संकुचन मानचित्रण: Difference between revisions

Revision as of 08:17, 28 April 2023

गणित में, मैट्रिक स्थान (M, d) पर एक संक्षेपण आरेखण, या संक्षेपण या संकुचक एक फलन f है जिसकी गुणवत्ता यह है कि कोई ऐसी वास्तविक संख्या $0\leq k<1$ है जो सभी x और y के लिए M में होती है। इस प्रकार

d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).

k के ऐसे सबसे छोटे मान को f का 'लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक' कहा जाता है। संविदात्मक मानचित्रों को कभी-कभी 'लिप्सचिट्ज़ियन मानचित्र' कहा जाता है। यदि उपरोक्त शर्त को k ≤ 1 के लिए पूरा किया जाता है तो मैपिंग को गैर-विस्तारशील मैप कहा जाता है।

सामान्यतः, मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच मानचित्रों के लिए अनुबंधित मानचित्रण का विचार परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार, यदि (एम,-डी) और (एन,-डी') दो मीट्रिक स्थान हैं, तो $f:M\rightarrow N$ एक स्थिरांक $0\leq k<1$ होने पर एक संविदात्मक मानचित्रण है ऐसा है कि एम में सभी एक्स और वाई के लिए

d'(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)

सत्य है।

प्रत्येक संकुचन मानचित्रण लिप्सचिट्ज़ निरंतर है और इसलिए समान रूप से निरंतर लिप्सचिट्ज़ निरंतर फलन के लिए, स्थिरांक k अब आवश्यक रूप से 1 से कम नहीं है।

एक संकुचन मानचित्रण में अधिकतम एक नियत बिंदु होता है। इसके अतिरिक्त, बानाच नियत-बिन्दु प्रमेय कहता है कि एक खाली सेट पर प्रत्येक संकुचन मानचित्रण | गैर-रिक्त पूर्ण मीट्रिक स्थान में एक अद्वितीय निश्चित बिंदु होता है, और एम में किसी भी एक्स के लिए पुनरावृत्त फलन अनुक्रम x, f (x), f ( f (x)), f (f (f (x))) निश्चित बिंदु पर अभिसरण करता है। यह अवधारणा पुनरावृत्त फलन प्रणाली के लिए बहुत उपयोगी है जहां अभिसरण प्रमाण संकुचन मानचित्रण तकनीक का उपयोग करता है। साधारण अंतर समीकरणो के समाधान के अस्तित्व को प्रमाणित करने के लिए बानाच का निश्चित-बिंदु प्रमेय भी लागू किया जाता है, और व्युत्क्रम फलन प्रमेय के एक प्रमाण में प्रयोग किया जाता है।^[1]

गतिशील प्रोग्रामिंग समस्याओं में संकुचन मानचित्रण महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।^[2]^[3]

दृढ़ता से गैर-विस्तृत मानचित्रण

के साथ एक गैर-विस्तृत मानचित्रण $k=1$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष में दृढ़ता से गैर-विस्तृत मानचित्रण के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है ${\mathcal {H}}$ यदि निम्न में सभी x और y के लिए है ${\mathcal {H}}$ :

\|f(x)-f(y)\|^{2}\leq \,\langle x-y,f(x)-f(y)\rangle .

कहाँ

d(x,y)=\|x-y\|

.

यह का एक विशेष मामला है $\alpha$ के साथ औसत nonexpensive ऑपरेटरों $\alpha =1/2$ .^[4] कॉची-श्वार्ज़ असमानता के माध्यम से एक दृढ़ता से गैर-विस्तृत मानचित्रण हमेशा गैर-विस्तृत होता है।

दृढ़ता से गैर-विस्तृत मानचित्रों का वर्ग उत्तल संयोजनों के तहत बंद है, लेकिन रचनाएँ नहीं।^[5] इस वर्ग में उचित, उत्तल, निचले-अर्ध-अर्ध-सतत कार्यों के समीपस्थ ऑपरेटर शामिल हैं, इसलिए इसमें गैर-खाली बंद उत्तल सेटों पर ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन (गणित) भी शामिल है। कार्यात्मक विश्लेषण में अधिकतम मोनोटोनिक फलन#Monotonicity के रिज़ॉल्वेंट के सेट के बराबर दृढ़ता से गैर-विस्तार ऑपरेटरों का वर्ग है।^[6] आश्चर्यजनक रूप से, जबकि गैर-विस्तृत नक्शों की पुनरावृति में एक निश्चित बिंदु खोजने की कोई गारंटी नहीं है (उदाहरण के लिए -1 से गुणा), दृढ़ गैर-विस्तारता एक निश्चित बिंदु पर अभिसरण प्रूफ तकनीकों के लिए पर्याप्त है, बशर्ते एक निश्चित बिंदु मौजूद हो। अधिक सटीक, यदि ${\text{Fix}}f:=\{x\in {\mathcal {H}}\ |\ f(x)=x\}\neq \varnothing$ , फिर किसी प्रारंभिक बिंदु के लिए $x_{0}\in {\mathcal {H}}$ , पुनरावृत्त

$(\forall n\in \mathbb {N} )\quad x_{n+1}=f(x_{n})$ एक निश्चित बिंदु पर अभिसरण देता है $x_{n}\to z\in {\text{Fix}}f$ . यह अभिसरण एक अनंत-आयामी सेटिंग में कमजोर अभिसरण (हिल्बर्ट स्पेस) हो सकता है।^[5]

उपसंविदा मानचित्र

एक उपठेकेदार मानचित्र या उपठेकेदार एक मीट्रिक स्थान (M, d) पर एक मानचित्र f है, जैसे कि

d(f(x),f(y))\leq d(x,y);

d(f(f(x)),f(x))<d(f(x),x)\quad {\text{unless}}\quad x=f(x).

यदि एक उपठेकेदार f की छवि (गणित) कॉम्पैक्ट जगह है, तो f का एक निश्चित बिंदु है।^[7]

स्थानीय रूप से उत्तल स्थान

एक स्थानीय रूप से उत्तल स्थान (ई,-पी) में सेमिनोर्म्स के एक सेट पी द्वारा दिए गए टोपोलॉजिकल स्पेस के साथ, किसी भी पी-∈-पी के लिए एक मैप एफ के रूप में पी-संकुचन को परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि कुछ के_p <1 ऐसा कि p(f(x) − f(y)) ≤ k_p p(x − y). यदि f सभी p ∈ P के लिए एक p-संकुचन है और (E, P) क्रमिक रूप से पूर्ण है, तो f का एक निश्चित बिंदु है, जिसे किसी अनुक्रम x की सीमा के रूप में दिया गया है_n+1 = एफ (एक्स_n), और यदि (E, P) हॉसडॉर्फ स्पेस है, तो निश्चित बिंदु अद्वितीय है।^[8]

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Shifrin, Theodore (2005). बहुभिन्नरूपी गणित. Wiley. pp. 244–260. ISBN 978-0-471-52638-4.
↑ Denardo, Eric V. (1967). "डायनेमिक प्रोग्रामिंग के सिद्धांत में संकुचन मानचित्रण". SIAM Review. 9 (2): 165–177. Bibcode:1967SIAMR...9..165D. doi:10.1137/1009030.
↑ Stokey, Nancy L.; Lucas, Robert E. (1989). आर्थिक गतिशीलता में पुनरावर्ती तरीके. Cambridge: Harvard University Press. pp. 49–55. ISBN 978-0-674-75096-8.
↑ Combettes, Patrick L. (2004). "गैर-विस्तार औसत ऑपरेटरों की रचनाओं के माध्यम से मोनोटोन समावेशन को हल करना". Optimization. 53 (5–6): 475–504. doi:10.1080/02331930412331327157.
↑ ^5.0 ^5.1 Bauschke, Heinz H. (2017). उत्तल विश्लेषण और हिल्बर्ट स्पेस में मोनोटोन ऑपरेटर थ्योरी. New York: Springer.
↑ Combettes, Patrick L. (July 2018). "उत्तल अनुकूलन में मोनोटोन ऑपरेटर सिद्धांत". Mathematical Programming. B170: 177–206. arXiv:1802.02694. Bibcode:2018arXiv180202694C. doi:10.1007/s10107-018-1303-3. S2CID 49409638.
↑ Goldstein, A.A. (1967). रचनात्मक वास्तविक विश्लेषण. Harper’s Series in Modern Mathematics. New York-Evanston-London: Harper and Row. p. 17. Zbl 0189.49703.
↑ Cain, G. L., Jr.; Nashed, M. Z. (1971). "स्थानीय रूप से उत्तल स्थानों में दो ऑपरेटरों के योग के लिए निश्चित बिंदु और स्थिरता". Pacific Journal of Mathematics. 39 (3): 581–592. doi:10.2140/pjm.1971.39.581.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

अग्रिम पठन

Istratescu, Vasile I. (1981). Fixed Point Theory : An Introduction. Holland: D.Reidel. ISBN 978-90-277-1224-0. provides an undergraduate level introduction.
Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Fixed Point Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00173-9.
Kirk, William A.; Sims, Brailey (2001). Handbook of Metric Fixed Point Theory. London: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-7073-4.
Naylor, Arch W.; Sell, George R. (1982). Linear Operator Theory in Engineering and Science. Applied Mathematical Sciences. Vol. 40 (Second ed.). New York: Springer. pp. 125–134. ISBN 978-0-387-90748-2.

Bullo, Francesco (2022). Contraction Theory for Dynamical Systems. Kindle Direct Publishing. ISBN 979-8836646806.

[shifrin-1] Shifrin, Theodore (2005). बहुभिन्नरूपी गणित. Wiley. pp. 244–260. ISBN 978-0-471-52638-4.

[2] Denardo, Eric V. (1967). "डायनेमिक प्रोग्रामिंग के सिद्धांत में संकुचन मानचित्रण". SIAM Review. 9 (2): 165–177. Bibcode:1967SIAMR...9..165D. doi:10.1137/1009030.

[3] Stokey, Nancy L.; Lucas, Robert E. (1989). आर्थिक गतिशीलता में पुनरावर्ती तरीके. Cambridge: Harvard University Press. pp. 49–55. ISBN 978-0-674-75096-8.

[4] Combettes, Patrick L. (2004). "गैर-विस्तार औसत ऑपरेटरों की रचनाओं के माध्यम से मोनोटोन समावेशन को हल करना". Optimization. 53 (5–6): 475–504. doi:10.1080/02331930412331327157.

[:0-5] 5.0 ^5.1 Bauschke, Heinz H. (2017). उत्तल विश्लेषण और हिल्बर्ट स्पेस में मोनोटोन ऑपरेटर थ्योरी. New York: Springer.

[6] Combettes, Patrick L. (July 2018). "उत्तल अनुकूलन में मोनोटोन ऑपरेटर सिद्धांत". Mathematical Programming. B170: 177–206. arXiv:1802.02694. Bibcode:2018arXiv180202694C. doi:10.1007/s10107-018-1303-3. S2CID 49409638.

[Gold17-7] Goldstein, A.A. (1967). रचनात्मक वास्तविक विश्लेषण. Harper’s Series in Modern Mathematics. New York-Evanston-London: Harper and Row. p. 17. Zbl 0189.49703.

[8] Cain, G. L., Jr.; Nashed, M. Z. (1971). "स्थानीय रूप से उत्तल स्थानों में दो ऑपरेटरों के योग के लिए निश्चित बिंदु और स्थिरता". Pacific Journal of Mathematics. 39 (3): 581–592. doi:10.2140/pjm.1971.39.581.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

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-{{Short description|Function reducing distance between all points}} गणित में, एक संकुचन मानचित्रण, या संकुचन या ठेकेदार, एक [[मीट्रिक स्थान]] पर (''M'', ''d'') एक फ़ंक्शन (गणित) ''f'' है जो ''M'' से स्वयं के लिए है, संपत्ति के साथ कि कुछ [[वास्तविक संख्या]] है <math>0 \leq k < 1</math> इस प्रकार कि M में सभी x और y के लिए,
+{{Short description|Function reducing distance between all points}} गणित में, मैट्रिक स्थान (M, d) पर एक संक्षेपण आरेखण, या संक्षेपण या संकुचक एक फलन f है जिसकी गुणवत्ता यह है कि कोई ऐसी वास्तविक संख्या <math>0 \leq k < 1</math> है जो सभी x और y के लिए M में होती है। इस प्रकार
 :<math>d(f(x),f(y)) \leq k\,d(x,y).</math>
-k के ऐसे सबसे छोटे मान को f का 'लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक' कहा जाता है। संविदात्मक मानचित्रों को कभी-कभी 'लिप्सचिट्ज़ियन मानचित्र' कहा जाता है। यदि उपरोक्त शर्त इसके बजाय संतुष्ट है
+k के ऐसे सबसे छोटे मान को f का 'लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक' कहा जाता है। संविदात्मक मानचित्रों को कभी-कभी 'लिप्सचिट्ज़ियन मानचित्र' कहा जाता है। यदि उपरोक्त शर्त को k ≤ 1 के लिए पूरा किया जाता है तो मैपिंग को गैर-विस्तारशील मैप कहा जाता है।
-k ≤ 1, तो मानचित्रण को गैर-विस्तृत मानचित्र कहा जाता है।
-अधिक आम तौर पर, मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच मानचित्रों के लिए अनुबंधित मानचित्रण का विचार परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार, यदि (एम,-डी) और (एन,-डी') दो मीट्रिक स्थान हैं, तो <math>f:M \rightarrow N</math> एक स्थिरांक होने पर एक संविदात्मक मानचित्रण है <math>0 \leq k < 1</math> ऐसा है कि
+सामान्यतः, मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच मानचित्रों के लिए अनुबंधित मानचित्रण का विचार परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार, यदि (एम,-डी) और (एन,-डी') दो मीट्रिक स्थान हैं, तो <math>f:M \rightarrow N</math> एक स्थिरांक <math>0 \leq k < 1</math> होने पर एक संविदात्मक मानचित्रण है ऐसा है कि एम में सभी एक्स और वाई के लिए
 :<math>d'(f(x),f(y)) \leq k\,d(x,y)</math>
-एम में सभी एक्स और वाई के लिए।
+सत्य है।
-प्रत्येक संकुचन मानचित्रण [[लिप्सचिट्ज़ निरंतर]] है और इसलिए [[समान रूप से निरंतर]] (लिप्सचिट्ज़ निरंतर कार्य के लिए, स्थिर k अब आवश्यक रूप से 1 से कम नहीं है)।
+प्रत्येक संकुचन मानचित्रण [[लिप्सचिट्ज़ निरंतर]] है और इसलिए [[समान रूप से निरंतर]] लिप्सचिट्ज़ निरंतर फलन के लिए, स्थिरांक k अब आवश्यक रूप से 1 से कम नहीं है।
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-एक संकुचन मानचित्रण में अधिकतम एक [[निश्चित बिंदु (गणित)]] होता है। इसके अलावा, [[बानाच फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय]] कहता है कि एक [[खाली सेट]] पर प्रत्येक संकुचन मानचित्रण | गैर-खाली [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] में एक अद्वितीय निश्चित बिंदु होता है, और एम में किसी भी एक्स के लिए पुनरावृत्त फ़ंक्शन अनुक्रम x, f (x), f ( f (x)), f (f (f (x))), ... निश्चित बिंदु पर अभिसरण करता है। यह अवधारणा [[पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम]] के लिए बहुत उपयोगी है जहां अभिसरण प्रमाण तकनीक # संकुचन मानचित्रण। [[साधारण अंतर समीकरण]]ों के समाधान के अस्तित्व को साबित करने के लिए बानाच का निश्चित-बिंदु प्रमेय भी लागू किया जाता है, और [[व्युत्क्रम समारोह प्रमेय]] के एक प्रमाण में प्रयोग किया जाता है।<ref name="shifrin">{{cite book |first=Theodore |last=Shifrin |title=बहुभिन्नरूपी गणित|publisher=Wiley |year=2005 |isbn=978-0-471-52638-4 |pages=244–260 }}</ref>
 [[गतिशील प्रोग्रामिंग]] समस्याओं में संकुचन मानचित्रण महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।<ref>{{cite journal |first=Eric V. |last=Denardo |title=डायनेमिक प्रोग्रामिंग के सिद्धांत में संकुचन मानचित्रण|journal=SIAM Review |volume=9 |issue=2 |pages=165–177 |year=1967 |doi=10.1137/1009030 |bibcode=1967SIAMR...9..165D }}</ref><ref>{{cite book |first1=Nancy L. |last1=Stokey |author1-link=Nancy Stokey | first2=Robert E. |last2=Lucas |year=1989 |author-link2=Robert Lucas Jr. |title=आर्थिक गतिशीलता में पुनरावर्ती तरीके|location=Cambridge |publisher=Harvard University Press |pages=49–55 |isbn=978-0-674-75096-8 |url=https://books.google.com/books?id=BgQ3AwAAQBAJ&pg=PA49 }}</ref>
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 यह का एक विशेष मामला है <math>\alpha</math> के साथ औसत nonexpensive ऑपरेटरों <math>\alpha = 1/2</math>.<ref>{{cite journal |title=गैर-विस्तार औसत ऑपरेटरों की रचनाओं के माध्यम से मोनोटोन समावेशन को हल करना|first=Patrick L. |last=Combettes |year=2004 |journal=[[Optimization (journal)|Optimization]] |volume=53 |issue=5–6 |pages=475–504 |doi=10.1080/02331930412331327157 }}</ref> कॉची-श्वार्ज़ असमानता के माध्यम से एक दृढ़ता से गैर-विस्तृत मानचित्रण हमेशा गैर-विस्तृत होता है।
-दृढ़ता से गैर-विस्तृत मानचित्रों का वर्ग [[उत्तल संयोजन]]ों के तहत बंद है, लेकिन रचनाएँ नहीं।<ref name=":0">{{Cite book|title=उत्तल विश्लेषण और हिल्बर्ट स्पेस में मोनोटोन ऑपरेटर थ्योरी|last=Bauschke|first=Heinz H.|publisher=Springer|year=2017|location=New York}}</ref> इस वर्ग में उचित, उत्तल, निचले-अर्ध-अर्ध-सतत कार्यों के समीपस्थ ऑपरेटर शामिल हैं, इसलिए इसमें गैर-खाली बंद [[उत्तल सेट]]ों पर ऑर्थोगोनल [[प्रोजेक्शन (गणित)]] भी शामिल है। कार्यात्मक विश्लेषण में अधिकतम मोनोटोनिक फ़ंक्शन#Monotonicity के रिज़ॉल्वेंट के सेट के बराबर दृढ़ता से गैर-विस्तार ऑपरेटरों का वर्ग है।<ref>{{Cite journal|last=Combettes|first=Patrick L.|date=July 2018|title=उत्तल अनुकूलन में मोनोटोन ऑपरेटर सिद्धांत|journal=Mathematical Programming|volume=B170|pages=177–206|arxiv=1802.02694|doi=10.1007/s10107-018-1303-3|bibcode=2018arXiv180202694C|s2cid=49409638}}</ref> आश्चर्यजनक रूप से, जबकि गैर-विस्तृत नक्शों की पुनरावृति में एक निश्चित बिंदु खोजने की कोई गारंटी नहीं है (उदाहरण के लिए -1 से गुणा), दृढ़ गैर-विस्तारता एक निश्चित बिंदु पर अभिसरण प्रूफ तकनीकों के लिए पर्याप्त है, बशर्ते एक निश्चित बिंदु मौजूद हो। अधिक सटीक, अगर <math>\text{Fix}f := \{x \in \mathcal{H} \ | \ f(x) = x\} \neq \varnothing</math>, फिर किसी प्रारंभिक बिंदु के लिए <math>x_0 \in \mathcal{H}</math>, पुनरावृत्त
+दृढ़ता से गैर-विस्तृत मानचित्रों का वर्ग [[उत्तल संयोजन]]ों के तहत बंद है, लेकिन रचनाएँ नहीं।<ref name=":0">{{Cite book|title=उत्तल विश्लेषण और हिल्बर्ट स्पेस में मोनोटोन ऑपरेटर थ्योरी|last=Bauschke|first=Heinz H.|publisher=Springer|year=2017|location=New York}}</ref> इस वर्ग में उचित, उत्तल, निचले-अर्ध-अर्ध-सतत कार्यों के समीपस्थ ऑपरेटर शामिल हैं, इसलिए इसमें गैर-खाली बंद [[उत्तल सेट]]ों पर ऑर्थोगोनल [[प्रोजेक्शन (गणित)]] भी शामिल है। कार्यात्मक विश्लेषण में अधिकतम मोनोटोनिक फलन#Monotonicity के रिज़ॉल्वेंट के सेट के बराबर दृढ़ता से गैर-विस्तार ऑपरेटरों का वर्ग है।<ref>{{Cite journal|last=Combettes|first=Patrick L.|date=July 2018|title=उत्तल अनुकूलन में मोनोटोन ऑपरेटर सिद्धांत|journal=Mathematical Programming|volume=B170|pages=177–206|arxiv=1802.02694|doi=10.1007/s10107-018-1303-3|bibcode=2018arXiv180202694C|s2cid=49409638}}</ref> आश्चर्यजनक रूप से, जबकि गैर-विस्तृत नक्शों की पुनरावृति में एक निश्चित बिंदु खोजने की कोई गारंटी नहीं है (उदाहरण के लिए -1 से गुणा), दृढ़ गैर-विस्तारता एक निश्चित बिंदु पर अभिसरण प्रूफ तकनीकों के लिए पर्याप्त है, बशर्ते एक निश्चित बिंदु मौजूद हो। अधिक सटीक, यदि <math>\text{Fix}f := \{x \in \mathcal{H} \ | \ f(x) = x\} \neq \varnothing</math>, फिर किसी प्रारंभिक बिंदु के लिए <math>x_0 \in \mathcal{H}</math>, पुनरावृत्त
 <math> (\forall n \in \mathbb{N})\quad x_{n+1} = f(x_n) </math>
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 == [[स्थानीय रूप से उत्तल स्थान]] ==
-एक स्थानीय रूप से उत्तल स्थान (ई,-पी) में [[सेमिनोर्म]]्स के एक सेट पी द्वारा दिए गए [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के साथ, किसी भी पी-∈-पी के लिए एक मैप एफ के रूप में पी-संकुचन को परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि कुछ के<sub>''p''</sub> <1 ऐसा कि {{nowrap|''p''(''f''(''x'') − ''f''(''y''))}} ≤ {{nowrap|''k<sub>p</sub> p''(''x'' − ''y'')}}. यदि f सभी p ∈ P के लिए एक p-संकुचन है और (E, P) क्रमिक रूप से पूर्ण है, तो f का एक निश्चित बिंदु है, जिसे किसी अनुक्रम x की सीमा के रूप में दिया गया है<sub>''n''+1</sub> = एफ (एक्स<sub>''n''</sub>), और अगर (E, P) [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] है, तो निश्चित बिंदु अद्वितीय है।<ref>{{cite journal |first1=G. L., Jr. |last1=Cain |first2=M. Z. |last2=Nashed |author-link2=Zuhair Nashed |title=स्थानीय रूप से उत्तल स्थानों में दो ऑपरेटरों के योग के लिए निश्चित बिंदु और स्थिरता|journal=Pacific Journal of Mathematics |volume=39 |issue=3 |year=1971 |pages=581–592 |doi=10.2140/pjm.1971.39.581 |doi-access=free }}</ref>
+एक स्थानीय रूप से उत्तल स्थान (ई,-पी) में [[सेमिनोर्म]]्स के एक सेट पी द्वारा दिए गए [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के साथ, किसी भी पी-∈-पी के लिए एक मैप एफ के रूप में पी-संकुचन को परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि कुछ के<sub>''p''</sub> <1 ऐसा कि {{nowrap|''p''(''f''(''x'') − ''f''(''y''))}} ≤ {{nowrap|''k<sub>p</sub> p''(''x'' − ''y'')}}. यदि f सभी p ∈ P के लिए एक p-संकुचन है और (E, P) क्रमिक रूप से पूर्ण है, तो f का एक निश्चित बिंदु है, जिसे किसी अनुक्रम x की सीमा के रूप में दिया गया है<sub>''n''+1</sub> = एफ (एक्स<sub>''n''</sub>), और यदि (E, P) [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] है, तो निश्चित बिंदु अद्वितीय है।<ref>{{cite journal |first1=G. L., Jr. |last1=Cain |first2=M. Z. |last2=Nashed |author-link2=Zuhair Nashed |title=स्थानीय रूप से उत्तल स्थानों में दो ऑपरेटरों के योग के लिए निश्चित बिंदु और स्थिरता|journal=Pacific Journal of Mathematics |volume=39 |issue=3 |year=1971 |pages=581–592 |doi=10.2140/pjm.1971.39.581 |doi-access=free }}</ref>
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 * लघु मानचित्र
 * [[संकुचन (संचालक सिद्धांत)]]
-* [[परिवर्तन (फ़ंक्शन)]]
+* [[परिवर्तन (फ़ंक्शन)|परिवर्तन (फलन)]]
 ==संदर्भ==

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