ध्रुवीय अपघटन

गणित में, एक वर्ग वास्तविक संख्या या जटिल संख्या आव्यूह (गणित) का ध्रुवीय अपघटन $A$ प्रपत्र का एक आव्यूह अपघटन $A=UP$ है, जहाँ $U$ एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है और $P$ एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित सममित आव्यूह है ($U$ एक एकात्मक आव्यूह है और $P$ एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह है, जटिल स्थिति में सकारात्मक अर्ध-निश्चित हर्मिटियन आव्यूह), वर्ग और समान आकार दोनों है।

सहज रूप से, यदि एक वास्तविक $n\times n$ आव्यूह $A$ की व्याख्या $n$-आयामी कार्तीय स्थान $\mathbb {R} ^{n}$ के रैखिक परिवर्तन के रूप में व्याख्या की जाती है, तो ध्रुवीय अपघटन इसे $\mathbb {R} ^{n}$ के घूर्णन (ज्यामिति) या प्रतिबिंब (ज्यामिति) $U$ में अलग करता है, और $n$ ऑर्थोगोनल अक्षों के एक समुच्चय के साथ अंतरिक्ष का एक स्केलिंग (ज्यामिति) करता है।

एक वर्ग आव्यूह का ध्रुवीय अपघटन $A$ सदैव उपस्थित है। यदि $A$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, अपघटन अद्वितीय है, और कारक $P$ सकारात्मक-निश्चित आव्यूह होगा। उस स्थिति में, $A$ को अद्वितीय रूप से $A=Ue^{X}$ लिखा जा सकता है, जहाँ $U$ एकात्मक है और $X$ आव्यूह $P$ का अद्वितीय स्व-आसन्न लघुगणक है। यह अपघटन (आव्यूह) लाई समूह के मौलिक समूह की गणना करने में उपयोगी है।

ध्रुवीय अपघटन को $A=P'U$ के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहाँ $P'=UPU^{-1}$ एक सममित धनात्मक-निश्चित आव्यूह है, जो $P$ के समान आइजनवैल्यू के साथ है, लेकिन अलग-अलग आइजनवेक्टर हैं।

एक आव्यूह के ध्रुवीय अपघटन को जटिल संख्या $z$ के ध्रुवीय रूप के आव्यूह एनालॉग के रूप में $z=ur$ के रूप में देखा जा सकता है, जहाँ $r$ इसका पूर्ण मान है (एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या), और $u$ इकाई मानदंड (वृत्त समूह का एक तत्व) के साथ एक सम्मिश्र संख्या है।

परिभाषा $A=UP$ को $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ में $U\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ एक अर्ध-ऑर्थोगोनल आव्यूह होना और $P\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ सकारात्मक-अर्ध-परिमित हर्मिटियन आव्यूह होना। अपघटन सदैव उपस्थित रहता है और $P$ सदैव अद्वितीय होता है। आव्यूह $U$ अद्वितीय है यदि और केवल यदि $A$ के पास पूर्ण रैंक है।

सहज व्याख्या

एक वास्तविक वर्ग $m\times m$ आव्यूह $A$ की व्याख्या $\mathbb {R} ^{m}$ के रैखिक परिवर्तन के रूप में की जा सकती है जो स्तंभ सदिश $x$ को $Ax$ तक ले जाता है। फिर, ध्रुवीय अपघटन में $A=RP$, कारक $R$ एक $m\times m$ वास्तविक ऑर्थोनॉर्मल आव्यूह है। ध्रुवीय अपघटन को $A$ द्वारा परिभाषित रैखिक परिवर्तन को व्यक्त करने के रूप में देखा जा सकता है, जो अंतरिक्ष के $\mathbb {R} ^{m}$ स्केलिंग (ज्यामिति) $A$ के प्रत्येक आइजनवेक्टर $e_{i}$ के साथ पैमाना कारक $\sigma _{i}$ के स्केलिंग ($P$ की क्रिया) में व्यक्त करता है, जिसके बाद एकल घुमाव या $\mathbb {R} ^{m}$ प्रतिबिंब ($R$ की क्रिया) होता है।

वैकल्पिक रूप से, अपघटन $A=PR$ द्वारा परिभाषित परिवर्तन को व्यक्त करता है $A$ रोटेशन के रूप में ($R$) एक स्केलिंग के बाद ($P$) कुछ ऑर्थोगोनल दिशाओं के साथ। पैमाना कारक समान हैं, लेकिन दिशाएं अलग हैं।

गुण

जटिल संयुग्म का ध्रुवीय अपघटन $A$ द्वारा ${\overline {A}}={\overline {U}}{\overline {P}}$ दिया गया है। ध्यान दें कि

$$\det A=\det U\det P=e^{i\theta }r$$

A के निर्धारक के संगत ध्रुवीय अपघटन देता है, क्योंकि $\det U=e^{i\theta }$ और $\det P=r=\left|\det A\right|$। विशेष रूप से, यदि $A$ निर्धारक 1 है तो दोनों $U$ और $P$ निर्धारक 1 है।

सकारात्मक-अर्ध-परिमित आव्यूह P सदैव अद्वितीय होता है, तथापि A एकल आव्यूह हो, और इसे इस रूप में निरूपित किया जाता है

$$P=\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},$$

जहाँ $A^{*}$ के संयुग्मी स्थानान्तरण को $A$ दर्शाता है। P की विशिष्टता यह सुनिश्चित करती है कि यह अभिव्यक्ति अच्छी तरह से परिभाषित है। विशिष्टता इस तथ्य से सुनिश्चित है कि $A^{*}A$ एक सकारात्मक-अर्ध-सीमित हर्मिटियन आव्यूह है और इसलिए, एक आव्यूह का एक अद्वितीय सकारात्मक-अर्ध-अर्ध-सीमित हर्मिटियन वर्गमूल है। यदि A व्युत्क्रमणीय है, तो P धनात्मक-निश्चित है, इस प्रकार भी व्युत्क्रमणीय है और आव्यूह U विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है

$$U=AP^{-1}.$$

एसवीडी से संबंध

$A$ के एकल मान अपघटन (एसवीडी) के संदर्भ में, $A=W\Sigma V^{*}$, किसी के पास

$${\begin{aligned}P&=V\Sigma V^{*}\\U&=WV^{*}\end{aligned}}$$

जहाँ $U$, $V$, और $W$ एकात्मक आव्यूह हैं (यदि $\mathbb {R}$ क्षेत्र वास्तविक है तो ऑर्थोगोनल आव्यूह कहा जाता है)। इससे इस बात की पुष्टि होती है कि $P$ सकारात्मक-निश्चित है और $U$ एकात्मक है। इस प्रकार, एसवीडी का अस्तित्व ध्रुवीय अपघटन के अस्तित्व के बराबर है।

$A$ को इस रूप में भी विघटित किया जा सकता है:

$$A=P'U$$

यहाँ $U$ पहले जैसा ही है और $P'$ द्वारा दिया गया है

$$P'=UPU^{-1}=\left(AA^{*}\right)^{\frac {1}{2}}=W\Sigma W^{*}.$$

इसे बाएं ध्रुवीय अपघटन के रूप में जाना जाता है, जबकि पिछले अपघटन को सही ध्रुवीय अपघटन के रूप में जाना जाता है। वाम ध्रुवीय अपघटन को विपरीत ध्रुवीय अपघटन के रूप में भी जाना जाता है।

वर्ग उलटा वास्तविक आव्यूह का ध्रुवीय अपघटन $A$ स्वरूप का है

$$A=|A|R$$

जहाँ $|A|=\left(AA^{\textsf {T}}\right)^{\frac {1}{2}}$ एक सकारात्मक-अर्ध-परिमित आव्यूह है। सकारात्मक-निश्चित हर्मिटियन आव्यूह और $R=|A|^{-1}A$ एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है।

सामान्य आव्यूह से संबंध

ध्रुवीय अपघटन के साथ $A$ आव्यूह $A=UP$ सामान्य है यदि और केवल $U$ और $P$ कम्यूटिंग आव्यूह है: $UP=PU$, या समकक्ष रूप से, वे एक साथ विकर्ण हैं।

निर्माण और अस्तित्व के प्रमाण

ध्रुवीय अपघटन के निर्माण के पीछे मुख्य विचार वही है जो एकल-मान अपघटन की गणना के लिए उपयोग किया जाता है।

सामान्य आव्यूह के लिए व्युत्पत्ति

यदि $A$ सामान्य आव्यूह है, तो यह एक विकर्ण आव्यूह के समान रूप से $A=V\Lambda V^{*}$ समतुल्य है: कुछ एकात्मक आव्यूह के लिए $V$ और कुछ विकर्ण आव्यूह के लिए $\Lambda$। यह इसके ध्रुवीय अपघटन की व्युत्पत्ति को विशेष रूप से सीधा बनाता है, जैसा कि हम तब लिख सकते हैं

$$A=V\Phi _{\Lambda }|\Lambda |V^{*}=\underbrace {\left(V\Phi _{\Lambda }V^{*}\right)} _{\equiv U}\underbrace {\left(V|\Lambda |V^{*}\right)} _{\equiv P},$$

जहाँ $\Phi _{\Lambda }$ के तत्वों के चरणों से युक्त एक विकर्ण आव्यूह $\Lambda$ है, वह $(\Phi _{\Lambda })_{ii}\equiv \Lambda _{ii}/|\Lambda _{ii}|$ है, जब $\Lambda _{ii}\neq 0$, और $(\Phi _{\Lambda })_{ii}=0$ जब $\Lambda _{ii}=0$।

ध्रुवीय अपघटन $A=UP$ इस प्रकार है, $A$ के आइजनबेसिस साथ में $U$ और $P$ विकर्ण के साथ और क्रमशः $A$ के चरणों और पूर्ण मानों के बराबर आइजन मान ​​​​होना।

व्युत्क्रमणीय आव्यूह के लिए

एकल-मान अपघटन से, यह दिखाया जा सकता है कि एक आव्यूह $A$ उलटा है यदि और केवल यदि $A^{*}A$ (समान रूप से, $AA^{*}$) है। इसके अतिरिक्त, यह सच है यदि और केवल यदि $A^{*}A$ के सभी आइजन मान शून्य नहीं हैं।

इस स्थिति में, ध्रुवीय अपघटन सीधे लिखकर प्राप्त किया जाता है

$$A=A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},$$

और यह देखते हुए कि $A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ एकात्मक है। इसे देखने के लिए, हम $A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=AVD^{-{\frac {1}{2}}}V^{*}$ लिखने के लिए $A^{*}A$ के वर्णक्रमीय अपघटन का लाभ उठा सकते हैं।

इस अभिव्यक्ति में, $V^{*}$ एकात्मक है क्योंकि $V$ है। यह दिखाने के लिए कि $AVD^{-{\frac {1}{2}}}$ एकात्मक है, हम $A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}$ लिखने के लिए एकल-मान अपघटन का उपयोग कर सकते हैं, जिससे

$$AVD^{-{\frac {1}{2}}}=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}VD^{-{\frac {1}{2}}}=W,$$

जहाँ पुनः $W$ निर्माण द्वारा एकात्मक है।

फिर भी $A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ की इकाई को सीधे दर्शाने की एक और विधि यह ध्यान रखनी है कि, रैंक -1 आव्यूह के संदर्भ में $A$ का एसवीडी ${\textstyle A=\sum _{k}s_{k}v_{k}w_{k}^{*}}$ लिखना, जहाँ $s_{k}$, $A$ के एकल मान हैं, अपने पास

$$A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}=\left(\sum _{j}\lambda _{j}v_{j}w_{j}^{*}\right)\left(\sum _{k}|\lambda _{k}|^{-1}w_{k}w_{k}^{*}\right)=\sum _{k}{\frac {\lambda _{k}}{|\lambda _{k}|}}v_{k}w_{k}^{*},$$

जिसका सीधा तात्पर्य $A\left(A^{*}A\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ की एकता से है, क्योंकि एक आव्यूह एकात्मक है यदि और केवल यदि इसके एकल मानों में एकात्मक निरपेक्ष मान है।

ध्यान दें कि कैसे, उपरोक्त निर्माण से, यह इस प्रकार है कि एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह के ध्रुवीय अपघटन में एकात्मक आव्यूह विशिष्ट रूप से परिभाषित है।

सामान्य व्युत्पत्ति

वर्ग आव्यूह $A$ का एसवीडी, $A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}$ एकात्मक आव्यूह, $W,V$, और $D$ के साथ विकर्ण, सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह पढ़ा जाता है। $W$s या $V$s की एक अतिरिक्त जोड़ी डालने से, हम $A$ के ध्रुवीय अपघटन के दो रूपों को प्राप्त करते हैं :

$$A=WD^{\frac {1}{2}}V^{*}=\underbrace {\left(WD^{\frac {1}{2}}W^{*}\right)} _{P}\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}=\underbrace {\left(WV^{*}\right)} _{U}\underbrace {\left(VD^{\frac {1}{2}}V^{*}\right)} _{P'}.$$

अधिक सामान्यतः, यदि $A$ कुछ आयताकार $n\times m$ आव्यूह है, इसका एसवीडी $A=WD^{1/2}V^{*}$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ अब $W$ और $V$ क्रमशः $n\times r$ और $m\times r$ आयामों के साथ आइसोमेट्री हैं, जहाँ $r\equiv \operatorname {rank} (A)$, और $D$ आयामों के साथ फिर से एक विकर्ण सकारात्मक अर्ध-निश्चित वर्ग आव्यूह $r\times r$ है। अब हम लिखने के लिए उपरोक्त समीकरण $A=PU=UP'$ में उपयोग किए गए समान तर्क को प्रयुक्त कर सकते हैं, पर अब $U\equiv WV^{*}$ सामान्य एकात्मक नहीं है। फिर भी, $U$ के पास $A$ के समान समर्थन और सीमा है, और यह $U^{*}U=VV^{*}$ और $UU^{*}=WW^{*}$ को संतुष्ट करता है। यह $U$को एक आइसोमेट्री में बनाता है, जब इसकी क्रिया $A$ के समर्थन पर प्रतिबंधित होती है, अर्थात् इसका अर्थ है की $U$ आंशिक आइसोमेट्री है।

इस अधिक सामान्य स्थिति के स्पष्ट उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित आव्यूह के एसवीडी पर विचार करें:

$$A\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\2&-2\\0&0\end{pmatrix}}=\underbrace {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}} _{\equiv W}\underbrace {\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\0&{\sqrt {8}}\end{pmatrix}} _{\sqrt {D}}\underbrace {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}} _{V^{\dagger }}.$$

हमारे पास तब है

$$WV^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\0&0\end{pmatrix}}$$

जो एक आइसोमेट्री है, लेकिन एकात्मक नहीं है। दूसरी ओर, यदि हम के अपघटन पर विचार करें

$$A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},$$

हम देखतें है

$$WV^{\dagger }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},$$

जो आंशिक आइसोमेट्री है (लेकिन आइसोमेट्री नहीं)।

हिल्बर्ट स्पेस पर बंधे हुए ऑपरेटर

जटिल हिल्बर्ट स्पेस स्थान के बीच किसी भी बाध्य रैखिक ऑपरेटर A का ध्रुवीय अपघटन एक आंशिक आइसोमेट्री और गैर-नकारात्मक ऑपरेटर के उत्पाद के रूप में एक विहित कारक है।

आव्यूह के लिए ध्रुवीय अपघटन निम्नानुसार सामान्य करता है: यदि यदि A एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर है तो उत्पाद A = UP के रूप में A का एक अद्वितीय गुणनखंडन होता है, जहां U एक आंशिक आइसोमेट्री है, P एक गैर-नकारात्मक स्व-आसन्न ऑपरेटर है और प्रारंभिक U का स्थान P की सीमा का समापन है।

निम्नलिखित उद्देश्यों के कारण ऑपरेटर U को एकात्मक के अतिरिक्त एक आंशिक आइसोमेट्री के लिए अशक्त होना चाहिए। यदि A, l²(N) पर शिफ्ट ऑपरेटर है, तो |A| = {A^*A}^1/2 = I। तो यदि A = U |A|, U को A होना चाहिए, जो एकात्मक नहीं है।

ध्रुवीय अपघटन का अस्तित्व डगलस लेम्मा का परिणाम है:

Lemma — यदि A, B हिल्बर्ट स्पेस H, और A^*A ≤ B^* B पर परिबद्ध ऑपरेटर हैं, तो एक संकुचन C उपस्थित है जैसे कि A = CB। इसके अतिरिक्त, C अद्वितीय है यदि Ker(B^*) ⊂ Ker(C)।

ऑपरेटर C को C(Bh) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है := H में सभी h के लिए Ah, Ran(B) के बंद होने तक निरंतरता द्वारा विस्तारित, और सभी H के ऑर्थोगोनल पूरक पर शून्य द्वारा। लेम्मा तब A^*A ≤ B^*B का तात्पर्य Ker(B) ⊂ Ker(A) से है।

विशेष रूप से। यदि A^*A = B^*B, तो C आंशिक आइसोमेट्री है, जो अद्वितीय है यदिKer(B^*) ⊂ Ker(C)।

सामान्य तौर पर, किसी भी बाध्य ऑपरेटर A के लिए,

$$A^{*}A=\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}}\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}},$$

जहाँ (A^*A)^1/2 सामान्य क्रियात्मक कलन द्वारा दिया गया A^*A का अद्वितीय धनात्मक वर्गमूल है। तो लेम्मा द्वारा, हमारे पास है

$$A=U\left(A^{*}A\right)^{\frac {1}{2}}$$

कुछ आंशिक आइसोमेट्री U के लिए, जो अद्वितीय है यदि Ker(A^*) ⊂ Ker(U)। P को (A^*A)^1/2 मान लें और हमें ध्रुवीय अपघटन A = UP प्राप्त होता है। ध्यान दें कि एक समरूप तर्क का उपयोग A = P'U' दिखाने के लिए किया जा सकता है, जहाँ P' धनात्मक है और U' एक आंशिक सममिति है।

जब H परिमित-आयामी है, तो U को एकात्मक ऑपरेटर तक बढ़ाया जा सकता है; यह सामान्य रूप से सत्य नहीं है (उपरोक्त उदाहरण देखें)। वैकल्पिक रूप से, ध्रुवीय अपघटन को एकवचन मूल्य अपघटन के ऑपरेटर संस्करण का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।

निरंतर कार्यात्मक कैलकुस की संपत्ति से, |A| A द्वारा उत्पन्न C*-बीजगणित में है। आंशिक आइसोमेट्री के लिए एक समान लेकिन अशक्त व्याख्यान प्रयुक्त होता है: U A द्वारा उत्पन्न वॉन न्यूमैन बीजगणित में है। यदि A व्युत्क्रमणीय है, तो ध्रुवीय भाग U C*-बीजगणित में होगा भी।

असीमित ऑपरेटर

यदि A जटिल हिल्बर्ट स्पेस स्थान के बीच एक बंद, घनी परिभाषित असीमित ऑपरेटर है तो इसमें अभी भी एक (अद्वितीय) 'ध्रुवीय अपघटन' है

$$A=U|A|$$

जहां |A| A के समान डोमेन के साथ एक (संभवतः अबाधित) गैर-नकारात्मक स्वयं संलग्न ऑपरेटर है, और U एक आंशिक आइसोमेट्री है जो Ran(|A|) श्रेणी के ऑर्थोगोनल पूरक पर लुप्त हो रहा है।

प्रमाण उपरोक्त के समान लेम्मा का उपयोग करता है, जो सामान्य रूप से असीमित ऑपरेटरों के लिए जाना जाता है। यदि Dom(A^*A) = Dom(B^*B) और A^*Ah = B^*Bh सबके लिए ∈ Dom(A^*A), तो एक आंशिक आइसोमेट्री U उपस्थित है जैसे कि A = UB। U अद्वितीय है यदि Ran(B)^⊥ ⊂ Ker(U) है। ऑपरेटर A बंद होने और घनी परिभाषित होने से यह सुनिश्चित होता है कि ऑपरेटर A^*A स्व-संबद्ध है (घने डोमेन के साथ) और इसलिए किसी को ( A^*A)^1/2 परिभाषित करने की अनुमति देता है। लेम्मा लगाने से ध्रुवीय अपघटन होता है।

यदि एक असीमित ऑपरेटर A वॉन न्यूमैन बीजगणित M के लिए संबद्ध ऑपरेटर है, और A = UP इसका ध्रुवीय अपघटन है, तो U, M में है और इसी तरह P, 1_B(P) का वर्णक्रमीय प्रक्षेपण है, किसी भी बोरेल समुच्चय B के लिए [0, ∞).

चतुष्कोणीय ध्रुवीय अपघटन

चतुष्कोणों H का ध्रुवीय अपघटन इकाई 2-आयामी क्षेत्र के माइनस 1 का वर्गमूल $\lbrace xi+yj+zk\in H:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\rbrace$ पर निर्भर करता है। इस क्षेत्र पर किसी भी r को देखते हुए, और एक कोण −π < a ≤ π, छंद $e^{ar}=\cos(a)+r\ \sin(a)$ H के इकाई 3-क्षेत्र पर है। a = 0 और a = π के लिए, छंद 1 या -1 है, चाहे जो भी r चुना गया हो। मानदंड (गणित) t एक चतुष्कोण q का मूल से q तक यूक्लिडियन दूरी है। जब एक चतुष्कोण केवल एक वास्तविक संख्या नहीं है, तो $q=te^{ar}$अद्वितीय ध्रुवीय अपघटन होता है।

वैकल्पिक प्लानर अपघटन

कार्तीय तल में, वैकल्पिक तलीय वलय (गणित) अपघटन निम्नानुसार उत्पन्न होते हैं:

• यदि x ≠ 0, z = x(1 + ε(y/x)) दोहरी संख्या z = x + yε का ध्रुवीय अपघटन है, जहाँ ε² = 0 है; उदाहरण, ε निल्पोटेंट है। इस ध्रुवीय अपघटन में, इकाई वृत्त को रेखा x = 1 और ध्रुवीय कोण को ढलान y/x से परिवर्तित कर दिया गया है, और त्रिज्या x बाएं आधे समतल में ऋणात्मक है।
• यदि x² ≠ y², तब इकाई अतिपरवलय x² − y² = 1 और इसके संयुग्मी x² − y² = −1 (1, 0) के माध्यम से इकाई अतिपरवलय की शाखा के आधार पर एक ध्रुवीय अपघटन बनाने के लिए उपयोग किया जा सकता है। यह शाखा अतिपरवलय कोण a द्वारा पैरामीट्रिज्ड है और
  $$\cosh(a)+j\ \sinh(a)=\exp(aj)=e^{aj}$$
  लिखी गई है।

  जहाँ j² = +1 औरअंकगणित स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर का उपयोग किया जाता है। (−1, 0) की शाखा को −e^aj द्वारा ट्रेस किया गया है। चूँकि j से गुणा करने की संक्रिया y = x रेखा के पार एक बिंदु को दर्शाती है, दूसरे अतिपरवलय में je ^aj या −je^aj द्वारा अनुरेखित शाखाएँ होती हैं। इसलिए किसी एक चतुर्थांश में एक बिंदु का एक रूप में ध्रुवीय अपघटन होता है:

  $$re^{aj},-re^{aj},rje^{aj},-rje^{aj},\quad r>0$$
  समुच्चय {1, −1, j, −j } में ऐसे उत्पाद हैं जो इसे क्लेन चार-समूह के लिए समरूपी बनाते हैं। स्पष्ट रूप से इस स्थिति में ध्रुवीय अपघटन में उस समूह का एक तत्व सम्मिलित है।

आव्यूह ध्रुवीय अपघटन का संख्यात्मक निर्धारण

ध्रुवीय अपघटन A = UP के सन्निकटन की गणना करने के लिए, सामान्यतः एकात्मक कारक U का अनुमान लगाया जाता है। पुनरावृति 1 के वर्गमूल के लिए हीरोन की विधि पर आधारित है और से प्रारंभ करते हुए इसकी गणना करता है $U_{0}=A$, क्रम

$$U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(U_{k}+\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$$

व्युत्क्रम और हर्मिट संयुग्मन के संयोजन को चुना जाता है जिससे एकल मान अपघटन में, एकात्मक कारक समान रहें और पुनरावृत्ति एकल मानों पर हीरोन की विधि को कम कर दे।

प्रक्रिया को गति देने के लिए इस मूल पुनरावृत्ति को परिष्कृत किया जा सकता है:

• Every step or in regular intervals, the range of the singular values of $U_{k}$ is estimated and then the matrix is rescaled to $\gamma _{k}U_{k}$ to center the singular values around 1. The scaling factor $\gamma _{k}$ is computed using matrix norms of the matrix and its inverse. Examples of such scale estimates are:
  $$\gamma _{k}={\sqrt[{4}]{\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{1}\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{\infty }}{\left\|U_{k}\right\|_{1}\left\|U_{k}\right\|_{\infty }}}}$$
  using the row-sum and column-sum matrix norms or
  $$\gamma _{k}={\sqrt {\frac {\left\|U_{k}^{-1}\right\|_{F}}{\left\|U_{k}\right\|_{F}}}}$$
  using the Frobenius norm. Including the scale factor, the iteration is now
  $$U_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(\gamma _{k}U_{k}+{\frac {1}{\gamma _{k}}}\left(U_{k}^{*}\right)^{-1}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$$
• The QR decomposition can be used in a preparation step to reduce a singular matrix A to a smaller regular matrix, and inside every step to speed up the computation of the inverse.
• Heron's method for computing roots of $x^{2}-1=0$ can be replaced by higher order methods, for instance based on Halley's method of third order, resulting in
  $$U_{k+1}=U_{k}\left(I+3U_{k}^{*}U_{k}\right)^{-1}\left(3I+U_{k}^{*}U_{k}\right),\qquad k=0,1,2,\ldots$$
  This iteration can again be combined with rescaling. This particular formula has the benefit that it is also applicable to singular or rectangular matrices A.

यह भी देखें

• कार्टन अपघटन
• बीजगणितीय ध्रुवीय अपघटन
• एक जटिल माप का ध्रुवीय अपघटन
• लाई समूह अपघटन

संदर्भ

• Conway, J.B.: A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer 1990
• Douglas, R.G.: On Majorization, Factorization, and Range Inclusion of Operators on Hilbert Space. Proc. Amer. Math. Soc. 17, 413-415 (1966)
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7