हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन: Difference between revisions

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== सिद्धांत का कथन ==
== सिद्धांत का कथन ==
लेट <math>\mathbf{F}</math> एक बंधे हुए डोमेन पर एक सदिश क्षेत्र पर <math>V\subseteq\mathbb{R}^3</math>, जो अंदर से दो बार लगातार भिन्न होता है <math>V</math>, और जाने <math>S</math> वह सतह हो जो डोमेन को घेरती है <math>V</math>. तब <math>\mathbf{F}</math> कर्ल-मुक्त घटक और विचलन-मुक्त घटक में विघटित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |url=http://www.cems.uvm.edu/~oughstun/LectureNotes141/Topic_03_(Helmholtz'%20Theorem).pdf |title=हेल्महोल्ट्ज प्रमेय|publisher=University of Vermont| access-date=2011-03-11 | archive-url=https://web.archive.org/web/20120813005804/http://www.cems.uvm.edu/~oughstun/LectureNotes141/Topic_03_(Helmholtz'%20Theorem).pdf| archive-date=2012-08-13| url-status=dead}}</ref>
मान लीजिए <math>\mathbf{F}</math> एक सहबद्ध डोमेन पर एक सदिश क्षेत्र <math>V\subseteq\mathbb{R}^3</math>, जो अंदर से दो बार लगातार भिन्न होता है <math>V</math>, और <math>S</math> वह सतह, जो डोमेन को घेरती है <math>V</math>. तब <math>\mathbf{F}</math> कर्ल-मुक्त घटक और विचलन-मुक्त घटक में विघटित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |url=http://www.cems.uvm.edu/~oughstun/LectureNotes141/Topic_03_(Helmholtz'%20Theorem).pdf |title=हेल्महोल्ट्ज प्रमेय|publisher=University of Vermont| access-date=2011-03-11 | archive-url=https://web.archive.org/web/20120813005804/http://www.cems.uvm.edu/~oughstun/LectureNotes141/Topic_03_(Helmholtz'%20Theorem).pdf| archive-date=2012-08-13| url-status=dead}}</ref>


<math display="block">\mathbf{F}=-\nabla \Phi+\nabla\times\mathbf{A},</math>
<math display="block">\mathbf{F}=-\nabla \Phi+\nabla\times\mathbf{A},</math>
कहाँ
जहाँ
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\begin{align}
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== व्युत्पत्ति ==
== व्युत्पत्ति ==
मान लीजिए हमारे पास एक वेक्टर फलन है <math>\mathbf{F}(\mathbf{r})</math> जिनमें से हम कर्ल जानते हैं, <math>\nabla\times\mathbf{F}</math>, और विचलन, <math>\nabla\cdot\mathbf{F}</math>, सीमा पर डोमेन और क्षेत्र में। प्रपत्र में [[डेल्टा समारोह|डेल्टा फलन]] का उपयोग करके फलन लिखना
मान लीजिए हमारे पास एक सदिश फलन है <math>\mathbf{F}(\mathbf{r})</math> जिनमें से हम कर्ल जानते हैं, <math>\nabla\times\mathbf{F}</math>, और विचलन, <math>\nabla\cdot\mathbf{F}</math>,प्रपत्र में [[डेल्टा समारोह|डेल्टा फलन]] का उपयोग करके फलन का अंकन करना।
<math display="block">\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')=-\frac 1 {4\pi} \nabla^2 \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\, ,</math>
<math display="block">\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')=-\frac 1 {4\pi} \nabla^2 \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\, ,</math>
कहाँ <math>\nabla^2:=\nabla\cdot\nabla</math> लाप्लास ऑपरेटर है, हमारे पास है
कहाँ <math>\nabla^2:=\nabla\cdot\nabla</math> लाप्लास संचालक है, अपने पास है


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&=-\frac{1}{4\pi}\left[-\nabla\left(\int_V\mathbf{F}(\mathbf{r}')\cdot\nabla'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)-\nabla\times\left(\int_V\mathbf{F} (\mathbf{r}')\times\nabla'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right]
&=-\frac{1}{4\pi}\left[-\nabla\left(\int_V\mathbf{F}(\mathbf{r}')\cdot\nabla'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)-\nabla\times\left(\int_V\mathbf{F} (\mathbf{r}')\times\nabla'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right]
\end{align}</math>
\end{align}</math>
जहाँ हमने सदिश लाप्लासियन की परिभाषा का उपयोग किया है:
जहाँ , सदिश लाप्लासियन की परिभाषा का उपयोग किया है:
<math display="block">\nabla^{2}\mathbf{a}=\nabla (\nabla\cdot\mathbf{a})-\nabla\times (\nabla\times\mathbf{a}) \ ,</math>
<math display="block">\nabla^{2}\mathbf{a}=\nabla (\nabla\cdot\mathbf{a})-\nabla\times (\nabla\times\mathbf{a}) \ ,</math>
भेदभाव/एकीकरण के संबंध में <math>\mathbf r'</math>द्वारा <math>\nabla'/\mathrm dV',</math> और अंतिम पंक्ति में, फलन तर्कों की रैखिकता:
अवकलन/एकीकरण के संबंध में <math>\mathbf r'</math>द्वारा <math>\nabla'/\mathrm dV',</math> और अंतिम पंक्ति में, फलन तर्कों की रैखिकता:
<math display="block"> \nabla\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}=-\nabla'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\ .</math>
<math display="block"> \nabla\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}=-\nabla'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\ .</math>
फिर सदिश पहचान का उपयोग करना
फिर सदिश पहचान का उपयोग करना
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- \int_{V}\nabla'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\bigg].
- \int_{V}\nabla'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\bigg].
\end{align}</math>
\end{align}</math>
[[विचलन प्रमेय|विचलन सिद्धांत]] के लिए समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है
[[विचलन प्रमेय|विचलन सिद्धांत]] के कारण समीकरण को पुन: लिखा जा सकता है


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<math display="block">\Phi(\mathbf{r})\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'</math><math display="block">\mathbf{A}(\mathbf{r})\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'</math>हम अंत में प्राप्त करते हैं
<math display="block">\Phi(\mathbf{r})\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'</math><math display="block">\mathbf{A}(\mathbf{r})\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'</math>हम अंत में प्राप्त करते हैं
<math display="block">\mathbf{F}=-\nabla\Phi+\nabla\times\mathbf{A}.</math>
<math display="block">\mathbf{F}=-\nabla\Phi+\nabla\times\mathbf{A}.</math>
=== उच्च आयामों के लिए सामान्यीकरण ===
== टेंसर दृष्टिकोण ==


एक <math>d</math>-आयामी वेक्टर समष्टि के साथ <math>d\neq 3</math>, <math display="inline">-\frac{1}{4\pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}</math> उचित ग्रीन के कार्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए लाप्लासियन के लिए ग्रीन के कार्य करता है
एक <math>d</math>-आयामी वेक्टर समष्टि के साथ, <math>d\neq 3</math>, <math display="inline">-\frac{1}{4\pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}</math> को लाप्लासियन के लिए उचित ग्रीन के फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसे परिभाषित किया गया है
<math display="block">
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\nabla^2 G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \frac{\partial}{\partial r_\mu}\frac{\partial}{\partial r_\mu}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \delta^d(\mathbf{r}-\mathbf{r}')
\nabla^2 G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \frac{\partial}{\partial r_\mu}\frac{\partial}{\partial r_\mu}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \delta^d(\mathbf{r}-\mathbf{r}')
</math>
</math>
जहां इंडेक्स के लिए [[आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग किया जाता है <math>\mu</math>. उदाहरण के लिए, <math display="inline">G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\frac{1}{2\pi}\ln\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|</math> 2डी में।
जहां तालिका के लिए [[आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग किया जाता है <math>\mu</math>. उदाहरण के लिए, <math display="inline">G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\frac{1}{2\pi}\ln\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|</math> 2डी में।


ऊपर दिए गए चरणों का पालन करके हम लिख सकते हैं
ऊपर दिए गए चरणों का पालन करके हम लिख सकते हैं
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  = \delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
  = \delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
</math>
</math>
कहाँ <math>\delta_{\mu\nu}</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है (और योग सम्मेलन फिर से उपयोग किया जाता है)। ऊपर प्रयुक्त वेक्टर लाप्लासियन की परिभाषा के स्थान पर, अब हम लेवी-सिविता प्रतीक के लिए एक पहचान का उपयोग करते हैं <math>\varepsilon</math>,
जहाँ  <math>\delta_{\mu\nu}</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है (और योग सम्मेलन फिर से उपयोग किया जाता है)। ऊपर प्रयुक्त वेक्टर लाप्लासियन की परिभाषा के स्थान पर, अब हम लेवी-सिविता प्रतीक के लिए एक पहचान का उपयोग करते हैं <math>\varepsilon</math>,
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\varepsilon_{\alpha\mu\rho}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} = (d-2)!(\delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma} - \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho})
\varepsilon_{\alpha\mu\rho}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} = (d-2)!(\delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma} - \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho})
</math>
</math>
जो में मान्य है <math>d\ge 2</math> आयाम, कहाँ <math>\alpha</math> एक है <math>(d-2)</math>-कंपोनेंट [[मल्टी-इंडेक्स नोटेशन]] यह देता है
जो में मान्य है <math>d\ge 2</math> आयाम, जहाँ <math>\alpha</math> एक है <math>(d-2)</math>- [[मल्टी-इंडेक्स नोटेशन|घटक बहु-सूचकां]] होता है । इस तरह यह देता है
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F_\mu(\mathbf{r}) = \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
F_\mu(\mathbf{r}) = \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
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<math display="block">\mathbf{F} = - \nabla(\mathcal{G} (d)) + \nabla \times (\mathcal{G}(\mathbf{C})),</math>
<math display="block">\mathbf{F} = - \nabla(\mathcal{G} (d)) + \nabla \times (\mathcal{G}(\mathbf{C})),</math>
जहाँ <math>\mathcal{G}</math> न्यूटोनियन संभावित ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है। (जब सदिश क्षेत्र पर कार्य करते हैं,  जैसे {{math|∇ × '''F'''}}, तो इसे प्रत्येक घटक पर कार्य करने के लिए परिभाषित किया जाता है।)
जहाँ <math>\mathcal{G}</math> न्यूटोनियन संभावित संचालक  का प्रतिनिधित्व करता है। (जब सदिश क्षेत्र पर कार्य करते हैं,  जैसे {{math|∇ × '''F'''}}, तो इसे प्रत्येक घटक पर कार्य करने के लिए परिभाषित किया जाता है।)


== समाधान स्थान ==
== समाधान स्थान ==
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अगर <math>{\mathbf A'}_\lambda</math> एक और ऐसा सदिश क्षेत्र है,
अगर <math>{\mathbf A'}_\lambda</math> एक और ऐसा सदिश क्षेत्र है,
तब <math>\mathbf C = {\mathbf A}_\lambda -  {\mathbf A'}_\lambda</math> पूरा <math>\nabla \times {\mathbf C} = 0</math>, इस तरह <math>C = \nabla \varphi</math>
तब <math>\mathbf C = {\mathbf A}_\lambda -  {\mathbf A'}_\lambda</math> पूरा <math>\nabla \times {\mathbf C} = 0</math>, इस तरह <math>C = \nabla \varphi</math>
कुछ अदिश क्षेत्र के लिए <math>\varphi</math> (और इसके विपरीत)।
कुछ अदिश क्षेत्र के लिए <math>\varphi</math> (और इसके विपरीत)।


== विभेदक रूप ==
== विभेदक रूप ==
हॉज अपघटन हॉज अपघटन हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन से निकटता से संबंधित है, आर पर सदिश क्षेत्रों से सामान्यीकरण<sup>3</sup> [[रीमैनियन कई गुना]] एम पर [[विभेदक रूप]]ों के लिए। हॉज अपघटन के अधिकांश योगों के लिए एम को [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] होना आवश्यक है।<ref>{{cite journal| jstor=2695643| title=Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-Space| first1=Jason |last1=Cantarella |first2=Dennis |last2=DeTurck | first3=Herman|last3=Gluck|journal=The American Mathematical Monthly|volume=109|issue=5|year=2002 |pages=409–442 | doi=10.2307/2695643 }}</ref> चूँकि यह R के लिए सत्य नहीं है<sup>3</sup>, हॉज अपघटन सिद्धांत सख्ती से हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत का सामान्यीकरण नहीं है। चूँकि, हॉज अपघटन के सामान्य निर्माण में कॉम्पैक्टनेस प्रतिबंध को हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत का उचित सामान्यीकरण देते हुए, अंतर रूपों पर अनंत में उपयुक्त क्षय धारणाओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
हॉज अपघटन हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन से निकटता से संबंधित है, '''R'''<sup>3</sup> पर सदिश क्षेत्रों से एक [[रीमैनियन कई गुना]] M पर [[विभेदक रूप|विभेदक रूपो]] के लिए सामान्यीकरण किया जाता है। हॉज अपघटन के अधिकांश योगों के लिए M को[[ कॉम्पैक्ट जगह | सुसम्बद्ध]] होना आवश्यक है।<ref>{{cite journal| jstor=2695643| title=Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-Space| first1=Jason |last1=Cantarella |first2=Dennis |last2=DeTurck | first3=Herman|last3=Gluck|journal=The American Mathematical Monthly|volume=109|issue=5|year=2002 |pages=409–442 | doi=10.2307/2695643 }}</ref> चूँकि यह '''R'''<sup>3</sup> के लिए सत्य नहीं है, हॉज अपघटन प्रमेय सख्ती से हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत का सामान्यीकरण नहीं करता है। चूँकि, हॉज अपघटन के सामान्य निर्माण में संहतता प्रतिबंध को हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत का उचित सामान्यीकरण देते हुए, अंतर रूपों पर अनंत में उपयुक्त क्षय धारणाओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।


== कमजोर सूत्रीकरण ==
== कमजोर सूत्रीकरण ==
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<math display="block">\mathbf{u}=\nabla\varphi+\nabla \times \mathbf{A}</math>
<math display="block">\mathbf{u}=\nabla\varphi+\nabla \times \mathbf{A}</math>
जहाँ {{mvar|φ}} पर वर्ग- समाकलनीय फलन के सोबोलेफ समष्टि  {{math|''H''<sup>1</sup>(Ω)}}  जिसका आंशिक साधित वितरण सेंस में परिभाषित किया गया है, और {{math|'''A''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, वर्ग समाकलनीय कर्ल के साथ वर्ग समाकलनीय सदिश क्षेत्रों से युक्त सदिश क्षेत्रों का सोबोलेव स्थान होता है।
जहाँ {{mvar|φ}} पर वर्ग- समाकलनीय फलन के सोबोलेफ समष्टि  {{math|''H''<sup>1</sup>(Ω)}}  जिसका आंशिक साधित वितरण सेंस में परिभाषित किया गया है, और {{math|'''A''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, वर्ग समाकलनीय कर्ल के साथ वर्ग समाकलनीय सदिश क्षेत्रों से युक्त सदिश क्षेत्रों का सोबोलेव स्थान होता है।


थोड़े समतल सदिश क्षेत्र के लिए {{math|'''u''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, एक समान अपघटन धारण करता है:
थोड़े समतल सदिश क्षेत्र के लिए {{math|'''u''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, एक समान अपघटन धारण करता है:

Revision as of 02:12, 12 April 2023

भौतिकी और गणित में, वेक्टर कैलकुलस के क्षेत्र में, हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत,[1][2] जिसे वेक्टर कैलकुलस के मौलिक सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है,[3][4][5][6][7][8][9] यह बताता है कि किसी भी पर्याप्त रूप से समतल, तेजी से क्षय करने वाले वेक्टर क्षेत्र को तीन आयामों में एक अघूर्णनी (कर्ल -मुफ्त) सदिश क्षेत्र और परिनालिकीय क्षेत्र (विचलन -मुफ्त) सदिश क्षेत्र के योग में हल किया जा सकता है; इसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन या हेल्महोल्ट्ज़ प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है। इसका नाम हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ के नाम पर रखा गया है।[10]

जैसा कि एक अघूर्णी सदिश क्षेत्र में एक अदिश क्षमता होती है और एक परिनालिकीय सदिश क्षेत्र में सदिश क्षमता होती है, हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन बताता है कि सदिश क्षेत्र (उचित समतल और क्षय की स्थिति को संतुष्ट करते हुए) को योग के रूप में विघटित किया जा सकता है ,

जहाँ अदिश क्षेत्र होते है उसे अदिश विभव कहा जाता है, और A एक सदिश क्षेत्र है, जिसे सदिश विभव कहा जाता है।

सिद्धांत का कथन

मान लीजिए एक सहबद्ध डोमेन पर एक सदिश क्षेत्र , जो अंदर से दो बार लगातार भिन्न होता है , और वह सतह, जो डोमेन को घेरती है . तब कर्ल-मुक्त घटक और विचलन-मुक्त घटक में विघटित किया जा सकता है:[11]

जहाँ
और के संबंध में नाबला संचालिका होता है , नहीं .

अगर और इसलिए असीमित है, और कम से कम उतनी ही तेजी से लुप्‍त हो जाता है जैसा , तो एक है[12]

यह विशेष रूप से अगर है में दो बार लगातार अवकलनीय है और सीमित समर्थन का।

व्युत्पत्ति

मान लीजिए हमारे पास एक सदिश फलन है जिनमें से हम कर्ल जानते हैं, , और विचलन, ,प्रपत्र में डेल्टा फलन का उपयोग करके फलन का अंकन करना।

कहाँ लाप्लास संचालक है, अपने पास है

जहाँ , सदिश लाप्लासियन की परिभाषा का उपयोग किया है:
अवकलन/एकीकरण के संबंध में द्वारा और अंतिम पंक्ति में, फलन तर्कों की रैखिकता:
फिर सदिश पहचान का उपयोग करना

हम पाते हैं
विचलन सिद्धांत के कारण समीकरण को पुन: लिखा जा सकता है