काल्पनिक समय: Difference between revisions

Revision as of 10:04, 26 April 2023

काल्पनिक समय समय का एक गणितीय प्रतिनिधित्व है जो विशेष सापेक्षता और परिमाण यांत्रिकी के कुछ दृष्टिकोणों में प्रकट होता है। यह परिमाण यांत्रिकी को सांख्यिकीय यांत्रिकी और कुछ ब्रह्माण्ड विज्ञान सिद्धांतों से जोड़ने में उपयोग करता है।^{[citation needed]}

गणितीय रूप से, काल्पनिक समय वास्तविक समय है जो एक वर्तिका क्रमावर्तन से पारित होता है ताकि इसके निर्देशांक काल्पनिक इकाई i से गुणा हो जाएं। काल्पनिक समय इस अर्थ में काल्पनिक नहीं है कि यह अवास्तविक या बना-बनाया है (कहने के अलावा, अपरिमेय संख्याएँ तर्क को धता बताती हैं), यह केवल गणितज्ञों द्वारा काल्पनिक संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है।

उत्पत्ति

गणित में, काल्पनिक इकाई $i$ का वर्गमूल है $-1$ , जैसे $i^{2}$ को -1 के रूप में परिभाषित किया गया है। एक संख्या जो का प्रत्यक्ष गुणक है $i$ एक काल्पनिक संख्या के रूप में जाना जाता है।^[1]^{: Chp 4}

कुछ भौतिक सिद्धांतों में, समय की अवधि को गुणा किया जाता है $i$ इस प्रकार से। गणितीय रूप से, एक काल्पनिक समय अवधि ${\textstyle \tau }$ वास्तविक समय से प्राप्त किया जा सकता है ${\textstyle t}$ द्वारा एक बाती रोटेशन के माध्यम से ${\textstyle \pi /2}$ जटिल विमान में: ${\textstyle \tau =it}$ .^[1]^: 769

स्टीफन हॉकिंग ने अपनी पुस्तक संक्षेप में ब्रह्मांड में काल्पनिक समय की अवधारणा को लोकप्रिय बनाया।

"कोई यह सोच सकता है कि इसका मतलब यह है कि काल्पनिक संख्या केवल एक गणितीय खेल है जिसका वास्तविक दुनिया से कोई लेना-देना नहीं है। प्रत्यक्षवादी दर्शन के दृष्टिकोण से, हालांकि, कोई यह निर्धारित नहीं कर सकता कि वास्तविक क्या है। केवल एक ही कर सकता है पता लगाएं कि कौन से गणितीय मॉडल उस ब्रह्मांड का वर्णन करते हैं जिसमें हम रहते हैं। यह पता चला है कि काल्पनिक समय से जुड़ा एक गणितीय मॉडल न केवल उन प्रभावों की भविष्यवाणी करता है जिन्हें हमने पहले ही देखा है बल्कि उन प्रभावों की भी भविष्यवाणी करता है जिन्हें हम मापने में सक्षम नहीं हैं फिर भी अन्य कारणों से विश्वास करते हैं। तो क्या है वास्तविक और क्या काल्पनिक है? क्या भेद सिर्फ हमारे मन में है?"
— स्टीफन हॉकिंग^[2]^: 59

वास्तव में, संख्याओं के लिए वास्तविक संख्या और काल्पनिक संख्या केवल एक ऐतिहासिक दुर्घटना है, बहुत कुछ परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या की तरह:

"...'वास्तविक और काल्पनिक शब्द उस युग के सुरम्य अवशेष हैं जब जटिल संख्या की प्रकृति को ठीक से समझा नहीं गया था।'
— एच.एस.एम. कॉक्सेटर^[3]

ब्रह्माण्ड विज्ञान में

व्युत्पत्ति

सापेक्षता के सिद्धांत द्वारा अपनाए गए [[मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष समय ]] मॉडल में, स्पेसटाइम को चार आयामी सतह या कई गुना के रूप में दर्शाया गया है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दूरी के चार-आयामी समतुल्य को अंतरिक्ष-समय अंतराल कहा जाता है। यह मानते हुए कि एक विशिष्ट समय अवधि को वास्तविक संख्या के रूप में उसी तरह दर्शाया जाता है जैसे अंतरिक्ष में दूरी, एक अंतराल $d$ सापेक्षतावादी स्पेसटाइम में सामान्य सूत्र द्वारा दिया जाता है लेकिन समय के साथ नकारात्मक:

d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}

जहाँ

x

,

y

और

z

प्रत्येक स्थानिक अक्ष के साथ दूरी हैं और

t

समय अक्ष के साथ समय या दूरी की अवधि है (सख्ती से, समय समन्वय है

(ct)^{2}

जहाँ

c

प्रकाश की गति है, हालाँकि हम पारंपरिक रूप से ऐसी इकाइयाँ चुनते हैं

c=1

).

गणितीय रूप से यह लेखन के बराबर है

d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+(it)^{2}

इस संदर्भ में,

i

या तो ऊपर के रूप में अंतरिक्ष और वास्तविक समय के बीच संबंध की एक विशेषता के रूप में स्वीकार किया जा सकता है, या इसे वैकल्पिक रूप से समय में ही शामिल किया जा सकता है, जैसे कि समय का मूल्य स्वयं एक काल्पनिक संख्या है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है

\tau

.^{[citation needed]} फिर समीकरण को सामान्यीकृत रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\tau ^{2}

इसी प्रकार इसके चार सदिश तब इस प्रकार लिखे जा सकते हैं

(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})

जहाँ दूरियों को निरूपित किया जाता है

x_{n}

, और

x_{0}=ict

जहाँ

c

प्रकाश की गति है और समय काल्पनिक है।

ब्रह्मांड विज्ञान के लिए आवेदन

हॉकिंग ने 1971 में कुछ स्थितियों में एक काल्पनिक मीट्रिक में समय अंतराल को घुमाने की उपयोगिता को नोट किया।^[4] [[भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान]] में, काल्पनिक समय को ब्रह्मांड के कुछ मॉडलों में शामिल किया जा सकता है जो सामान्य सापेक्षता के समीकरणों के समाधान हैं। विशेष रूप से, काल्पनिक समय गुरुत्वीय विलक्षणताओं को सुचारू करने में मदद कर सकता है, जहां ज्ञात भौतिक नियम टूट जाते हैं, विलक्षणता को दूर करने और इस तरह के टूटने से बचने के लिए (हार्टल-हॉकिंग राज्य देखें)। उदाहरण के लिए, महा विस्फोट सामान्य समय में [[गुरुत्वाकर्षण विलक्षणता]] के रूप में प्रकट होता है, लेकिन जब काल्पनिक समय के साथ मॉडलिंग की जाती है, तो विलक्षणता को हटाया जा सकता है और बिग बैंग चार-आयामी स्पेसटाइम में किसी अन्य बिंदु की तरह कार्य करता है। स्पेसटाइम के लिए कोई भी सीमा विलक्षणता का एक रूप है, जहां स्पेसटाइम की सहज प्रकृति टूट जाती है।^[1]^{: 769–772} इस तरह की सभी विलक्षणताओं को ब्रह्मांड से हटा दिए जाने के बाद, इसकी कोई सीमा नहीं हो सकती है और स्टीफन हॉकिंग ने अनुमान लगाया कि ब्रह्मांड के लिए सीमा शर्त यह है कि इसकी कोई सीमा नहीं है।^[2]^: 85

हालांकि, वास्तविक भौतिक समय और ऐसे मॉडलों में शामिल काल्पनिक समय के बीच संबंध की अप्रमाणित प्रकृति ने आलोचनाएं बढ़ा दी हैं।^[5] रोजर पेनरोज़ ने नोट किया है कि बिग बैंग के काल्पनिक समय के साथ Riemannian_manifold#Riemannian_metrics (अक्सर इस संदर्भ में यूक्लिडियन_मेट्रिक के रूप में संदर्भित) से एक छद्म-Riemannian_manifold #Lorentzian_manifold वास्तविक समय के साथ विकसित ब्रह्मांड के लिए एक संक्रमण होने की आवश्यकता है। इसके अलावा, आधुनिक अवलोकनों से पता चलता है कि ब्रह्मांड खुला है और कभी भी एक बड़ी कमी के रूप में वापस नहीं आएगा। अगर यह सच साबित होता है, तो समय की सीमा अभी भी बनी हुई है।^[1]^{: 769–772}

परिमाण सांख्यिकीय यांत्रिकी में

सांख्यिकीय यांत्रिकी के समीकरणों के फूरियर रूपांतरण को लेकर परिमाण क्षेत्र के समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं। चूंकि किसी फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण आमतौर पर इसके व्युत्क्रम के रूप में दिखाई देता है, सांख्यिकीय यांत्रिकी के बिंदु कण, फूरियर रूपांतरण के तहत, परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के असीम रूप से विस्तारित परिमाण हार्मोनिक ऑसिलेटर्स बन जाते हैं।^[6] निर्दिष्ट प्रारंभिक स्थितियों या सीमा शर्तों के साथ एक डोमेन पर परिभाषित एक अमानवीय रैखिक अंतर ऑपरेटर का ग्रीन का कार्य, इसकी आवेग_(भौतिकी) प्रतिक्रिया है, और गणितीय रूप से हम सांख्यिकीय यांत्रिकी के बिंदु कणों को डिराक डेल्टा कार्यों के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसे आवेग कहना है . एक सीमित तापमान पर $T$ , ग्रीन के कार्यों की अवधि के साथ काल्पनिक समय में आवधिक कार्य हैं ${\textstyle 2\beta =2/T}$ . इसलिए, उनके फूरियर रूपांतरणों में मत्सुबारा आवृत्ति नामक आवृत्तियों का केवल एक असतत सेट होता है।

संक्रमण आयाम में सांख्यिकीय यांत्रिकी और परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के बीच संबंध भी देखा जाता है ${\textstyle \langle F\mid e^{-itH}\mid I\rangle }$ एक प्रारंभिक अवस्था के बीच $I$ और एक अंतिम स्थिति $F$ , जहाँ $H$ उस प्रणाली का हैमिल्टनियन (परिमाण यांत्रिकी) है। इसकी तुलना विभाजन समारोह (परिमाण फील्ड थ्योरी) से करें ${\textstyle Z=\operatorname {Tr} e^{-\beta H}}$ दिखाता है कि विभाजन फ़ंक्शन प्रतिस्थापन द्वारा संक्रमण आयाम से प्राप्त किया जा सकता है ${\textstyle t=\beta /i}$ , सेटिंग $F = I = n$ और योग समाप्त करें $n$ . यह सांख्यिकीय गुणों और संक्रमण आयामों दोनों का मूल्यांकन करके दो बार काम करने की आवश्यकता से बचा जाता है।

अंत में, एक विक रोटेशन का उपयोग करके कोई भी दिखा सकता है कि यूक्लिडियन परिमाण क्षेत्र सिद्धांत (डी + 1) -डिमेंशनल स्पेसटाइम डी-डायमेंशनल स्पेस में परिमाण सांख्यिकीय यांत्रिकी के अलावा और कुछ नहीं है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Penrose, Roger (2004). The Road to Reality. Jonathan Cape. ISBN 9780224044479.
↑ ^2.0 ^2.1 Hawking, Stephen W. (November 2001). The Universe in a Nutshell. United States & Canada: Bantam Books. pp. 58–61, 63, 82–85, 90–94, 99, 196. ISBN 9780553802023. OL 7850510M.
↑ Coxeter, H.S.M. (1949). The Real Projective Plane. New York: McGraw-Hill Book Company. p. 187 footnote.
↑ Hawking, S. W. (1978-09-15). "क्वांटम गुरुत्व और पथ अभिन्न". Phys. Rev. D. 18 (6): 1747–1753. Bibcode:1978PhRvD..18.1747H. doi:10.1103/PhysRevD.18.1747. Retrieved 2023-01-25. It is convenient to rotate the time interval on this timelike tube between the two surfaces into the complex plane so that it becomes purely imaginary.
↑ Deltete, Robert J.; Guy, Reed A. (Aug 1996). "काल्पनिक समय से उभर रहा है". Synthese. 108 (2): 185–203. doi:10.1007/BF00413497. S2CID 44131608. Retrieved 2023-01-25.
↑ Wiese, Uwe-Jens (2007-08-21). "Quantum Field Theory" (PDF). Institute for Theoretical Physics. University of Bern. p. 63. Retrieved 2023-01-25.

अग्रिम पठन

Hawking, Stephen W. (1998). A Brief History of Time (in English) (Tenth Anniversary Commemorative ed.). Bantam Books. p. 157. ISBN 978-0-553-10953-5.
Gerald D. Mahan. Many-Particle Physics, Chapter 3
A. Zee Quantum field theory in a nutshell, Chapter V.2

बाहरी संबंध

The Beginning of Time — Lecture by Stephen Hawking which discusses imaginary time.
Stephen Hawking's Universe: Strange Stuff Explained — PBS site on imaginary time.

[Penrose2004-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 Penrose, Roger (2004). The Road to Reality. Jonathan Cape. ISBN 9780224044479.

[Hawking2001-2] 2.0 ^2.1 Hawking, Stephen W. (November 2001). The Universe in a Nutshell. United States & Canada: Bantam Books. pp. 58–61, 63, 82–85, 90–94, 99, 196. ISBN 9780553802023. OL 7850510M.

[3] Coxeter, H.S.M. (1949). The Real Projective Plane. New York: McGraw-Hill Book Company. p. 187 footnote.

[4] Hawking, S. W. (1978-09-15). "क्वांटम गुरुत्व और पथ अभिन्न". Phys. Rev. D. 18 (6): 1747–1753. Bibcode:1978PhRvD..18.1747H. doi:10.1103/PhysRevD.18.1747. Retrieved 2023-01-25. It is convenient to rotate the time interval on this timelike tube between the two surfaces into the complex plane so that it becomes purely imaginary.

[5] Deltete, Robert J.; Guy, Reed A. (Aug 1996). "काल्पनिक समय से उभर रहा है". Synthese. 108 (2): 185–203. doi:10.1007/BF00413497. S2CID 44131608. Retrieved 2023-01-25.

[6] Wiese, Uwe-Jens (2007-08-21). "Quantum Field Theory" (PDF). Institute for Theoretical Physics. University of Bern. p. 63. Retrieved 2023-01-25.

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 {{Short description|Concept in special relativity}}
-काल्पनिक समय समय का एक गणितीय प्रतिनिधित्व है जो [[विशेष सापेक्षता]] और [[क्वांटम यांत्रिकी]] के कुछ दृष्टिकोणों में प्रकट होता है। यह क्वांटम यांत्रिकी को [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] और कुछ ब्रह्माण्ड विज्ञान सिद्धांतों से जोड़ने में उपयोग करता है।{{cn|date=January 2023|reason=The section on quantum statistical mechanics does not mention imaginary time}}
+काल्पनिक समय समय का एक गणितीय प्रतिनिधित्व है जो [[विशेष सापेक्षता]] और [[क्वांटम यांत्रिकी|परिमाण यांत्रिकी]] के कुछ दृष्टिकोणों में प्रकट होता है। यह परिमाण यांत्रिकी को [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] और कुछ ब्रह्माण्ड विज्ञान सिद्धांतों से जोड़ने में उपयोग करता है।{{cn|date=January 2023|reason=The section on quantum statistical mechanics does not mention imaginary time}}
-गणितीय रूप से, काल्पनिक समय वास्तविक समय है जो एक [[ बाती का घूमना ]] से गुजरा है ताकि इसके निर्देशांक [[काल्पनिक इकाई]] i से गुणा हो जाएं। काल्पनिक समय इस अर्थ में काल्पनिक नहीं है कि यह अवास्तविक या बना-बनाया है (कहने के अलावा, [[अपरिमेय संख्या]]एँ तर्क को धता बताती हैं), यह केवल गणितज्ञों द्वारा [[काल्पनिक संख्या]]ओं के रूप में व्यक्त किया जाता है।
+गणितीय रूप से, काल्पनिक समय वास्तविक समय है जो एक [[ बाती का घूमना |वर्तिका क्रमावर्तन]] से पारित होता है ताकि इसके निर्देशांक [[काल्पनिक इकाई]] i से गुणा हो जाएं। काल्पनिक समय इस अर्थ में काल्पनिक नहीं है कि यह अवास्तविक या बना-बनाया है (कहने के अलावा, [[अपरिमेय संख्या]]एँ तर्क को धता बताती हैं), यह केवल गणितज्ञों द्वारा [[काल्पनिक संख्या]]ओं के रूप में व्यक्त किया जाता है।
 == उत्पत्ति ==
-गणित में, काल्पनिक इकाई <math>i</math> का वर्गमूल है <math>-1</math>, ऐसा है कि <math>i^2</math> होना परिभाषित किया गया है <math>-1</math>. एक संख्या जो का प्रत्यक्ष गुणक है <math>i</math> एक काल्पनिक संख्या के रूप में जाना जाता है।<ref name="Penrose2004">
+गणित में, काल्पनिक इकाई <math>i</math> का वर्गमूल है <math>-1</math>, जैसे <math>i^2</math> को -1 के रूप में परिभाषित किया गया है। एक सं'''ख्या जो का प्रत्यक्ष गुणक है <math>i</math>''' एक काल्पनिक संख्या के रूप में जाना जाता है।<ref name="Penrose2004">
 {{cite book |last=Penrose |first=Roger |author-link=Roger_Penrose |date=2004 |title=The Road to Reality |url=https://books.google.com/books?id=csaaQgAACAAJ |location= |publisher=[[Jonathan Cape]] |page= |isbn=9780224044479}}</ref>{{rp|Chp 4}}
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 [[स्टीफन हॉकिंग]] ने अपनी पुस्तक [[संक्षेप में ब्रह्मांड]] में काल्पनिक समय की अवधारणा को लोकप्रिय बनाया।
-{{quote|"One might think this means that imaginary numbers are just a mathematical game having nothing to do with the real world. From the viewpoint of [[Positivism|positivist philosophy]], however, one cannot determine what is real. All one can do is find which mathematical models describe the universe we live in. It turns out that a mathematical model involving imaginary time predicts not only effects we have already observed but also effects we have not been able to measure yet nevertheless believe in for other reasons. So what is real and what is imaginary? Is the distinction just in our minds?"||[[Stephen Hawking]]<ref name="Hawking2001">{{cite book |last=Hawking |first=Stephen W. |author-link=Stephen Hawking |title=The Universe in a Nutshell |publisher=[[Bantam Books]] |date=November 2001 |location=United States & Canada |pages=58–61, 63, 82–85, 90–94, 99, 196 |isbn=9780553802023 |ol=7850510M |url=https://openlibrary.org/books/OL7850510M/The_Universe_in_a_Nutshell#bookPreview}}</ref>{{rp|59}}}}
+{{quote|"कोई यह सोच सकता है कि इसका मतलब यह है कि काल्पनिक संख्या केवल एक गणितीय खेल है जिसका वास्तविक दुनिया से कोई लेना-देना नहीं है। [[सकारात्मकता | प्रत्यक्षवादी दर्शन]] के दृष्टिकोण से, हालांकि, कोई यह निर्धारित नहीं कर सकता कि वास्तविक क्या है। केवल एक ही कर सकता है पता लगाएं कि कौन से गणितीय मॉडल उस ब्रह्मांड का वर्णन करते हैं जिसमें हम रहते हैं। यह पता चला है कि काल्पनिक समय से जुड़ा एक गणितीय मॉडल न केवल उन प्रभावों की भविष्यवाणी करता है जिन्हें हमने पहले ही देखा है बल्कि उन प्रभावों की भी भविष्यवाणी करता है जिन्हें हम मापने में सक्षम नहीं हैं फिर भी अन्य कारणों से विश्वास करते हैं। तो क्या है वास्तविक और क्या काल्पनिक है? क्या भेद सिर्फ हमारे मन में है?"||[[स्टीफन हॉकिंग]]<ref name="Hawking2001">{{cite book |last=Hawking |first=Stephen W. |author-link=Stephen Hawking |title=The Universe in a Nutshell |publisher=[[Bantam Books]] |date=November 2001 |location=United States & Canada |pages=58–61, 63, 82–85, 90–94, 99, 196 |isbn=9780553802023 |ol=7850510M |url=https://openlibrary.org/books/OL7850510M/The_Universe_in_a_Nutshell#bookPreview}}</ref>{{rp|59}}}}
 वास्तव में, संख्याओं के लिए [[वास्तविक संख्या]] और काल्पनिक संख्या केवल एक ऐतिहासिक दुर्घटना है, बहुत कुछ परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या की तरह:
-{{quote|"...the words ''real'' and ''imaginary'' are picturesque relics of an age when the nature of [[complex number]]s was not properly understood."||[[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]]<ref>{{cite book |last=Coxeter |first=H.S.M. |author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter |date=1949 |title=The Real Projective Plane |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.212962/page/n197 |location=New York |publisher=[[McGraw-Hill Book Company]] |page=187 footnote}}</ref>}}
+{{quote|"...'वास्तविक'' और ''काल्पनिक'' शब्द उस युग के सुरम्य अवशेष हैं जब [[जटिल संख्या]] की प्रकृति को ठीक से समझा नहीं गया था।'||[[Harold Scott MacDonald Coxeter|एच.एस.एम. कॉक्सेटर]]<ref>{{cite book |last=Coxeter |first=H.S.M. |author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter |date=1949 |title=The Real Projective Plane |url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.212962/page/n197 |location=New York |publisher=[[McGraw-Hill Book Company]] |page=187 footnote}}</ref>}}
 == ब्रह्माण्ड विज्ञान में ==
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 [[सापेक्षता के सिद्धांत]] द्वारा अपनाए गए [[मिन्कोव्स्की [[ अंतरिक्ष समय ]]]] मॉडल में, स्पेसटाइम को चार आयामी सतह या [[कई गुना]] के रूप में दर्शाया गया है। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दूरी के चार-आयामी समतुल्य को अंतरिक्ष-समय अंतराल कहा जाता है। यह मानते हुए कि एक विशिष्ट समय अवधि को वास्तविक संख्या के रूप में उसी तरह दर्शाया जाता है जैसे अंतरिक्ष में दूरी, एक अंतराल <math>d</math> सापेक्षतावादी स्पेसटाइम में सामान्य सूत्र द्वारा दिया जाता है लेकिन समय के साथ नकारात्मक:
 <math display="block">d^2 = x^2 + y^2 + z^2 - t^2</math>
-कहाँ <math>x</math>, <math>y</math> और <math>z</math> प्रत्येक स्थानिक अक्ष के साथ दूरी हैं और <math>t</math> समय अक्ष के साथ समय या दूरी की अवधि है (सख्ती से, समय समन्वय है <math>(ct)^2</math> कहाँ <math>c</math> [[प्रकाश की गति]] है, हालाँकि हम पारंपरिक रूप से ऐसी इकाइयाँ चुनते हैं <math>c=1</math>).
+जहाँ <math>x</math>, <math>y</math> और <math>z</math> प्रत्येक स्थानिक अक्ष के साथ दूरी हैं और <math>t</math> समय अक्ष के साथ समय या दूरी की अवधि है (सख्ती से, समय समन्वय है <math>(ct)^2</math> जहाँ <math>c</math> [[प्रकाश की गति]] है, हालाँकि हम पारंपरिक रूप से ऐसी इकाइयाँ चुनते हैं <math>c=1</math>).
 गणितीय रूप से यह लेखन के बराबर है
 <math display="block">d^2 = x^2 + y^2 + z^2 + (it)^2</math>
 इस संदर्भ में, <math>i</math> या तो ऊपर के रूप में अंतरिक्ष और वास्तविक समय के बीच संबंध की एक विशेषता के रूप में स्वीकार किया जा सकता है, या इसे वैकल्पिक रूप से समय में ही शामिल किया जा सकता है, जैसे कि समय का मूल्य स्वयं एक काल्पनिक संख्या है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है <math>\tau</math>.{{cn|date=January 2023|reason=this is the critical statement}} फिर समीकरण को सामान्यीकृत रूप में फिर से लिखा जा सकता है: <math display="block">d^2 = x^2 + y^2 + z^2 + \tau^2</math>
-इसी प्रकार इसके चार सदिश तब इस प्रकार लिखे जा सकते हैं <math display="block">( x_0, x_1, x_2, x_3 )</math> जहाँ दूरियों को निरूपित किया जाता है <math>x_n</math>, और <math>x_0 = ict</math> कहाँ <math>c</math> प्रकाश की गति है और समय काल्पनिक है।
+इसी प्रकार इसके चार सदिश तब इस प्रकार लिखे जा सकते हैं <math display="block">( x_0, x_1, x_2, x_3 )</math> जहाँ दूरियों को निरूपित किया जाता है <math>x_n</math>, और <math>x_0 = ict</math> जहाँ <math>c</math> प्रकाश की गति है और समय काल्पनिक है।
 === ब्रह्मांड विज्ञान के लिए आवेदन ===
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 हालांकि, वास्तविक भौतिक समय और ऐसे मॉडलों में शामिल काल्पनिक समय के बीच संबंध की अप्रमाणित प्रकृति ने आलोचनाएं बढ़ा दी हैं।<ref>{{cite journal |last1=Deltete |first1=Robert J.|last2=Guy |first2=Reed A. |title=काल्पनिक समय से उभर रहा है|journal=[[Synthese]] |date=Aug 1996 |volume=108 |issue=2 |pages=185–203 |doi=10.1007/BF00413497|s2cid=44131608 |url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF00413497 |access-date=2023-01-25 |url-access=subscription}}</ref> [[रोजर पेनरोज़]] ने नोट किया है कि बिग बैंग के काल्पनिक समय के साथ Riemannian_manifold#Riemannian_metrics (अक्सर इस संदर्भ में यूक्लिडियन_मेट्रिक के रूप में संदर्भित) से एक छद्म-Riemannian_manifold #Lorentzian_manifold वास्तविक समय के साथ विकसित ब्रह्मांड के लिए एक संक्रमण होने की आवश्यकता है। इसके अलावा, आधुनिक अवलोकनों से पता चलता है कि ब्रह्मांड खुला है और कभी भी एक बड़ी कमी के रूप में वापस नहीं आएगा। अगर यह सच साबित होता है, तो समय की सीमा अभी भी बनी हुई है।<ref name="Penrose2004" />{{rp|769-772}}
-== क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी में ==
+== परिमाण सांख्यिकीय यांत्रिकी में ==
 {{refimprove|section|date=November 2017}}
-सांख्यिकीय यांत्रिकी के समीकरणों के [[फूरियर रूपांतरण]] को लेकर क्वांटम क्षेत्र के समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं। चूंकि किसी फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण आमतौर पर इसके व्युत्क्रम के रूप में दिखाई देता है, सांख्यिकीय यांत्रिकी के [[बिंदु कण]], फूरियर रूपांतरण के तहत, [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] के असीम रूप से विस्तारित [[क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर्स]] बन जाते हैं।<ref>
+सांख्यिकीय यांत्रिकी के समीकरणों के [[फूरियर रूपांतरण]] को लेकर परिमाण क्षेत्र के समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं। चूंकि किसी फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण आमतौर पर इसके व्युत्क्रम के रूप में दिखाई देता है, सांख्यिकीय यांत्रिकी के [[बिंदु कण]], फूरियर रूपांतरण के तहत, [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत|परिमाण क्षेत्र सिद्धांत]] के असीम रूप से विस्तारित [[क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर्स|परिमाण हार्मोनिक ऑसिलेटर्स]] बन जाते हैं।<ref>
 {{cite web |url=http://www.wiese.itp.unibe.ch/lectures/fieldtheory.pdf |title=Quantum Field Theory |last=Wiese |first=Uwe-Jens |date=2007-08-21 |website=Institute for Theoretical Physics |publisher=University of Bern |access-date=2023-01-25 |page=63}}</ref> निर्दिष्ट प्रारंभिक स्थितियों या सीमा शर्तों के साथ एक डोमेन पर परिभाषित एक अमानवीय रैखिक [[अंतर ऑपरेटर]] का ग्रीन का कार्य, इसकी आवेग_(भौतिकी) प्रतिक्रिया है, और गणितीय रूप से हम सांख्यिकीय यांत्रिकी के बिंदु कणों को डिराक डेल्टा कार्यों के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसे आवेग कहना है . एक सीमित तापमान पर <math>T</math>, ग्रीन के कार्यों की अवधि के साथ काल्पनिक समय में आवधिक कार्य हैं <math display="inline"> 2\beta = 2/T</math>. इसलिए, उनके फूरियर रूपांतरणों में मत्सुबारा आवृत्ति नामक आवृत्तियों का केवल एक असतत सेट होता है।
-[[संक्रमण आयाम]] में सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के बीच संबंध भी देखा जाता है <math display="inline">\langle F\mid e^{-itH}\mid I\rangle </math> एक प्रारंभिक अवस्था के बीच {{math|''I''}} और एक अंतिम स्थिति{{math|''F''}}, कहाँ {{math|''H''}} उस प्रणाली का [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] है। इसकी तुलना विभाजन समारोह (क्वांटम फील्ड थ्योरी) से करें <math display="inline"> Z = \operatorname{Tr} e^{-\beta H}</math> दिखाता है कि विभाजन फ़ंक्शन प्रतिस्थापन द्वारा संक्रमण आयाम से प्राप्त किया जा सकता है <math display="inline"> t = \beta/i</math>, सेटिंग {{math|1=''F'' = ''I'' = ''n''}} और योग समाप्त करें {{math|''n''}}. यह सांख्यिकीय गुणों और संक्रमण आयामों दोनों का मूल्यांकन करके दो बार काम करने की आवश्यकता से बचा जाता है।
+[[संक्रमण आयाम]] में सांख्यिकीय यांत्रिकी और परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के बीच संबंध भी देखा जाता है <math display="inline">\langle F\mid e^{-itH}\mid I\rangle </math> एक प्रारंभिक अवस्था के बीच {{math|''I''}} और एक अंतिम स्थिति{{math|''F''}}, जहाँ {{math|''H''}} उस प्रणाली का [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)|हैमिल्टनियन (परिमाण यांत्रिकी)]] है। इसकी तुलना विभाजन समारोह (परिमाण फील्ड थ्योरी) से करें <math display="inline"> Z = \operatorname{Tr} e^{-\beta H}</math> दिखाता है कि विभाजन फ़ंक्शन प्रतिस्थापन द्वारा संक्रमण आयाम से प्राप्त किया जा सकता है <math display="inline"> t = \beta/i</math>, सेटिंग {{math|1=''F'' = ''I'' = ''n''}} और योग समाप्त करें {{math|''n''}}. यह सांख्यिकीय गुणों और संक्रमण आयामों दोनों का मूल्यांकन करके दो बार काम करने की आवश्यकता से बचा जाता है।
-अंत में, एक विक रोटेशन का उपयोग करके कोई भी दिखा सकता है कि यूक्लिडियन क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (डी + 1) -डिमेंशनल स्पेसटाइम डी-डायमेंशनल स्पेस में [[ क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी ]] के अलावा और कुछ नहीं है।
+अंत में, एक विक रोटेशन का उपयोग करके कोई भी दिखा सकता है कि यूक्लिडियन परिमाण क्षेत्र सिद्धांत (डी + 1) -डिमेंशनल स्पेसटाइम डी-डायमेंशनल स्पेस में [[ क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी | परिमाण सांख्यिकीय यांत्रिकी]] के अलावा और कुछ नहीं है।
 == यह भी देखें ==
-* [[यूक्लिडियन क्वांटम गुरुत्व]]
+* [[यूक्लिडियन क्वांटम गुरुत्व|यूक्लिडियन परिमाण गुरुत्व]]
 * [[एकाधिक समय आयाम]]

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