क्रमचय की समानता

4 तत्वों के क्रमचय

विषम क्रमपरिवर्तन की पृष्ठभूमि हरे या नारंगी रंग की होती है। दाहिने कॉलम में संख्याएँ व्युत्क्रम (असतत गणित) संख्याएँ हैं (sequence A034968 in the OEIS), जिसमें क्रमचय के समान समानता (गणित) है।

गणित में जब X कम से कम दो तत्वों के साथ एक परिमित समुच्चय होता है। तो X के क्रमचय (अर्थात X से X तक के विशेषण कार्य) समान आकार के दो वर्गों में आते हैं। 'सम क्रमपरिवर्तन' और 'विषम क्रमपरिवर्तन' यदि X का कोई कुल क्रम निश्चित है। तो क्रमपरिवर्तन की 'समता' ('विषमता' या 'समानता') $\sigma$ X को σ के लिए व्युत्क्रमण (असतत गणित) की संख्या की समानता के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अर्थात X के तत्वों x,  y के जोड़े जैसे कि x < y और σ(x) > σ(y).

किसी क्रमचय σ के चिह्न हस्ताक्षर या चिह्न को sgn(σ) दर्शाया जाता है और यदि σ सम है। तो +1 के रूप में परिभाषित किया जाता है और -1 यदि σ विषम है। हस्ताक्षर सममित समूह S_n के वैकल्पिक चरित्र (गणित) को परिभाषित करता है। क्रमचय के चिह्न के लिए एक अन्य संकेत अधिक सामान्य लेवी-सिविता प्रतीक (ε_σ) जो X से X तक के सभी नक्शों के लिए परिभाषित है और बायजेक्शन के लिए मान शून्य है। गैर-विशेषण मानचित्र।

एक क्रमचय का संकेत स्पष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है

sgn(σ) = (−1)^N(σ)

जहां N(σ) σ में व्युत्क्रम (असतत गणित) की संख्या है।

वैकल्पिक रूप से क्रमचय के चिह्न σ को इसके अपघटन से स्थानान्तरण (गणित) के उत्पाद में परिभाषित किया जा सकता है।

sgn(σ) = (−1)^m

जहाँ m अपघटन में स्थानान्तरण की संख्या है। चूंकि इस तरह का एक अपघटन अद्वितीय नहीं है। सभी अपघटन में परिवर्तनों की संख्या की समानता समान है। जिसका अर्थ है कि क्रमचय का संकेत अच्छी तरह से परिभाषित है।

उदाहरण

सेट के क्रमचय σ पर विचार करें {1, 2, 3, 4, 5} द्वारा परिभाषित $\sigma (1)=3,$ $\sigma (2)=4,$ $\sigma (3)=5,$ $\sigma (4)=2,$ और $\sigma (5)=1.$ एक-पंक्ति संकेतन में इस क्रमचय को 34521 दर्शाया गया है। इसे पहचान क्रमचय 12345 से तीन परिवर्तनों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। पहले संख्या 2 और 4 का आदान-प्रदान करें। फिर 3 और 5 का आदान-प्रदान करें और अंत में 1 और 3 का आदान-प्रदान करें। यह दर्शाता है कि दिया गया क्रमचय σ विषम है। क्रमपरिवर्तन # साइकिल नोटेशन लेख की विधि का अनुसरण करते हुए इसे बाएँ से दाएँ लिखते हुए लिखा जा सकता है। जैसा कि

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&4&5&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}}.$

उदाहरण के लिए ट्रांसपोज़िशन की कार्यात्मक संरचना के रूप में σ लिखने के कई अन्य तरीके हैं।

σ = (1 5)(3 4)(2 4)(1 2)(2 3),

लेकिन इसे सम संख्या के रूपांतरणों के उत्पाद के रूप में लिखना असंभव है।

गुण

पहचान क्रमचय एक समान क्रमचय है। एक समान क्रमचय को एक सम और विषम संख्याओं की संरचना के रूप में प्राप्त किया जा सकता है और केवल दो तत्वों के आदान-प्रदान (जिन्हें ट्रांसपोजिशन (गणित) कहा जाता है) की समान संख्या है। जबकि एक विषम क्रमपरिवर्तन (केवल) विषम संख्या में ट्रांसपोज़िशन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

निम्नलिखित नियम पूर्णांकों के योग के बारे में संबंधित नियमों से सीधे अनुसरण करते हैं। दो सम क्रमचयों का संघटन सम होता है।

• दो विषम क्रमचयों का संघटन सम होता है।
• विषम और सम क्रमचय का संयोजन विषम होता है।

इनसे यह अनुसरण करता है।

• प्रत्येक सम क्रमचय का व्युत्क्रम सम होता है।
• प्रत्येक विषम क्रमचय का व्युत्क्रम विषम होता है।

सममित समूह एस को ध्यान में रखते हुए_n सेट {1, ..., n} के सभी क्रमपरिवर्तनों में हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मानचित्र

sgn: S_n → {−1, 1} 

जो प्रत्येक क्रमचय को निर्दिष्ट करता है उसका हस्ताक्षर एक समूह समरूपता है।

इसके अतिरिक्त हम देखते हैं कि सम क्रमपरिवर्तन S_n का एक उपसमूह बनाते हैं। यह n अक्षरों पर वैकल्पिक समूह है। जिसे A_n द्वारा दर्शाया गया है। यह होमोमोर्फिज्म एसजीएन का कर्नेल (बीजगणित) है। विषम क्रमचय एक उपसमूह नहीं बना सकते हैं। क्योंकि दो विषम क्रमपरिवर्तन का योग सम है। लेकिन वे An (Sn में) का सहसमुच्चय बनाते हैं

अगर n > 1 तो S_n में उतने ही सम क्रमपरिवर्तन हैं। जैसा कि विषम हैं। परिणामस्वरूप, An में n!/2 क्रमचय होते हैं। (कारण यह है कि यदि σ सम है। (1  2)σ विषम है और यदि σ विषम है। तो (1  2)σ सम है और ये दोनों मानचित्र एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं।)

एक चक्रीय क्रमचय सम है। यदि केवल इसकी लंबाई विषम है। यह जैसे सूत्रों से होता है।

$(a\ b\ c\ d\ e)=(d\ e)(c\ e)(b\ e)(a\ e){\text{ or }}(a\ b)(b\ c)(c\ d)(d\ e).$

व्यवहार में यह निर्धारित करने के लिए कि क्या दिया गया क्रमचय सम या विषम है। कोई क्रमचय को असंयुक्त चक्रों के उत्पाद के रूप में लिखता है। क्रमचय विषम है और केवल गुणनखंड में सम-लंबाई वाले चक्रों की संख्या विषम है।

एक दिया गया क्रमचय सम या विषम है। यह निर्धारित करने के लिए एक अन्य विधि संबंधित क्रमचय मैट्रिक्स का निर्माण करना और उसके निर्धारक की गणना करना है। निर्धारक का मान क्रमचय की समानता के समान है।

विषम क्रम (समूह सिद्धांत) का प्रत्येक क्रमचय सम होना चाहिए। क्रमपरिवर्तन (1 2)(3 4) में A₄ दर्शाता है। कि इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है।

दो परिभाषाओं की समानता

यह खंड प्रमाण प्रस्तुत करता है कि क्रमचय σ की समानता को दो समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है:

• σ (किसी भी क्रम में) में व्युत्क्रमों की संख्या की समानता के रूप में।
• ट्रांसपोज़िशन की संख्या की समानता के रूप में जिसे σ को विघटित किया जा सकता है (हालाँकि हम इसे विघटित करना चुनते हैं)।

Proof 1

Let σ be a permutation on a ranked domain S. Every permutation can be produced by a sequence of transpositions (2-element exchanges). Let the following be one such decomposition

σ = T₁ T₂ ... T_k

We want to show that the parity of k is equal to the parity of the number of inversions of σ.

Every transposition can be written as a product of an odd number of transpositions of adjacent elements, e.g.

(2 5) = (2 3) (3 4) (4 5) (4 3) (3 2).

Generally, we can write the transposition (i i+d) on the set {1,...,i,...,i+d,...} as the composition of 2d−1 adjacent transpositions by recursion on d:

• The base case d=1 is trivial.

• In the recursive case, first rewrite (i, i+d) as (i, i+1) (i+1, i+d) (i, i+1). Then recursively rewrite (i+1, i+d) as adjacent transpositions.

If we decompose in this way each of the transpositions T₁ ... T_k above, we get the new decomposition:

σ = A₁ A₂ ... A_m

where all of the A₁...A_m are adjacent. Also, the parity of m is the same as that of k.

This is a fact: for all permutation τ and adjacent transposition a, aτ either has one less or one more inversion than τ. In other words, the parity of the number of inversions of a permutation is switched when composed with an adjacent transposition.

Therefore, the parity of the number of inversions of σ is precisely the parity of m, which is also the parity of k. This is what we set out to prove.

We can thus define the parity of σ to be that of its number of constituent transpositions in any decomposition. And this must agree with the parity of the number of inversions under any ordering, as seen above. Therefore, the definitions are indeed well-defined and equivalent.

Proof 2

An alternative proof uses the Vandermonde polynomial

$P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j}).$

So for instance in the case n = 3, we have

$P(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})(x_{1}-x_{3}).$

Now for a given permutation σ of the numbers {1, ..., n}, we define

$\operatorname {sgn}(\sigma )={\frac {P(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}{P(x_{1},\ldots ,x_{n})}}.$

Since the polynomial $P(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})$ has the same factors as $P(x_{1},\dots ,x_{n})$ except for their signs, it follows that sgn(σ) is either +1 or −1. Furthermore, if σ and τ are two permutations, we see that

${\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sigma \tau )&={\frac {P(x_{\sigma (\tau (1))},\ldots ,x_{\sigma (\tau (n))})}{P(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\\[4pt]&={\frac {P(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}{P(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\cdot {\frac {P(x_{\sigma (\tau (1))},\ldots ,x_{\sigma (\tau (n))})}{P(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}}\\[4pt]&=\operatorname {sgn}(\sigma )\cdot \operatorname {sgn}(\tau ).\end{aligned}}$

Since with this definition it is furthermore clear that any transposition of two elements has signature −1, we do indeed recover the signature as defined earlier.

Proof 3

A third approach uses the presentation of the group S_n in terms of generators τ₁, ..., τ_n−1 and relations

• $\tau _{i}^{2}=1$  for all i
• $\tau _{i}^{}\tau _{i+1}\tau _{i}=\tau _{i+1}\tau _{i}\tau _{i+1}$   for all i < n − 1
• $\tau _{i}^{}\tau _{j}=\tau _{j}\tau _{i}$   if $|i-j|\geq 2.$

[Here the generator $\tau _{i}$ represents the transposition (i, i + 1).] All relations keep the length of a word the same or change it by two. Starting with an even-length word will thus always result in an even-length word after using the relations, and similarly for odd-length words. It is therefore unambiguous to call the elements of S_n represented by even-length words "even", and the elements represented by odd-length words "odd".

Proof 4

Recall that a pair x, y such that x < y and σ(x) > σ(y) is called an inversion. We want to show that the count of inversions has the same parity as the count of 2-element swaps. To do that, we can show that every swap changes the parity of the count of inversions, no matter which two elements are being swapped and what permutation has already been applied. Suppose we want to swap the ith and the jth element. Clearly, inversions formed by i or j with an element outside of [i, j] will not be affected. For the n = j − i − 1 elements within the interval (i, j), assume v_i of them form inversions with i and v_j of them form inversions with j. If i and j are swapped, those v_i inversions with i are gone, but n − v_i inversions are formed. The count of inversions i gained is thus n − 2v_i, which has the same parity as n.

Similarly, the count of inversions j gained also has the same parity as n. Therefore, the count of inversions gained by both combined has the same parity as 2n or 0. Now if we count the inversions gained (or lost) by swapping the ith and the jth element, we can see that this swap changes the parity of the count of inversions, since we also add (or subtract) 1 to the number of inversions gained (or lost) for the pair (i,j).

Note that initially when no swap is applied, the count of inversions is 0. Now we obtain equivalence of the two definitions of parity of a permutation.

Proof 5

Consider the elements that are sandwiched by the two elements of a transposition. Each one lies completely above, completely below, or in between the two transposition elements.

An element that is either completely above or completely below contributes nothing to the inversion count when the transposition is applied. Elements in-between contribute $2$.

As the transposition itself supplies $\pm 1$ inversion, and all others supply 0 (mod 2) inversions, a transposition changes the parity of the number of inversions.

अन्य परिभाषाएं और प्रमाण

के क्रमचय की समता $n$ इसके चक्रीय क्रमपरिवर्तन में अंक भी एन्कोड किए गए हैं।

माना σ = (i₁ i₂ ... मैं_r+1)(जे₁ j₂ ... जे_s+1)...(ℓ₁ ℓ₂ ... ℓ_u+1) अद्वितीय चक्र संकेतन हो | σ का असंयुक्त चक्रों में अपघटन, जिसे किसी भी क्रम में बनाया जा सकता है क्योंकि वे यात्रा करते हैं। एक चक्र (a b c ... x y z) शामिल है k + 1 अंक हमेशा के ट्रांसपोजिशन (2-चक्र) बनाकर प्राप्त किए जा सकते हैं:

$(a\ b\ c\dots x\ y\ z)=(a\ b)(b\ c)\dots (x\ y)(y\ z),$

इसलिए k को चक्र का आकार कहते हैं, और निरीक्षण करते हैं कि, इस परिभाषा के तहत, ट्रांसपोज़िशन आकार 1 के चक्र हैं। अपघटन से m विसंक्रमित चक्रों में हम σ का अपघटन प्राप्त कर सकते हैं k₁ + k₂ + ... + k_m स्थानान्तरण, जहाँ k_i iवें चक्र का आकार है। जो नंबर N(σ) = k₁ + k₂ + ... + k_m को σ का विवेचक कहा जाता है, और इसकी गणना भी की जा सकती है

$n{\text{ minus the number of disjoint cycles in the decomposition of }}\sigma$

अगर हम σ के निश्चित बिंदुओं को 1-चक्र के रूप में शामिल करने का ख्याल रखते हैं।

मान लीजिए कि एक क्रमचय σ के बाद एक स्थानान्तरण (a b) लागू किया जाता है। जब a और b σ के विभिन्न चक्रों में होते हैं तब

$(a\ b)(a\ c_{1}\ c_{2}\dots c_{r})(b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})=(a\ c_{1}\ c_{2}\dots c_{r}\ b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})$,

और अगर ए और बी σ के एक ही चक्र में हैं तो

$(a\ b)(ac_{1}c_{2}\dots c_{r}\ b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})=(a\ c_{1}\ c_{2}\dots c_{r})(b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})$.

किसी भी मामले में, यह देखा जा सकता है N((a b)σ) = N(σ) ± 1, इसलिए N((a b)σ) की समता N(σ) की समता से भिन्न होगी।

अगर σ = t₁t₂ ... t_r एक क्रमचय σ का मनमाना अपघटन है, r ट्रांसपोज़िशन को लागू करके $t_{1}$ टी के बाद₂ के बाद ... टी के बाद_r सर्वसमिका (जिसका N शून्य है) के बाद निरीक्षण करें कि N(σ) और r में समानता है। σ की समता को N(σ) की समता के रूप में परिभाषित करके, एक क्रमचय जिसमें एक समान लंबाई का अपघटन होता है, एक सम क्रमचय होता है और एक क्रमचय जिसमें एक विषम लंबाई का अपघटन होता है, एक विषम क्रमचय होता है।

टिप्पणियां

• उपर्युक्त तर्क की सावधानीपूर्वक जांच से पता चलता है r ≥ N(σ), और चक्रों में σ के किसी भी अपघटन के बाद से जिनके आकार r के बराबर होते हैं, उन्हें r पारदर्शिता की संरचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, संख्या N(σ) σ के अपघटन में चक्रों के आकार का न्यूनतम संभव योग है, जिसमें शामिल है ऐसे मामले जिनमें सभी चक्र स्थानान्तरण हैं।
• यह प्रमाण उन बिंदुओं के सेट में (संभवतः मनमाना) आदेश नहीं देता है जिन पर σ कार्य करता है।

सामान्यीकरण

समता को कॉक्सेटर समूहों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है: एक लंबाई फ़ंक्शन ℓ(v) को परिभाषित करता है, जो जनरेटर की पसंद पर निर्भर करता है (सममित समूह के लिए, आसन्न पारदर्शिता), और फिर फ़ंक्शन v ↦ (−1)^ℓ(v) एक सामान्यीकृत साइन मैप देता है।

यह भी देखें

• पंद्रह पहेली एक क्लासिक अनुप्रयोग है
• ज़ोलोटारेव की लेम्मा

संदर्भ

• Weisstein, Eric W. "Even Permutation". MathWorld.
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Vol. 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Rotman, J.J. (1995). An introduction to the theory of groups. Graduate texts in mathematics. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94285-8.
• Goodman, Frederick M. Algebra: Abstract and Concrete. ISBN 978-0-9799142-0-1.
• Meijer, Paul Herman Ernst; Bauer, Edmond (2004). Group theory: the application to quantum mechanics. Dover classics of science and mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43798-9.