हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन: Difference between revisions

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{{Short description|Certain vector fields are the sum of an irrotational and a solenoidal vector field}}
{{Short description|Certain vector fields are the sum of an irrotational and a solenoidal vector field}}
भौतिकी और गणित में, वेक्टर कैलकुलस के क्षेत्र में, हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत,<ref>On Helmholtz's Theorem in Finite Regions. By [[Jean Bladel]]. Midwestern Universities Research Association, 1958.</ref><ref>Hermann von Helmholtz. Clarendon Press, 1906. By [[Leo Koenigsberger]]. p357</ref> जिसे वेक्टर कैलकुलस के मौलिक सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है,<ref>An Elementary Course in the Integral Calculus. By [[Daniel Alexander Murray]]. American Book Company, 1898. p8.</ref><ref>[[J. W. Gibbs]] & [[Edwin Bidwell Wilson]] (1901) [https://archive.org/stream/117714283#page/236/mode/2up Vector Analysis], page 237, link from [[Internet Archive]]</ref><ref>Electromagnetic theory, Volume 1. By [[Oliver Heaviside]]. "The Electrician" printing and publishing company, limited, 1893.</ref><ref>Elements of the differential calculus. By [[Wesley Stoker Barker Woolhouse]]. Weale, 1854.</ref><ref>An Elementary Treatise on the Integral Calculus: Founded on the Method of Rates Or Fluxions. By [[William Woolsey Johnson]]. John Wiley & Sons, 1881.<br />See also: [[Method of Fluxions]].</ref><ref>Vector Calculus: With Applications to Physics. By [[James Byrnie Shaw]]. D. Van Nostrand, 1922. p205.<br />See also: [[Green's Theorem]].</ref><ref>A Treatise on the Integral Calculus, Volume 2. By [[Joseph Edwards (Mathematician)|Joseph Edwards]]. Chelsea Publishing Company, 1922.</ref> यह बताता है कि किसी भी पर्याप्त रूप से समतल, तेजी से क्षय करने वाले वेक्टर क्षेत्र को तीन आयामों में एक [[अघूर्णन सदिश क्षेत्र|अघूर्णनी]] ([[कर्ल (गणित)|कर्ल]] -मुफ्त) सदिश क्षेत्र और [[ solenoidal |परिनालिकीय क्षेत्र]] ([[ विचलन ]]-मुफ्त) सदिश क्षेत्र के योग में हल किया जा सकता है; इसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन या हेल्महोल्ट्ज़ प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है। इसका नाम [[हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़]] के नाम पर रखा गया है।<ref>See:
भौतिकी और गणित में, वेक्टर कैलकुलस के क्षेत्र में, हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत,<ref>On Helmholtz's Theorem in Finite Regions. By [[Jean Bladel]]. Midwestern Universities Research Association, 1958.</ref><ref>Hermann von Helmholtz. Clarendon Press, 1906. By [[Leo Koenigsberger]]. p357</ref> जिसे वेक्टर कैलकुलस के मौलिक सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है,<ref>An Elementary Course in the Integral Calculus. By [[Daniel Alexander Murray]]. American Book Company, 1898. p8.</ref><ref>[[J. W. Gibbs]] & [[Edwin Bidwell Wilson]] (1901) [https://archive.org/stream/117714283#page/236/mode/2up Vector Analysis], page 237, link from [[Internet Archive]]</ref><ref>Electromagnetic theory, Volume 1. By [[Oliver Heaviside]]. "The Electrician" printing and publishing company, limited, 1893.</ref><ref>Elements of the differential calculus. By [[Wesley Stoker Barker Woolhouse]]. Weale, 1854.</ref><ref>An Elementary Treatise on the Integral Calculus: Founded on the Method of Rates Or Fluxions. By [[William Woolsey Johnson]]. John Wiley & Sons, 1881.<br />See also: [[Method of Fluxions]].</ref><ref>Vector Calculus: With Applications to Physics. By [[James Byrnie Shaw]]. D. Van Nostrand, 1922. p205.<br />See also: [[Green's Theorem]].</ref><ref>A Treatise on the Integral Calculus, Volume 2. By [[Joseph Edwards (Mathematician)|Joseph Edwards]]. Chelsea Publishing Company, 1922.</ref> यह बताता है कि किसी भी पर्याप्त रूप से समतल, तेजी से क्षय करने वाले वेक्टर क्षेत्र को तीन आयामों में एक [[अघूर्णन सदिश क्षेत्र|अघूर्णनी]] ([[कर्ल (गणित)|कर्ल]]-मुफ्त) सदिश क्षेत्र और [[ solenoidal |परिनालिकीय क्षेत्र]] ([[ विचलन |विचलन]]-मुफ्त) सदिश क्षेत्र के योग में हल किया जा सकता है, इसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन या हेल्महोल्ट्ज़ प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है। इसका नाम [[हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़]] के नाम पर रखा गया है।<ref>See:
*  H. Helmholtz (1858) [https://books.google.com/books?id=6gwPAAAAIAAJ&pg=PA25 "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welcher der Wirbelbewegungen entsprechen"] (On integrals of the hydrodynamic equations which correspond to vortex motions), ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'', '''55''': 25–55.  On page 38, the components of the fluid's velocity (''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;''w'') are expressed in terms of the gradient of a scalar potential P and the curl of a vector potential&nbsp;(''L'',&nbsp;''M'',&nbsp;''N'').
*  H. Helmholtz (1858) [https://books.google.com/books?id=6gwPAAAAIAAJ&pg=PA25 "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welcher der Wirbelbewegungen entsprechen"] (On integrals of the hydrodynamic equations which correspond to vortex motions), ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'', '''55''': 25–55.  On page 38, the components of the fluid's velocity (''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;''w'') are expressed in terms of the gradient of a scalar potential P and the curl of a vector potential&nbsp;(''L'',&nbsp;''M'',&nbsp;''N'').
*  However, Helmholtz was largely anticipated by George Stokes in his paper:  G. G. Stokes (presented: 1849; published: 1856) [https://books.google.com/books?id=L_NYAAAAYAAJ&pg=PA1 "On the dynamical theory of diffraction,"] ''Transactions of the Cambridge Philosophical Society'', vol. 9, part I, pages 1–62; see pages 9–10.</ref>
*  However, Helmholtz was largely anticipated by George Stokes in his paper:  G. G. Stokes (presented: 1849; published: 1856) [https://books.google.com/books?id=L_NYAAAAYAAJ&pg=PA1 "On the dynamical theory of diffraction,"] ''Transactions of the Cambridge Philosophical Society'', vol. 9, part I, pages 1–62; see pages 9–10.</ref>
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== सिद्धांत का कथन ==
== सिद्धांत का कथन ==
लेट <math>\mathbf{F}</math> एक बंधे हुए डोमेन पर एक  सदिश क्षेत्र  पर <math>V\subseteq\mathbb{R}^3</math>, जो अंदर से दो बार लगातार भिन्न होता है <math>V</math>, और जाने <math>S</math> वह सतह हो जो डोमेन को घेरती है <math>V</math>. तब <math>\mathbf{F}</math> कर्ल-मुक्त घटक और विचलन-मुक्त घटक में विघटित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |url=http://www.cems.uvm.edu/~oughstun/LectureNotes141/Topic_03_(Helmholtz'%20Theorem).pdf |title=हेल्महोल्ट्ज प्रमेय|publisher=University of Vermont| access-date=2011-03-11 | archive-url=https://web.archive.org/web/20120813005804/http://www.cems.uvm.edu/~oughstun/LectureNotes141/Topic_03_(Helmholtz'%20Theorem).pdf| archive-date=2012-08-13| url-status=dead}}</ref>
<math>\mathbf{F}</math> एक बंधे हुए डोमेन पर एक  सदिश क्षेत्र  पर <math>V\subseteq\mathbb{R}^3</math>, जो अंदर से दो बार लगातार भिन्न होता है <math>V</math>, और जाने <math>S</math> वह सतह हो जो डोमेन को घेरती है <math>V</math>. तब <math>\mathbf{F}</math> कर्ल-मुक्त घटक और विचलन-मुक्त घटक में विघटित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |url=http://www.cems.uvm.edu/~oughstun/LectureNotes141/Topic_03_(Helmholtz'%20Theorem).pdf |title=हेल्महोल्ट्ज प्रमेय|publisher=University of Vermont| access-date=2011-03-11 | archive-url=https://web.archive.org/web/20120813005804/http://www.cems.uvm.edu/~oughstun/LectureNotes141/Topic_03_(Helmholtz'%20Theorem).pdf| archive-date=2012-08-13| url-status=dead}}</ref>


<math display="block">\mathbf{F}=-\nabla \Phi+\nabla\times\mathbf{A},</math>
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कहाँ
जहाँ
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मान लीजिए हमारे पास एक वेक्टर फलन है <math>\mathbf{F}(\mathbf{r})</math> जिनमें से हम कर्ल जानते हैं, <math>\nabla\times\mathbf{F}</math>, और विचलन, <math>\nabla\cdot\mathbf{F}</math>, सीमा पर डोमेन और क्षेत्र में। प्रपत्र में [[डेल्टा समारोह|डेल्टा फलन]] का उपयोग करके फलन लिखना
मान लीजिए हमारे पास एक वेक्टर फलन है <math>\mathbf{F}(\mathbf{r})</math> जिनमें से हम कर्ल जानते हैं, <math>\nabla\times\mathbf{F}</math>, और विचलन, <math>\nabla\cdot\mathbf{F}</math>, सीमा पर डोमेन और क्षेत्र में। प्रपत्र में [[डेल्टा समारोह|डेल्टा फलन]] का उपयोग करके फलन लिखना
<math display="block">\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')=-\frac 1 {4\pi} \nabla^2 \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\, ,</math>
<math display="block">\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')=-\frac 1 {4\pi} \nabla^2 \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\, ,</math>
कहाँ <math>\nabla^2:=\nabla\cdot\nabla</math> लाप्लास ऑपरेटर है, हमारे पास है  
जहाँ <math>\nabla^2:=\nabla\cdot\nabla</math> लाप्लास ऑपरेटर है, हमारे पास है  


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  = \delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
  = \delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
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कहाँ <math>\delta_{\mu\nu}</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है (और योग सम्मेलन फिर से उपयोग किया जाता है)। ऊपर प्रयुक्त वेक्टर लाप्लासियन की परिभाषा के स्थान पर, अब हम लेवी-सिविता प्रतीक के लिए एक पहचान का उपयोग करते हैं <math>\varepsilon</math>,
जहाँ <math>\delta_{\mu\nu}</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है (और योग सम्मेलन फिर से उपयोग किया जाता है)। ऊपर प्रयुक्त वेक्टर लाप्लासियन की परिभाषा के स्थान पर, अब हम लेवी-सिविता प्रतीक के लिए एक पहचान का उपयोग करते हैं <math>\varepsilon</math>,
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\varepsilon_{\alpha\mu\rho}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} = (d-2)!(\delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma} - \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho})
\varepsilon_{\alpha\mu\rho}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} = (d-2)!(\delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma} - \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho})
</math>
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जो में मान्य है <math>d\ge 2</math> आयाम, कहाँ <math>\alpha</math> एक है <math>(d-2)</math>-कंपोनेंट [[मल्टी-इंडेक्स नोटेशन]] यह देता है
जो में मान्य है <math>d\ge 2</math> आयाम, जहाँ <math>\alpha</math> एक है <math>(d-2)</math>-कंपोनेंट [[मल्टी-इंडेक्स नोटेशन]] यह देता है
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F_\mu(\mathbf{r}) = \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
F_\mu(\mathbf{r}) = \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
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F_\mu(\mathbf{r}) = -\frac{\partial}{\partial r_\mu} \Phi(\mathbf{r}) + \varepsilon_{\mu\rho\alpha}\frac{\partial}{\partial r_\rho} A_{\alpha}(\mathbf{r})
F_\mu(\mathbf{r}) = -\frac{\partial}{\partial r_\mu} \Phi(\mathbf{r}) + \varepsilon_{\mu\rho\alpha}\frac{\partial}{\partial r_\rho} A_{\alpha}(\mathbf{r})
</math>
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कहाँ
जहाँ
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Line 210: Line 210:
दो हेल्महोल्ट्ज़ अपघटनों के लिए <math>(\Phi_1, {\mathbf A_1})</math> <math>(\Phi_2, {\mathbf A_2})</math> का <math>\mathbf F</math>, वहाँ रखती है
दो हेल्महोल्ट्ज़ अपघटनों के लिए <math>(\Phi_1, {\mathbf A_1})</math> <math>(\Phi_2, {\mathbf A_2})</math> का <math>\mathbf F</math>, वहाँ रखती है
:<math>\Phi_1-\Phi_2 = \lambda,\quad {\mathbf{A}_1 - \mathbf{A}_2} ={\mathbf A}_\lambda + \nabla \varphi,</math>
:<math>\Phi_1-\Phi_2 = \lambda,\quad {\mathbf{A}_1 - \mathbf{A}_2} ={\mathbf A}_\lambda + \nabla \varphi,</math>
:कहाँ
:जहाँ
:* <math> \lambda</math> एक [[हार्मोनिक फ़ंक्शन|हार्मोनिक फलन]] है,
:* <math> \lambda</math> एक [[हार्मोनिक फ़ंक्शन|हार्मोनिक फलन]] है,
:* <math> {\mathbf A}_\lambda </math> द्वारा निर्धारित एक सदिश क्षेत्र है <math>\lambda</math>,
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<math display="block">\mathbf{u}=\nabla\varphi+\mathbf{v}</math>
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कहाँ {{math|''φ'' ∈ ''H''<sup>1</sup>(Ω), '''v''' ∈ (''H''<sup>1</sup>(Ω))<sup>''d''</sup>}}.
जहाँ {{math|''φ'' ∈ ''H''<sup>1</sup>(Ω), '''v''' ∈ (''H''<sup>1</sup>(Ω))<sup>''d''</sup>}}.


== अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ क्षेत्र ==
== अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ क्षेत्र ==

Revision as of 12:30, 13 April 2023

भौतिकी और गणित में, वेक्टर कैलकुलस के क्षेत्र में, हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत,[1][2] जिसे वेक्टर कैलकुलस के मौलिक सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है,[3][4][5][6][7][8][9] यह बताता है कि किसी भी पर्याप्त रूप से समतल, तेजी से क्षय करने वाले वेक्टर क्षेत्र को तीन आयामों में एक अघूर्णनी (कर्ल-मुफ्त) सदिश क्षेत्र और परिनालिकीय क्षेत्र (विचलन-मुफ्त) सदिश क्षेत्र के योग में हल किया जा सकता है, इसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन या हेल्महोल्ट्ज़ प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है। इसका नाम हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ के नाम पर रखा गया है।[10]

जैसा कि एक अघूर्णी सदिश क्षेत्र में एक अदिश क्षमता होती है और एक परिनालिकीय सदिश क्षेत्र में सदिश क्षमता होती है, हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन बताता है कि सदिश क्षेत्र (उचित समतल और क्षय की स्थिति को संतुष्ट करते हुए) को योग के रूप में विघटित किया जा सकता है ,

जहाँ अदिश क्षेत्र होते है उसे अदिश विभव कहा जाता है, और A एक सदिश क्षेत्र है, जिसे सदिश विभव कहा जाता है।

सिद्धांत का कथन

एक बंधे हुए डोमेन पर एक सदिश क्षेत्र पर , जो अंदर से दो बार लगातार भिन्न होता है , और जाने वह सतह हो जो डोमेन को घेरती है . तब कर्ल-मुक्त घटक और विचलन-मुक्त घटक में विघटित किया जा सकता है:[11]

जहाँ
और के संबंध में नाबला संचालिका होता है , नहीं .

अगर और इसलिए असीमित है, और कम से कम उतनी ही तेजी से लुप्‍त हो जाता है जैसा , तो एक है[12]

यह विशेष रूप से अगर है में दो बार लगातार अवकलनीय है और सीमित समर्थन का।

व्युत्पत्ति

मान लीजिए हमारे पास एक वेक्टर फलन है जिनमें से हम कर्ल जानते हैं, , और विचलन, , सीमा पर डोमेन और क्षेत्र में। प्रपत्र में डेल्टा फलन का उपयोग करके फलन लिखना

जहाँ लाप्लास ऑपरेटर है, हमारे पास है

जहाँ हमने सदिश लाप्लासियन की परिभाषा का उपयोग किया है:
भेदभाव/एकीकरण के संबंध में द्वारा और अंतिम पंक्ति में, फलन तर्कों की रैखिकता:
फिर सदिश पहचान का उपयोग करना

हम पाते हैं
विचलन सिद्धांत के लिए समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है