यादृच्छिक उपाय: Difference between revisions

Revision as of 19:37, 27 March 2023

संभाव्यता सिद्धांत में, एक यादृच्छिक माप एक माप (गणित) -मूल्यवान यादृच्छिक तत्व होता है।^[1]^[2]यादृच्छिक उपाय उदाहरण के लिए यादृच्छिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में उपयोग किए जाते हैं, जहां वे पॉइसन बिंदु प्रक्रियाओं और कॉक्स प्रक्रियाओं जैसे कई महत्वपूर्ण बिंदु प्रक्रियाएं बनाते हैं।

परिभाषा

यादृच्छिक उपायों को संक्रमण गुठली या यादृच्छिक तत्वों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। दोनों परिभाषाएँ समकक्ष हैं। परिभाषाओं के लिए, आइए $E$ एक वियोज्य स्थान पूर्ण मीट्रिक स्थान बनें और दें ${\mathcal {E}}$ इसका बोरेल सिग्मा बीजगणित हो | बोरेल $\sigma$ -बीजगणित। (एक वियोज्य पूर्ण मीट्रिक स्थान का सबसे आम उदाहरण है $\mathbb {R} ^{n}$ )

एक संक्रमण कर्नेल

एक यादृच्छिक उपाय $\zeta$ एक (अधिकतर निश्चित रूप से | a.s.) एक (अमूर्त) संभाव्यता स्थान से स्थानीय रूप से परिमित माप संक्रमण कर्नेल है $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ को $(E,{\mathcal {E}})$ .^[3]

ट्रांज़िशन कर्नेल होने का अर्थ है कि

किसी निश्चित के लिए $B\in {\mathcal {\mathcal {E}}}$ , मैपिंग

\omega \mapsto \zeta (\omega ,B)

से मापने योग्य कार्य है

(\Omega ,{\mathcal {A}})

को

(E,{\mathcal {E}})

हर तय के लिए $\omega \in \Omega$ , मैपिंग

B\mapsto \zeta (\omega ,B)\quad (B\in {\mathcal {E}})

एक माप (गणित) है

(E,{\mathcal {E}})

स्थानीय रूप से परिमित होने का अर्थ है कि उपाय

B\mapsto \zeta (\omega ,B)

संतुष्ट करना $\zeta (\omega ,{\tilde {B}})<\infty$ सभी परिबद्ध औसत अंकिते के सेट के लिए ${\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}$ और सभी के लिए $\omega \in \Omega$ कुछ को छोड़कर $P$ -शून्य सेट

अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया के संदर्भ में, स्टोकेस्टिक कर्नेल, संभाव्यता कर्नेल और मार्कोव कर्नेल की संबंधित अवधारणा है।

एक यादृच्छिक तत्व के रूप में

परिभाषित करना

{\tilde {\mathcal {M}}}:=\{\mu \mid \mu {\text{ is measure on }}(E,{\mathcal {E}})\}

और के माध्यम से स्थानीय रूप से परिमित उपायों का सबसेट

{\mathcal {M}}:=\{\mu \in {\tilde {\mathcal {M}}}\mid \mu ({\tilde {B}})<\infty {\text{ for all bounded measurable }}{\tilde {B}}\in {\mathcal {E}}\}

मापने योग्य सभी के लिए ${\tilde {B}}$ , मैपिंग को परिभाषित करें

I_{\tilde {B}}\colon \mu \mapsto \mu ({\tilde {B}})

से ${\tilde {\mathcal {M}}}$ को $\mathbb {R}$ . होने देना ${\tilde {\mathbb {M} }}$ हो $\sigma$ मैपिंग के माध्यम से प्रेरित बीजगणित $I_{\tilde {B}}$ पर ${\tilde {\mathcal {M}}}$ और $\mathbb {M}$ $\sigma$ मैपिंग के माध्यम से प्रेरित बीजगणित $I_{\tilde {B}}$ पर ${\mathcal {M}}$ . ध्यान दें कि ${\tilde {\mathbb {M} }}|_{\mathcal {M}}=\mathbb {M}$ .

एक यादृच्छिक माप एक यादृच्छिक तत्व है $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ को $({\tilde {\mathcal {M}}},{\tilde {\mathbb {M} }})$ यह अधिकतर निश्चित रूप से मान लेता है $({\mathcal {M}},\mathbb {M} )$ ^[3]^[4]^[5]

बुनियादी संबंधित अवधारणाएँ

तीव्रता माप

एक यादृच्छिक उपाय के लिए $\zeta$ , पैमाना $\operatorname {E} \zeta$ संतुष्टि देने वाला

\operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\;\operatorname {E} \zeta (\mathrm {d} x)

प्रत्येक सकारात्मक मापने योग्य कार्य के लिए $f$ की तीव्रता का मापक कहलाता है $\zeta$ . तीव्रता माप हर यादृच्छिक माप के लिए सम्मलित है और एक एस-परिमित माप है।

सहायक उपाय

एक यादृच्छिक उपाय के लिए $\zeta$ , पैमाना $\nu$ संतुष्टि देने वाला

\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)=0{\text{ a.s. }}{\text{ iff }}\int f(x)\;\nu (\mathrm {d} x)=0

सभी सकारात्मक मापने योग्य कार्यों के लिए सहायक उपाय कहा जाता है $\zeta$ . सहायक उपाय सभी यादृच्छिक उपायों के लिए सम्मलित है और परिमित होने के लिए चुना जा सकता है।

लाप्लास रूपांतरण

एक यादृच्छिक उपाय के लिए $\zeta$ लाप्लास परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है

{\mathcal {L}}_{\zeta }(f)=\operatorname {E} \left[\exp \left(-\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right)\right]

प्रत्येक सकारात्मक मापने योग्य कार्य के लिए $f$ .

मूल गुण

इंटीग्रल की मापनीयता

एक यादृच्छिक उपाय के लिए $\zeta$ , अभिन्न

\int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)

और

$\zeta (A):=\int \mathbf {1} _{A}(x)\zeta (\mathrm {d} x)$

सकारात्मक के लिए ${\mathcal {E}}$ -मापने योग्य $f$ मापने योग्य हैं, इसलिए वे यादृच्छिक चर हैं।

विशिष्टता

एक यादृच्छिक माप का वितरण विशिष्ट रूप से वितरण के माध्यम से निर्धारित किया जाता है

\int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)

कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ सभी निरंतर कार्यों के लिए $f$ पर $E$ . एक निश्चित मोटी हो जाओ के लिए ${\mathcal {I}}\subset {\mathcal {E}}$ जो उत्पन्न करता है ${\mathcal {E}}$ इस अर्थ में कि $\sigma ({\mathcal {I}})={\mathcal {E}}$ , एक यादृच्छिक माप का वितरण भी विशिष्ट रूप से सभी सकारात्मक सरल कार्यों पर अभिन्न अंग के माध्यम से निर्धारित किया जाता है ${\mathcal {I}}$ -मापने योग्य कार्य $f$ .^[6]

अपघटन

सामान्यतः एक उपाय को विघटित किया जा सकता है:

\mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},

यहाँ $\mu _{d}$ परमाणुओं के बिना एक विसरित माप है, जबकि $\mu _{a}$ विशुद्ध रूप से परमाणु माप है।

रैंडम काउंटिंग माप

प्रपत्र का एक यादृच्छिक माप:

\mu =\sum _{n=1}^{N}\delta _{X_{n}},

यहाँ $\delta$ डिराक उपाय है, और $X_{n}$ यादृच्छिक चर हैं, जिसे एक बिंदु प्रक्रिया^[1]^[2]या यादृच्छिक गिनती उपाय कहा जाता है। यह यादृच्छिक माप उन N कणों के सेट का वर्णन करता है, जिनके स्थान (सामान्य रूप से वेक्टर मूल्यवान) यादृच्छिक चर $X_{n}$ के माध्यम से दिए जाते हैं। गलनात्मक घटक $\mu _{d}$ गणना माप के लिए शून्य होता है।

उपरोक्त रूपांतर की औपचारिक टिप्पणी में, एक यादृच्छिक गणना माप एक प्रायिकता अंतराल से एक निर्दिष्ट लोग विश्लेषण में एक मापदंड है। यहाँ ( $N_{X}$ , ${\mathfrak {B}}(N_{X})$ ) मापने योग्य स्थान के सारे सीमित संख्यात्मक मापों (गणना माप) के लिए एक न्यूनतम से अधिक मापने वाले स्थान हैं। यहाँ $N_{X}$ सभी परिमित पूर्णांक-मूल्यवान उपायों का स्थान है $N\in M_{X}$ (गणना उपाय कहा जाता है)।

अपेक्षा माप की परिभाषाएँ, लाप्लास कार्यात्मक, क्षण उपाय और यादृच्छिक उपायों के लिए स्थिरता बिंदु प्रक्रियाओं का अनुसरण करती हैं। रैंडम उपाय मोंटे कार्लो विधियों के विवरण और विश्लेषण में उपयोगी होते हैं, जैसे मोंटे कार्लो संख्यात्मक क्वाड्रेचर और कण फिल्टर के वर्णन और विश्लेषण में उपयोगी होते हैं।^[7]

यह भी देखें

जहर यादृच्छिक माप
वेक्टर माप
वितरण पहनावा

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Kallenberg, O., Random Measures, 4th edition. Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin (1986). ISBN 0-12-394960-2 MR854102. An authoritative but rather difficult reference.
↑ ^2.0 ^2.1 Jan Grandell, Point processes and random measures, Advances in Applied Probability 9 (1977) 502-526. MR0478331 JSTOR A nice and clear introduction.
↑ ^3.0 ^3.1 Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. Vol. 77. Switzerland: Springer. p. 1. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
↑ Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 526. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
↑ Daley, D. J.; Vere-Jones, D. (2003). An Introduction to the Theory of Point Processes. Probability and its Applications. doi:10.1007/b97277. ISBN 0-387-95541-0.
↑ Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. Vol. 77. Switzerland: Springer. p. 52. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
↑ "Crisan, D., Particle Filters: A Theoretical Perspective, in Sequential Monte Carlo in Practice, Doucet, A., de Freitas, N. and Gordon, N. (Eds), Springer, 2001, ISBN 0-387-95146-6

[RN-1] 1.0 ^1.1 Kallenberg, O., Random Measures, 4th edition. Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin (1986). ISBN 0-12-394960-2 MR854102. An authoritative but rather difficult reference.

[G-2] 2.0 ^2.1 Jan Grandell, Point processes and random measures, Advances in Applied Probability 9 (1977) 502-526. MR0478331 JSTOR A nice and clear introduction.

[Kallenberg1-3] 3.0 ^3.1 Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. Vol. 77. Switzerland: Springer. p. 1. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[Klenke526-4] Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 526. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[daleyPPI2003-5] Daley, D. J.; Vere-Jones, D. (2003). An Introduction to the Theory of Point Processes. Probability and its Applications. doi:10.1007/b97277. ISBN 0-387-95541-0.

[Kallenberg52-6] Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. Vol. 77. Switzerland: Springer. p. 52. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.

[crisan-7] "Crisan, D., Particle Filters: A Theoretical Perspective, in Sequential Monte Carlo in Practice, Doucet, A., de Freitas, N. and Gordon, N. (Eds), Springer, 2001, ISBN 0-387-95146-6

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 == एक संक्रमण कर्नेल   ==
-एक यादृच्छिक उपाय <math> \zeta </math> एक (लगभग निश्चित रूप से | a.s.) एक (अमूर्त) [[संभाव्यता स्थान]] से [[स्थानीय रूप से परिमित माप]] संक्रमण कर्नेल है <math> (\Omega, \mathcal A, P) </math> को <math> (E, \mathcal E) </math>.<ref name="Kallenberg1" />
+एक यादृच्छिक उपाय <math> \zeta </math> एक (अधिकतर निश्चित रूप से | a.s.) एक (अमूर्त) [[संभाव्यता स्थान]] से [[स्थानीय रूप से परिमित माप]] संक्रमण कर्नेल है <math> (\Omega, \mathcal A, P) </math> को <math> (E, \mathcal E) </math>.<ref name="Kallenberg1" />
-ट्रांज़िशन कर्नेल होने का मतलब है कि
+ट्रांज़िशन कर्नेल होने का अर्थ है कि
 * किसी निश्चित के लिए <math> B \in \mathcal \mathcal E </math>, मैपिंग
 :<math> \omega \mapsto \zeta(\omega,B) </math>
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 स्थानीय रूप से परिमित होने का अर्थ है कि उपाय
 :<math> B \mapsto \zeta(\omega, B) </math>
-संतुष्ट करना <math> \zeta(\omega,\tilde B) < \infty </math> सभी परिबद्ध औसत दर्जे के सेट के लिए <math> \tilde B \in \mathcal E </math> और सभी के लिए <math> \omega \in \Omega </math> कुछ को छोड़कर <math> P </math>-[[शून्य सेट]]
+संतुष्ट करना <math> \zeta(\omega,\tilde B) < \infty </math> सभी परिबद्ध औसत अंकिते के सेट के लिए <math> \tilde B \in \mathcal E </math> और सभी के लिए <math> \omega \in \Omega </math> कुछ को छोड़कर <math> P </math>-[[शून्य सेट]]
 [[अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया]] के संदर्भ में, स्टोकेस्टिक कर्नेल, संभाव्यता कर्नेल और मार्कोव कर्नेल की संबंधित अवधारणा है।
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 परिभाषित करना
 :<math> \tilde \mathcal  M:= \{ \mu \mid \mu \text{ is measure on } (E, \mathcal E) \} </math>
-और द्वारा स्थानीय रूप से परिमित उपायों का सबसेट
+और  के माध्यम से स्थानीय रूप से परिमित उपायों का सबसेट
 :<math> \mathcal M:= \{ \mu \in \tilde \mathcal M \mid \mu(\tilde B) < \infty \text{ for all bounded measurable } \tilde B \in \mathcal E \} </math>
 मापने योग्य सभी के लिए <math> \tilde B </math>, मैपिंग को परिभाषित करें
 :<math> I_{\tilde B } \colon \mu \mapsto \mu(\tilde B)  </math>
-से <math> \tilde \mathcal M </math> को <math> \R </math>. होने देना <math> \tilde \mathbb M </math> हो <math> \sigma </math> मैपिंग द्वारा प्रेरित बीजगणित <math> I_{\tilde B } </math> पर <math> \tilde \mathcal M </math> और <math> \mathbb M </math>  <math> \sigma </math>मैपिंग द्वारा प्रेरित बीजगणित <math> I_{\tilde B } </math> पर <math> \mathcal M </math>. ध्यान दें कि <math> \tilde\mathbb M|_{\mathcal M}= \mathbb M </math>.
+से <math> \tilde \mathcal M </math> को <math> \R </math>. होने देना <math> \tilde \mathbb M </math> हो <math> \sigma </math> मैपिंग  के माध्यम से प्रेरित बीजगणित <math> I_{\tilde B } </math> पर <math> \tilde \mathcal M </math> और <math> \mathbb M </math>  <math> \sigma </math> मैपिंग  के माध्यम से प्रेरित बीजगणित <math> I_{\tilde B } </math> पर <math> \mathcal M </math>. ध्यान दें कि <math> \tilde\mathbb M|_{\mathcal M}= \mathbb M </math>.
-एक यादृच्छिक माप एक यादृच्छिक तत्व है <math> (\Omega, \mathcal A, P) </math> को <math> (\tilde \mathcal M, \tilde \mathbb M) </math> यह लगभग निश्चित रूप से मान लेता है <math> (\mathcal M, \mathbb M) </math><ref name="Kallenberg1" /><ref name="Klenke526" /><ref name="daleyPPI2003"/>
+एक यादृच्छिक माप एक यादृच्छिक तत्व है <math> (\Omega, \mathcal A, P) </math> को <math> (\tilde \mathcal M, \tilde \mathbb M) </math> यह अधिकतर निश्चित रूप से मान लेता है <math> (\mathcal M, \mathbb M) </math><ref name="Kallenberg1" /><ref name="Klenke526" /><ref name="daleyPPI2003"/>
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 एक यादृच्छिक उपाय के लिए <math> \zeta</math>, पैमाना <math> \operatorname E \zeta </math> संतुष्टि देने वाला
 :<math> \operatorname E \left[ \int f(x) \; \zeta (\mathrm dx )\right] = \int f(x) \; \operatorname E \zeta (\mathrm dx)</math>
-प्रत्येक सकारात्मक मापने योग्य कार्य के लिए <math> f </math> की तीव्रता का मापक कहलाता है <math> \zeta </math>. तीव्रता माप हर यादृच्छिक माप के लिए मौजूद है और एक एस-परिमित माप है।
+प्रत्येक सकारात्मक मापने योग्य कार्य के लिए <math> f </math> की तीव्रता का मापक कहलाता है <math> \zeta </math>. तीव्रता माप हर यादृच्छिक माप के लिए सम्मलित है और एक एस-परिमित माप है।
 === सहायक उपाय ===
 एक यादृच्छिक उपाय के लिए <math> \zeta</math>, पैमाना <math> \nu </math> संतुष्टि देने वाला
 :<math> \int f(x) \; \zeta(\mathrm dx )=0 \text{ a.s. } \text{ iff } \int f(x) \; \nu (\mathrm dx)=0</math>
-सभी सकारात्मक मापने योग्य कार्यों के लिए सहायक उपाय कहा जाता है <math> \zeta</math>. सहायक उपाय सभी यादृच्छिक उपायों के लिए मौजूद है और परिमित होने के लिए चुना जा सकता है।
+सभी सकारात्मक मापने योग्य कार्यों के लिए सहायक उपाय कहा जाता है <math> \zeta</math>. सहायक उपाय सभी यादृच्छिक उपायों के लिए सम्मलित है और परिमित होने के लिए चुना जा सकता है।
 === लाप्लास रूपांतरण ===
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 === विशिष्टता ===
-एक यादृच्छिक माप का वितरण विशिष्ट रूप से वितरण द्वारा निर्धारित किया जाता है
+एक यादृच्छिक माप का वितरण विशिष्ट रूप से वितरण  के माध्यम से निर्धारित किया जाता है
 :<math> \int f(x) \zeta(\mathrm dx) </math>
-कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ सभी निरंतर कार्यों के लिए <math> f </math> पर <math> E </math>. एक निश्चित [[ मोटी हो जाओ ]] के लिए <math> \mathcal I \subset \mathcal E </math> जो उत्पन्न करता है <math> \mathcal E </math> इस अर्थ में कि <math> \sigma(\mathcal I)=\mathcal E </math>, एक यादृच्छिक माप का वितरण भी विशिष्ट रूप से सभी सकारात्मक [[सरल कार्य]]ों पर अभिन्न अंग द्वारा निर्धारित किया जाता है <math> \mathcal I </math>-मापने योग्य कार्य <math> f </math>.<ref name="Kallenberg52" />
+कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ सभी निरंतर कार्यों के लिए <math> f </math> पर <math> E </math>. एक निश्चित [[ मोटी हो जाओ ]] के लिए <math> \mathcal I \subset \mathcal E </math> जो उत्पन्न करता है <math> \mathcal E </math> इस अर्थ में कि <math> \sigma(\mathcal I)=\mathcal E </math>, एक यादृच्छिक माप का वितरण भी विशिष्ट रूप से सभी सकारात्मक [[सरल कार्य]]ों पर अभिन्न अंग  के माध्यम से निर्धारित किया जाता है <math> \mathcal I </math>-मापने योग्य कार्य <math> f </math>.<ref name="Kallenberg52" />
 === अपघटन ===
-आम तौर पर एक उपाय को विघटित किया जा सकता है:
+सामान्यतः एक उपाय को विघटित किया जा सकता है:
 :<math> \mu=\mu_d + \mu_a = \mu_d + \sum_{n=1}^N \kappa_n \delta_{X_n}, </math>
 यहाँ <math>\mu_d</math> परमाणुओं के बिना एक विसरित माप है, जबकि <math>\mu_a</math> विशुद्ध रूप से परमाणु माप है।
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 :<math> \mu=\sum_{n=1}^N \delta_{X_n}, </math>
-यहाँ <math>\delta</math> डिराक उपाय है, और <math>X_n</math> यादृच्छिक चर हैं, जिसे एक बिंदु प्रक्रिया<ref name="RN"/><ref name="G"/>या [[यादृच्छिक गिनती उपाय]] कहा जाता है। यह यादृच्छिक माप उन N कणों के सेट का वर्णन करता है, जिनके स्थान (सामान्य रूप से वेक्टर मूल्यवान) यादृच्छिक चर <math>X_n</math> द्वारा दिए जाते हैं। गलनात्मक घटक <math>\mu_d</math> गणना माप के लिए शून्य होता है।
+यहाँ <math>\delta</math> डिराक उपाय है, और <math>X_n</math> यादृच्छिक चर हैं, जिसे एक बिंदु प्रक्रिया<ref name="RN"/><ref name="G"/>या [[यादृच्छिक गिनती उपाय]] कहा जाता है। यह यादृच्छिक माप उन N कणों के सेट का वर्णन करता है, जिनके स्थान (सामान्य रूप से वेक्टर मूल्यवान) यादृच्छिक चर <math>X_n</math>  के माध्यम से दिए जाते हैं। गलनात्मक घटक <math>\mu_d</math> गणना माप के लिए शून्य होता है।
 उपरोक्त रूपांतर की औपचारिक टिप्पणी में, एक यादृच्छिक गणना माप एक प्रायिकता अंतराल से एक निर्दिष्ट लोग विश्लेषण में एक मापदंड है। यहाँ {{nowrap|(<math>N_X</math>,&thinsp;<math>\mathfrak{B}(N_X)</math>)}} [[मापने योग्य स्थान]] के सारे सीमित संख्यात्मक मापों (गणना माप) के लिए एक न्यूनतम से अधिक मापने वाले स्थान हैं। यहाँ <math>N_X</math> सभी परिमित पूर्णांक-मूल्यवान उपायों का स्थान है <math>N \in M_X</math> (गणना उपाय कहा जाता है)।

v t e Measure theory
Basic concepts	Absolute continuity Lebesgue integration L^p spaces Measure Measure space Probability space Measurable space/function
Sets	Almost everywhere Baire set Borel set Carathéodory's criterion Convergence in measure 𝜆-system Essential range infimum/supremum Locally measurable [[Pi-system\| $π$ -system]] σ-algebra Non-measurable set Vitali set Null set Support Transverse measure
Types of Measures	Baire Banach Besov Borel Complex Complete Content (Logarithmically) Convex Discrete Finite Inner (Quasi-) Invariant Locally finite Maximising Metric outer Outer Perfect Pre-measure (Sub-) Probability Projection-valued Radon Random Regular Borel regular Inner regular Outer regular Saturated Set function σ-finite s-finite Signed Singular Spectral Strictly positive Tight Vector
Particular measures	Counting Dirac Euler Gaussian Haar Harmonic Hausdorff Intensity Lebesgue Logarithmic Product Pushforward Spherical measure Tangent Trivial Young
Main results	Carathéodory's extension theorem Convergence theorems Dominated Monotone Vitali Decomposition theorems Hahn Jordan Maharam's Egorov's Fatou's lemma Fubini's Fubini–Tonelli Hölder's inequality Minkowski inequality Radon–Nikodym Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
Other results	Disintegration theorem Lifting theory Lebesgue's density theorem Lebesgue differentiation theorem Sard's theorem
Applications & related	Probability theory Real analysis Spectral theory

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