जटिल अंतर रूप: Difference between revisions

Revision as of 13:24, 20 April 2023

गणित में, एक सम्मिश्र अवकल रूप बहुरूपता (सामान्यतः एक सम्मिश्र बहुरूपता) पर एक अवकल रूप होता है जिसे सम्मिश्र गुणांक रखने की अनुमति होती है।

सम्मिश्र रूपों में अवकल ज्यामिति में व्यापक अनुप्रयोग होते हैं। सम्मिश्र बहुरूपता पर, वे मौलिक हैं और बहुत से बीजगणितीय ज्यामिति, काहलर ज्यामिति और हॉज सिद्धांत के आधार के रूप में काम करते हैं। गैर-सम्मिश्र बहुरूपता पर, वे लगभग सम्मिश्र संरचनाओं, स्पिनरों के सिद्धांत और सीआर संरचनाओं के अध्ययन में भी भूमिका निभाते हैं।

विशिष्ट रूप से, सम्मिश्र रूपों को कुछ वांछनीय अपघटन के कारण माना जाता है जो रूपों को स्वीकार करते हैं। एक सम्मिश्र बहुरूपता पर, उदाहरण के लिए, किसी भी सम्मिश्र k-विधि को तथाकथित (p, q)-रूपों के योग में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है: अशिष्टता से, पूर्णसममितिक निर्देशांक के p अंतरों के वेजेज उनके सम्मिश्र संयुग्मों के q अवकलों के साथ होते हैं। (p, q)-रूपों का समुच्चय अध्ययन का आदिम उद्देश्य बन जाता है, और k-रूपों की तुलना में बहुरूपता सूक्ष्मतर ज्यामितीय संरचना निर्धारित करता है। यहां तक कि उत्तम संरचनाएं भी उपस्तिथ हैं, उदाहरण के लिए, उन प्रकरणों में जहां हॉज सिद्धांत उपयोजित होता है।

एक सम्मिश्र बहुरूपता पर अवकल रूप

मान लीजिए कि M सम्मिश्र आयाम n का एक सम्मिश्र बहुरूपता है। फिर एक स्थानीय समन्वय प्रणाली है जिसमें n सम्मिश्र-मूल्यवान फलानो z¹, ..., zⁿ सम्मलित हैं, जैसे कि एक पैच से दूसरे में संक्रमण का समन्वय इन चरों के पूर्णसममितिक फलन हैं। सम्मिश्र रूपों का स्थान एक समृद्ध संरचना रखता है, जो मौलिक रूप से इस तथ्य पर निर्भर करता है कि ये संक्रमण फलन केवल सुचारू होने के बदले पूर्णसममितिक हैं।

एक रूप

हम एक-रूपों के प्रकरण से प्रारंभ करते हैं। पहले सम्मिश्र निर्देशांक को उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों में विघटित करें: z^j = x^j + iy^j प्रत्येक j के लिए। अनुमान

dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},

कोई देखता है कि सम्मिश्र गुणांक वाले किसी भी अवकल रूप को योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है

\sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).

अनुमान Ω^1,0 सम्मिश्र अवकल रूपों का स्थान हो जिसमें केवल $dz$ s और Ω^0,1 केवल $d{\bar {z}}$ वाले रूपों का स्थान हो। कोई दिखा सकता है, कॉची-रीमैन समीकरणों द्वारा, समष्टि Ω^1.0 और Ω^0,1 पूर्णसममितिक समन्वय परिवर्तन के अंतर्गत स्थिर हैं। दूसरे शब्दों में, यदि कोई पूर्णसममितिक समन्वय प्रणाली का एक अलग विकल्प बनाता है, तो Ω^1,0 के तत्व तन्य रूप से बदलते हैं, जैसा कि Ω^0,1 के तत्व करते हैं। इस प्रकार समष्टि Ω^0.1 और Ω^1,0 सम्मिश्र बहुरूपता पर सदिश बंडल का निर्धारण करते हैं।

उच्च-डिग्री फॉर्म

सम्मिश्र अवकल रूपों के वेज उत्पाद को वास्तविक रूपों के समान ही परिभाषित किया गया है। p और q को गैर-नकारात्मक पूर्णांक ≤ n की एक युग्म होने दें। समष्टि Ω^p,q का (p, q)-रूपों को Ω^1,0 से p तत्वों और Ω^0,1 से q तत्वों के वेज उत्पादों के रैखिक संयोजनों को लेकर परिभाषित किया गया हैं। प्रतीकात्मक रूप से,

\Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ times}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ times}}}

जहां Ω के पी कारक हैं^1,0 और Ω के q कारक^0,1. जैसे 1-रूपों के दो स्थानों के साथ, ये निर्देशांक के पूर्णसममितिक परिवर्तनों के तहत स्थिर होते हैं, और इसलिए सदिश बंडलों को निर्धारित करते हैं।

यदि ई^k कुल डिग्री k के सभी सम्मिश्र अवकल रूपों का स्थान है, तो E का प्रत्येक तत्व^k को समष्टि Ω के तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में एक अनोखे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है^{पी,क्यू} के साथ p + q = k. अधिक संक्षेप में, सदिश बंडलों के अपघटन का प्रत्यक्ष योग है

E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.

क्योंकि यह प्रत्यक्ष योग अपघटन पूर्णसममितिक समन्वय परिवर्तन के तहत स्थिर है, यह एक सदिश बंडल अपघटन भी निर्धारित करता है।

विशेष रूप से, प्रत्येक k और प्रत्येक p और q के साथ p + q = k, सदिश बंडलों का एक विहित प्रक्षेपण है

\pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.

डोलबेल्ट ऑपरेटर्स

सामान्य बाहरी व्युत्पन्न अनुभागों के मानचित्रण को परिभाषित करता है $d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}$ के जरिए

d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}

बाहरी व्युत्पन्न अपने आप में बहुरूपता अधिक कठोर सम्मिश्र संरचना को प्रतिबिंबित नहीं करता है।

d और पिछले उपखंड में परिभाषित अनुमानों का उपयोग करके, 'Dolbeault ऑपरेटरों' को परिभाषित करना संभव है:

\partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}

स्थानीय निर्देशांक में इन ऑपरेटरों का वर्णन करने के लिए, आइए

\alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}

जहाँ I और J बहु सूचकांक हैं | मल्टी-इंडेक्स हैं। तब

\partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}

{\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.

धारण करने के लिए निम्नलिखित गुण देखे जाते हैं:

d=\partial +{\bar {\partial }}

\partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.

ये ऑपरेटर और उनके गुण Dolbeault cohomology और हॉज थ्योरी के कई पहलुओं के लिए आधार बनाते हैं।

एक स्टार डोमेन पर। एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड के स्टार-आकार वाले डोमेन में डोलबेल्ट ऑपरेटरों के पास दोहरी होमोटॉपी ऑपरेटर हैं ^[1] के लिए Poincare लेम्मा के विभाजन के परिणामस्वरूप $d$ .^[1]यह एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड पर पॉइंकेयर लेम्मा की सामग्री है।

Poincare लेम्मा के लिए ${\bar {\partial }}$ और $\partial$ स्थानीय डीडीबार लेम्मा|लोकल में और सुधार किया जा सकता है $\partial {\bar {\partial }}$ -लेम्मा, जो दर्शाता है कि हर $d$ -सटीक सम्मिश्र अवकल रूप वास्तव में है $\partial {\bar {\partial }}$ -एकदम सही। कॉम्पैक्ट पर काहलर स्थानीय के वैश्विक रूप को बहुरूपता बढ़ा देता है $\partial {\bar {\partial }}$ -लेम्मा होल्ड, जिसे ddbar लेम्मा के नाम से जाना जाता है $\partial {\bar {\partial }}$ -लेम्मा। यह हॉज सिद्धांत का एक परिणाम है, और बताता है कि एक सम्मिश्र अवकल रूप जो विश्व स्तर पर है $d$ -सटीक (दूसरे शब्दों में, जिसका वर्ग राम कोहोलॉजी में शून्य है) विश्व स्तर पर है $\partial {\bar {\partial }}$ -एकदम सही।

पूर्णसममितिक रूप

प्रत्येक पी के लिए, एक 'पूर्णसममितिक पी-फॉर्म' बंडल Ω का एक पूर्णसममितिक खंड है^{पी, 0</सुपा>. स्थानीय निर्देशांक में, एक पूर्णसममितिक पी-फॉर्म को फॉर्म में लिखा जा सकता है}

\alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}

जहां $f_{I}$ पूर्णसममितिक कार्य हैं। समतुल्य रूप से, और कॉची-रीमैन समीकरणों के कारण # सम्मिश्र संयुग्म की स्वतंत्रता, (p, 0) -फॉर्म α पूर्णसममितिक है अगर और केवल अगर

{\bar {\partial }}\alpha =0.

पूर्णसममितिक पी-रूपों के शीफ (गणित) को अक्सर Ω लिखा जाता है^पी, हालांकि यह कभी-कभी भ्रम पैदा कर सकता है इसलिए कई लेखक वैकल्पिक संकेतन को अपनाने की प्रवृत्ति रखते हैं।

यह भी देखें

डोलबियॉल्ट कॉम्प्लेक्स
फ्रोलिकर स्पेक्ट्रल अनुक्रम
पहली तरह का अवकल

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Kycia, Radosław Antoni (2020). Section 4. "पॉइंकेयर लेम्मा, एंटीएक्सैक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर". Results in Mathematics (in English). 75 (3): 122. doi:10.1007/s00025-020-01247-8. ISSN 1422-6383. S2CID 199472766.

P. Griffiths; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. pp. 23–25. ISBN 0-471-05059-8.
Wells, R. O. (1973). Differential analysis on complex manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.
Voisin, Claire (2008). Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I. Cambridge University Press. ISBN 978-0521718011.

[:0-1] 1.0 ^1.1 Kycia, Radosław Antoni (2020). Section 4. "पॉइंकेयर लेम्मा, एंटीएक्सैक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर". Results in Mathematics (in English). 75 (3): 122. doi:10.1007/s00025-020-01247-8. ISSN 1422-6383. S2CID 199472766.

[1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Differential form on a manifold which is permitted to have complex coefficients}}
-गणित में, एक जटिल [[विभेदक रूप]] [[कई गुना]] (आमतौर पर एक [[जटिल कई गुना]]) पर एक अंतर रूप होता है जिसे [[जटिल संख्या]] गुणांक रखने की अनुमति होती है।
+गणित में, एक सम्मिश्र [[विभेदक रूप|अवकल रूप]] [[कई गुना|बहुरूपता]] (सामान्यतः एक [[जटिल कई गुना|सम्मिश्र बहुरूपता]]) पर एक अवकल रूप होता है जिसे [[जटिल संख्या|सम्मिश्र गुणांक]] रखने की अनुमति होती है।
-जटिल रूपों में [[अंतर ज्यामिति]] में व्यापक अनुप्रयोग होते हैं। जटिल कई गुना पर, वे मौलिक हैं और बहुत से [[बीजगणितीय ज्यामिति]], काहलर मीट्रिक | काहलर ज्यामिति और [[हॉज सिद्धांत]] के आधार के रूप में काम करते हैं। गैर-जटिल मैनिफोल्ड्स पर, वे [[लगभग जटिल संरचना]]ओं, स्पिनरों के सिद्धांत और [[सीआर संरचना]]ओं के अध्ययन में भी भूमिका निभाते हैं।
+सम्मिश्र रूपों में [[अंतर ज्यामिति|अवकल ज्यामिति]] में व्यापक अनुप्रयोग होते हैं। सम्मिश्र बहुरूपता पर, वे मौलिक हैं और बहुत से [[बीजगणितीय ज्यामिति]], काहलर ज्यामिति और [[हॉज सिद्धांत]] के आधार के रूप में काम करते हैं। गैर-सम्मिश्र बहुरूपता पर, वे [[लगभग जटिल संरचना|लगभग सम्मिश्र संरचनाओं]], स्पिनरों के सिद्धांत और [[सीआर संरचना|सीआर संरचनाओं]] के अध्ययन में भी भूमिका निभाते हैं।
-विशिष्ट रूप से, जटिल रूपों को कुछ वांछनीय अपघटन के कारण माना जाता है जो रूपों को स्वीकार करते हैं। एक जटिल कई गुना पर, उदाहरण के लिए, किसी भी जटिल ''के''-फॉर्म को तथाकथित (''पी'', ''क्यू'')-रूपों के योग में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है: मोटे तौर पर, '' के वेजेज p'' उनके जटिल संयुग्मों के ''q'' अंतरों के साथ होलोमॉर्फिक निर्देशांक का [[बाहरी व्युत्पन्न]]। (''p'', ''q'')-रूपों का पहनावा अध्ययन की आदिम वस्तु बन जाता है, और ''k''-रूपों की तुलना में कई गुना अधिक महीन ज्यामितीय संरचना निर्धारित करता है। यहां तक कि बेहतर संरचनाएं भी मौजूद हैं, उदाहरण के लिए, उन मामलों में जहां हॉज सिद्धांत लागू होता है।
+विशिष्ट रूप से, सम्मिश्र रूपों को कुछ वांछनीय अपघटन के कारण माना जाता है जो रूपों को स्वीकार करते हैं। एक सम्मिश्र बहुरूपता पर, उदाहरण के लिए, किसी भी सम्मिश्र ''k''-विधि को तथाकथित '''(''p'', ''q'')'''-रूपों के योग में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है: अशिष्टता से, पूर्णसममितिक निर्देशांक के'' p'' अंतरों के वेजेज उनके सम्मिश्र संयुग्मों के ''q'' अवकलों के साथ होते हैं। (''p'', ''q'')-रूपों का समुच्चय अध्ययन का आदिम उद्देश्य बन जाता है, और ''k''-रूपों की तुलना में बहुरूपता सूक्ष्मतर  ज्यामितीय संरचना निर्धारित करता है। यहां तक कि उत्तम संरचनाएं भी उपस्तिथ हैं, उदाहरण के लिए, उन प्रकरणों में जहां हॉज सिद्धांत उपयोजित होता है।
-== एक जटिल कई गुना पर विभेदक रूप ==
+== एक सम्मिश्र बहुरूपता पर अवकल रूप ==
-मान लीजिए कि एम जटिल आयाम एन का एक जटिल कई गुना है। फिर एक स्थानीय समन्वय प्रणाली है जिसमें n जटिल-मूल्यवान कार्य z शामिल हैं<sup>1</sup>, ..., के साथ<sup>n</sup> जैसे कि एक पैच से दूसरे में संक्रमण का समन्वय इन चरों के [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] हैं। जटिल रूपों का स्थान एक समृद्ध संरचना रखता है, मौलिक रूप से इस तथ्य पर निर्भर करता है कि ये संक्रमण कार्य होलोमोर्फिक हैं, न कि केवल चिकनी कई गुना।
+मान लीजिए कि ''M'' सम्मिश्र आयाम ''n'' का एक सम्मिश्र बहुरूपता है। फिर एक स्थानीय समन्वय प्रणाली है जिसमें n सम्मिश्र-मूल्यवान फलानो ''z''<sup>1</sup>, ..., z<sup>''n''</sup> सम्मलित हैं, जैसे कि एक पैच से दूसरे में संक्रमण का समन्वय इन चरों के [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|पूर्णसममितिक फलन]] हैं। सम्मिश्र रूपों का स्थान एक समृद्ध संरचना रखता है, जो मौलिक रूप से इस तथ्य पर निर्भर करता है कि ये संक्रमण फलन केवल सुचारू होने के बदले पूर्णसममितिक हैं।
 === एक रूप ===
-हम एक-रूपों के मामले से शुरू करते हैं। पहले जटिल निर्देशांक को उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों में विघटित करें: {{nowrap|1=''z''<sup>''j''</sup> = ''x''<sup>''j''</sup> + ''iy''<sup>''j''</sup>}} प्रत्येक जे के लिए। दे
+हम एक-रूपों के प्रकरण से प्रारंभ करते हैं। पहले सम्मिश्र निर्देशांक को उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों में विघटित करें: {{nowrap|1=''z''<sup>''j''</sup> = ''x''<sup>''j''</sup> + ''iy''<sup>''j''</sup>}} प्रत्येक ''j'' के लिए। अनुमान
 :<math>dz^j=dx^j+idy^j,\quad d\bar{z}^j=dx^j-idy^j,</math>
-कोई देखता है कि जटिल गुणांक वाले किसी भी अंतर रूप को योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है
+कोई देखता है कि सम्मिश्र गुणांक वाले किसी भी अवकल रूप को योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है
 :<math>\sum_{j=1}^n\left(f_jdz^j+g_jd\bar{z}^j\right).</math>
-चलो Ω<sup>1,0</sup> केवल युक्त जटिल अंतर रूपों का स्थान हो <math>dz</math>और Ω<sup>0,1</sup> केवल युक्त रूपों का स्थान हो <math>d\bar{z}</math>'एस। कोई दिखा सकता है, कॉची-रीमैन समीकरणों द्वारा, कि रिक्त स्थान Ω<sup>1.0</sup> और Ω<sup>0,1</sup> होलोमॉर्फिक समन्वय परिवर्तन के तहत स्थिर हैं। दूसरे शब्दों में, यदि कोई भिन्न चयन करता है तो w<sub>i</sub> होलोमोर्फिक समन्वय प्रणाली का, फिर Ω के तत्व<sup>1,0</sup> अस्थायी रूप से रूपांतरित होते हैं, जैसा कि Ω के तत्व करते हैं<sup>0,1</sup>. इस प्रकार रिक्त स्थान Ω<sup>0.1</sup> और Ω<sup>1,0</sup> कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड पर जटिल [[वेक्टर बंडल]] निर्धारित करते हैं।
+अनुमान Ω<sup>1,0</sup> सम्मिश्र अवकल रूपों का स्थान हो जिसमें केवल <math>dz</math>''s'' और Ω<sup>0,1</sup> केवल <math>d\bar{z}</math>  वाले रूपों का स्थान हो। कोई दिखा सकता है, कॉची-रीमैन समीकरणों द्वारा, समष्टि Ω<sup>1.0</sup> और Ω<sup>0,1</sup> पूर्णसममितिक समन्वय परिवर्तन के अंतर्गत स्थिर हैं। दूसरे शब्दों में, यदि कोई पूर्णसममितिक समन्वय प्रणाली का एक अलग विकल्प बनाता है, तो Ω<sup>1,0</sup> के तत्व तन्य रूप से बदलते हैं, जैसा कि Ω<sup>0,1</sup> के तत्व करते हैं। इस प्रकार समष्टि Ω<sup>0.1</sup> और Ω<sup>1,0</sup> सम्मिश्र बहुरूपता पर [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] का निर्धारण करते हैं।
 === उच्च-डिग्री फॉर्म ===
-जटिल अंतर रूपों के वेज उत्पाद को वास्तविक रूपों के समान ही परिभाषित किया गया है। पी और क्यू को गैर-नकारात्मक पूर्णांक ≤ एन की एक जोड़ी होने दें। अंतरिक्ष Ω<sup>(p, q)-रूपों के p,q</sup> को Ω से p तत्वों के वेज उत्पादों के रैखिक संयोजनों को लेकर परिभाषित किया गया है<sup>1,0</sup> और q तत्व Ω से<sup>0,1</sup>. प्रतीकात्मक रूप से,
+सम्मिश्र अवकल रूपों के वेज उत्पाद को वास्तविक रूपों के समान ही परिभाषित किया गया है। ''p'' और ''q'' को गैर-नकारात्मक पूर्णांक ≤ ''n'' की एक युग्म होने दें। समष्टि  Ω<sup>p,q</sup> का  (''p'', ''q'')-रूपों को Ω<sup>1,0</sup> से p तत्वों और Ω<sup>0,1</sup> से ''q'' तत्वों के वेज उत्पादों के रैखिक संयोजनों को लेकर परिभाषित किया गया हैं। प्रतीकात्मक रूप से,
 :<math>\Omega^{p,q}=\underbrace{\Omega^{1,0}\wedge\dotsb\wedge\Omega^{1,0}}_{p \text{ times}}\wedge\underbrace{\Omega^{0,1}\wedge\dotsb\wedge\Omega^{0,1}}_{q \text{ times}}</math>
-जहां Ω के पी कारक हैं<sup>1,0</sup> और Ω के q कारक<sup>0,1</sup>. जैसे 1-रूपों के दो स्थानों के साथ, ये निर्देशांक के होलोमोर्फिक परिवर्तनों के तहत स्थिर होते हैं, और इसलिए सदिश बंडलों को निर्धारित करते हैं।
+जहां Ω के पी कारक हैं<sup>1,0</sup> और Ω के q कारक<sup>0,1</sup>. जैसे 1-रूपों के दो स्थानों के साथ, ये निर्देशांक के पूर्णसममितिक परिवर्तनों के तहत स्थिर होते हैं, और इसलिए सदिश बंडलों को निर्धारित करते हैं।
-यदि ई<sup>k</sup> कुल डिग्री k के सभी जटिल अंतर रूपों का स्थान है, तो E का प्रत्येक तत्व<sup>k</sup> को रिक्त स्थान Ω के तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में एक अनोखे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है<sup>पी,क्यू</sup> के साथ {{nowrap|1=''p'' + ''q'' = ''k''}}. अधिक संक्षेप में, वेक्टर बंडलों के अपघटन का प्रत्यक्ष योग है
+यदि ई<sup>k</sup> कुल डिग्री k के सभी सम्मिश्र अवकल रूपों का स्थान है, तो E का प्रत्येक तत्व<sup>k</sup> को समष्टि Ω के तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में एक अनोखे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है<sup>पी,क्यू</sup> के साथ {{nowrap|1=''p'' + ''q'' = ''k''}}. अधिक संक्षेप में, सदिश बंडलों के अपघटन का प्रत्यक्ष योग है
 :<math>E^k=\Omega^{k,0}\oplus\Omega^{k-1,1}\oplus\dotsb\oplus\Omega^{1,k-1}\oplus\Omega^{0,k}=\bigoplus_{p+q=k}\Omega^{p,q}.</math>
-क्योंकि यह प्रत्यक्ष योग अपघटन होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तन के तहत स्थिर है, यह एक वेक्टर बंडल अपघटन भी निर्धारित करता है।
+क्योंकि यह प्रत्यक्ष योग अपघटन पूर्णसममितिक समन्वय परिवर्तन के तहत स्थिर है, यह एक सदिश बंडल अपघटन भी निर्धारित करता है।
-विशेष रूप से, प्रत्येक k और प्रत्येक p और q के साथ {{nowrap|1=''p'' + ''q'' = ''k''}}, वेक्टर बंडलों का एक विहित प्रक्षेपण है
+विशेष रूप से, प्रत्येक k और प्रत्येक p और q के साथ {{nowrap|1=''p'' + ''q'' = ''k''}}, सदिश बंडलों का एक विहित प्रक्षेपण है
 :<math>\pi^{p,q}:E^k\rightarrow\Omega^{p,q}.</math>
 === डोलबेल्ट ऑपरेटर्स ===
 सामान्य बाहरी व्युत्पन्न अनुभागों के मानचित्रण को परिभाषित करता है <math> d: \Omega^{r} \to \Omega^{r+1}</math> के जरिए
 :<math> d(\Omega^{p,q}) \subseteq \bigoplus_{r + s = p + q + 1} \Omega^{r,s}</math>
-बाहरी व्युत्पन्न अपने आप में कई गुना अधिक कठोर जटिल संरचना को प्रतिबिंबित नहीं करता है।
+बाहरी व्युत्पन्न अपने आप में बहुरूपता अधिक कठोर सम्मिश्र संरचना को प्रतिबिंबित नहीं करता है।
 d और पिछले उपखंड में परिभाषित अनुमानों का उपयोग करके, 'Dolbeault ऑपरेटरों' को परिभाषित करना संभव है:
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 ये ऑपरेटर और उनके गुण [[Dolbeault cohomology]] और हॉज थ्योरी के कई पहलुओं के लिए आधार बनाते हैं।
-एक [[स्टार डोमेन]] पर। एक जटिल मैनिफोल्ड के स्टार-आकार वाले डोमेन में डोलबेल्ट ऑपरेटरों के पास दोहरी होमोटॉपी ऑपरेटर हैं <ref name=":0">{{Cite journal|last=Kycia|first=Radosław Antoni|date=2020|others=Section 4|title=पॉइंकेयर लेम्मा, एंटीएक्सैक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर|journal=Results in Mathematics|language=en|volume=75|issue=3|pages=122|doi=10.1007/s00025-020-01247-8|s2cid=199472766|issn=1422-6383|doi-access=free}}</ref> के लिए Poincare लेम्मा के विभाजन के परिणामस्वरूप <math>d</math>.<ref name=":0" />यह एक जटिल मैनिफोल्ड पर पॉइंकेयर लेम्मा की सामग्री है।
+एक [[स्टार डोमेन]] पर। एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड के स्टार-आकार वाले डोमेन में डोलबेल्ट ऑपरेटरों के पास दोहरी होमोटॉपी ऑपरेटर हैं <ref name=":0">{{Cite journal|last=Kycia|first=Radosław Antoni|date=2020|others=Section 4|title=पॉइंकेयर लेम्मा, एंटीएक्सैक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर|journal=Results in Mathematics|language=en|volume=75|issue=3|pages=122|doi=10.1007/s00025-020-01247-8|s2cid=199472766|issn=1422-6383|doi-access=free}}</ref> के लिए Poincare लेम्मा के विभाजन के परिणामस्वरूप <math>d</math>.<ref name=":0" />यह एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड पर पॉइंकेयर लेम्मा की सामग्री है।
-Poincare लेम्मा के लिए <math>\bar \partial</math> और <math>\partial</math> स्थानीय डीडीबार लेम्मा|लोकल में और सुधार किया जा सकता है <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा, जो दर्शाता है कि हर <math>d</math>-सटीक जटिल अंतर रूप वास्तव में है <math>\partial \bar \partial</math>-एकदम सही। कॉम्पैक्ट पर काहलर स्थानीय के वैश्विक रूप को कई गुना बढ़ा देता है <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा होल्ड, जिसे ddbar लेम्मा के नाम से जाना जाता है<math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा। यह हॉज सिद्धांत का एक परिणाम है, और बताता है कि एक जटिल अंतर रूप जो विश्व स्तर पर है <math>d</math>-सटीक (दूसरे शब्दों में, जिसका वर्ग राम कोहोलॉजी में शून्य है) विश्व स्तर पर है <math>\partial \bar \partial</math>-एकदम सही।
+Poincare लेम्मा के लिए <math>\bar \partial</math> और <math>\partial</math> स्थानीय डीडीबार लेम्मा|लोकल में और सुधार किया जा सकता है <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा, जो दर्शाता है कि हर <math>d</math>-सटीक सम्मिश्र अवकल रूप वास्तव में है <math>\partial \bar \partial</math>-एकदम सही। कॉम्पैक्ट पर काहलर स्थानीय के वैश्विक रूप को बहुरूपता बढ़ा देता है <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा होल्ड, जिसे ddbar लेम्मा के नाम से जाना जाता है<math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा। यह हॉज सिद्धांत का एक परिणाम है, और बताता है कि एक सम्मिश्र अवकल रूप जो विश्व स्तर पर है <math>d</math>-सटीक (दूसरे शब्दों में, जिसका वर्ग राम कोहोलॉजी में शून्य है) विश्व स्तर पर है <math>\partial \bar \partial</math>-एकदम सही।
-=== होलोमॉर्फिक रूप ===
+=== पूर्णसममितिक रूप ===
-प्रत्येक पी के लिए, एक 'होलोमोर्फिक पी-फॉर्म' बंडल Ω का एक होलोमोर्फिक खंड है<sup>पी, 0</सुपा>. स्थानीय निर्देशांक में, एक होलोमोर्फिक पी-फॉर्म को फॉर्म में लिखा जा सकता है
+प्रत्येक पी के लिए, एक 'पूर्णसममितिक पी-फॉर्म' बंडल Ω का एक पूर्णसममितिक खंड है<sup>पी, 0</सुपा>. स्थानीय निर्देशांक में, एक पूर्णसममितिक पी-फॉर्म को फॉर्म में लिखा जा सकता है
 :<math>\alpha=\sum_{|I|=p}f_I\,dz^I</math>
-जहां <math> f_I </math> होलोमोर्फिक कार्य हैं। समतुल्य रूप से, और कॉची-रीमैन समीकरणों के कारण # जटिल संयुग्म की स्वतंत्रता, (p, 0) -फॉर्म α होलोमोर्फिक है अगर और केवल अगर
+जहां <math> f_I </math> पूर्णसममितिक कार्य हैं। समतुल्य रूप से, और कॉची-रीमैन समीकरणों के कारण # सम्मिश्र संयुग्म की स्वतंत्रता, (p, 0) -फॉर्म α पूर्णसममितिक है अगर और केवल अगर
 :<math>\bar{\partial}\alpha=0.</math>
-होलोमॉर्फिक पी-रूपों के [[शीफ (गणित)]] को अक्सर Ω लिखा जाता है<sup>पी</sup>, हालांकि यह कभी-कभी भ्रम पैदा कर सकता है इसलिए कई लेखक वैकल्पिक संकेतन को अपनाने की प्रवृत्ति रखते हैं।
+पूर्णसममितिक पी-रूपों के [[शीफ (गणित)]] को अक्सर Ω लिखा जाता है<sup>पी</sup>, हालांकि यह कभी-कभी भ्रम पैदा कर सकता है इसलिए कई लेखक वैकल्पिक संकेतन को अपनाने की प्रवृत्ति रखते हैं।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 62: / Line 60: @@
 *[[डोलबियॉल्ट कॉम्प्लेक्स]]
 *फ्रोलिकर स्पेक्ट्रल अनुक्रम
-* [[पहली तरह का अंतर]]
+* [[पहली तरह का अंतर|पहली तरह का अवकल]]
 == संदर्भ ==

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डोलबेल्ट ऑपरेटर्स

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