हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन: Difference between revisions

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  <math>\nabla^2 \lambda = 0</math>, इस तरह <math>\lambda</math> हार्मोनिक है।
  <math>\nabla^2 \lambda = 0</math>, इस तरह <math>\lambda</math> हार्मोनिक है।


इसके विपरीत, कोई हार्मोनिक फलन दिया गया है <math>\lambda</math>,
इसके विपरीत, कोई हार्मोनिक फलन दिया गया है <math>\lambda</math>,<math>\nabla \lambda </math> के बाद से परिनालिकीय होता है
<math>\nabla \lambda </math> के बाद से solenoidal है
:<math>\nabla\cdot (\nabla \lambda) = \nabla^2 \lambda = 0.</math>
:<math>\nabla\cdot (\nabla \lambda) = \nabla^2 \lambda = 0.</math>
इस प्रकार, उपरोक्त खंड के अनुसार, एक सदिश क्षेत्र मौजूद है <math>{\mathbf A}_\lambda</math> ऐसा है कि
इस प्रकार, उपरोक्त खंड के अनुसार, एक सदिश क्षेत्र सम्मलित है <math>{\mathbf A}_\lambda</math> ऐसा है कि
<math>\nabla \lambda = \nabla\times {\mathbf A}_\lambda</math>.
<math>\nabla \lambda = \nabla\times {\mathbf A}_\lambda</math>.
अगर <math>{\mathbf A'}_\lambda</math> एक और ऐसा सदिश क्षेत्र है,
अगर <math>{\mathbf A'}_\lambda</math> एक और ऐसा सदिश क्षेत्र है,
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<math display="block">\mathbf{u}=\nabla\varphi+\nabla \times \mathbf{A}</math>
<math display="block">\mathbf{u}=\nabla\varphi+\nabla \times \mathbf{A}</math>
जहाँ {{mvar|φ}} पर  वर्ग- समाकलनीय फलन के सोबोलेफ समष्टि  {{math|''H''<sup>1</sup>(Ω)}}  जिसका आंशिक साधित वितरण सेंस में परिभाषित किया गया है, और {{math|'''A''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, वर्ग समाकलनीय कर्ल के साथ वर्ग समाकलनीय सदिश क्षेत्रों से युक्त सदिश क्षेत्रों का सोबोलेव स्थान होता है।
जहाँ {{mvar|φ}} पर  वर्ग- समाकलनीय फलन के सोबोलेफ समष्टि  {{math|''H''<sup>1</sup>(Ω)}}  जिसका आंशिक साधित वितरण सेंस में परिभाषित किया गया है, और {{math|'''A''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, वर्ग समाकलनीय कर्ल के साथ वर्ग समाकलनीय सदिश क्षेत्रों से युक्त सदिश क्षेत्रों का सोबोलेफ समष्टि होता है।


थोड़े समतल सदिश क्षेत्र के लिए {{math|'''u''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, एक समान अपघटन धारण करता है:
थोड़े समतल सदिश क्षेत्र के लिए {{math|'''u''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, एक समान अपघटन धारण करता है:

Revision as of 02:17, 12 April 2023

भौतिकी और गणित में, वेक्टर कैलकुलस के क्षेत्र में, हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत,[1][2] जिसे वेक्टर कैलकुलस के मौलिक सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है,[3][4][5][6][7][8][9] यह बताता है कि किसी भी पर्याप्त रूप से समतल, तेजी से क्षय करने वाले वेक्टर क्षेत्र को तीन आयामों में एक अघूर्णनी (कर्ल -मुफ्त) सदिश क्षेत्र और परिनालिकीय क्षेत्र (विचलन -मुफ्त) सदिश क्षेत्र के योग में हल किया जा सकता है; इसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन या हेल्महोल्ट्ज़ प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है। इसका नाम हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ के नाम पर रखा गया है।[10]

जैसा कि एक अघूर्णी सदिश क्षेत्र में एक अदिश क्षमता होती है और एक परिनालिकीय सदिश क्षेत्र में सदिश क्षमता होती है, हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन बताता है कि सदिश क्षेत्र (उचित समतल और क्षय की स्थिति को संतुष्ट करते हुए) को योग के रूप में विघटित किया जा सकता है ,

जहाँ अदिश क्षेत्र होते है उसे अदिश विभव कहा जाता है, और A एक सदिश क्षेत्र है, जिसे सदिश विभव कहा जाता है।

सिद्धांत का कथन

लेट एक बंधे हुए डोमेन पर एक सदिश क्षेत्र पर , जो अंदर से दो बार लगातार भिन्न होता है , और जाने वह सतह हो जो डोमेन को घेरती है . तब कर्ल-मुक्त घटक और विचलन-मुक्त घटक में विघटित किया जा सकता है:[11]

कहाँ
और के संबंध में नाबला संचालिका होता है , नहीं .

अगर और इसलिए असीमित है, और कम से कम उतनी ही तेजी से लुप्‍त हो जाता है जैसा , तो एक है[12]

यह विशेष रूप से अगर है में दो बार लगातार अवकलनीय है और सीमित समर्थन का।

व्युत्पत्ति

मान लीजिए हमारे पास एक वेक्टर फलन है जिनमें से हम कर्ल जानते हैं, , और विचलन, , सीमा पर डोमेन और क्षेत्र में। प्रपत्र में डेल्टा फलन का उपयोग करके फलन लिखना

कहाँ लाप्लास ऑपरेटर है, हमारे पास है

जहाँ हमने सदिश लाप्लासियन की परिभाषा का उपयोग किया है:
भेदभाव/एकीकरण के संबंध में द्वारा और अंतिम पंक्ति में, फलन तर्कों की रैखिकता:
फिर सदिश पहचान का उपयोग करना

हम पाते हैं
विचलन सिद्धांत के लिए समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है