जिनका क्षेत्रफल बराबर है ${\frac {abcg}{2}}$ .

घनाभ अनुमान

तीन घनाभ अनुमान तीन गणित प्रस्ताव हैं जो कई पूर्णांक मापदंडों के आधार पर पूर्णांक गुणांक वाले तीन अविभाज्य बहुपदों के अलघुकरणीय बहुपद का दावा करते हैं। अनुमान #परफेक्ट क्यूबॉइड समस्या से संबंधित हैं।^[11]^[12] हालांकि वे पूर्ण घनाभ समस्या के समतुल्य नहीं हैं, यदि ये तीनों अनुमान मान्य हैं, तो कोई भी पूर्ण घनाभ मौजूद नहीं है। वे न तो सिद्ध होते हैं और न ही असिद्ध।

घनाभ अनुमान 1. किसी भी दो धनात्मक सहअभाज्य पूर्णांक संख्याओं के लिए $a\neq u$ आठवीं डिग्री बहुपद

P_{au}(t)=t^{8}+6\,(u^{2}-a^{2})\,t^{6}+(a^{4}-4\,a^{2}\,u^{2}+u^{4})\,t^{4}-6\,a^{2}\,u^{2}\,(u^{2}-a^{2})\,t^{2}+u^{4}\,a^{4}

(1)

पूर्णांकों के वलय (गणित) पर अप्रासंगिक है $\mathbb {Z}$ .

'घनाभ अनुमान 2.' किन्हीं दो धनात्मक सह अभाज्य पूर्णांक संख्याओं के लिए $p\neq q$ दसवीं डिग्री बहुपद

{\begin{aligned}Q_{pq}(t)={}&t^{10}+(2q^{2}+p^{2})(3q^{2}-2p^{2})t^{8}\\[4pt]&{}+(q^{8}+10p^{2}q^{6}+4p^{4}q^{4}-14p^{6}q^{2}+p^{8})t^{6}\\[4pt]&{}-p^{2}q^{2}(q^{8}-14p^{2}q^{6}+4p^{4}q^{4}+10p^{6}\,q^{2}+p^{8})t^{4}\\[4pt]&{}-p^{6}\,q^{6}\,(q^{2}+2\,p^{2})\,(-2\,q^{2}+3\,p^{2})\,t^{2}\\[4pt]&{}-q^{10}\,p^{10}\end{aligned}}

(2)

पूर्णांकों के वलय पर अलघुकरणीय है $\mathbb {Z}$ .

'घनाभ अनुमान 3.' किन्हीं तीन धनात्मक सह अभाज्य पूर्णांक संख्याओं के लिए $a$ , $b$ , $u$ जैसे कि कोई शर्त नहीं

{\begin{array}{lcr}{\text{1)}}\qquad a=b;\qquad \qquad &{\text{3)}}\qquad b\,u=a^{2};\qquad \qquad &{\text{5)}}\qquad a=u;\\{\text{2)}}\qquad a=b=u;\qquad \qquad &{\text{4)}}\qquad a\,u=b^{2};\qquad \qquad &{\text{6)}}\qquad b=u\end{array}}

(3)

बारहवीं डिग्री बहुपद पूरा हो गया है

\begin{aligned} P_{a b u} (t) = & t^{12} + (6 u^{2} - 2 a^{2} - 2 b^{2}) t^{10} \\ + (u^{4} + b^{4} + a^{4} + 4 a^{2} u^{2} + 4 b^{2} u^{2} - 12 b^{2} a^{2}) t^{8} \\ + (6 a^{4} u^{2} + 6 u^{2} b^{4} - 8 a^{2} b^{2} u^{2} - 2 u^{4} a^{2} - 2 u^{4} b^{2} - 2 a^{4} b^{2} - 2 b^{4} a^{2}) t^{6} \\ + (4 u^{2} b^{4} a^{2} + 4 a^{4} u^{2} b^{2} - 12 u^{4} a^{2} b^{2} + u^{4} a^{4} + u^{4} b^{4} + a^{4} b^{4}) t^{4} \\ + (6 a^{4} u^{2} b^{4} - 2 u^{4} a^{4} \end{aligned}

(4)

पूर्णांकों के वलय पर अलघुकरणीय है

\mathbb {Z}

.

लगभग-परिपूर्ण घनाभ

लगभग पूर्ण घनाभ की 7 में से 6 लम्बाई परिमेय है। इस तरह के घनाभों को तीन प्रकारों में बांटा जा सकता है, जिन्हें शरीर, किनारा और चेहरा घनाभ कहा जाता है।^[13] शरीर घनाभ के मामले में, शरीर (अंतरिक्ष) विकर्ण $g$ तर्कहीन है। किनारे के घनाभ के लिए, किनारों में से एक $a, b, c$ तर्कहीन है। फलक घनाभ में एक फलक विकर्ण होता है $d, e, f$ तर्कहीन।

बॉडी क्यूबॉइड को आमतौर पर लियोनहार्ड यूलर के सम्मान में यूलर क्यूबॉइड के रूप में जाना जाता है, जिन्होंने इस प्रकार के क्यूबॉइड पर चर्चा की।^[14] वह चेहरे के घनाभों के बारे में भी जानते थे, और उन्होंने (104, 153, 672) उदाहरण प्रदान किया।^[15] तीन पूर्णांक घनाभ किनारे की लंबाई और एक चेहरे के घनाभ की तीन पूर्णांक विकर्ण लंबाई की व्याख्या एक हेरोनियन टेट्राहेड्रॉन के किनारे की लंबाई के रूप में भी की जा सकती है जो कि श्लाफली ऑर्थोस्कीम भी है। असीम रूप से कई चेहरे वाले घनाभ हैं, और असीम रूप से कई हेरोनियन ऑर्थोस्केम हैं।^[16] किनारों, चेहरे के विकर्णों और अंतरिक्ष विकर्ण के रूप में दिए गए प्रत्येक प्रकार के लगभग पूर्ण घनाभों के लिए सबसे छोटा समाधान $(a, b, c, d, e, f, g)$ , निम्नानुसार हैं:

बॉडी क्यूबॉइड: $(44, 117, 240, 125, 244, 267, \sqrt 73225)$
किनारा घनाभ: $(520, 576, \sqrt 618849, 776, 943, 975, 1105)$
चेहरा घनाभ: $(104, 153, 672, 185, 680, \sqrt 474993, 697)$

As of July 2020^[update], 200,000,000,027 से कम सबसे छोटे पूर्णांक किनारे वाले 167,043 पाए गए घनाभ हैं: 61,042 यूलर (निकाय) घनाभ हैं, 16,612 एक जटिल संख्या किनारे की लंबाई वाले किनारे के घनाभ हैं, 32,286 किनारे के घनाभ थे, और 57,103 चेहरे के घनाभ थे।^[17]

As of December 2017^[update], एक विस्तृत खोज ने 1,125,899,906,842,624: 194,652 से कम पूर्णांक अंतरिक्ष विकर्ण के साथ सभी किनारे और चेहरे के घनाभों को गिना, 350,778 चेहरे के घनाभ थे।^[6]

पूर्ण समानांतर चतुर्भुज

एक पूर्ण समानांतर चतुर्भुज पूर्णांक-लंबाई वाले किनारों, चेहरे के विकर्णों और शरीर के विकर्णों के साथ एक समानांतर चतुर्भुज है, लेकिन जरूरी नहीं कि सभी समकोण हों; एक आदर्श घनाभ एक पूर्ण समांतर चतुर्भुज का एक विशेष मामला है। 2009 में, दर्जनों संपूर्ण समानांतर चतुर्भुजों का अस्तित्व दिखाया गया था,^[18] रिचर्ड के. गाइ के एक खुले प्रश्न का उत्तर देना। इनमें से कुछ पूर्ण समांतर चतुर्भुजों में दो आयताकार फलक होते हैं। सबसे छोटे पूर्ण समांतर चतुर्भुज के किनारे 271, 106 और 103 हैं; लघु फलक विकर्ण 101, 266 और 255; लंबे फलक विकर्ण 183, 312 और 323; और शरीर के विकर्ण 374, 300, 278 और 272 हैं।

यह भी देखें

पायथागॉरियन चौगुनी

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 Wacław Sierpiński, Pythagorean Triangles, Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).
↑ Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems By Ian Stewart, Chapter 17
↑ Weisstein, Eric W. "Euler Brick". MathWorld.
↑ Knill, Oliver (February 24, 2009). "ट्रेजर हंटिंग परफेक्ट यूलर ब्रिक्स" (PDF). Math table. Harvard University.
↑ ^5.0 ^5.1 ^5.2 Matson, Robert D. "एक पूर्ण घनाभ के लिए कंप्यूटर खोज के परिणाम" (PDF). unsolvedproblems.org. Retrieved February 24, 2020.
↑ ^6.0 ^6.1 Alexander Belogourov, Distributed search for a perfect cuboid, https://www.academia.edu/39920706/Distributed_search_for_a_perfect_cuboid
↑ M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, volume 11 (1945).
↑ ^8.0 ^8.1 I. Korec, Lower bounds for Perfect Rational Cuboids, Math. Slovaca, 42 (1992), No. 5, p. 565-582.
↑ Ronald van Luijk, On Perfect Cuboids, June 2000
↑ Florian Luca (2000) "Perfect Cuboids and Perfect Square Triangles", Mathematics Magazine, 73:5, p. 400-401
↑ Sharipov R.A. (2012). "बिल्कुल सही घनाभ और अलघुकरणीय बहुपद". Ufa Math Journal. 4 (1): 153–160. arXiv:1108.5348. Bibcode:2011arXiv1108.5348S.
↑ {{cite journal |author=Sharipov R.A. |title=पूर्ण घनाभ समस्या के लिए स्पर्शोन्मुख दृष्टिकोण|journal=Ufa Math Journal|year=2015 |volume=7 |issue=3 |pages=100–113|doi=10.13108/2015-7-3-95 }
↑ Rathbun R. L., Granlund Т., The integer cuboid table with body, edge, and face type of solutions // Math. Comp., 1994, Vol. 62, P. 441-442.
↑ Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, St. Petersburg, 1771
↑ Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, English translation: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984
↑ "Problem 930" (PDF), Solutions, Crux Mathematicorum, 11 (5): 162–166, May 1985
↑ Rathbun, Randall L. (14 Jul 2020). "पूर्णांक घनाभ तालिका". arXiv:1705.05929v4 [math.NT].
↑ Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. (2011). "बिल्कुल सही समांतर चतुर्भुज मौजूद हैं". Mathematics of Computation. 80 (274): 1037–1040. arXiv:0907.0220. doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. S2CID 206288198..

संदर्भ

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Shaffer, Sherrill (1987). "Necessary Divisors of Perfect Integer Cuboids". Abstracts of the American Mathematical Society. 8 (6): 440.
Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. pp. 275–283. ISBN 0-387-20860-7.
Kraitchik, M. (1945). "On certain rational cuboids". Scripta Mathematica. 11: 317–326.
Roberts, Tim (2010). "Some constraints on the existence of a perfect cuboid". Australian Mathematical Society Gazette. 37: 29–31. ISSN 1326-2297.

[Sierpinski-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 Wacław Sierpiński, Pythagorean Triangles, Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).

[2] Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems By Ian Stewart, Chapter 17

[3] Weisstein, Eric W. "Euler Brick". MathWorld.

[Saunderson-4] Knill, Oliver (February 24, 2009). "ट्रेजर हंटिंग परफेक्ट यूलर ब्रिक्स" (PDF). Math table. Harvard University.

[Matson-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 Matson, Robert D. "एक पूर्ण घनाभ के लिए कंप्यूटर खोज के परिणाम" (PDF). unsolvedproblems.org. Retrieved February 24, 2020.

[Belogourov-6] 6.0 ^6.1 Alexander Belogourov, Distributed search for a perfect cuboid, https://www.academia.edu/39920706/Distributed_search_for_a_perfect_cuboid

[7] M. Kraitchik, On certain Rational Cuboids, Scripta Mathematica, volume 11 (1945).

[Korec-8] 8.0 ^8.1 I. Korec, Lower bounds for Perfect Rational Cuboids, Math. Slovaca, 42 (1992), No. 5, p. 565-582.

[9] Ronald van Luijk, On Perfect Cuboids, June 2000

[Luca-10] Florian Luca (2000) "Perfect Cuboids and Perfect Square Triangles", Mathematics Magazine, 73:5, p. 400-401

[shr_01-11] Sharipov R.A. (2012). "बिल्कुल सही घनाभ और अलघुकरणीय बहुपद". Ufa Math Journal. 4 (1): 153–160. arXiv:1108.5348. Bibcode:2011arXiv1108.5348S.

[shr_02-12] {{cite journal |author=Sharipov R.A. |title=पूर्ण घनाभ समस्या के लिए स्पर्शोन्मुख दृष्टिकोण|journal=Ufa Math Journal|year=2015 |volume=7 |issue=3 |pages=100–113|doi=10.13108/2015-7-3-95 }

[13] Rathbun R. L., Granlund Т., The integer cuboid table with body, edge, and face type of solutions // Math. Comp., 1994, Vol. 62, P. 441-442.

[14] Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, Kayserliche Akademie der Wissenschaften, St. Petersburg, 1771

[15] Euler, Leonhard, Vollst¨andige Anleitung zur Algebra, 2, Part II, 236, English translation: Euler, Elements of Algebra, Springer-Verlag 1984

[16] "Problem 930" (PDF), Solutions, Crux Mathematicorum, 11 (5): 162–166, May 1985

[17] Rathbun, Randall L. (14 Jul 2020). "पूर्णांक घनाभ तालिका". arXiv:1705.05929v4 [math.NT].

[18] Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. (2011). "बिल्कुल सही समांतर चतुर्भुज मौजूद हैं". Mathematics of Computation. 80 (274): 1037–1040. arXiv:0907.0220. doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. S2CID 206288198..

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 == गुण ==
-* यदि {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} एक समाधान है, तो {{math|(''ka'', ''kb'', ''kc'')}} भी किसी भी (''k'')का एक समाधान है। अतः,परिमेय संख्याओं में समाधान पूर्णांक समाधानों के सभी पुनर्विक्रय हैं। किनारे-लंबाई वाली एक यूलर ईंट दी गई है {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}}, ट्रिपल {{math|(''bc'', ''ac'', ''ab'')}} एक यूलर ईंट भी बनाता है।<ref name=Sierpinski>[[Wacław Sierpiński]], ''[[Pythagorean Triangles]]'', Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).</ref>{{rp|p. 106}}
+* यदि {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} एक समाधान है, तो {{math|(''ka'', ''kb'', ''kc'')}} भी किसी भी (''k'')का एक समाधान है। अतः,परिमेय संख्याओं में समाधान पूर्णांक समाधानों के सभी पुनर्विक्रय हैं। किनारे-लंबाई {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}}के साथ एक ऑयलर ईंट को देखते हुए, त्रिक {{math|(''bc'', ''ac'', ''ab'')}} भी एक ऑयलर ईंट बनाता है।<ref name=Sierpinski>[[Wacław Sierpiński]], ''[[Pythagorean Triangles]]'', Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).</ref>{{rp|p. 106}}
 * एक आदिम यूलर ईंट का ठीक एक किनारा और दो फलक विकर्ण विषम होते हैं।

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