त्रिकोणमितीय टेबल

गणित में, त्रिकोणमितीय फलनों की तालिकाएँ कई क्षेत्रों में उपयोगी होती हैं। पॉकेट कैलकुलेटर के अस्तित्व से पहले, मार्गदर्शन , विज्ञान और अभियांत्रिकी के लिए त्रिकोणमितीय टेबल आवश्यक थे। गणितीय तालिकाओं की गणना अध्ययन का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र था, जिसके कारण कंप्यूटिंग के इतिहास का विकास हुआ।

आधुनिक कंप्यूटर और पॉकेट कैलकुलेटर अब गणितीय कोड के विशेष पुस्तकालयों का उपयोग करके मांग पर त्रिकोणमितीय फलन मान उत्पन्न करते हैं। अधिकांशतः, ये पुस्तकालय आंतरिक रूप से पूर्व-परिकलित तालिकाओं का उपयोग करते हैं, और उपयुक्त प्रक्षेप विधि का उपयोग करके आवश्यक मान की गणना करते हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों की सरल लुक-अप तालिकाओं का प्रक्षेप अभी भी कंप्यूटर चित्रलेख में उपयोग किया जाता है, जहां केवल सामान्य स्पष्ट की आवश्यकता हो सकती है और गति अधिकांशतः अधिक होती है।

त्रिकोणमितीय तालिकाओं और पीढ़ी योजनाओं का एक अन्य महत्वपूर्ण अनुप्रयोग तेजी से फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) एल्गोरिदम के लिए है, जहां एक ही त्रिकोणमितीय फलन मान (जिसे 'ट्विडल कारक' कहा जाता है) का मूल्यांकन किसी दिए गए परिवर्तन में कई बार किया जाना चाहिए, विशेष रूप से सामान्य स्थितियों में जहां एक ही आकार के कई रूपांतरों की गणना की जाती है। इस स्थितियों में, जेनेरिक पुस्तकालय दिनचर्या को हर बार कॉल करना अस्वीकार्य रूप से धीमा है। एक विकल्प यह है कि पुस्तकालय दिनचर्या को एक बार कॉल करें, उन त्रिकोणमितीय मानों की एक तालिका बनाने के लिए जिनकी आवश्यकता होगी, किन्तु इसके लिए तालिका को संग्रहीत करने के लिए महत्वपूर्ण मेमोरी की आवश्यकता होती है। दूसरी संभावना, चूंकि मूल्यों के नियमित अनुक्रम की आवश्यकता होती है, यह है कि फ्लाई पर त्रिकोणमितीय मानों की गणना करने के लिए पुनरावृत्ति सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए । एफएफटी (जो त्रिकोणमितीय त्रुटियों के प्रति बहुत संवेदनशील है) की स्पष्ट को बनाए रखने के लिए स्पष्ट, स्थिर पुनरावृत्ति योजनाओं को खोजने के लिए महत्वपूर्ण शोध समर्पित किया गया है।

ऑन-डिमांड संगणना

गणितीय तालिकाओं की 1619 पुस्तक का एक पृष्ठ।

आधुनिक कंप्यूटर और कैलकुलेटर इच्छानुसार कोणों के लिए मांग पर त्रिकोणमितीय फलन मान प्रदान करने के लिए कई प्रकार की विधियों का उपयोग करते हैं (कंटाबुत्र, 1996)। फ़्लोटिंग-पॉइंट इकाइयों के साथ उच्च-अंत प्रोसेसर पर सामान्य विधि, एक बहुपद या तर्कसंगत फलन सन्निकटन सिद्धांत (जैसे चेबीशेव सन्निकटन, सर्वोत्तम वर्दी सन्निकटन, पैड सन्निकटन , और सामान्यतः उच्च या उच्च के लिए) को जोड़ना है। परिवर्ती स्पष्ट, टेलर श्रृंखला और लॉरेंट श्रृंखला) श्रेणी में कमी और एक सारणी अवलोकन के साथ - वे पहले छोटी तालिका में निकटतम कोण को देखते हैं, और फिर सुधार की गणना करने के लिए बहुपद का उपयोग करते हैं। इस तरह के प्रक्षेप को करते समय स्पष्ट बनाए रखना गैर-तुच्छ है, किन्तु इस उद्देश्य के लिए गैल की स्पष्ट टेबल, कोडी और वाइट रेंज में कमी, और पायने और रेडियन रिडक्शन एल्गोरिदम जैसी विधियों का उपयोग किया जा सकता है। हार्डवेयर गुणक की कमी वाले सरल उपकरणों पर, कॉरडिक (साथ ही संबंधित विधियों) नामक एक एल्गोरिथ्म है जो अधिक उत्तम है, क्योंकि यह केवल शिफ्ट ऑपरेटर और परिवर्धन का उपयोग करता है। प्रदर्शन कारणों से इन सभी विधियों को सामान्यतः कंप्यूटर हार्डवेयर में प्रयुक्त किया जाता है।

त्रिकोणमितीय फलन का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाने वाला विशेष बहुपद एक मिनिमैक्स सन्निकटन एल्गोरिथम के कुछ सन्निकटन का उपयोग करके समय से पहले उत्पन्न होता है।

बहुत उच्च परिशुद्धता गणनाओं के लिए, जब श्रृंखला-विस्तार अभिसरण बहुत धीमा हो जाता है, तो त्रिकोणमितीय कार्यों को अंकगणितीय-ज्यामितीय औसत द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जो स्वयं (जटिल संख्या) अण्डाकार अभिन्न (ब्रेंट, 1976) द्वारा त्रिकोणमितीय फलन का अनुमान लगाता है।

कोणों के त्रिकोणमितीय फलन जो 2π के परिमेय संख्या गुणक हैं, बीजगणितीय संख्याएँ हैं। a/b·2π के मान n = a के लिए डी मोइवर की पहचान को एकता का b^th मूल प्रयुक्त करके पाया जा सकता है , जो जटिल तल में बहुपद x^b - 1 का भी एक मूल है । उदाहरण के लिए, 2π ⋅ 5/37 का कोज्या और ज्या, एकता cos(2π/37) + sin(2π/37)i के 37वें मूल की 5वीं बल का क्रमशः वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग हैं, जो कि एक है बहुपद -37 बहुपद x³⁷ − 1 की डिग्री की जड़.| इस स्थितियों के लिए,न्यूटन की विधि जैसे रूट-फाइंडिंग एल्गोरिद्म कि उपरोक्त अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य एल्गोरिथम की तुलना में एक समान स्पर्शोन्मुख दर पर अभिसरण करते समय बहुत सरल है | हालाँकि, ट्रान्सेंडैंटल संख्या त्रिकोणमितीय स्थिरांक के लिए बाद वाले एल्गोरिदम की आवश्यकता होती है।

अर्ध-कोण और कोण-जोड़ सूत्र

ऐतिहासिक रूप से, सबसे प्रारंभिक विधि जिसके द्वारा त्रिकोणमितीय तालिकाओं की गणना की गई थी, और शायद कंप्यूटर के आगमन तक सबसे सामान्य,थी | बार-बार अर्ध-कोण और कोण-जोड़ त्रिकोणमितीय पहचान को ज्ञात मान से प्रयुक्त करना था (जैसे sin(π/2) ) = 1, cos(π/2) = 0). इस पद्धति का उपयोग प्राचीन खगोलशास्त्री टॉलेमी द्वारा किया गया था, जिन्होंने उन्हें खगोल विज्ञान पर एक ग्रंथ अल्मागेस्ट में प्राप्त किया था। आधुनिक रूप में, उन्होंने जो सर्वसमिकाएं निकाली हैं, उन्हें इस प्रकार बताया गया है (चतुर्थांश द्वारा निर्धारित संकेतों के साथ जिसमें x स्थित है):

$\cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1+\cos x)}}$

$\sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)}}$

$\sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\,$

$\cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\,$

इनका उपयोग टॉलेमी की तारों की तालिका बनाने के लिए किया गया था, जिसे खगोलीय समस्याओं पर प्रयुक्त किया गया था।

इन सर्वसमिकाओं पर विभिन्न अन्य क्रमपरिवर्तन संभव हैं: उदाहरण के लिए, कुछ प्रारंभिक त्रिकोणमितीय तालिकाओं में साइन और कोसाइन का उपयोग नहीं किया गया था, किन्तु साइन और उसका संस्करण का उपयोग किया गया था।

यह है कि फ्लाई पर त्रिकोणमितीय मानों की गणना करने के लिए पुनरावृत्ति सूत्र का उपयोग किया जाए। एफएफटी (जो त्रिकोणमितीय त्रुटियों के प्रति बहुत संवेदनशील है) की स्पष्ट को

एक त्वरित, किन्तु गलत, सन्निकटन

sin(2Pi|πn/N) के लिए N सन्निकटन s_n और cos(2πn/N) के लिए c_n की तालिका की गणना करने के लिए एक त्वरित, किन्तु गलत एल्गोरिथम है:

एस₀ = 0

सी₀ = 1

एस_n+1 = एस_n + डी × सी_n

सी_n+1 = सी_n - डी × एस_n

n = 0,...,N − 1 के लिए, जहां d = 2π/N.

यह अंतर समीकरण को एकीकृत करने के लिए केवल संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरण यूलर विधि है:

$ds/dt=c$

$dc/dt=-s$

प्रारंभिक स्थितियों के साथ s(0) = 0 और c(0) = 1, जिसका विश्लेषणात्मक समाधान s = sin(t) और c = cos(t) है।

साइन टेबल बनाने के लिए यह एक उपयोगी एल्गोरिथम नहीं है क्योंकि इसमें एक महत्वपूर्ण त्रुटि है, जो 1/N के समानुपाती है।

उदाहरण के लिए, N = 256 के लिए ज्या मानों में अधिकतम त्रुटि ~0.061 (s₂₀₂ = -1.0368 -0.9757 के बजाय ) है। N = 1024 के लिए, ज्या मानों में अधिकतम त्रुटि ~0.015 (s₈₀₃ = -0.97832 के बजाय -0.99321), लगभग 4 गुना छोटा। यदि प्राप्त साइन और कोसाइन मूल्यों को प्लॉट किया जाना था, तो यह एल्गोरिथम एक वृत्त के बजाय लॉगरिदमिक सर्पिल खींचेगा।

एक बेहतर, किन्तु अभी भी अपूर्ण, पुनरावृत्ति सूत्र

त्रिकोणमितीय तालिकाओं को उत्पन्न करने के लिए एक सरल पुनरावृत्ति सूत्र यूलर के सूत्र और संबंध पर आधारित है:

$e^{i(\theta +\Delta )}=e^{i\theta }\times e^{i\Delta \theta }$

उपरोक्त के अनुसार त्रिकोणमितीय मानों s_n और c_n की गणना करने के लिए यह निम्नलिखित पुनरावृत्ति की ओर जाता है:

सी₀ = 1

एस₀ = 0

सी_n+1 = डब्ल्यू_r c_n - डब्ल्यू_i s_n

एस_n+1 = डब्ल्यू_i c_n + डब्ल्यू_r s_n

n = 0 , N − 1 के लिए, जहाँ w_r = cos(2π/N) और w_i = sin(2π/N)। ये दो शुरुआती त्रिकोणमितीय मान सामान्यतः मौजूदा पुस्तकालय कार्यों का उपयोग करके गणना किए जाते हैं (किन्तु यह भी पाया जा सकता है जैसे z^N− 1 की एकता की आदिम जड़ को हल करने के लिए जटिल विमान में न्यूटन की विधि को नियोजित करके ).|

यह विधि स्पष्ट अंकगणित में स्पष्ट तालिका उत्पन्न करेगी, किन्तु परिमित-परिशुद्धता फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित में त्रुटियाँ हैं। वास्तव में, त्रुटियां O(ε N) (सबसे खराब और औसत दोनों मामलों में) के रूप में बढ़ती हैं, जहां ε फ़्लोटिंग-पॉइंट परिशुद्धता है।

उपरोक्त में निम्नलिखित संशोधन का उपयोग करने के लिए एक महत्वपूर्ण सुधार है, एक चाल (सिंगलटन) अधिकांशतः एफएफटी कार्यान्वयन के लिए त्रिकोणमितीय मान उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जाता है:

सी₀ = 1

एस₀ = 0

सी_n+1 = सी_n- (सी_n+ बी एस_n)

एस_n+1 = एस_n+ (बी सी_n- एक एस_n)

जहां α = 2 sin²(π/N) और β = sin(2π/N). इस पद्धति की त्रुटियां बहुत छोटी हैं, O(ε √N) औसतन और सबसे खराब स्थिति में O(ε N), किन्तु यह अभी भी अधिक बड़ी है जो बड़े आकार के एफएफटी की स्पष्ट को कम कर देती है।

यह भी देखें

• आर्यभट्ट की साइन टेबल
• कॉर्डिक
• स्पष्ट त्रिकोणमितीय मान
• माधव की ज्या तालिका
• संख्यात्मक विश्लेषण
• प्लिमपटन 322
• प्रोस्थफेरेसिस

संदर्भ

• Carl B. Boyer (1991) A History of Mathematics, 2nd edition, John Wiley & Sons.
• Manfred Tasche and Hansmartin Zeuner (2002) "Improved roundoff error analysis for precomputed twiddle factors", Journal for Computational Analysis and Applications 4(1): 1–18.
• James C. Schatzman (1996) "Accuracy of the discrete Fourier transform and the fast Fourier transform", SIAM Journal on Scientific Computing 17(5): 1150–1166.
• Vitit Kantabutra (1996) "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Transactions on Computers 45(3): 328–339 .
• R. P. Brent (1976) "Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions", Journal of the Association for Computing Machinery 23: 242–251.
• Singleton, Richard C (1967). "On Computing The Fast Fourier Transform". Communications of the ACM. 10 (10): 647–654. doi:10.1145/363717.363771. S2CID 6287781.
• William J. Cody Jr., William Waite, Software Manual for the Elementary Functions, Prentice-Hall, 1980, ISBN 0-13-822064-6.
• Mary H. Payne, Robert N. Hanek, Radian reduction for trigonometric functions, ACM SIGNUM Newsletter 18: 19-24, 1983.
• Gal, Shmuel and Bachelis, Boris (1991) "An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard", ACM Transactions on Mathematical Software.