लेजर रेखा आयाम (लेजर लाइनविड्थ)

लेज़र रेखा चौड़ाई एक लेज़र बीम का वर्णक्रमीय रेखा चौड़ाई है।

लेजर उत्सर्जन की सबसे विशिष्ट विशेषताओं में से दो सुसंगतता (भौतिकी) और सुसंगतता (भौतिकी) हैं। जबकि स्थानिक सुसंगतता लेजर के बीम विचलन से संबंधित है, वर्णक्रमीय सुसंगतता का मूल्यांकन लेजर विकिरण के रेखा चौड़ाई को मापकर किया जाता है।

सिद्धांत

इतिहास: लेज़र रेखा चौड़ाई की पहली व्युत्पत्ति

पहला मानव निर्मित सुसंगत (भौतिकी) प्रकाश स्रोत एक मेसर था। मेसर का संक्षिप्त नाम "विकिरण के उत्तेजित उत्सर्जन द्वारा माइक्रोवेव प्रवर्धन है। अधिक सटीक रूप से, यह 12.5 mm तरंग दैर्ध्य पर काम करने वाला अमोनिया मेसर था जिसे 1954 में जेम्स पी. गॉर्डन, हर्बर्ट पॉइंटर और चार्ल्स एच. टाउन्स द्वारा प्रदर्शित किया गया था। एक साल बाद वही लेखकों ने सैद्धांतिक रूप से अपने उपकरण की रेखा चौड़ाई को उचित सन्निकटन करके निकाला कि उनका अमोनिया मेसर

1. एक वास्तविक सतत-तरंग (CW) मेसर,
2. एक वास्तविक चार-स्तरीय मेसर, और
3. कोई आंतरिक गुंजयमान हानि नहीं दिखाता है, लेकिन केवल नुकसान को कम करता है.

विशेष रूप से, उनकी व्युत्पत्ति पूरी तरह से अर्ध-शास्त्रीय थी,अमोनिया अणुओं को प्रमात्रा उत्सर्जक के रूप में वर्णित करना और शास्त्रीय विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र (लेकिन कोई मात्राबद्ध क्षेत्र या प्रमात्रा उतार-चढ़ाव नहीं) मानते हुए, जिसके परिणामस्वरूप आधा-चौड़ाई-पर-आधा-अधिकतम (HWHM) मेसर रेखा चौड़ाई होता है।:$\Delta \nu _{\rm {M}}^{*}={\frac {4\pi k_{\rm {B}}T(\Delta \nu _{\rm {c}}^{*})^{2}}{P_{\rm {out}}}}\Leftrightarrow \Delta \nu _{\rm {M}}={\frac {2\pi k_{\rm {B}}T(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {out}}}},$ एक तारांकन चिह्न द्वारा दर्शाया गया है और पूर्ण-चौड़ाई-पर-आधा-अधिकतम (FWHM) लेजर रेखा चौड़ाई में परिवर्तित किया गया है $\Delta \nu _{\rm {M}}=2\Delta \nu _{\rm {M}}^{*}$. $k_{\rm {B}}$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, $T$ तापमान है, $P_{\rm {out}}$ निर्गम शक्ति (भौतिकी) है, और $\Delta \nu _{\rm {c}}^{*}$ और $\Delta \nu _{\rm {c}}=2\Delta \nu _{\rm {c}}^{*}$ क्रमशः अंतर्निहित निष्क्रिय माइक्रोवेव गुहा के HWHM और FWHM रेखा चौड़ाई हैं।

1958 में, थिओडोर मैमन ने दो साल पहले लेजर (शुरुआत में एक प्रकाशिकी मेसर कहा जाता था) का प्रदर्शन किया था, आर्थर लियोनार्ड शॉलो और चार्ल्स एच. टाउनस ने प्रमात्रा ऊर्जा $h\nu _{\rm {L}}$ द्वारा तापीय ऊर्जा $k_{\rm {B}}T$, को बदलकर मैसर रेखा चौड़ाई को प्रकाशिकी व्यवस्था में स्थानांतरित कर दिया, जहाँ $h$ प्लैंक स्थिरांक है और $\nu _{\rm {L}}$ लेज़र प्रकाश की आवृत्ति है, जिससे इसका अनुमान लगाया जाता है कि

${\displaystyle }$ iv. प्रमात्रा-क्षय समय के बीच सहज उत्सर्जन द्वारा एक प्रमात्रा को लेज़िंग मोड $\tau _{\rm {c}}$ में जोड़ा जाता है

जिसके परिणामस्वरूप लेज़र रेखा चौड़ाई का मूल शॉलो-टाउन सन्निकटन हुआ::$\Delta \nu _{\rm {L,ST}}^{*}={\frac {4\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}}^{*})^{2}}{P_{\rm {out}}}}\Leftrightarrow \Delta \nu _{\rm {L,ST}}={\frac {2\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {out}}}}.$

साथ ही माइक्रोवेव से प्रकाशिकी व्यवस्था में स्थानांतरण पूरी तरह से अर्ध-शास्त्रीय था,परिमाणित क्षेत्रों या प्रमात्रा उतार-चढ़ाव को ग्रहण किए बिना। नतीजतन, मूल शॉलो-टाउनस समीकरण पूरी तरह से अर्ध-शास्त्रीय भौतिकी पर आधारित हैऔर एक अधिक सामान्य लेज़र रेखा चौड़ाई का चार गुना सन्निकटन है,जो निम्नलिखित में प्राप्त होगा।

निष्क्रिय गुंजयमान मोड: प्रमात्रा-क्षय समय

हम ज्यामितीय लंबाई $\ell$, का दो-दर्पण फैब्री-पेरोट अनुनादक मानते हैं। अपवर्तक सूचकांक $n$ के एक सक्रिय लेजर माध्यम समान रूप से से भरा हुआ है। हम संदर्भ स्थिति को परिभाषित करते हैं, अर्थात् अनुनादक के लिए जिसका सक्रिय माध्यम पारदर्शिता और पारभासकता है, अर्थात, यह लाभ (लेजर) या अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) का परिचय नहीं देता है।

गमनागमन काल $t_{\rm {RT}}$ अनुनादक में गति के साथ यात्रा करने वाले प्रकाश की $c=c_{0}/n$, जहाँ $c_{0}$ निर्वात में प्रकाश की गति, और मुक्त वर्णक्रमीय श्रेणी $\Delta \nu _{\rm {FSR}}$ द्वारा दिए गए हैं।:

$t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.$

रुचि के अनुदैर्ध्य मोड में प्रकाश qth अनुनाद आवृत्ति पर दोलन करता है:$\nu _{L}={\frac {q}{t_{\rm {RT}}}}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}.$

घातांकीयग घातीय क्षयसमयइम $\tau _{\rm {out}}$ और संगत क्षय-दर स्थिरांक $1/\tau _{\rm {out}}$ तीव्रता परावर्तन से संबंध, त हैगुंजायमान दर्पणों केआ दर्पण $i=1,2$ द्वार

ा:$R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {out}}}\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.$ घातीय आंतरिक हानि समय $\tau _{\rm {loss}}$ और संगत क्षय-दर स्थिरांक $1/\tau _{\rm {loss}}$ आंतरिक राउंड-ट्रिप नुकसान से संबंधित हैं $L_{\rm {RT}}$ द्वारा:$1-L_{\rm {RT}}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {loss}}}\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {(1-L_{\rm {RT}})}}{t_{\rm {RT}}}}.$ घातीय प्रमात्रा-क्षय समय $\tau _{\text{c}}$ और संगत क्षय-दर स्थिरांक $1/\tau _{\rm {c}}$ निष्क्रिय अनुनादक के द्वारा दिया जाता है:${\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}.$ सभी तीन घातीय क्षय समय राउंड-ट्रिप समय पर औसत होते हैं $t_{\rm {RT}}.$निम्नलिखित में, हम मानते हैं $\ell$, $n$, $R_{1}$, $R_{2}$, और $L_{\rm {RT}}$, इसलिए भी $\tau _{\rm {out}}$, $\tau _{\rm {loss}}$, और $\tau _{\rm {c}}$ ब्याज की आवृत्ति सीमा पर महत्वपूर्ण रूप से भिन्न नहीं होते हैं।

निष्क्रिय गुंजयमान मोड: लोरेंट्ज़ियन रेखा चौड़ाई, क्यू-फैक्टर, सुसंगतता समय और लंबाई

प्रमात्रा-क्षय समय के अलावा $\tau _{\rm {c}}$, निष्क्रिय अनुनादक मोड के वर्णक्रमीय-सुसंगत गुणों को निम्नलिखित मापदंडों द्वारा समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है। FWHM कॉची वितरण रेखा चौड़ाई $\Delta \nu _{\rm {c}}$ शाव्लो-टाउनस समीकरण में दिखाई देने वाले निष्क्रिय अनुनादक मोड का घातीय प्रमात्रा-क्षय समय से लिया गया है $\tau _{\rm {c}}$ फूरियर परिवर्तन द्वारा,:$\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {c}}}}.$ क्यू कारक | क्यू-कारक $Q_{\rm {c}}$ ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है $W_{\rm {stored}}$ ऊर्जा पर अनुनादक मोड में संग्रहीत $W_{\rm {lost}}$ प्रति दोलन चक्र खो गया,:$Q_{\rm {c}}=2\pi {\frac {W_{\rm {stored}}(t)}{W_{\rm {lost}}(t)}}=2\pi {\frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\varphi (t)}}=2\pi \nu _{L}\tau _{\rm {c}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {c}}}},$ कहाँ $\varphi =W_{\rm {stored}}/h\nu _{L}$ मोड में प्रमात्रा की संख्या है। सुसंगति का समय $\tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}$ और सुसंगतता लंबाई $\ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}$ मोड से उत्सर्जित प्रकाश द्वारा दिया जाता है:$\tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}=2\tau _{\rm {c}}.$

सक्रिय गुंजयमान मोड: लाभ, प्रमात्रा-क्षय समय, लोरेंट्ज़ियन रेखा चौड़ाई, क्यू-कारक, सुसंगतता समय और लंबाई

जनसंख्या घनत्व के साथ $N_{2}$ और $N_{1}$ क्रमशः ऊपरी और निचले लेजर स्तर और प्रभावी क्रॉस सेक्शन $\sigma _{\rm {e}}$ और $\sigma _{\rm {a}}$ अनुनाद आवृत्ति पर उत्तेजित उत्सर्जन और अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण)। $\nu _{L}$, क्रमशः, अनुनाद आवृत्ति पर सक्रिय लेजर माध्यम में प्रति यूनिट लंबाई का लाभ $\nu _{L}$ द्वारा दिया गया है:$g=\sigma _{\rm {e}}N_{2}-\sigma _{\rm {a}}N_{1}.$ का एक मूल्य $g>0$ प्रवर्धन को प्रेरित करता है, जबकि $g<0$ अनुनाद आवृत्ति पर प्रकाश के अवशोषण को प्रेरित करता है $\nu _{L}$, जिसके परिणामस्वरूप लंबा या छोटा प्रमात्रा-क्षय समय होता है $\tau _{\rm {L}}$ क्रमशः सक्रिय अनुनादक मोड से बाहर प्रमात्राों की,:${\frac {1}{\tau _{\rm {L}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}-cg.$ सक्रिय अनुनादक मोड के अन्य चार वर्णक्रमीय-सुसंगत गुण उसी तरह से प्राप्त किए जाते हैं जैसे निष्क्रिय गुंजयमान मोड के लिए। लोरेंट्ज़ियन रेखा चौड़ाई फूरियर रूपांतरण द्वारा प्राप्त किया गया है,:$\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {L}}}}.$ का एक मूल्य $g>0$ संकीर्णता प्राप्त करने की ओर ले जाता है, जबकि $g<0$ स्पेक्ट्रल रेखा चौड़ाई के अवशोषण को चौड़ा करने की ओर जाता है। क्यू-फैक्टर है:$Q_{\rm {L}}=2\pi {\frac {W_{\rm {stored}}(t)}{W_{\rm {lost}}(t)}}=2\pi {\frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\varphi (t)}}=2\pi \nu _{L}\tau _{\rm {L}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {L}}}}.$ सुसंगतता समय और लंबाई हैं:$\tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {L}}^{\rm {coh}}=2\tau _{\rm {L}}.$

स्पेक्ट्रल-जुटना कारक

वह कारक जिसके द्वारा प्रमात्रा-क्षय का समय लाभ से बढ़ जाता है या अवशोषण से छोटा हो जाता है, यहाँ वर्णक्रमीय-सुसंगतता कारक के रूप में पेश किया जाता है $\Lambda$::$\Lambda :={\frac {1}{1-cg\tau _{\rm {c}}}}.$ सभी पांच वर्णक्रमीय-जुटना पैरामीटर फिर उसी वर्णक्रमीय-सुसंगतता कारक द्वारा मापे जाते हैं $\Lambda$::${\begin{aligned}\tau _{\rm {L}}&=\Lambda \tau _{\rm {c}},&(\Delta \nu _{\rm {L}})^{-1}&=\Lambda (\Delta \nu _{\rm {c}})^{-1},&Q_{\rm {L}}&=\Lambda Q_{\rm {c}},&\tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}&=\Lambda \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}},&\ell _{\rm {L}}^{\rm {coh}}&=\Lambda \ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}.\end{aligned}}$

लेज़िंग रेज़ोनेटर मोड: फ़ंडामेंटल लेज़र रेखा चौड़ाई

संख्या के साथ $\varphi$ लेज़िंग अनुनादक मोड के अंदर प्रचारित प्रमात्राों की, उत्तेजित-उत्सर्जन और प्रमात्रा-क्षय दर क्रमशः हैं,:$R_{\rm {st}}=cg\varphi ,$

$R_{\rm {decay}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .$

वर्णक्रमीय-सुसंगतता कारक तब बन जाता है:$\Lambda ={\frac {R_{\rm {decay}}}{R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}}.$ लेज़िंग रेज़ोनेटर मोड का प्रमात्रा-क्षय समय है:$\tau _{\rm {L}}=\Lambda \tau _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {decay}}}{R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}}\tau _{\rm {c}}.$ मौलिक लेजर रेखा चौड़ाई है:$\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}{R_{\rm {decay}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.$ यह मौलिक रेखा चौड़ाई लेज़रों के लिए मान्य है, जो एक मनमाना ऊर्जा-स्तर प्रणाली के साथ, नीचे, ऊपर या ऊपर की सीमा के साथ काम कर रहा है, जिसमें नुकसान की तुलना में छोटा, बराबर या बड़ा होता है, और एक cw या एक क्षणिक लेज़िंग शासन में होता है।

इसकी व्युत्पत्ति से यह स्पष्ट हो जाता है कि मौलिक लेज़र रेखा चौड़ाई अर्ध-शास्त्रीय प्रभाव के कारण है कि लाभ प्रमात्रा-क्षय समय को बढ़ाता है।

=== कंटीन्यूअस-वेव लेजर: लाभ नुकसान === से छोटा है

लेज़िंग रेज़ोनेटर मोड में सहज-उत्सर्जन दर द्वारा दिया जाता है:$R_{\rm {sp}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}.$ विशेष रूप से, $R_{\rm {sp}}$ हमेशा एक सकारात्मक दर होती है, क्योंकि लेज़िंग मोड में एक परमाणु उत्तेजना एक प्रमात्रा में परिवर्तित हो जाती है।यह लेजर विकिरण का स्रोत शब्द है और इसे शोर के रूप में गलत नहीं समझा जाना चाहिए।सिंगल लेज़िंग मोड के लिए प्रमात्रा-रेट समीकरण पढ़ता है:${\frac {d}{dt}}\varphi =R_{\rm {sp}}+R_{\rm {st}}-R_{\rm {decay}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}+cg\varphi -{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .$ एक सीडब्ल्यू लेजर को लेज़िंग मोड में अस्थायी रूप से निरंतर प्रमात्राों द्वारा परिभाषित किया जाता है, इसलिए $d\varphi /dt=0$. एक सीडब्ल्यू लेजर में उत्तेजित- और सहज-उत्सर्जन दर मिलकर फोटोन-क्षय दर की भरपाई करते हैं। फलस्वरूप,:$R_{\rm {st}}-R_{\rm {decay}}=-R_{\rm {sp}}<0.$ उत्तेजित-उत्सर्जन दर प्रमात्रा-क्षय दर से कम है या बोलचाल की भाषा में, हानि की तुलना में लाभ कम है।यह तथ्य दशकों से जाना जाता है और सेमीकंडक्टर लेज़रों के थ्रेसहोल्ड व्यवहार को मापने के लिए इसका उपयोग किया जाता है। लेज़र थ्रेशोल्ड से बहुत ऊपर होने पर भी नुकसान की तुलना में लाभ अभी भी थोड़ा सा छोटा है। यह ठीक यही छोटा अंतर है जो सीडब्ल्यू लेजर के परिमित रेखा चौड़ाई को प्रेरित करता है।

इस व्युत्पत्ति से यह स्पष्ट हो जाता है कि मौलिक रूप से लेज़र सहज उत्सर्जन का एक प्रवर्धक है, और cw लेज़र रेखा चौड़ाई अर्ध-शास्त्रीय प्रभाव के कारण है कि लाभ हानियों से छोटा है।लेजर रेखा चौड़ाई के लिए प्रमात्रा-प्रकाशिकी दृष्टिकोण में भी, घनत्व-ऑपरेटर मास्टर समीकरण के आधार पर, यह सत्यापित किया जा सकता है कि लाभ नुकसान से छोटा है।

शॉलो-टाउनस सन्निकटन

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, इसकी ऐतिहासिक व्युत्पत्ति से यह स्पष्ट है कि मूल शॉलो-टाउनस समीकरण मौलिक लेजर रेखा चौड़ाई का चार गुना सन्निकटन है। मौलिक लेजर रेखा चौड़ाई से शुरू $\Delta \nu _{\rm {L}}$ ऊपर व्युत्पन्न, चार सन्निकटन i.-iv लागू करके। एक तब मूल शॉलो-टाउन समीकरण प्राप्त करता है।

1. It is a true CW laser, hence

   $R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}=R_{\rm {sp}}\Rightarrow$

   $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}{R_{\rm {decay}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {sp}}}{R_{\rm {decay}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.$

2. It is a true four-level laser, hence
   $N_{1}=0\Rightarrow cg=c(\sigma _{\rm {e}}N_{2}-\sigma _{\rm {a}}N_{1})=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}=R_{\rm {sp}}\Rightarrow$
   $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {R_{\rm {sp}}}{R_{\rm {decay}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {cg}{{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi }}\Delta \nu _{\rm {c}}.$
3. It has no intrinsic resonator losses, hence
   ${\frac {1}{\tau _{\rm {loss}}}}=0\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}\Rightarrow P_{\rm {out}}=h\nu _{\rm {L}}{\frac {1}{\tau _{\rm {out}}}}\varphi =h\nu _{\rm {L}}{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi \Rightarrow$
   $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {cg}{{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {cgh\nu _{\rm {L}}}{P_{\rm {out}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.$
4. One photon is coupled into the lasing mode by spontaneous emission during the photon-decay time $\tau _{\rm {c}}$, which would happen exactly at the unreachable point of an ideal four-level CW laser with infinite spectral-coherence factor $\Lambda$, photon number $\varphi$, and output power $P_{\rm {out}}$, where the gain would equal the losses, hence
   $R_{\rm {st}}=R_{\rm {decay}}\Rightarrow R_{\rm {sp}}=cg={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}=2\pi \Delta \nu _{\rm {c}}\Rightarrow$
   $\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {cgh\nu _{\rm {L}}}{P_{\rm {out}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {2\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {out}}}}=\Delta \nu _{\rm {L,ST}}.$

यानी, उन्हीं चार सन्निकटनों को लागू करके i.-iv। मौलिक लेजर रेखा चौड़ाई के लिए $\Delta \nu _{\rm {L}}$ जो पहली व्युत्पत्ति में लागू किए गए थे,मूल शावलो-टाउनस समीकरण प्राप्त किया जाता है।

इस प्रकार, मौलिक लेजर रेखा चौड़ाई है:$\Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {decay}}-R_{\rm {st}}}{R_{\rm {decay}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}=(1-cg\tau _{\rm {c}})\Delta \nu _{\rm {c}}=\Delta \nu _{\rm {c}}-{\frac {cg}{2\pi }},$ जबकि मूल शाव्लो-टाउनस समीकरण इस मौलिक लेजर रेखा चौड़ाई का चार गुना सन्निकटन है और यह केवल ऐतिहासिक रुचि का है।

अतिरिक्त लाइनचौड़ाई चौड़ीकरण और संकुचन प्रभाव

1958 में इसके प्रकाशन के बाद,मूल शाव्लो-टाउनस समीकरण को विभिन्न तरीकों से विस्तारित किया गया था। ये विस्तारित समीकरण अक्सर एक ही नाम के तहत व्यापार करते हैं, शॉलो-टाउनस रेखा चौड़ाई, जिससे लेजर रेखा चौड़ाई पर उपलब्ध साहित्य में एक वास्तविक भ्रम पैदा होता है, क्योंकि यह अक्सर स्पष्ट नहीं होता है कि संबंधित लेखक मूल शॉलो-टाउन समीकरण के किस विशेष विस्तार का उल्लेख करते हैं। .

एक या कई सन्निकटन i.-iv को हटाने के उद्देश्य से कई अर्ध-शास्त्रीय विस्तार। ऊपर वर्णित है, जिससे ऊपर व्युत्पन्न मौलिक लेजर रेखा चौड़ाई की ओर कदम बढ़ रहे हैं।

निम्नलिखित एक्सटेंशन मौलिक लेजर रेखा चौड़ाई में जोड़ सकते हैं:

1. Hempstead and Lax, as well as Haken, predicted quantum-mechanically an additional linewidth narrowing by a factor of two near laser threshold. However, such an effect was observed experimentally only in a handful of cases.
2. Petermann derived semi-classically a previously experimentally observed linewidth-broadening effect in gain-guided compared to index-guided semiconductor waveguide lasers. Siegman later showed that this effect is due to the non-orthogonality of transverse modes. Woerdman and co-workers extended this idea to longitudinal modes and polarization modes. As a result, the so-called "Petermann K-factor" is sometimes added to the laser linewidth.
3. Henry predicted quantum-mechanically an additional linewidth broadening due to refractive-index changes related to electron-hole-pair excitation, which induce phase changes. As a result, the so-called "Henry's $\alpha$-factor" is sometimes added to the laser linewidth.

लेजर रेखा चौड़ाई का मापन

लेसर के सुसंगतता को मापने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली पहली विधियों में से एक प्रकाशिकी इंटरफेरोमेट्री थी। लेजर रेखा चौड़ाई को मापने के लिए एक विशिष्ट विधि स्व-विषमलैंगिक इंटरफेरोमेट्री है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण स्पेक्ट्रोस्कोपी का उपयोग है।

निरंतर लेजर

विशिष्ट एकल-अनुप्रस्थ मोड में लेज़र रेखा चौड़ाई| अनुप्रस्थ-मोड हीलियम-नियॉन लेज़र| He–Ne लेज़र (632.8 एनएम के तरंग दैर्ध्य पर), इंट्राकैविटी लाइन संकरी ऑप्टिक्स की अनुपस्थिति में, 1 GHz के क्रम पर हो सकता है। रेयर-अर्थ-डोप्ड डाइइलेक्ट्रिक-आधारित या सेमीकंडक्टर-आधारित वितरित फीडबैक लेज़र|वितरित-फ़ीडबैक लेज़रों में 1 kHz के क्रम में विशिष्ट रेखा चौड़ाई होते हैं। स्थिरीकृत निम्न-शक्ति सतत-तरंग लेज़रों से लेज़र रेखा चौड़ाई बहुत संकीर्ण हो सकता है और 1 kHz से कम तक पहुँच सकता है। देखे गए रेखा चौड़ाई तकनीकी शोर (प्रकाशिकी पंप पावर या पंप करंट के अस्थायी उतार-चढ़ाव, यांत्रिक कंपन, अपवर्तक-सूचकांक और तापमान में उतार-चढ़ाव, आदि के कारण लंबाई में परिवर्तन) के कारण मौलिक लेजर रेखा चौड़ाई से बड़े हैं।

स्पंदित लेजर

इंट्राकैविटी लाइन संकीर्ण प्रकाशिकी की अनुपस्थिति में उच्च-शक्ति, उच्च-लाभ स्पंदित-लेजर से लेजर रेखा चौड़ाई काफी व्यापक हो सकता है और शक्तिशाली ब्रॉडबैंड डाई लेजर के मामले में यह कुछ एनएम चौड़ा हो सकता है। 10 एनएम जितना चौड़ा।

हाई-पावर हाई-गेन स्पंदित लेजर ऑसिलेटर्स से लेज़र रेखा चौड़ाई, जिसमें लाइन नैरोइंग ऑप्टिक्स शामिल हैं, लेजर गुहा की ज्यामितीय और फैलाने वाली विशेषताओं का एक कार्य है। पहले सन्निकटन के लिए, एक अनुकूलित कैविटी में लेज़र रेखा चौड़ाई, मल्टीपल-प्रिज़्म फैलाव सिद्धांत के व्युत्क्रम द्वारा गुणा किए गए उत्सर्जन के बीम डाइवर्जेंस के सीधे आनुपातिक है।वह है,

$\Delta \lambda \approx \Delta \theta \left({\partial \Theta \over \partial \lambda }\right)^{-1}$

इसे कैविटी रेखा चौड़ाई समीकरण के रूप में जाना जाता है $\Delta \theta$ बीम डाइवर्जेंस है और कोष्ठक में शब्द (-1 तक ऊंचा) समग्र इंट्राकैविटी फैलाव है। यह समीकरण मूल रूप से शास्त्रीय प्रकाशिकी से लिया गया था। हालाँकि, 1992 में F. J. Duarte ने इस समीकरण को एन-स्लिट इंटरफेरोमेट्रिक समीकरण सिद्धांतों से प्राप्त किया, इस प्रकार एक प्रमात्रा अभिव्यक्ति को समग्र इंट्राकैविटी कोणीय फैलाव के साथ जोड़ना।

एक अनुकूलित बहु-प्रिज्म झंझरी लेजर थरथरानवाला किलोवाट शासन में एकल-अनुदैर्ध्य-मोड रेखा चौड़ाई पर पल्स उत्सर्जन प्रदान कर सकता है $\Delta \nu$ ≈ 350 मेगाहर्ट्ज (के बराबर $\Delta \lambda$ ≈ 0.0004 एनएम 590 एनएम के लेजर तरंग दैर्ध्य पर)। चूँकि इन दोलित्रों से स्पंद की अवधि लगभग 3 ns है,लेज़र रेखा चौड़ाई प्रदर्शन हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा अनुमत सीमा के निकट है।

यह भी देखें

• लेजर
• फैब्री-पेरोट इंटरफेरोमीटर
• बीम विचलन
• बहु-प्रिज्म फैलाव सिद्धांत
• एकाधिक-प्रिज्म झंझरी लेजर थरथरानवाला
• एन-स्लिट इंटरफेरोमेट्रिक समीकरण
• थरथरानवाला रेखा चौड़ाई
• सॉलिड स्टेट डाई लेजर