स्पाइकर केंद्र: Difference between revisions

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[[ज्यामिति]] में, स्पाइकर केंद्र समतल त्रिभुज से जुड़ा एक विशेष बिंदु है। इसे त्रिभुज की परिधि के द्रव्यमान के केंद्र के रूप में परिभाषित किया गया है। त्रिभुज का स्पाइकर केंद्र {{math|△''ABC''}} के आकार में एक सजातीय तार फ्रेम के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र है {{math|△''ABC''}}.<ref name=Ross>{{cite book|last=Honsberger|first=Ross|title=उन्नीसवीं और बीसवीं सदी के यूक्लिडियन ज्यामिति में एपिसोड|year=1995|publisher=Mathematical Association of America|pages=3–4}}</ref><ref>{{cite web|last=Kimberling|first=Clark|title=स्पाइकर केंद्र|url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/spieker.html|accessdate=5 May 2012}}</ref> इस बिंदु का नाम 19वीं सदी के [[जर्मनी]] के [[ ज्यामितिशास्त्रीय ]] [[थिओडोर स्पाइकर]] के सम्मान में रखा गया है।<ref>{{cite book|last=Spieker|first=Theodor|title=विमान ज्यामिति की पाठ्यपुस्तक|year=1888|location=Potsdam, Germany}}</ref> स्पाइकर केंद्र एक त्रिभुज केंद्र है और इसे [[क्लार्क किम्बरलिंग]] के त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में बिंदु X (10) के रूप में सूचीबद्ध किया गया है।
[[ज्यामिति]] में, स्पाइकर केंद्र समतल त्रिभुज से जुड़ा एक विशेष बिंदु है। इसे त्रिभुज की परिधि के द्रव्यमान के केंद्र के रूप में परिभाषित किया गया है। त्रिभुज {{math|△''ABC''}} का स्पाइकर केंद्र {{math|△''ABC''}} के आकार में एक समघात तार फ्रेम का स्पाइकर केंद्र है।<ref name=Ross>{{cite book|last=Honsberger|first=Ross|title=उन्नीसवीं और बीसवीं सदी के यूक्लिडियन ज्यामिति में एपिसोड|year=1995|publisher=Mathematical Association of America|pages=3–4}}</ref><ref>{{cite web|last=Kimberling|first=Clark|title=स्पाइकर केंद्र|url=http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/spieker.html|accessdate=5 May 2012}}</ref> इस बिंदु का नाम 19वीं सदी के [[जर्मनी|जर्मन]][[ ज्यामितिशास्त्रीय | ज्यामितिशास्त्रीय]] [[थिओडोर स्पाइकर]] के सम्मान में रखा गया है।<ref>{{cite book|last=Spieker|first=Theodor|title=विमान ज्यामिति की पाठ्यपुस्तक|year=1888|location=Potsdam, Germany}}</ref> स्पाइकर केंद्र एक त्रिभुज केंद्र है और इसे [[क्लार्क किम्बरलिंग]] के त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में बिंदु X (10) के रूप में सूचीबद्ध किया गया है।


== स्थान ==
== स्थान ==
[[File:SpiekerCenter.svg|thumb|350px|स्पाइकर सेंटर का निर्माण।
[[File:SpiekerCenter.svg|thumb|350px|स्पाइकर केंद्र का निर्माण।
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{{legend-line|solid red|[[अंकित वृत्त]] का {{math|△''DEF''}} ([[स्पाइकर वृत्त]] का {{math|△''ABC''}}; पर {{mvar|S}}) केंद्रित है }}]]किसी भी त्रिभुज के स्पाइकर केंद्र का पता लगाने के लिए निम्नलिखित परिणाम का उपयोग किया जा सकता है।<ref name=Ross/>  
यानी का स्पाइकर केंद्र {{math|△''ABC''}} के मध्य त्रिकोण में खुदा हुआ वृत्त का केंद्र है {{math|△''ABC''}}. इस वृत्त को स्पाइकर वृत्त के नाम से जाना जाता है।


स्पाइकर केंद्र त्रिभुज के तीन [[क्लीवर (ज्यामिति)]] के चौराहे पर भी स्थित है {{math|△''ABC''}}. त्रिभुज का एक क्लीवर एक रेखा खंड है जो त्रिभुज के त्रिभुज के समद्विभाजक # क्षेत्रफल द्विभाजक और क्षेत्रफल-परिधि द्विभाजक है और तीन भुजाओं में से एक के मध्य बिंदु पर एक अंत बिंदु है। प्रत्येक क्लीवर में की सीमा के द्रव्यमान का केंद्र होता है {{math|△''ABC''}}, इसलिए तीन क्लीवर स्पाइकर सेंटर में मिलते हैं।
त्रिभुज {{math|△''ABC''}} का स्पाइकर केंद्र {{math|△''ABC''}} के माध्यिका त्रिभुज का अंत:केंद्र है।
अर्थात्, {{math|△''ABC''}} का स्पाइकर केंद्र {{math|△''ABC''}} के मध्य त्रिकोण में अँकित हुए वृत्त का केंद्र है। इस वृत्त को स्पाइकर वृत्त के नाम से जाना जाता है।


यह देखने के लिए कि औसत दर्जे का त्रिभुज का केंद्र क्लीवर के चौराहे बिंदु के साथ मेल खाता है, त्रिभुज के आकार में एक सजातीय वायरफ्रेम पर विचार करें {{math|△''ABC''}} लंबाई वाले रेखा खंडों के रूप में तीन तारों से मिलकर {{mvar|a, b, c}}. तार के फ्रेम का द्रव्यमान केंद्र द्रव्यमान के तीन कणों की प्रणाली के समान होता है {{mvar|a, b, c}} मध्यबिंदुओं पर रखा गया है {{mvar|D, E, F}} भुजाओं का {{mvar|{{overline|BC}}, {{overline|CA}}, {{overline|AB}}}}. पर कणों के द्रव्यमान का केंद्र {{mvar|E}} और {{mvar|F}} बिंदु है {{mvar|P}} जो खंड को विभाजित करता है {{mvar|{{overline|EF}}}} के अनुपात में {{math|''c'' : ''b''}}. रेखा {{mvar|DP}} का आंतरिक द्विभाजक है {{math|∠''D''}}. तीन कण प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र इस प्रकार के आंतरिक द्विभाजक पर स्थित है {{math|∠''D''}}. इसी तरह के तर्क बताते हैं कि तीन कण प्रणाली का केंद्र द्रव्यमान के आंतरिक द्विभाजक पर स्थित है {{math|∠''E''}} और {{math|∠''F''}} भी। यह इस प्रकार है कि तार फ्रेम के द्रव्यमान का केंद्र त्रिभुज के कोणों के आंतरिक द्विभाजकों की सहमति का बिंदु है  {{math|△''DEF''}} , जो औसत दर्जे का त्रिभुज का केंद्र है  {{math|△''DEF''}} .
स्पाइकर केंद्र त्रिभुज {{math|△''ABC''}} के तीन [[क्लीवर (ज्यामिति)|क्लीवरों]] के प्रतिच्छेद पर भी स्थित है। त्रिभुज का क्लीवर एक रेखा खंड है जो त्रिभुज के परिधि को द्विभाजित करता है और और तीन भुजाओं में से एक के मध्य बिंदु पर एक अंत बिंदु होता है। प्रत्येक क्लीवर में {{math|△''ABC''}} की सीमा के द्रव्यमान का केंद्र होता है , इसलिए तीन क्लीवर स्पाइकर केंद्र में मिलते हैं।
 
यह देखने के लिए कि मध्य त्रिभुज का अंतःकेन्द्र क्लीवर के प्रतिच्छेद बिंदु के अनुरूप होता है, त्रिभुज {{math|△''ABC''}} के आकार में एक समघात तार फ्रेम पर विचार करें जिसमें लंबाई {{mvar|a, b, c}} वाले रेखा खंडों के रूप में तीन तार सम्मलित हैं। तार के फ्रेम का द्रव्यमान केंद्र वही है जो द्रव्यमान {{mvar|a, b, c}} के तीन कणों की प्रणाली के रूप में भुजाओं {{mvar|{{overline|BC}}, {{overline|CA}}, {{overline|AB}}}} के मध्य बिंदु {{mvar|D, E, F}} पर रखा गया हैं। {{mvar|E}} और {{mvar|F}} पर कणों के द्रव्यमान का केंद्र बिंदु {{mvar|P}} है जो खंड {{mvar|{{overline|EF}}}} को {{math|''c'' : ''b''}} के अनुपात में विभाजित करता हैं। रेखा {{mvar|DP}}, {{math|∠''D''}} का आंतरिक द्विभाजक हैं। इस प्रकार तीन कण प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र {{math|∠''D''}} के आंतरिक द्विभाजक पर स्थित हैं। इसी तरह के तर्क बताते हैं कि तीन कण प्रणाली का केंद्र द्रव्यमान {{math|∠''E''}} और {{math|∠''F''}} के आंतरिक द्विभाजक पर भी स्थित है। यह इस प्रकार है कि तार फ्रेम के द्रव्यमान का केंद्र त्रिभुज {{math|△''DEF''}} के कोणों के आंतरिक द्विभाजक की सहमति का बिंदु है, जो माध्यिका त्रिभुज {{math|△''DEF''}} का अंतःकेन्द्र हैं।


== गुण ==
== गुण ==
[[File:CleavanceCenter.svg|thumb|350px|त्रिभुज का स्पाइकर केंद्र त्रिभुज का दरार केंद्र है।
[[File:CleavanceCenter.svg|thumb|350px|त्रिभुज का स्पाइकर केंद्र त्रिभुज का क्लीवेंस केंद्र है।
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{{legend-line|solid red|अंकित वृत्त का {{math|△''DEF''}} (स्पाईकर वृत्त का {{math|△''ABC''}}; {{mvar|S}} पर केंद्रित है) }}]]मान लीजिए {{mvar|S}} त्रिभुज {{math|△''ABC''}} का स्पाइकर केंद्र है।
* के त्रिरेखीय निर्देशांक {{mvar|S}} हैं
* {{mvar|S}} के त्रिरेखीय निर्देशांक हैं
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*[[बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली (गणित)]]गणित) का {{mvar|S}}  हैं
*{{mvar|S}} के [[बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली (गणित)|बैरीसेंट्रिक निर्देशांक]] हैं
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*{{mvar|S}} तीन बाह्यवृत्तों का [[शक्ति केंद्र (ज्यामिति)|मूल केंद्र]] है।<ref>{{citation|title=Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles|journal=Forum Geometricorum|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201006.pdf|volume=10|year=2010|pages=35–40|first=Boris|last=Odenhal}}</ref>
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*त्रिभुज {{math|△''ABC''}} के अंत:केंद्र ({{mvar|I}}), [[केन्द्रक]] ({{mvar|G}}), और [[नागल बिंदु]] ({{mvar|N}}) के साथ {{mvar|S}} संरेख है। इसके अतिरिक्त,<ref>{{cite web|last=Bogomolny|first=A.|authorlink= Alexander Bogomolny |title=इंटरएक्टिव मैथेमैटिक्स विविध और पहेलियाँ से नागल लाइन|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/NagelLine.shtml|accessdate=5 May 2012}}</ref>
::<math>IS= SM, \quad IG= 2 \cdot GS, \quad MG= 2\cdot IG.</math>
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: इस प्रकार उपयुक्त रूप से मापी गई और स्थित संख्या रेखा पर, {{math|1=''I'' = 0}}, {{math|1=''G'' = 2}}, {{math|1=''S'' = 3}}, और {{math|1=''M'' = 6}}.
: इस प्रकार उपयुक्त रूप से मापी गई और स्थित संख्या रेखा पर, {{math|1=''I'' = 0}}, {{math|1=''G'' = 2}}, {{math|1=''S'' = 3}}, और {{math|1=''M'' = 6}} है।.
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*{{mvar|S}} [[कीपर्ट शांकव|कीपर्ट अतिपरवलय]] पर स्थित है। {{mvar|S}} रेखाओं {{mvar|AX, BY, CZ}} की सहमति का बिंदु है जहां {{math|△''XBC'', △''YCA'', △''ZAB''}} समान, समद्विबाहु और समान रूप से स्थित त्रिभुज हैं जो त्रिभुज {{math|△''ABC''}} के आधार पर निर्मित होते हैं, जिनका आधार कोण समान होता है।<ref>{{mathworld|title=Kiepert Hyperbola|urlname=KiepertHyperbola}}</ref>
:: <math>\theta = \tan^{-1}\left[ \tan\left(\frac{A}{2}\right) \tan\left(\frac{B}{2}\right) \tan\left(\frac{C}{2}\right) \right].</math>
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==संदर्भ==
==संदर्भ==
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Revision as of 12:43, 22 April 2023

ज्यामिति में, स्पाइकर केंद्र समतल त्रिभुज से जुड़ा एक विशेष बिंदु है। इसे त्रिभुज की परिधि के द्रव्यमान के केंद्र के रूप में परिभाषित किया गया है। त्रिभुज △ABC का स्पाइकर केंद्र △ABC के आकार में एक समघात तार फ्रेम का स्पाइकर केंद्र है।[1][2] इस बिंदु का नाम 19वीं सदी के जर्मन ज्यामितिशास्त्रीय थिओडोर स्पाइकर के सम्मान में रखा गया है।[3] स्पाइकर केंद्र एक त्रिभुज केंद्र है और इसे क्लार्क किम्बरलिंग के त्रिभुज केंद्रों के विश्वकोश में बिंदु X (10) के रूप में सूचीबद्ध किया गया है।

स्थान

स्पाइकर केंद्र का निर्माण।
  त्रिभुज △ABC
  मध्यवर्वी त्रिभुज △DEF of △ABC
  कोण द्विभाजक का △DEF (समवर्ती पर स्पाइकर केंद्र S)
  अंकित वृत्त का △DEF (स्पाइकर वृत्त का △ABC; पर S) केंद्रित है

किसी भी त्रिभुज के स्पाइकर केंद्र का पता लगाने के लिए निम्नलिखित परिणाम का उपयोग किया जा सकता है।[1]

त्रिभुज △ABC का स्पाइकर केंद्र △ABC के माध्यिका त्रिभुज का अंत:केंद्र है। अर्थात्, △ABC का स्पाइकर केंद्र △ABC के मध्य त्रिकोण में अँकित हुए वृत्त का केंद्र है। इस वृत्त को स्पाइकर वृत्त के नाम से जाना जाता है।

स्पाइकर केंद्र त्रिभुज △ABC के तीन क्लीवरों के प्रतिच्छेद पर भी स्थित है। त्रिभुज का क्लीवर एक रेखा खंड है जो त्रिभुज के परिधि को द्विभाजित करता है और और तीन भुजाओं में से एक के मध्य बिंदु पर एक अंत बिंदु होता है। प्रत्येक क्लीवर में △ABC की सीमा के द्रव्यमान का केंद्र होता है , इसलिए तीन क्लीवर स्पाइकर केंद्र में मिलते हैं।

यह देखने के लिए कि मध्य त्रिभुज का अंतःकेन्द्र क्लीवर के प्रतिच्छेद बिंदु के अनुरूप होता है, त्रिभुज △ABC के आकार में एक समघात तार फ्रेम पर विचार करें जिसमें लंबाई a, b, c वाले रेखा खंडों के रूप में तीन तार सम्मलित हैं। तार के फ्रेम का द्रव्यमान केंद्र वही है जो द्रव्यमान a, b, c के तीन कणों की प्रणाली के रूप में भुजाओं BC, CA, AB के मध्य बिंदु D, E, F पर रखा गया हैं। E और F पर कणों के द्रव्यमान का केंद्र बिंदु P है जो खंड EF को c : b के अनुपात में विभाजित करता हैं। रेखा DP, ∠D का आंतरिक द्विभाजक हैं। इस प्रकार तीन कण प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र ∠D के आंतरिक द्विभाजक पर स्थित हैं। इसी तरह के तर्क बताते हैं कि तीन कण प्रणाली का केंद्र द्रव्यमान ∠E और ∠F के आंतरिक द्विभाजक पर भी स्थित है। यह इस प्रकार है कि तार फ्रेम के द्रव्यमान का केंद्र त्रिभुज △DEF के कोणों के आंतरिक द्विभाजक की सहमति का बिंदु है, जो माध्यिका त्रिभुज △DEF का अंतःकेन्द्र हैं।

गुण

त्रिभुज का स्पाइकर केंद्र त्रिभुज का क्लीवेंस केंद्र है।
  त्रिभुज △ABC
  द्विभाजक कोण का △ABC (समवर्ती पर केंद्र I)
  क्लीवर का △ABC (समवर्ती पर स्पाइकर केंद्र S)
  मध्य त्रिभुज △DEF का △ABC
  अंकित वृत्त का △DEF (स्पाईकर वृत्त का △ABC; S पर केंद्रित है)

मान लीजिए S त्रिभुज △ABC का स्पाइकर केंद्र है।

  • S के त्रिरेखीय निर्देशांक हैं
[4]
[4]
इस प्रकार उपयुक्त रूप से मापी गई और स्थित संख्या रेखा पर, I = 0, G = 2, S = 3, और M = 6 है।.
  • S कीपर्ट अतिपरवलय पर स्थित है। S रेखाओं AX, BY, CZ की सहमति का बिंदु है जहां △XBC, △YCA, △ZAB समान, समद्विबाहु और समान रूप से स्थित त्रिभुज हैं जो त्रिभुज △ABC के आधार पर निर्मित होते हैं, जिनका आधार कोण समान होता है।[7]

संदर्भ

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 Honsberger, Ross (1995). उन्नीसवीं और बीसवीं सदी के यूक्लिडियन ज्यामिति में एपिसोड. Mathematical Association of America. pp. 3–4.
  2. ↑ Kimberling, Clark. "स्पाइकर केंद्र". Retrieved 5 May 2012.
  3. ↑ Spieker, Theodor (1888). विमान ज्यामिति की पाठ्यपुस्तक. Potsdam, Germany.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  4. ↑ 4.0 4.1 Kimberling, Clark. "त्रिभुज केंद्रों का विश्वकोश". Retrieved 5 May 2012.
  5. ↑ Odenhal, Boris (2010), "Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles" (PDF), Forum Geometricorum, 10: 35–40
  6. ↑ Bogomolny, A. "इंटरएक्टिव मैथेमैटिक्स विविध और पहेलियाँ से नागल लाइन". Retrieved 5 May 2012.
  7. ↑ Weisstein, Eric W. "Kiepert Hyperbola". MathWorld.
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