प्राथमिक पायथागॉरियन ट्रिपल्स ट्री: Difference between revisions

Revision as of 00:46, 3 April 2023

अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण्स का बर्गग्रेन्स का ट्री।

गणित में, अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण का ट्री एक डेटा संरचना है, जिसमें प्रत्येक नोड शाखाओं को तीन के पश्चात नोड्स के साथ सभी नोड्स के अनंत समुच्चय के साथ सभी अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण को दोहराव के अतिरिक्त देता है।

पायथागॉरियन त्रिगुण में तीन धनात्मक पूर्णांक ए, बी, और सी का एक समुच्चय है, जिसमें यह गुण होता है, कि वे क्रमशः एक समकोण त्रिभुज के दो पैर और कर्ण हो सकते हैं, इस प्रकार समीकरण को संतुष्ट करते हैं $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ; त्रिगुण को अभाज्य कहा जाता है अगर और केवल अगर 'ए, बी,' और 'सी' का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक है। अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण ए, बी, और सी भी जोड़ीदार सह अभाज्य हैं। सभी अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण के समुच्चय में प्राकृतिक विधि से एक मूल ट्री की संरचना ,विशेष रूप से एक त्रिगुट ट्री की संरचना होती है। यह पहली बार 1934 में बी. बर्गग्रेन द्वारा खोजा गया था।^[1]

एफ. जे. एम. बार्निंग ने दिखाया^[2] कि जब तीन मैट्रिक्स में से कोई भी हों तो-

{\begin{array}{lcr}A={\begin{bmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{bmatrix}}&B={\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{bmatrix}}&C={\begin{bmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{bmatrix}}\end{array}}

कॉलम वेक्टर द्वारा दाईं ओर मैट्रिक्स गुणन है, जिसके घटक एक पायथागॉरियन त्रिगुण बनाते हैं, तथा उसके परिणाम स्वरुप और कॉलम वेक्टर होता है, जिसके घटक एक भिन्न पायथागॉरियन त्रिगुण होते हैं। यदि प्रारंभिक त्रिगुण अभाज्य है, तो वह भी वही है जो परिणाम देता है। इस प्रकार प्रत्येक अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण के तीन बच्चे हैं। सभी अभाज्य पाइथागोरस त्रिगुण, (3, 4, 5) से इस प्रकार से त्रिगुण उतरे हैं, और कोई भी अभाज्य त्रिगुण एक से अधिक बार प्रकट नहीं होता है। परिणाम को मूल नोड पर (3, 4, 5) के साथ अनंत टर्नरी ट्री के रूप में ग्राफ़िक रूप से दर्शाया जा सकता है। यह ट्री 1970 में ए. हॉल के पेपर्स में भी छपा था^[3] और 1990 में ए.आर. कांगा।^[4] 2008 में वी.ई. फर्स्टोव ने सामान्यतः दिखाया कि केवल तीन ऐसे ट्राइकोटॉमी ट्री उपस्थित हैं, और स्पष्ट रूप से बर्गग्रेन के समान एक ट्री देते हैं, लेकिन प्रारंभिक नोड (4, 3, 5) से प्रारम्भ होता है।^[5]

प्रमाण

विशेष रूप से अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण की उपस्थिति

यह विवेचनात्मक रूप से दिखाया जा सकता है, कि ट्री में अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण होते हैं, और कुछ भी नहीं दिखाते हैं कि अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण से प्रारम्भ होता है, जैसे कि प्रारंभिक नोड (3, 4, 5) के साथ उपस्थित है, प्रत्येक उत्पन्न त्रिगुण दोनों है पायथागॉरियन और अभाज्य।

पायथागॉरियन की संपत्ति का संरक्षण

यदि उपर्युक्त आव्यूहों में से कोई, मान लीजिए A, पायथागॉरियन गुण a2 + b2 = c2 वाले त्रिगुण (a, b, c)T पर लागू किया जाता है, तो एक नया त्रिगुण (d, e, f)T = A(a, बी, सी) टी, यह नया त्रिगुण भी पायथागॉरियन है। इसे d, e, और f में से प्रत्येक को a, b, और c में तीन पदों के योग के रूप में लिखकर, उनमें से प्रत्येक का वर्ग करके और f2 = d2 + e2 प्राप्त करने के लिए c2 = a2 + b2 को प्रतिस्थापित करके देखा जा सकता है। यह बी और सी के साथ-साथ ए के लिए भी है।

अभाज्यता का संरक्षण

मैट्रिक्स ए, बी, और सी सभी यूनिमॉड्यूलर मैट्रिक्स हैं- अर्थात, उनके पास केवल पूर्णांक प्रविष्टियां हैं, और उनके निर्धारक ± 1 हैं। इस प्रकार उनके व्युत्क्रम भी एक-मॉड्यूलर होते हैं, और विशेष रूप से केवल पूर्णांक प्रविष्टियाँ होती हैं। इसलिए यदि उनमें से कोई एक, उदाहरण के लिए ए, अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण (ए, बी, सी) पर लागू होता है, टी एक और त्रिगुण (डी, ई, एफ) प्राप्त करने के लिए टी, हमारे पास (डी, ई, एफ) टी = ए (ए, बी, सी) टी और इसलिए (ए, बी, सी)टी</सुप> = ए−1(डी, ई, एफ)टी</सुप>. यदि किसी भी प्रमुख कारक को डी, ई, और एफ के किसी भी दो द्वारा साझा किया गया था, तो इस अंतिम समीकरण से प्रधान भी ए, बी, और सी में से प्रत्येक को विभाजित करेगा। इसलिए यदि a, b, और c वास्तव में जोड़ीदार सहअभाज्य हैं, तो d, e, और f जोड़ीदार सहअभाज्य भी होने चाहिए। यह B और C के साथ-साथ A के लिए भी लागू होता है।

हर अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण की उपस्थिति ठीक एक बार

यह दिखाने के लिए कि ट्री में प्रत्येक अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण सम्मिलित है, परन्तु एक से अधिक बार नहीं, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि ऐसे किसी भी त्रिगुण के लिए ट्री के माध्यम से प्रारंभिक नोड (3, 4, 5) के लिए ठीक एक रास्ता है। इसे एक-मॉड्यूलर व्युत्क्रम मैट्रिसेस ए में से प्रत्येक को बारी-बारी से लागू करके देखा जा सकता है^-1, बी^-1, और सी⁻¹ एक मनमाने ढंग से अभाज्य पाइथागोरियन त्रिगुण (डी, ई, एफ) के लिए, यह देखते हुए कि उपरोक्त तर्क से अभाज्यता और पायथागॉरियन संपत्ति को बनाए रखा जाता है, और यह देखते हुए कि (3, 4, 5) से बड़े किसी भी त्रिगुण के लिए बिल्कुल व्युत्क्रम संक्रमण मेट्रिसेस में से एक सभी सकारात्मक प्रविष्टियों (और एक छोटा कर्ण) के साथ एक नया त्रिगुण देता है। प्रेरण द्वारा, यह नया वैध त्रिगुण स्वयं ठीक एक छोटे वैध त्रिगुण की ओर जाता है, और आगे भी। छोटे और छोटे संभावित कर्णों की संख्या की परिमितता से, अंततः (3, 4, 5) तक पहुँच जाता है। यह संदर्भित करता है कि (डी, ई, एफ) वास्तव में ट्री में होता है, क्योंकि इसे चरणों को उलट कर (3, 4, 5) से पहुंचा जा सकता है; और यह विशिष्ट रूप से होता है क्योंकि (डी, ई, एफ) से (3, 4, 5) तक केवल एक ही रास्ता था।

गुण

मैट्रिक्स ए का उपयोग कर परिवर्तन, यदि बार-बार (ए, बी, सी) = (3, 4, 5) से किया जाता है, तो फीचर बी + 1 = सी को संरक्षित करता है; मैट्रिक्स बी a – b = ±1 (3, 4, 5) से प्रारम्भ करके सुरक्षित रखता है; और मैट्रिक्स C (3, 4, 5) से प्रारम्भ होने वाली विशेषता a+2=c को सुरक्षित रखता है।

इस ट्री के लिए एक ज्यामितीय व्याख्या में प्रत्येक नोड पर उपस्थित बहिर्वृत्त सम्मिलित हैं। किसी भी माता-पिता त्रिकोण के तीन बच्चे माता-पिता से "विरासत" प्राप्त करते हैं: माता-पिता की बाहरी त्रिज्या अगली पीढ़ी के लिए अंतःत्रिज्या बन जाती है।^[6]^: p.7 उदाहरण के लिए, माता-पिता (3, 4, 5) के पास 2, 3 और 6 के बराबर त्रिज्या है। ये ठीक तीन बच्चों (5, 12, 13), (15, 8, 17) और (21, 20, 29) क्रमश।

यदि प्रारंभिक स्थिति के रूप में उपयोग किए जाने वाले किसी भी पायथागॉरियन त्रिगुण से ए या सी में से किसी एक को बार-बार लागू किया जाता है, तो ए, बी, और सी में से किसी की गतिशीलता को एक्स की गतिशीलता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

x_{n+3}-3x_{n+2}+3x_{n+1}-x_{n}=0\,

जो मेट्रिसेस के साझा विशेषता बहुपद विशेषता समीकरण पर प्रतिरूपित है

\lambda ^{3}-3\lambda ^{2}+3\lambda -1=0.\,

यदि बी को बार-बार लागू किया जाता है, तो ए, बी, और सी में से किसी की गतिशीलता को एक्स की गतिशीलता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

x_{n+3}-5x_{n+2}-5x_{n+1}+x_{n}=0,\,

जो बी के चारित्रिक समीकरण पर प्रतिरूपित है।^[7]

इसके अतिरिक्त, अन्य तीसरे क्रम के अविभाज्य अंतर समीकरणों की एक अनंतता को तीन आव्यूहों में से किसी एक को एक मनमाना क्रम में कई बार एक मनमाना संख्या में गुणा करके पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स डी = सीबी एक ही चरण में एक को दो नोड्स द्वारा ट्री से बाहर ले जाता है; D का विशिष्ट समीकरण सामूहिक रूप से संपूर्ण घटनाओं D द्वारा गठित गैर-संपूर्ण वृक्ष में a, b, या c में से किसी के तीसरे क्रम की गतिशीलता के लिए पैटर्न प्रदान करता है।

ट्री बनाने के वैकल्पिक तरीके

अभाज्य पाइथोगोरियन त्रिगुण्स का प्राइस ट्री।

इस ट्री की गतिशीलता के लिए एक और दृष्टिकोण^[8] सभी अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण उत्पन्न करने के लिए मानक सूत्र पर निर्भर करता है:

a=m^{2}-n^{2},\,

b=2mn,\,

c=m^{2}+n^{2},\,

एम >एन > 0 और एम और एन कोप्राइम और विपरीत समता के साथ। जोड़े (एम, एन) को इनमें से किसी के द्वारा पूर्व-गुणा (कॉलम वेक्टर के रूप में व्यक्त) करके पुनरावृत्त किया जा सकता है

{\begin{array}{lcr}{\begin{bmatrix}2&-1\\1&0\end{bmatrix}},&{\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}},&{\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\end{array}}

जिनमें से प्रत्येक असमानताओं, सहप्रधानता और विपरीत समानता को संरक्षित करता है। परिणामी त्रिगुट ट्री, (2,1) से प्रारम्भ होकर, प्रत्येक ऐसे (एम, एन) जोड़े को ठीक एक बार सम्मिलित करता है, और जब इसे (ए,बी,सी) त्रिगुण में परिवर्तित किया जाता है, तो यह ऊपर वर्णित ट्री के समान हो जाता है।

त्रिगुण के ट्री को उत्पन्न करने के लिए दो अंतर्निहित पैरामीटर का उपयोग करने का दूसरा विधि^[9] जिसमे सभी अभाज्य त्रिगुणों के लिए एक वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करता है:

a=uv,\,

b={\frac {u^{2}-v^{2}}{2}},

c={\frac {u^{2}+v^{2}}{2}},

यू > वी > 0 और यू और वी कोप्राइम और दोनों ऑड के साथ। जोड़े (यू, वी) को उपरोक्त 2 × 2 आव्यूहों में से किसी के द्वारा पूर्व-गुणा करके पुनरावृत्त किया जा सकता है, जिनमें से तीनों असमानताओं, सहप्रधानता और दोनों तत्वों की विषम समानता को संरक्षित करते हैं। जब यह प्रक्रिया (3, 1) पर प्रारम्भ होती है, तो परिणामी त्रिगुट वृक्ष में ऐसी प्रत्येक (यू, वी) जोड़ी ठीक एक बार होती है, और जब इसे (ए,बी,सी) त्रिगुणों में परिवर्तित किया जाता है, तो यह ऊपर वर्णित ट्री के समान हो जाता है।

एक अलग ट्री

वैकल्पिक रूप से, कोई प्राइस द्वारा प्राप्त 3 अलग-अलग मैट्रिसेस का भी उपयोग कर सकता है।^[6]ये आव्यूह A', B', C' और उनके संबंधित रैखिक परिवर्तन नीचे दिखाए गए हैं।

{\overset {{A}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&1&-1\\-2&2&2\\-2&1&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\end{matrix}}\right],\quad {\text{     }}{\overset {{B}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{2}\\b_{2}\\c_{2}\end{matrix}}\right],\quad {\text{     }}{\overset {{C}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\\\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{3}\\b_{3}\\c_{3}\end{matrix}}\right]

मूल्य के तीन रैखिक परिवर्तन हैं

{\begin{aligned}&{\begin{matrix}+2a+b-c=a_{1}\quad &-2a+2b+2c=b_{1}\quad &-2a+b+3c=c_{1}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{1},{\text{ }}b_{1},{\text{ }}c_{1}\right]\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+2a+b+c=a_{2}\quad &+2a-2b+2c=b_{2}\quad &+2a-b+3c=c_{2}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{2},{\text{ }}b_{2},{\text{ }}c_{2}\right]\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+2a-b+c=a_{3}\quad &+2a+2b+2c=b_{3}\quad &+2a+b+3c=c_{3}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{3},{\text{ }}b_{3},{\text{ }}c_{3}\right]\end{matrix}}\\&\end{aligned}}

मेट्रिसेस के दो समुच्चयों में से प्रत्येक के द्वारा उत्पादित 3 बच्चे समान नहीं हैं, लेकिन प्रत्येक समुच्चय अलग-अलग सभी अभाज्य त्रिगुण उत्पन्न करता है।

उदाहरण के लिए, माता-पिता के रूप में [5, 12, 13] का उपयोग करते हुए, हमें तीन बच्चों के दो समुच्चय मिलते हैं:

{\begin{array}{ccc}&\left[5,12,13\right]&\\A&B&C\\\left[45,28,53\right]&\left[55,48,73\right]&\left[7,24,25\right]\end{array}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\begin{array}{ccc}{}&\left[5,12,13\right]&{}\\A'&B'&C'\\\left[9,40,41\right]&\left[35,12,37\right]&\left[11,60,61\right]\end{array}}

नोट्स और संदर्भ

↑ B. Berggren, "Pytagoreiska trianglar" (in Swedish), Elementa: Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi 17 (1934), 129–139. See page 6 for the rooted tree.
↑ Barning, F. J. M. (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (in Dutch), Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. ZW-011: 37, https://ir.cwi.nl/pub/7151
↑ A. Hall, "Genealogy of Pythagorean Triads", The Mathematical Gazette, volume 54, number 390, December, 1970, pages 377–9.
↑ Kanga, A. R., "The family tree of Pythagorean triples," Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications 26, January/February 1990, 15–17.
↑ "V. E. Firstov, "A Special Matrix Transformation Semigroup of Primitive Pairs and the Genealogy of Pythagorean Triples", Mat. Zametki, 84:2 (2008), 281–299; Math. Notes, 84:2 (2008), 263–279". www.mathnet.ru. Retrieved 2023-02-08.
↑ ^6.0 ^6.1 Price, H. Lee (2008). "The Pythagorean Tree: A New Species". arXiv:0809.4324 [math.HO].
↑ Mitchell, Douglas W., "Feedback on 92.60", Mathematical Gazette 93, July 2009, 358–9.
↑ Saunders, Robert A.; Randall, Trevor (July 1994), "The family tree of the Pythagorean triplets revisited", Mathematical Gazette, 78: 190–193, doi:10.2307/3618576, JSTOR 3618576, S2CID 125749577.
↑ Mitchell, Douglas W., "An alternative characterisation of all primitive Pythagorean triples", Mathematical Gazette 85, July 2001, 273–275.

बाहरी संबंध

The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples at cut-the-knot
Frank R. Bernhart, and H. Lee Price, "Pythagoras' garden, revisited", Australian Senior Mathematics Journal 01/2012; 26(1):29-40.[1]
Weisstein, Eric W. "Pythagorean Triple". MathWorld.

[1] B. Berggren, "Pytagoreiska trianglar" (in Swedish), Elementa: Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi 17 (1934), 129–139. See page 6 for the rooted tree.

[2] Barning, F. J. M. (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (in Dutch), Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. ZW-011: 37, https://ir.cwi.nl/pub/7151

[3] A. Hall, "Genealogy of Pythagorean Triads", The Mathematical Gazette, volume 54, number 390, December, 1970, pages 377–9.

[4] Kanga, A. R., "The family tree of Pythagorean triples," Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications 26, January/February 1990, 15–17.

[5] "V. E. Firstov, "A Special Matrix Transformation Semigroup of Primitive Pairs and the Genealogy of Pythagorean Triples", Mat. Zametki, 84:2 (2008), 281–299; Math. Notes, 84:2 (2008), 263–279". www.mathnet.ru. Retrieved 2023-02-08.

[Price-6] 6.0 ^6.1 Price, H. Lee (2008). "The Pythagorean Tree: A New Species". arXiv:0809.4324 [math.HO].

[7] Mitchell, Douglas W., "Feedback on 92.60", Mathematical Gazette 93, July 2009, 358–9.

[8] Saunders, Robert A.; Randall, Trevor (July 1994), "The family tree of the Pythagorean triplets revisited", Mathematical Gazette, 78: 190–193, doi:10.2307/3618576, JSTOR 3618576, S2CID 125749577.

[9] Mitchell, Douglas W., "An alternative characterisation of all primitive Pythagorean triples", Mathematical Gazette 85, July 2001, 273–275.

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-[[file:Berggrens's tree with reordered path keys.svg|500px|thumb|आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल्स का बर्गग्रेन्स का पेड़।]]गणित में, आदिम [[पायथागॉरियन ट्रिपल]]्स का एक पेड़ एक [[पेड़ (डेटा संरचना)]] है जिसमें प्रत्येक नोड शाखाओं को तीन बाद के नोड्स के साथ सभी नोड्स के अनंत सेट के साथ सभी (और केवल) आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल को दोहराव के बिना देता है।
+[[file:Berggrens's tree with reordered path keys.svg|500px|thumb|अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण्स का बर्गग्रेन्स का ट्री।]]गणित में, अभाज्य [[पायथागॉरियन ट्रिपल|पायथागॉरियन त्रिगुण]] का ट्री एक [[पेड़ (डेटा संरचना)|डेटा संरचना]] है, जिसमें प्रत्येक नोड शाखाओं को तीन के पश्चात नोड्स के साथ सभी नोड्स के अनंत समुच्चय के साथ सभी अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण को दोहराव के अतिरिक्त देता है।
-एक पायथागॉरियन ट्रिपल तीन धनात्मक [[पूर्णांक]] ''a, b,'' और ''c'' का एक सेट है जिसमें यह गुण होता है कि वे क्रमशः एक समकोण त्रिभुज के दो पैर और [[कर्ण]] हो सकते हैं, इस प्रकार समीकरण को संतुष्ट करते हैं <math>a^2+b^2=c^2</math>; ट्रिपल को आदिम कहा जाता है [[अगर और केवल अगर]] 'ए, बी,' और 'सी' का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक है। आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल ''ए, बी,'' और ''सी'' भी जोड़ीदार [[सह अभाज्य]] हैं। सभी आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल्स के सेट में प्राकृतिक तरीके से एक रूटेड [[ वृक्ष की संरचना ]], विशेष रूप से एक [[ त्रिगुट वृक्ष ]] की संरचना होती है। यह पहली बार 1934 में बी. बर्गग्रेन द्वारा खोजा गया था।<ref>B. Berggren, "Pytagoreiska trianglar" (in Swedish), ''Elementa: Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi'' 17 (1934), 129–139. See page 6 for the rooted tree.</ref>
+पायथागॉरियन त्रिगुण में तीन धनात्मक [[पूर्णांक]] ए'', बी,'' और ''सी''  का एक समुच्चय है, जिसमें यह गुण होता है, कि वे क्रमशः एक समकोण त्रिभुज के दो पैर और [[कर्ण]] हो सकते हैं, इस प्रकार समीकरण को संतुष्ट करते हैं <math>a^2+b^2=c^2</math>; त्रिगुण को अभाज्य कहा जाता है [[अगर और केवल अगर]] 'ए, बी,' और 'सी' का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक है। अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण ''ए, बी,'' और ''सी'' भी जोड़ीदार [[सह अभाज्य]] हैं। सभी अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण के समुच्चय में प्राकृतिक विधि से एक मूल [[ वृक्ष की संरचना |ट्री की संरचना]] ,विशेष रूप से एक [[ त्रिगुट वृक्ष |त्रिगुट ट्री]] की संरचना होती है। यह पहली बार 1934 में बी. बर्गग्रेन द्वारा खोजा गया था।<ref>B. Berggren, "Pytagoreiska trianglar" (in Swedish), ''Elementa: Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi'' 17 (1934), 129–139. See page 6 for the rooted tree.</ref>
-F. J. M. बार्निंग ने दिखाया<ref>Barning, F. J. M. (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (in Dutch), Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. ZW-011: 37, https://ir.cwi.nl/pub/7151
-</ref> कि जब तीन [[मैट्रिक्स (गणित)]] में से कोई भी
+एफ. जे. एम. बार्निंग ने दिखाया<ref>Barning, F. J. M. (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (in Dutch), Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. ZW-011: 37, https://ir.cwi.nl/pub/7151
+</ref> कि जब तीन [[मैट्रिक्स (गणित)|मैट्रिक्स]] में से कोई भी हों तो-
 : <math>
 \begin{array}{lcr}
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 </math>
-एक [[कॉलम वेक्टर]] द्वारा दाईं ओर [[मैट्रिक्स गुणन]] है जिसके घटक पायथागॉरियन ट्रिपल बनाते हैं, फिर परिणाम एक और कॉलम वेक्टर होता है जिसके घटक एक अलग पायथागॉरियन ट्रिपल होते हैं। यदि प्रारंभिक त्रिगुण आदिम है, तो वह भी वही है जो परिणाम देता है। इस प्रकार प्रत्येक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल के तीन बच्चे हैं। सभी आदिम पाइथागोरस त्रिक, त्रिक (3, 4, 5) से इस तरह उतरे हैं, और कोई भी आदिम त्रिक एक से अधिक बार प्रकट नहीं होता है। परिणाम को रूट नोड पर (3, 4, 5) के साथ अनंत टर्नरी ट्री के रूप में ग्राफ़िक रूप से दर्शाया जा सकता है (दाईं ओर क्लासिक ट्री देखें)। यह पेड़ 1970 में ए. हॉल के पेपर्स में भी छपा था<ref>A. Hall, "Genealogy of Pythagorean Triads", ''[[The Mathematical Gazette]]'', volume 54, number 390, December, 1970, pages 377–9.</ref> और 1990 में ए.आर. कांगा।<ref>Kanga, A. R., "The family tree of Pythagorean triples," ''Bulletin of the [[Institute of Mathematics and its Applications]]'' 26, January/February 1990, 15–17.</ref> 2008 में वी.ई. फर्स्टोव ने आम तौर पर दिखाया कि केवल तीन ऐसे ट्राइकोटॉमी पेड़ मौजूद हैं और स्पष्ट रूप से बर्गग्रेन के समान एक पेड़ देते हैं लेकिन प्रारंभिक नोड (4, 3, 5) से शुरू होता है।<ref>{{Cite web|title=V. E. Firstov, "A Special Matrix Transformation Semigroup of Primitive Pairs and the Genealogy of Pythagorean Triples", Mat. Zametki, 84:2 (2008), 281–299; Math. Notes, 84:2 (2008), 263–279|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow&#61;paper&jrnid&#61;mzm&paperid&#61;4074&option_lang&#61;eng|access-date=2023-02-08|website=www.mathnet.ru}}</ref>
+[[कॉलम वेक्टर]] द्वारा दाईं ओर [[मैट्रिक्स गुणन]] है, जिसके घटक एक पायथागॉरियन त्रिगुण बनाते हैं, तथा उसके परिणाम स्वरुप और कॉलम वेक्टर होता है, जिसके घटक एक भिन्न पायथागॉरियन त्रिगुण होते हैं। यदि प्रारंभिक त्रिगुण अभाज्य है, तो वह भी वही है जो परिणाम देता है। इस प्रकार प्रत्येक अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण के तीन बच्चे हैं। सभी अभाज्य पाइथागोरस त्रिगुण, (3, 4, 5) से इस प्रकार से त्रिगुण उतरे हैं, और कोई भी अभाज्य त्रिगुण एक से अधिक बार प्रकट नहीं होता है। परिणाम को मूल नोड पर (3, 4, 5) के साथ अनंत टर्नरी ट्री के रूप में ग्राफ़िक रूप से दर्शाया जा सकता है। यह ट्री 1970 में ए. हॉल के पेपर्स में भी छपा था<ref>A. Hall, "Genealogy of Pythagorean Triads", ''[[The Mathematical Gazette]]'', volume 54, number 390, December, 1970, pages 377–9.</ref> और 1990 में ए.आर. कांगा।<ref>Kanga, A. R., "The family tree of Pythagorean triples," ''Bulletin of the [[Institute of Mathematics and its Applications]]'' 26, January/February 1990, 15–17.</ref> 2008 में वी.ई. फर्स्टोव ने सामान्यतः दिखाया कि केवल तीन ऐसे ट्राइकोटॉमी ट्री उपस्थित हैं, और स्पष्ट रूप से बर्गग्रेन के समान एक ट्री देते हैं, लेकिन प्रारंभिक नोड (4, 3, 5) से प्रारम्भ होता है।<ref>{{Cite web|title=V. E. Firstov, "A Special Matrix Transformation Semigroup of Primitive Pairs and the Genealogy of Pythagorean Triples", Mat. Zametki, 84:2 (2008), 281–299; Math. Notes, 84:2 (2008), 263–279|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow&#61;paper&jrnid&#61;mzm&paperid&#61;4074&option_lang&#61;eng|access-date=2023-02-08|website=www.mathnet.ru}}</ref>
 == प्रमाण ==
-=== विशेष रूप से आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल की उपस्थिति ===
+=== विशेष रूप से अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण की उपस्थिति ===
-यह इंडक्शन (गणित) दिखाया जा सकता है कि पेड़ में आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल होते हैं और कुछ भी नहीं दिखाते हैं कि आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल से शुरू होता है, जैसे कि प्रारंभिक नोड (3, 4, 5) के साथ मौजूद है, प्रत्येक उत्पन्न ट्रिपल दोनों है पायथागॉरियन और आदिम।
+यह विवेचनात्मक रूप से दिखाया जा सकता है, कि ट्री में अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण होते हैं, और कुछ भी नहीं दिखाते हैं कि अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण से प्रारम्भ होता है, जैसे कि प्रारंभिक नोड (3, 4, 5) के साथ उपस्थित है, प्रत्येक उत्पन्न त्रिगुण दोनों है पायथागॉरियन और अभाज्य।
-पाइथागोरस की संपत्ति का संरक्षण ===
+=== पायथागॉरियन की संपत्ति का संरक्षण ===
-यदि उपरोक्त मेट्रिसेस में से कोई भी, ए कहते हैं, एक ट्रिपल (ए, बी, सी) पर लागू होता है<sup>T</sup> के पास पायथागॉरियन गुण है a<sup>2</sup> + बी<sup>2</सुप> = सी<sup>2</sup> एक नया ट्रिपल (d, e, f) प्राप्त करने के लिए<sup>टी</sup> = ए(ए, बी, सी)<sup>टी</sup>, यह नया ट्रिपल भी पायथागॉरियन है। इसे d, e, और f में से प्रत्येक को a, b, और c में तीन शब्दों के योग के रूप में लिखकर, उनमें से प्रत्येक को वर्ग करके और c को प्रतिस्थापित करके देखा जा सकता है।<sup>2</सुप> = ए<sup>2</sup> + बी<sup>2</sup> f प्राप्त करने के लिए<sup>2</sup> = डी<sup>2</sup> + ई<sup>2</उप>। यह B और C के साथ-साथ A के लिए भी लागू होता है।
+यदि उपर्युक्त आव्यूहों में से कोई, मान लीजिए A, पायथागॉरियन गुण a2 + b2 = c2 वाले त्रिगुण (a, b, c)T पर लागू किया जाता है, तो एक नया त्रिगुण (d, e, f)T = A(a, बी, सी) टी, यह नया त्रिगुण भी पायथागॉरियन है। इसे d, e, और f में से प्रत्येक को a, b, और c में तीन पदों के योग के रूप में लिखकर, उनमें से प्रत्येक का वर्ग करके और f2 = d2 + e2 प्राप्त करने के लिए c2 = a2 + b2 को प्रतिस्थापित करके देखा जा सकता है। यह बी और सी के साथ-साथ ए के लिए भी है।
-==== आदिमता का संरक्षण ====
+==== अभाज्यता का संरक्षण ====
-मैट्रिक्स ए, बी, और सी सभी [[यूनिमॉड्यूलर मैट्रिक्स]] हैं- यानी, उनके पास केवल पूर्णांक प्रविष्टियां हैं और उनके निर्धारक ± 1 हैं। इस प्रकार उनके व्युत्क्रम भी एक-मॉड्यूलर होते हैं और विशेष रूप से केवल पूर्णांक प्रविष्टियाँ होती हैं। इसलिए यदि उनमें से कोई एक, उदाहरण के लिए ए, आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल (ए, बी, सी) पर लागू होता है<sup>टी</sup> एक और ट्रिपल (डी, ई, एफ) प्राप्त करने के लिए<sup>टी</sup>, हमारे पास (डी, ई, एफ)<sup>टी</sup> = ए(ए, बी, सी)<sup>टी</sup> और इसलिए (ए, बी, सी)<sup>टी</सुप> = ए<sup>−1</sup>(डी, ई, एफ)<sup>टी</सुप>. यदि किसी भी प्रमुख कारक को डी, ई, और एफ के किसी भी दो (और इसलिए सभी तीन) द्वारा साझा किया गया था, तो इस अंतिम समीकरण से प्रधान भी ए, बी, और सी में से प्रत्येक को विभाजित करेगा। इसलिए यदि a, b, और c वास्तव में जोड़ीदार सहअभाज्य हैं, तो d, e, और f जोड़ीदार सहअभाज्य भी होने चाहिए। यह B और C के साथ-साथ A के लिए भी लागू होता है।
+मैट्रिक्स ए, बी, और सी सभी यूनिमॉड्यूलर मैट्रिक्स हैं- अर्थात, उनके पास केवल पूर्णांक प्रविष्टियां हैं, और उनके निर्धारक ± 1 हैं। इस प्रकार उनके व्युत्क्रम भी एक-मॉड्यूलर होते हैं, और विशेष रूप से केवल पूर्णांक प्रविष्टियाँ होती हैं। इसलिए यदि उनमें से कोई एक, उदाहरण के लिए ए, अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण (ए, बी, सी) पर लागू होता है, टी एक और त्रिगुण (डी, ई, एफ) प्राप्त करने के लिए टी, हमारे पास (डी, ई, एफ) टी = ए (ए, बी, सी) टी और इसलिए (ए, बी, सी)टी</सुप> = ए−1(डी, ई, एफ)टी</सुप>. यदि किसी भी प्रमुख कारक को डी, ई, और एफ के किसी भी दो द्वारा साझा किया गया था, तो इस अंतिम समीकरण से प्रधान भी ए, बी, और सी में से प्रत्येक को विभाजित करेगा। इसलिए यदि a, b, और c वास्तव में जोड़ीदार सहअभाज्य हैं, तो d, e, और f जोड़ीदार सहअभाज्य भी होने चाहिए। यह B और C के साथ-साथ A के लिए भी लागू होता है।
-=== हर आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल की उपस्थिति ठीक एक बार ===
+=== हर अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण की उपस्थिति ठीक एक बार ===
-यह दिखाने के लिए कि पेड़ में प्रत्येक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल शामिल है, लेकिन एक से अधिक बार नहीं, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि ऐसे किसी भी ट्रिपल के लिए पेड़ के माध्यम से शुरुआती नोड (3, 4, 5) के लिए ठीक एक रास्ता है। इसे एक-मॉड्यूलर व्युत्क्रम मैट्रिसेस ए में से प्रत्येक को बारी-बारी से लागू करके देखा जा सकता है<sup>-1</sup>, बी<sup>-1</sup>, और सी<sup>−1</sup> एक मनमाने ढंग से आदिम पाइथागोरियन ट्रिपल (डी, ई, एफ) के लिए, यह देखते हुए कि उपरोक्त तर्क से प्राइमिटिविटी और पायथागॉरियन संपत्ति को बनाए रखा जाता है, और यह देखते हुए कि (3, 4, 5) से बड़े किसी भी ट्रिपल के लिए बिल्कुल व्युत्क्रम संक्रमण मेट्रिसेस में से एक सभी सकारात्मक प्रविष्टियों (और एक छोटा कर्ण) के साथ एक नया ट्रिपल देता है। प्रेरण द्वारा, यह नया वैध ट्रिपल स्वयं ठीक एक छोटे वैध ट्रिपल की ओर जाता है, और आगे भी। छोटे और छोटे संभावित कर्णों की संख्या की परिमितता से, अंततः (3, 4, 5) तक पहुँच जाता है। यह साबित करता है कि (डी, ई, एफ) वास्तव में पेड़ में होता है, क्योंकि इसे चरणों को उलट कर (3, 4, 5) से पहुंचा जा सकता है; और यह विशिष्ट रूप से होता है क्योंकि (डी, ई, एफ) से (3, 4, 5) तक केवल एक ही रास्ता था।
+यह दिखाने के लिए कि ट्री में प्रत्येक अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण सम्मिलित है, परन्तु एक से अधिक बार नहीं, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि ऐसे किसी भी त्रिगुण के लिए ट्री के माध्यम से प्रारंभिक नोड (3, 4, 5) के लिए ठीक एक रास्ता है। इसे एक-मॉड्यूलर व्युत्क्रम मैट्रिसेस ए में से प्रत्येक को बारी-बारी से लागू करके देखा जा सकता है<sup>-1</sup>, बी<sup>-1</sup>, और सी<sup>−1</sup> एक मनमाने ढंग से अभाज्य पाइथागोरियन त्रिगुण (डी, ई, एफ) के लिए, यह देखते हुए कि उपरोक्त तर्क से अभाज्यता और पायथागॉरियन संपत्ति को बनाए रखा जाता है, और यह देखते हुए कि (3, 4, 5) से बड़े किसी भी त्रिगुण के लिए बिल्कुल व्युत्क्रम संक्रमण मेट्रिसेस में से एक सभी सकारात्मक प्रविष्टियों (और एक छोटा कर्ण) के साथ एक नया त्रिगुण देता है। प्रेरण द्वारा, यह नया वैध त्रिगुण स्वयं ठीक एक छोटे वैध त्रिगुण की ओर जाता है, और आगे भी। छोटे और छोटे संभावित कर्णों की संख्या की परिमितता से, अंततः (3, 4, 5) तक पहुँच जाता है। यह संदर्भित करता है कि (डी, ई, एफ) वास्तव में ट्री में होता है, क्योंकि इसे चरणों को उलट कर (3, 4, 5) से पहुंचा जा सकता है; और यह विशिष्ट रूप से होता है क्योंकि (डी, ई, एफ) से (3, 4, 5) तक केवल एक ही रास्ता था।
 == गुण ==
-मैट्रिक्स ए का उपयोग कर परिवर्तन, यदि बार-बार (ए, बी, सी) = (3, 4, 5) से किया जाता है, तो फीचर बी + 1 = सी को संरक्षित करता है; मैट्रिक्स बी a – b = ±1 (3, 4, 5) से शुरू करके सुरक्षित रखता है; और मैट्रिक्स C (3, 4, 5) से शुरू होने वाली विशेषता a+2=c को सुरक्षित रखता है।
+मैट्रिक्स ए का उपयोग कर परिवर्तन, यदि बार-बार (ए, बी, सी) = (3, 4, 5) से किया जाता है, तो फीचर बी + 1 = सी को संरक्षित करता है; मैट्रिक्स बी a – b = ±1 (3, 4, 5) से प्रारम्भ करके सुरक्षित रखता है; और मैट्रिक्स C (3, 4, 5) से प्रारम्भ होने वाली विशेषता a+2=c को सुरक्षित रखता है।
-इस पेड़ के लिए एक ज्यामितीय व्याख्या में प्रत्येक नोड पर मौजूद बहिर्वृत्त शामिल हैं। किसी भी माता-पिता त्रिकोण के तीन बच्चे माता-पिता से "विरासत" प्राप्त करते हैं: माता-पिता की बाहरी त्रिज्या अगली पीढ़ी के लिए अंतःत्रिज्या बन जाती है।<ref name="Price">{{cite arXiv |last=Price |first=H. Lee |eprint=0809.4324 |title=The Pythagorean Tree: A New Species |year=2008|class=math.HO }}</ref>{{rp|p.7}} उदाहरण के लिए, माता-पिता (3, 4, 5) के पास 2, 3 और 6 के बराबर त्रिज्या है। ये ठीक तीन बच्चों (5, 12, 13), (15, 8, 17) और {{nowrap|(21, 20, 29)}} क्रमश।
+इस ट्री के लिए एक ज्यामितीय व्याख्या में प्रत्येक नोड पर उपस्थित बहिर्वृत्त सम्मिलित हैं। किसी भी माता-पिता त्रिकोण के तीन बच्चे माता-पिता से "विरासत" प्राप्त करते हैं: माता-पिता की बाहरी त्रिज्या अगली पीढ़ी के लिए अंतःत्रिज्या बन जाती है।<ref name="Price">{{cite arXiv |last=Price |first=H. Lee |eprint=0809.4324 |title=The Pythagorean Tree: A New Species |year=2008|class=math.HO }}</ref>{{rp|p.7}} उदाहरण के लिए, माता-पिता (3, 4, 5) के पास 2, 3 और 6 के बराबर त्रिज्या है। ये ठीक तीन बच्चों (5, 12, 13), (15, 8, 17) और {{nowrap|(21, 20, 29)}} क्रमश।
-यदि प्रारंभिक स्थिति के रूप में उपयोग किए जाने वाले किसी भी पायथागॉरियन ट्रिपल से ए या सी में से किसी एक को बार-बार लागू किया जाता है, तो ए, बी, और सी में से किसी की गतिशीलता को एक्स की गतिशीलता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
+यदि प्रारंभिक स्थिति के रूप में उपयोग किए जाने वाले किसी भी पायथागॉरियन त्रिगुण से ए या सी में से किसी एक को बार-बार लागू किया जाता है, तो ए, बी, और सी में से किसी की गतिशीलता को एक्स की गतिशीलता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 :<math> x_{n+3} - 3x_{n+2} + 3x_{n+1} - x_n = 0 \, </math>
-जो मेट्रिसेस के साझा विशेषता बहुपद#विशेषता समीकरण पर प्रतिरूपित है
+जो मेट्रिसेस के साझा विशेषता बहुपद विशेषता समीकरण पर प्रतिरूपित है
 :<math>\lambda ^3 -3 \lambda ^2 + 3 \lambda -1 = 0. \, </math>
@@ Line 44: / Line 46: @@
 :<math> x_{n+3} - 5x_{n+2} - 5x_{n+1} + x_n = 0, \, </math>
 जो बी के चारित्रिक समीकरण पर प्रतिरूपित है।<ref>Mitchell, Douglas W., "Feedback on 92.60", ''Mathematical Gazette'' 93, July 2009, 358–9.</ref>
-इसके अलावा, अन्य तीसरे क्रम के अविभाज्य [[अंतर समीकरण]]ों की एक अनंतता को तीन आव्यूहों में से किसी एक को एक मनमाना क्रम में कई बार एक मनमाना संख्या में गुणा करके पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स डी = सीबी एक ही चरण में एक को दो नोड्स (आस-पास, फिर नीचे) द्वारा पेड़ से बाहर ले जाता है; D का विशिष्ट समीकरण सामूहिक रूप से संपूर्ण घटनाओं|D द्वारा गठित गैर-संपूर्ण वृक्ष में a, b, या c में से किसी के तीसरे क्रम की गतिशीलता के लिए पैटर्न प्रदान करता है।
-== पेड़ बनाने के वैकल्पिक तरीके ==
+इसके अतिरिक्त, अन्य तीसरे क्रम के अविभाज्य [[अंतर समीकरण|अंतर समीकरणों]] की एक अनंतता को तीन आव्यूहों में से किसी एक को एक मनमाना क्रम में कई बार एक मनमाना संख्या में गुणा करके पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स डी = सीबी एक ही चरण में एक को दो नोड्स द्वारा ट्री से बाहर ले जाता है; D का विशिष्ट समीकरण सामूहिक रूप से संपूर्ण घटनाओं D द्वारा गठित गैर-संपूर्ण वृक्ष में a, b, या c में से किसी के तीसरे क्रम की गतिशीलता के लिए पैटर्न प्रदान करता है।
-[[file:Price's tree (classical approach).svg|500px|thumb|प्रिमिटिव पाइथोगोरियन ट्रिपल्स का प्राइस ट्री।]]इस पेड़ की गतिशीलता के लिए एक और दृष्टिकोण<ref>{{citation|last1=Saunders|first1=Robert A.|last2=Randall|first2=Trevor|title=The family tree of the Pythagorean triplets revisited|journal=Mathematical Gazette|volume=78|date=July 1994|pages=190–193|doi=10.2307/3618576 |jstor= 3618576|s2cid=125749577 }}.</ref> सभी आदिम पायथागॉरियन त्रिक उत्पन्न करने के लिए मानक सूत्र पर निर्भर करता है:
+== ट्री बनाने के वैकल्पिक तरीके ==
+[[file:Price's tree (classical approach).svg|500px|thumb|अभाज्य पाइथोगोरियन त्रिगुण्स का प्राइस ट्री।]]इस ट्री की गतिशीलता के लिए एक और दृष्टिकोण<ref>{{citation|last1=Saunders|first1=Robert A.|last2=Randall|first2=Trevor|title=The family tree of the Pythagorean triplets revisited|journal=Mathematical Gazette|volume=78|date=July 1994|pages=190–193|doi=10.2307/3618576 |jstor= 3618576|s2cid=125749577 }}.</ref> सभी अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण उत्पन्न करने के लिए मानक सूत्र पर निर्भर करता है:
 :<math>a = m^2 - n^2, \, </math>
 :<math>b = 2mn, \, </math>
 :<math>c = m^2 + n^2, \, </math>
-m > n > 0 और m और n कोप्राइम और विपरीत समता के साथ। जोड़े (एम, एन) को इनमें से किसी के द्वारा पूर्व-गुणा (कॉलम वेक्टर के रूप में व्यक्त) करके पुनरावृत्त किया जा सकता है
+एम >एन > 0 और एम और एन कोप्राइम और विपरीत समता के साथ। जोड़े (एम, एन) को इनमें से किसी के द्वारा पूर्व-गुणा (कॉलम वेक्टर के रूप में व्यक्त) करके पुनरावृत्त किया जा सकता है
 :<math>
@@ Line 61: / Line 64: @@
 \end{array}
 </math>
-जिनमें से प्रत्येक असमानताओं, सहप्रधानता और विपरीत समानता को संरक्षित करता है। परिणामी टर्नरी ट्री, (2,1) से शुरू होकर, प्रत्येक ऐसे (m, n) जोड़े को ठीक एक बार शामिल करता है, और जब इसे (a, b, c) ट्रिपल में परिवर्तित किया जाता है तो यह ऊपर वर्णित पेड़ के समान हो जाता है।
+जिनमें से प्रत्येक असमानताओं, सहप्रधानता और विपरीत समानता को संरक्षित करता है। परिणामी त्रिगुट ट्री, (2,1) से प्रारम्भ होकर, प्रत्येक ऐसे (एम, एन) जोड़े को ठीक एक बार सम्मिलित करता है, और जब इसे (ए,बी,सी) त्रिगुण में परिवर्तित किया जाता है, तो यह ऊपर वर्णित ट्री के समान हो जाता है।
-ट्रिपल के पेड़ को उत्पन्न करने के लिए दो अंतर्निहित पैरामीटर का उपयोग करने का दूसरा तरीका<ref>Mitchell, Douglas W., "An alternative characterisation of all primitive Pythagorean triples", ''Mathematical Gazette'' 85, July 2001, 273–275.</ref> सभी आदिम त्रिगुणों के लिए एक वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करता है:
+त्रिगुण के ट्री को उत्पन्न करने के लिए दो अंतर्निहित पैरामीटर का उपयोग करने का दूसरा विधि<ref>Mitchell, Douglas W., "An alternative characterisation of all primitive Pythagorean triples", ''Mathematical Gazette'' 85, July 2001, 273–275.</ref> जिसमे सभी अभाज्य त्रिगुणों के लिए एक वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करता है:
 :<math>a = uv, \, </math>
 :<math>b = \frac{u^2-v^2}{2},</math>
 :<math>c = \frac{u^2+v^2}{2},</math>
-यू > वी > 0 और यू और वी कोप्राइम और दोनों ऑड के साथ। जोड़े (u, v) को उपरोक्त 2 × 2 आव्यूहों में से किसी के द्वारा पूर्व-गुणा करके (कॉलम वेक्टर के रूप में व्यक्त) पुनरावृत्त किया जा सकता है, जिनमें से तीनों असमानताओं, सहप्रधानता और दोनों तत्वों की विषम समानता को संरक्षित करते हैं। जब यह प्रक्रिया (3, 1) पर शुरू होती है, तो परिणामी त्रिगुट वृक्ष में ऐसी प्रत्येक (u, v) जोड़ी ठीक एक बार होती है, और जब इसे (a, b, c) त्रिगुणों में परिवर्तित किया जाता है तो यह ऊपर वर्णित वृक्ष के समान हो जाता है।
+यू > वी > 0 और यू और वी कोप्राइम और दोनों ऑड के साथ। जोड़े (यू, वी) को उपरोक्त 2 × 2 आव्यूहों में से किसी के द्वारा पूर्व-गुणा करके पुनरावृत्त किया जा सकता है, जिनमें से तीनों असमानताओं, सहप्रधानता और दोनों तत्वों की विषम समानता को संरक्षित करते हैं। जब यह प्रक्रिया (3, 1) पर प्रारम्भ होती है, तो परिणामी त्रिगुट वृक्ष में ऐसी प्रत्येक (यू, वी) जोड़ी ठीक एक बार होती है, और जब इसे (ए,बी,सी) त्रिगुणों में परिवर्तित किया जाता है, तो यह ऊपर वर्णित ट्री के समान हो जाता है।
-== एक अलग पेड़ ==
+== एक अलग ट्री ==
 वैकल्पिक रूप से, कोई प्राइस द्वारा प्राप्त 3 अलग-अलग मैट्रिसेस का भी उपयोग कर सकता है।<ref name="Price"/>ये आव्यूह A', B', C' और उनके संबंधित रैखिक परिवर्तन नीचे दिखाए गए हैं।
@@ Line 124: / Line 127: @@
   &
 \end{align}</math>
-मेट्रिसेस के दो सेटों में से प्रत्येक के द्वारा उत्पादित 3 बच्चे समान नहीं हैं, लेकिन प्रत्येक सेट अलग-अलग सभी आदिम त्रिक उत्पन्न करता है।
+मेट्रिसेस के दो समुच्चयों में से प्रत्येक के द्वारा उत्पादित 3 बच्चे समान नहीं हैं, लेकिन प्रत्येक समुच्चय अलग-अलग सभी अभाज्य त्रिगुण उत्पन्न करता है।
-उदाहरण के लिए, माता-पिता के रूप में [5, 12, 13] का उपयोग करते हुए, हमें तीन बच्चों के दो सेट मिलते हैं:
+उदाहरण के लिए, माता-पिता के रूप में [5, 12, 13] का उपयोग करते हुए, हमें तीन बच्चों के दो समुच्चय मिलते हैं:
 : <math>\begin{array}{ccc}

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विशेष रूप से अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण की उपस्थिति

पायथागॉरियन की संपत्ति का संरक्षण

अभाज्यता का संरक्षण

हर अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण की उपस्थिति ठीक एक बार

गुण

ट्री बनाने के वैकल्पिक तरीके

एक अलग ट्री

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विशेष रूप से अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण की उपस्थिति

पायथागॉरियन की संपत्ति का संरक्षण

अभाज्यता का संरक्षण

हर अभाज्य पायथागॉरियन त्रिगुण की उपस्थिति ठीक एक बार

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