जेफिमेंको के समीकरण

इलेक्ट्रोमैग्नेटिज़्म में, जेफ़िमेंको के समीकरण (ओलेग डी. जेफ़िमेंको के नाम पर) विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र देते हैं, क्योंकि विद्युत आवेश और विद्युत धारा के वितरण के कारण, जो प्रकाश और आपेक्षिक प्रभावों की परिमित गति के कारण क्षेत्रों के प्रचार विलंब (मंदित गति) को ध्यान में रखता है। इसलिए इनका इस्तेमाल आवेश और धाराओं को आगे बढ़ाने के लिए किया जा सकता है। वे आवेश और धाराओं के किसी भी यादृच्छिक वियोजन के लिए मैक्सवेल के समीकरणों का विशेष समाधान हैं।

समीकरण

विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र

गणना में प्रयुक्त स्थिति सदिश r और r′ है।

जेफिमेंको के समीकरण आवेश घनत्व ρ और धारा घनत्व J के मनमाने आवेश या धारा वितरण द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र E और चुंबकीय क्षेत्र B देते हैं:

$$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\rho (\mathbf {r} ',t_{r})+{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]dV',$$

$$\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \left[{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})+{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}\times {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial t}}\right]dV',$$

जहाँ r′ आवेश वितरण में एक बिंदु है, r रेखांतर में एक बिंदु है, और

$$t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}$$

यह मंदित गति है। D और H के लिए समान व्यंजक हैं।

ये समीकरण कूलम्ब के नियम और विद्युत् गतिकी के बायोट-सावर्ट नियम के समय-निर्भर सामान्यीकरण हैं, जो मूल रूप से केवल स्थिरविद्युतिकी, स्थिरचुंबकीय क्षेत्रों और स्थिर धाराओं के लिए सही थे।

मंद क्षमता से उत्पत्ति

जेफिमेंको के समीकरण मंद क्षमता के φ और 'A' पर आधारित हैं:

$${\begin{aligned}&\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}dV',\\&\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}dV',\end{aligned}}$$

जो संभावित सूत्रीकरण में मैक्सवेल के समीकरणों के समाधान हैं, फिर विद्युत चुम्बकीय क्षमता की परिभाषा में खुद को प्रतिस्थापित करते हैं:

$$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$$

और संबंध का उपयोग करना

$$c^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}$$

'E' और 'B' क्षेत्रों द्वारा संभावित 'φ' और 'A' को प्रतिस्थापित किया हैं।

हीवीसाइड-फेनमैन सूत्र

हीविसाइड-फेनमैन सूत्र के लिए प्रासंगिक चरों की व्याख्या है।

हीविसाइड-फेनमैन फॉर्मूला, जिसे जेफिमेंको-फेनमैन फॉर्मूला के रूप में भी जाना जाता है, को बिंदु कण के रूप में देखा जा सकता है। जेफिमेंको के समीकरणों के बिंदु-जैसे इलेक्ट्रिक चार्ज संस्करण। वास्तव में, यह (गैर तुच्छ रूप से) डायराक समारोह का उपयोग करके, या लिएनार्ड-विचर्ट क्षमता का उपयोग करके घटाया जा सकता है। यह ज्यादातर फिजिक्स पर द फेनमैन लेक्चर्स से जाना जाता है, जहां इसका इस्तेमाल विद्युत चुम्बकीय विकिरण की उत्पत्ति का परिचय देने और उसका वर्णन करने के लिए किया गया था। सूत्र उन मामलों के लिए कूलम्ब के कानून का प्राकृतिक सामान्यीकरण प्रदान करता है जहां स्रोत चार्ज चल रहा है:

$$\mathbf {E} ={\frac {-q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {\mathbf {e} _{r'}}{r'^{2}}}+{\frac {r'}{c}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {e} _{r'}}{r'^{2}}}\right)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {e} _{r'}\right]$$

$$\mathbf {B} =-\mathbf {e} _{r'}\times {\frac {\mathbf {E} }{c}}$$

यहाँ, $\mathbf {E}$ और $\mathbf {B}$ क्रमशः विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र हैं, $q$ विद्युत आवेश है, $\varepsilon _{0}$ निर्वात पारगम्यता (विद्युत क्षेत्र स्थिर) है और $c$ प्रकाश की गति है। सदिश $\mathbf {e} _{r'}$ एक इकाई वेक्टर है जो प्रेक्षक से आवेश की ओर इशारा करता है और $r'$ प्रेक्षक और आवेश के बीच की दूरी है। चूंकि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र प्रकाश की गति से फैलता है, इन दोनों मात्राओं का मूल्यांकन मंद समय पर किया जाता है $t-r'/c$.

एक स्थानिक आयाम में गतिमान कण के लिए मंद आवेश स्थिति का चित्रण: पर्यवेक्षक कण को ​​​​देखता है कि वह कहाँ था, न कि वह कहाँ है।

के सूत्र में पहला पद $\mathbf {E}$ स्थैतिक विद्युत क्षेत्र के लिए कूलम्ब के नियम का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरा पद पहले कूलम्बिक शब्द का समय व्युत्पन्न है जिसे गुणा किया जाता है ${\frac {r'}{c}}$ जो विद्युत क्षेत्र का प्रसार समय है। स्वाभाविक रूप से, इसे प्रकृति के रूप में माना जा सकता है कि वर्तमान समय में रैखिक एक्सट्रपलेशन द्वारा वर्तमान क्षेत्र क्या होगा।अंतिम शब्द, इकाई वेक्टर के दूसरे व्युत्पन्न के समानुपाती $e_{r'}$, दृष्टि की रेखा के लंबवत आवेश गति के प्रति संवेदनशील है। यह दिखाया जा सकता है कि इस शब्द से उत्पन्न विद्युत क्षेत्र समानुपाती होता है $a_{t}/r'$, कहाँ $a_{t}$ मंद समय में अनुप्रस्थ त्वरण है। जैसे ही यह घटता है $1/r'$ मानक की तुलना में दूरी के साथ $1/r'^{2}$ कूलम्बिक व्यवहार, यह शब्द त्वरित आवेश के कारण होने वाली लंबी दूरी के विद्युत चुम्बकीय विकिरण के लिए जिम्मेदार है।

हीविसाइड-फेनमैन सूत्र को मैक्सवेल के समीकरणों से मंद क्षमता की तकनीक का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। यह अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, त्वरित आवेश की समग्र विकिरण शक्ति के लिए लार्मर सूत्र की व्युत्पत्ति।

चर्चा

मैक्सवेल के समीकरणों की एक व्यापक व्याख्या है जो इंगित करती है कि स्थानिक रूप से भिन्न विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र समय में एक दूसरे को बदलने का कारण बन सकते हैं, इस प्रकार एक प्रसार विद्युत चुम्बकीय तरंग (विद्युत चुंबकत्व) को जन्म देते हैं। यद्यपि, जेफिमेंको के समीकरण एक वैकल्पिक दृष्टिकोण दिखाते हैं। जेफिमेंको कहते हैं, ... न तो मैक्सवेल के समीकरण और न ही उनके समाधान विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच कारणात्मक संबंधों के अस्तित्व का संकेत देते हैं। इसलिए, हमें यह निष्कर्ष निकालना चाहिए कि एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र एक दोहरी इकाई है जिसमें हमेशा एक विद्युत और एक चुंबकीय घटक होता है जो एक साथ उनके सामान्य स्रोतों द्वारा बनाया जाता है: समय-परिवर्तनीय विद्युत आवेश और धाराएँ हैं।

जैसा कि किर्क थॉमस मैकडॉनल्ड्स द्वारा बताया गया है, जेफिमेंको के समीकरण पहली बार 1962 में वोल्फगैंग के. एच. पैनोफ्स्की और मेल्बा फिलिप्स की क्लासिक पाठ्यपुस्तक के दूसरे संस्करण में दिखाई देते हैं। यद्यपि, डेविड जे. ग्रिफिथ्स स्पष्ट करते हैं कि सबसे पहला स्पष्ट कथन, जिसके बारे में मुझे पता है, 1966 में ओलेग जेफिमेंको द्वारा दिया गया था और पैनोफ़्स्की और फिलिप्स की पाठ्यपुस्तक में समीकरणों को केवल निकट से संबंधित अभिव्यक्तियों के रूप में वर्णित करता है। एंड्रयू ज़ंगविल के अनुसार, जेफिमेंको के लेकिन फूरियर आवृत्ति डोमेन के अनुरूप समीकरण सबसे पहले जॉर्ज एडोल्फस शॉट द्वारा अपने ग्रंथ इलेक्ट्रोमैग्नेटिक रेडिएशन (यूनिवर्सिटी प्रेस, कैम्ब्रिज, 1912) में प्राप्त किए गए थे।

इन समीकरणों की आवश्यक विशेषताएं आसानी से देखी जा सकती हैं जो यह है कि दाहिने हाथ के किनारा में मंद समय सम्मिलित होता है जो भावों की कार्य-कारणता को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, मैक्सवेल के समीकरणों के लिए सामान्य अंतर अभिव्यक्तियों के विपरीत, जहां दोनों किनारा एक साथ होते हैं, प्रत्येक समीकरण का बायां किनारा वास्तव में दाएं किनारा के कारण होता है। मैक्सवेल के समीकरणों के विशिष्ट भावों में इसमें कोई संदेह नहीं है कि दोनों किनारा एक-दूसरे के बराबर हैं, लेकिन जैसा कि जेफिमेंको नोट करते हैं, ... चूंकि इनमें से प्रत्येक समीकरण समय के साथ-साथ मात्राओं को जोड़ता है, इनमें से कोई भी समीकरण एक कारण संबंध का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है।

ऐसा देखें

• लिएनार्ड-वीचर्ट क्षमता

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