रम्ब रेखा: Difference between revisions

Revision as of 19:07, 22 April 2023

एकदिश नौपथ, या रम्ब रेखा की छवि, जो उत्तरी ध्रुव की ओर बढ़ती है

मार्गनिर्देशन में, एक रूम्ब रेखा, रूम्ब (/rʌm/), या एकदिश नौपथ एक चाप है जो एक ही कोण पर देशांतर के सभी भूमध्य रेखाओं को पार करता है, अर्थात, वास्तविक उत्तर के सापेक्ष मापा गया अपरिवर्ती दिक्कोण वाला पथ है।

परिचय

एक भूमंडल की सतह पर एक रूम्ब रेखा अध्ययन का पालन करने के प्रभाव पर प्रथम बार 1537 में पुर्तगाली गणितज्ञ पेड्रो नून्स ने 1590 के दशक में थॉमस हैरियट द्वारा आगे के गणितीय विकास के साथ समुद्री रेखाचित्र की रक्षा में अपने ग्रंथ में चर्चा की थी।

एक रूम्ब रेखा की तुलना एक बड़े वृत्त से की जा सकती है, जो एक वृत्त की सतह पर दो बिंदुओं के मध्य की सबसे छोटी दूरी का मार्ग है। एक बड़े वृत्त पर, गंतव्य बिंदु का दिक्कोण स्थिर नहीं रहता है। यदि किसी को एक बृहत् वृत के साथ एक मोटर गाड़ी चलानी होती है तो वह चालन चक्र को स्थिर रखता है, परन्तु एक रूम्ब रेखा का पालन करने के लिए पहिये को घुमाना पड़ता है, जैसे-जैसे स्तम्भ पास आते हैं, इसे और अधिक तीव्रता से घुमाते हैं। दूसरे शब्दों में, एक बड़ा वृत्त शून्य अल्पांतरी वक्रता के साथ स्थानीय रूप से "सीधा" होता है, जबकि एक रूम्ब रेखा में गैर-शून्य अल्पांतरी वक्रता होती है।

देशांतर के ध्रुववृत्त और अक्षांश के समानांतर रूम्ब रेखाओं की विशेष स्थितियां प्रदान करते हैं, जहां उनके प्रतिच्छेदन के कोण क्रमशः 0° और 90° होते हैं। एक उत्तर-दक्षिण पंथ पर रूम्ब रेखा अध्ययन एक बृहत् वृत के अनुरूप है, जैसा कि यह भूमध्य रेखाओं के साथ पूर्व-पश्चिम मार्ग पर होता है।

मर्केटर प्रक्षेप मानचित्र पर, कोई भी रूम्ब रेखा एक सीधी रेखा है; इस तरह के प्रतिचित्र पर पृथ्वी पर किन्हीं दो बिंदुओं के मध्य बिना प्रतिचित्र के किनारे से हटे एक रूम्ब रेखा खींची जा सकती है। परन्तु सैद्धांतिक रूप से एक एकदिश नौपथ प्रतिचित्र के दाहिने किनारे से आगे बढ़ सकता है, जहां यह फिर उसी प्रवणता के साथ बाएं किनारे पर जारी रहता है (यह मानते हुए कि प्रतिचित्र बिल्कुल 360 डिग्री देशांतर को आच्छादित करता है)।

रूंब रेखाएं जो ध्रुववृत्तों को तिर्यक् कोणों पर काटती हैं, वे एकदिश नौपथ वक्र हैं जो ध्रुवों की ओर सर्पिल होती हैं।^[1]मर्केटर प्रक्षेप पर उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव अनंत पर होते हैं और इसलिए इन्हें कभी नहीं दर्शाया जाता है। हालांकि असीमित उच्च मानचित्रों पर पूर्ण एकदिश नौपथ में दो किनारों के मध्य अनंततः कई रेखा खंड सम्मिलित होंगे। त्रिविम प्रक्षेप मानचित्र पर, एक एकदिश नौपथ एक समकोणीय सर्पिल है जिसका केंद्र उत्तर या दक्षिण ध्रुव है।

सभी एकदिश नौपथ एक ध्रुव से दूसरे ध्रुव की ओर सर्पिल होते हैं। ध्रुवों के पास, वे लघुगणकीय सर्पिल होने के निकट हैं (जो कि वे एक त्रिविम प्रक्षेपण पर हैं, नीचे देखें), इसलिए वे प्रत्येक ध्रुव के चारों ओर अनंत बार चक्कर लगाते हैं परन्तु एक सीमित दूरी में ध्रुव तक पहुंचते हैं। एक एकदिश नौपथ की ध्रुव-से-ध्रुव लंबाई (एक आदर्श क्षेत्र मानते हुए) भूमध्य रेखा (भूगोल) वास्तविक उत्तर से दूर दिक्कोण के कोज्या से विभाजित ध्रुववृत्तों की लंबाई है। एकदिश नौपथ को ध्रुवों पर परिभाषित नहीं किया गया है।

व्युत्पत्ति और ऐतिहासिक विवरण

एकदिश नौपथ शब्द प्राचीन यूनानी भाषा λοξός loxos से आया है: तिर्यक् + δρόμος drómos: परिचालन (δραμεῖν drameîn से: चलाने के लिए) है। रूंब शब्द स्पेनी भाषा या पुर्तगाली भाषा रूंबो/रुमो (अध्ययन या दिशा) और यूनानी ῥόμβος rhómbos,^[2] से आया हो सकता है।

सार्वभौमिक सूचना का भूमंडल विश्वज्ञानकोष के 1878 संस्करण में एकदिश नौपथ रेखा का वर्णन इस प्रकार है:^[3]

एकदिश नौपथ रेखा एक वक्र है जो किसी दिए गए सतह की वक्रता की रेखाओं की प्रणाली के प्रत्येक घटकों को एक ही कोण पर काटती है। दिक्सूचक के एक ही बिंदु की ओर जाने वाला पोत एक ऐसी रेखा का वर्णन करता है जो सभी याम्योत्तरों को एक ही कोण पर काटती है। मर्केटर के प्रक्षेप (q.v.) में एकदिश नौपथ रेखाएँ स्पष्ट रूप से सीधी होती हैं।^[3]
एक मिथ्याबोध उत्पन्न हो सकता है क्योंकि शब्द "रूम्ब" का प्रयोग में आने पर इसका कोई सटीक अर्थ नहीं था। यह विंडरोज रेखाओं के लिए समान रूप से अच्छी तरह से प्रयुक्त होता है क्योंकि यह एकदिश नौपथ के लिए किया जाता है क्योंकि यह शब्द केवल स्थानीय रूप से प्रयुक्त होता है और इसका अर्थ केवल वही होता है जो एक नाविक ने अपरिवर्ती दिक्कोण के साथ नौकायन करने के लिए जो कुछ भी किया है, जो कि सभी अशुद्धियों के साथ होता है। इसलिए, रूम्ब पत्तन दर्शिका पर सीधी रेखाओं पर अनुप्रयुक्त होता था, जब पत्तन दर्शिका उपयोग में होते थे, साथ ही सदैव मर्केटर रेखाचित्र पर सीधी रेखाओं पर अनुप्रयुक्त होते था। छोटी दूरी के लिए पत्तन दर्शिका "रूम्ब" अर्थपूर्ण रूप से मर्केटर रूम्ब से भिन्न नहीं होते हैं, परन्तु इन दिनों "रूम्ब" गणितीय रूप से सटीक "एकदिश नौपथ" का पर्याय बन गया है क्योंकि इसे पूर्वव्यापी रूप से समानार्थी बना दिया गया है।
जैसा कि लियो बग्रो कहते हैं:^[4] शब्द ('रूम्ब रेखा') इस अवधि के समुद्र-रेखा चित्र पर अनुचित तरीके से अनुप्रयुक्त किया गया है, क्योंकि एक एकदिश नौपथ केवल एक सटीक पाठ्यक्रम देता है, जब रेखाचित्र एक उपयुक्त प्रक्षेपण पर खींचा जाता है। मानचित्रमितीय जांच से पता चला है कि प्रारम्भिक रेखाचित्रों में किसी प्रक्षेपण का उपयोग नहीं किया गया था, इसलिए हम 'पत्तन दर्शिका' नाम रखते हैं।

गणितीय विवरण

त्रिज्या 1 के वृत्त के लिए, दिगंशीय कोण $λ$ , ध्रुवीय कोण $−.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}π/2 ≤ φ ≤ π/2$ (अक्षांश के अनुरूप यहां परिभाषित) और कार्तीय इकाई सदिश $i$ , $j$ , और $k$ का उपयोग त्रिज्या सदिश $r$ को लिखने के लिए किया जा सकता है।

$\mathbf {r} (\lambda ,\varphi )=(\cos {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {i} +(\sin {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {j} +(\sin {\varphi })\mathbf {k} \,.$

वृत्त के दिगंशीय और ध्रुवीय दिशाओं में लंबकोणीय इकाई सदिश लिखे जा सकते हैं;

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}(\lambda ,\varphi )&=\sec {\varphi }{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,,\end{aligned}}$

जिनके पास अदिश गुणनफल है

${\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}={\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot \mathbf {r} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\cdot \mathbf {r} =0\,$

नियतांक $φ$ के लिए $λ̂$ अक्षांश के समानांतर का पता लगाता है, जबकि नियतांक $λ$ के लिए $φ̂$ देशांतर के एक भूमध्य रेखा का पता लगाता है और साथ में वे वृत्त के लिए एक तल स्पर्शरेखा उत्पन्न करते हैं।
इकाई सदिश

$\mathbf {\boldsymbol {\hat {\beta }}} (\lambda ,\varphi )=(\sin {\beta }){\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta }){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

किसी भी $λ$ और $φ$ के लिए इकाई सदिश $φ̂$ के साथ एक स्थिर कोण $β$ है, क्योंकि उनका अदिश गुणनफल है।

${\boldsymbol {\hat {\beta }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=\cos {\beta }\,.$

एक एकदिश नौपथ को वृत्त पर एक वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें देशांतर के सभी याम्योत्तरों के साथ एक स्थिर कोण $β$ होता है और इसलिए इकाई सदिश $β̂$ के समानांतर होना चाहिए। फलस्वरूप, एकदिश नौपथ के साथ एक अंतर लंबाई $ds$ एक अंतर विस्थापन उत्पन्न करेगा।

$\begin{aligned} d r & = \hat{β} d s \\ \frac{\partial r}{\partial λ} d λ + \frac{\partial r}{\partial φ} d φ & = ((\sin β) \hat{λ} + (\cos β) \hat{φ}) d s \\ (\cos φ) d λ \hat{λ} + d φ \hat{φ} & = (\sin β) d s \hat{λ} + (\cos β) d s \hat{φ} \\ d s & = \frac{\cos φ}{\sin β} d λ = \frac{d φ}{\cos β} \\ \frac{d λ}{d φ} & = \tan β \cdot \sec φ \\ λ (φ | β, λ_{0}, φ_{0}) & = \tan β \cdot ({gd}^{- 1} φ - {gd}^{- 1} φ_{0}) + λ_{0} \\ φ (λ | β, λ_{0}, φ_{0}) & = gd ((λ - λ_{0}) \cot β + {gd}^{} \end{aligned}$
जहाँ $\operatorname {gd}$ और $\operatorname {gd} ^{-1}$ गुडेरमैनियन फलन और इसके व्युत्क्रम, $\operatorname {gd} \psi =\arctan(\sinh \psi ),$ $\operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi )$ हैं और $\operatorname {arsinh}$ व्युत्क्रम अतिपरवलीय द्विज्या है।
$λ$ और $φ$ के मध्य इस संबंध के साथ, त्रिज्या सदिश एक चर का प्राचलिक फलन बन जाता है, जो वृत्त पर एकदिश नौपथ का पता लगाता है:

$\mathbf {r} (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})={\big (}\cos {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {i} +{\big (}\sin {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\big )}\mathbf {j} +{\big (}\tanh \psi {\big )}\mathbf {k} \,,$

जहाँ

$\psi \equiv (\lambda -\lambda _{0})\cot \beta +\operatorname {gd} ^{-1}\varphi _{0}=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi$

सममितीय अक्षांश है।^[5]
रूम्ब रेखा में, जैसे-जैसे अक्षांश ध्रुवों, $φ \to \pm π / 2$ , $sin φ \to \pm1$ की ओर जाता है, सममितीय अक्षांश $arsinh(tan φ) \to \pm \infty$ और देशांतर $λ$ बिना किसी सीमा के बढ़ता है, ध्रुव की ओर एक सर्पिल में इतनी तीव्रता से वृत्त का चक्कर लगाता है, जबकि एक परिमित कुल चाप लंबाई Δs द्वारा दिया जाता है।

$\Delta s=R\,{\big |}(\pm \pi /2-\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}$

मर्केटर प्रक्षेप से सम्बन्ध

लिस्बन, पुर्तगाल और हवाना, क्यूबा के मध्य एक ग्रेट-सर्कल आर्क (लाल) की तुलना में एक रम्ब रेखा (नीला)। शीर्ष: लिखने का प्रक्षेपण। नीचे: मर्केटर प्रक्षेप।
मान लीजिए $λ$ वृत्त पर एक बिंदु का देशांतर है और $φ$ इसका अक्षांश है। फिर, यदि हम मर्केटर प्रक्षेप के मानचित्र निर्देशांक को परिभाषित करते हैं
${\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\,,\\y&=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi =\operatorname {arsinh} (\tan \varphi )\,,\end{aligned}}$

अपरिवर्ती दिक्कोण (दिक् चालन) के साथ एक एकदिश नौपथ $β$ सही उत्तर से एक सीधी रेखा होगी, क्योंकि (पिछले अनुभाग में अभिव्यक्ति का उपयोग करके)

$y=mx$

प्रवणता के साथ

$m=\cot \beta \,.$

दो दिए गए बिंदुओं के मध्य एकदिश नौपथ का पता लगाना एक मर्केटर प्रतिचित्र पर ग्राफिक रूप से किया जा सकता है, या दो अज्ञात में दो समीकरणों की एक गैर-रैखिक प्रणाली को हल करके किया जा सकता है। $m = cot β$ और $λ 0$ . अपरिमित रूप से अनेक हल हैं; सबसे छोटा वह है जो वास्तविक देशांतर अंतर को आच्छादित करता है, अर्थात अतिरिक्त चक्कर नहीं लगाता है, और गलत मार्ग पर नहीं जाता है।
दो बिंदुओं के मध्य की दूरी $Δ s$ , एक एकदिश नौपथ के साथ मापा जाता है, उत्तर-दक्षिण दूरी (अक्षांश के हलकों को छोड़कर जिसके लिए दूरी अनंत हो जाती है) के दिक्कोण (अज़िमथ) के छेदक (त्रिकोणमिति) का पूर्ण मान है:

$\Delta s=R\,{\big |}(\varphi -\varphi _{0})\cdot \sec \beta {\big |}$

जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या#वैश्विक औसत त्रिज्या में से एक है।

अनुप्रयोग

दिक् चालन में इसका उपयोग सीधे शैली से जुड़ा हुआ है, या कुछ नेविगेशनल मानचित्रों के प्रतिचित्र प्रक्षेपण से जुड़ा हुआ है। नक्शा प्रक्षेपण प्रतिचित्र पर एक रूंब रेखा एक सीधी रेखा के रूप में दिखाई देती है।^[1]
यह नाम क्रमशः पुराने फ्रांसीसी या स्पैनिश से लिया गया है: रूंब या रूंबो, रेखा चित्र पर एक रेखा जो एक ही कोण पर सभी मध्याह्न रेखा को काटती है।^[1]समतल सतह पर यह दो बिंदुओं के मध्य की सबसे छोटी दूरी होगी। कम अक्षांशों पर या कम दूरी पर पृथ्वी की सतह पर इसका उपयोग किसी वाहन, विमान या जहाज के पाठ्यक्रम की आलेखन रचने के लिए किया जा सकता है।^[1]लंबी दूरी और/या उच्च अक्षांशों पर बृहत् वृत मार्ग समान दो बिंदुओं के मध्य की रेखा से काफी छोटा है। हालांकि, एक बृहत् वृत मार्ग की संचारण करते समय बियरिंग्स को निरन्तर परिवर्तित होने की असुविधा कुछ उदाहरणों में रूम्ब रेखा दिक् चालन को आकर्षक बनाती है।^[1]
बिंदु को भूमध्य रेखा के साथ 90 डिग्री देशांतर पर एक पूर्व-पश्चिम मार्ग के साथ चित्रित किया जा सकता है, जिसके लिए बृहत् वृत और रूम्ब रेखा की दूरी समान हैं, पर 10,000 kilometres (5,400 nautical miles). 20 डिग्री उत्तर में बृहत् वृत दूरी है 9,254 km (4,997 nmi) जबकि समचतुर्भुज रेखा की दूरी है 9,397 km (5,074 nmi), लगभग 1.5% आगे। परन्तु 60 डिग्री उत्तर में बृहत् वृत दूरी है 4,602 km (2,485 nmi) जबकि रूम्ब रेखा है 5,000 km (2,700 nmi), 8.5% का अंतर। एक अधिक चरम स्थिति न्यूयॉर्क शहर और हांगकांग के मध्य का हवाई मार्ग है, जिसके लिए रूम्ब रेखा पथ है 18,000 km (9,700 nmi). उत्तरी ध्रुव के ऊपर वृहत वृत्त मार्ग है 13,000 km (7,000 nmi), या 5+1⁄2 सामान्य क्रूज (उड़ान) पर घंटे कम उड़ान समय।
मर्केटर प्रक्षेप के कुछ पुराने मानचित्रों में अक्षांश और देशांतर की रेखाओं से बने ग्रिड होते हैं, परन्तु रूंब लाइनें भी दिखाई देती हैं, जो सीधे उत्तर की ओर, उत्तर से समकोण पर, या उत्तर से कुछ कोण पर होती हैं, जो कि कुछ सरल तर्कसंगत अंश है। एक समकोण। ये रुम्ब रेखाएँ खींची जाएँगी ताकि वे प्रतिचित्र के कुछ बिंदुओं पर अभिसरित हों: प्रत्येक दिशा में जाने वाली रेखाएँ इनमें से प्रत्येक बिंदु पर अभिसरित होंगी। दिक्सूचक रोज़ देखें। इस तरह के प्रतिचित्र आवश्यक रूप से मर्केटर प्रक्षेप में रहे होंगे इसलिए सभी पुराने प्रतिचित्र रूंब रेखा चिह्नों को दिखाने में सक्षम नहीं रहे होंगे।
दिक्सूचक रोज़ पर रेडियल रेखाओं को रूम्ब्स भी कहा जाता है। 16वीं-19वीं शताब्दी में एक विशेष दिक्सूचक शीर्षक को इंगित करने के लिए एक छंद पर नौकायन अभिव्यक्ति का उपयोग किया गया था।^[1]
समुद्री क्रोनोमीटर के आविष्कार से पहले के शुरुआती नाविकों ने लंबे समुद्री मार्गों पर रूम्ब रेखा दिशा का उपयोग किया था, क्योंकि जहाज का अक्षांश सूर्य या तारों को देखकर सटीक रूप से स्थापित किया जा सकता था परन्तु देशांतर निर्धारित करने का कोई सटीक तरीका नहीं था। गंतव्य के अक्षांश तक पहुंचने तक जहाज उत्तर या दक्षिण की ओर जाएगा, और जहाज तब पूर्व या पश्चिम में रूम्ब रेखा (वास्तव में अक्षांश का एक सर्कल, जो कि रूंब रेखा का एक विशेष मामला है) के साथ चलेगा, एक अपरिवर्ती बनाए रखेगा। अक्षांश और भूमि के साक्ष्य देखे जाने तक दूरी के नियमित अनुमानों को रिकॉर्ड करना।^[6]

सामान्यीकरण

रीमैन क्षेत्र पर

Main article: Möbius transformation

पृथ्वी की सतह को गणितीय रूप से रीमैन क्षेत्र के रूप में समझा जा सकता है, अर्थात, वृत्त के एक जटिल तल के प्रक्षेपण के रूप में। इस मामले में, एकदिश नौपथ को मोबियस परिवर्तनों के कुछ वर्गों के रूप में समझा जा सकता है।

गोलाकार

उपरोक्त फॉर्मूलेशन को आसानी से गोलाकार तक बढ़ाया जा सकता है।^[7]^[8]^[9]^[10]^[11] रूम्ब रेखा का मार्ग केवल दीर्घवृत्ताभ सममितीय अक्षांश का उपयोग करके पाया जाता है। इस पृष्ठ पर उपरोक्त सूत्रों में, वृत्त पर अक्षांश के लिए दीर्घवृत्ताभ पर अक्षांश#अनुरूप अक्षांश को प्रतिस्थापित करें। इसी तरह, दिगंश के छेदक द्वारा दीर्घवृत्ताकार याम्योत्तर चाप की लंबाई को गुणा करके दूरियां पाई जाती हैं।

यह भी देखें

महावृत्त

एक दीर्घवृत्ताभ पर भूगणित

महान दीर्घवृत्त

इसोआज़ीमुथल

रंबलाइन नेटवर्क

सीफ़र्ट का सर्पिल

छोटा घेरा

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 Oxford University Press Rhumb Line. The Oxford Companion to Ships and the Sea, Oxford University Press, 2006. Retrieved from Encyclopedia.com 18 July 2009.

↑ Rhumb at TheFreeDictionary

↑ ^3.0 ^3.1 Ross, J.M. (editor) (1878). The Globe Encyclopaedia of Universal Information, Vol. IV, Edinburgh-Scotland, Thomas C. Jack, Grange Publishing Works, retrieved from Google Books 2009-03-18;

↑ Leo Bagrow (2010). कार्टोग्राफी का इतिहास. Transaction Publishers. p. 65. ISBN 978-1-4128-2518-4.

↑ James Alexander, Loxodromes: A Rhumb Way to Go, "Mathematics Magazine", Vol. 77. No. 5, Dec. 2004. [1]

↑ A Brief History of British Seapower, David Howarth, pub. Constable & Robinson, London, 2003, chapter 8.

↑ Smart, W. M. (1946). "On a Problem in Navigation". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 106 (2): 124–127. Bibcode:1946MNRAS.106..124S. doi:10.1093/mnras/106.2.124.

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↑ Carlton-Wippern, K. C. (1992). "On Loxodromic Navigation". Journal of Navigation. 45 (2): 292–297. doi:10.1017/S0373463300010791. S2CID 140735736.

↑ Bennett, G. G. (1996). "Practical Rhumb Line Calculations on the Spheroid". Journal of Navigation. 49 (1): 112–119. Bibcode:1996JNav...49..112B. doi:10.1017/S0373463300013151. S2CID 128764133.

↑ Botnev, V.A; Ustinov, S.M. (2014). Методы решения прямой и обратной геодезических задач с высокой точностью [Methods for direct and inverse geodesic problems solving with high precision] (PDF). St. Petersburg State Polytechnical University Journal (in Russian). 3 (198): 49–58.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

Note: this article incorporates text from the 1878 edition of The Globe Encyclopaedia of Universal Information, a work in the public domain

अग्रिम पठन

Monmonier, Mark (2004). Rhumb lines and map wars. A social history of the Mercator projection. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 9780226534329.

बाहरी संबंध

Look up loxodrome or rhumb in Wiktionary, the free dictionary.

Constant Headings and Rhumb Lines at MathPages.

RhumbSolve(1), a utility for ellipsoidal rhumb line calculations (a component of GeographicLib); supplementary documentation.

An online version of RhumbSolve.

Navigational Algorithms Archived 16 October 2018 at the Wayback Machine Paper: The Sailings.

Chart Work - Navigational Algorithms Chart Work free software: Rhumb line, Great Circle, Composite sailing, Meridional parts. Lines of position Piloting - currents and coastal fix.

Mathworld Loxodrome.

[EOS-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 Oxford University Press Rhumb Line. The Oxford Companion to Ships and the Sea, Oxford University Press, 2006. Retrieved from Encyclopedia.com 18 July 2009.

[2] Rhumb at TheFreeDictionary

[Globe-3] 3.0 ^3.1 Ross, J.M. (editor) (1878). The Globe Encyclopaedia of Universal Information, Vol. IV, Edinburgh-Scotland, Thomas C. Jack, Grange Publishing Works, retrieved from Google Books 2009-03-18;

[Bagrow2010-4] Leo Bagrow (2010). कार्टोग्राफी का इतिहास. Transaction Publishers. p. 65. ISBN 978-1-4128-2518-4.

[5] James Alexander, Loxodromes: A Rhumb Way to Go, "Mathematics Magazine", Vol. 77. No. 5, Dec. 2004. [1]

[6] A Brief History of British Seapower, David Howarth, pub. Constable & Robinson, London, 2003, chapter 8.

[7] Smart, W. M. (1946). "On a Problem in Navigation". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 106 (2): 124–127. Bibcode:1946MNRAS.106..124S. doi:10.1093/mnras/106.2.124.

[8] Williams, J. E. D. (1950). "Loxodromic Distances on the Terrestrial Spheroid". Journal of Navigation. 3 (2): 133–140. doi:10.1017/S0373463300045549. S2CID 128651304.

[9] Carlton-Wippern, K. C. (1992). "On Loxodromic Navigation". Journal of Navigation. 45 (2): 292–297. doi:10.1017/S0373463300010791. S2CID 140735736.

[10] Bennett, G. G. (1996). "Practical Rhumb Line Calculations on the Spheroid". Journal of Navigation. 49 (1): 112–119. Bibcode:1996JNav...49..112B. doi:10.1017/S0373463300013151. S2CID 128764133.

[11] Botnev, V.A; Ustinov, S.M. (2014). Методы решения прямой и обратной геодезических задач с высокой точностью [Methods for direct and inverse geodesic problems solving with high precision] (PDF). St. Petersburg State Polytechnical University Journal (in Russian). 3 (198): 49–58.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

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 एक मिथ्याबोध उत्पन्न हो सकता है क्योंकि शब्द "रूम्ब" का प्रयोग में आने पर इसका कोई सटीक अर्थ नहीं था। यह [[इन्द्रोंसे लाइन|विंडरोज रेखाओं]] के लिए समान रूप से अच्छी तरह से प्रयुक्त होता है क्योंकि यह एकदिश नौपथ के लिए किया जाता है क्योंकि यह शब्द केवल स्थानीय रूप से प्रयुक्त होता है और इसका अर्थ केवल वही होता है जो एक नाविक ने अपरिवर्ती दिक्कोण के साथ नौकायन करने के लिए जो कुछ भी किया है, जो कि सभी अशुद्धियों के साथ होता है। इसलिए, रूम्ब [[पोर्टोलन|पत्तन दर्शिका]] पर सीधी रेखाओं पर अनुप्रयुक्त होता था, जब पत्तन दर्शिका उपयोग में होते थे, साथ ही सदैव मर्केटर रेखाचित्र पर  सीधी रेखाओं पर अनुप्रयुक्त होते था। छोटी दूरी के लिए पत्तन दर्शिका "रूम्ब" अर्थपूर्ण रूप से मर्केटर रूम्ब से भिन्न नहीं होते हैं, परन्तु इन दिनों "रूम्ब" गणितीय रूप से सटीक "एकदिश नौपथ" का पर्याय बन गया है क्योंकि इसे पूर्वव्यापी रूप से समानार्थी बना दिया गया है।
-जैसा कि लियो बग्रो कहते हैं:<ref name="Bagrow2010">{{cite book|author=Leo Bagrow|title=कार्टोग्राफी का इतिहास|url=https://books.google.com/books?id=OBeB4tDmJv8C&pg=PA65|year=2010|publisher=Transaction Publishers|isbn=978-1-4128-2518-4|page=65}}</ref> शब्द ('रूम्ब रेखा') इस अवधि के समुद्र-रेखा चित्र पर गलत तरीके से अनुप्रयुक्त किया गया है, क्योंकि एक एकदिश नौपथ एक सटीक पाठ्यक्रम देता है, जब रेखा चित्र एक उपयुक्त प्रक्षेपण पर खींचा जाता है। मानचित्रमितीय जांच से पता चला है कि प्रारम्भिक रेखा चित्र में किसी प्रक्षेपण का उपयोग नहीं किया गया था, इसलिए हम 'पत्तन दर्शिका' नाम रखते हैं।
+जैसा कि लियो बग्रो कहते हैं:<ref name="Bagrow2010">{{cite book|author=Leo Bagrow|title=कार्टोग्राफी का इतिहास|url=https://books.google.com/books?id=OBeB4tDmJv8C&pg=PA65|year=2010|publisher=Transaction Publishers|isbn=978-1-4128-2518-4|page=65}}</ref> शब्द ('रूम्ब रेखा') इस अवधि के समुद्र-रेखा चित्र पर अनुचित तरीके से अनुप्रयुक्त किया गया है, क्योंकि एक एकदिश नौपथ केवल एक सटीक पाठ्यक्रम देता है, जब रेखाचित्र एक उपयुक्त प्रक्षेपण पर खींचा जाता है। मानचित्रमितीय जांच से पता चला है कि प्रारम्भिक रेखाचित्रों में किसी प्रक्षेपण का उपयोग नहीं किया गया था, इसलिए हम 'पत्तन दर्शिका' नाम रखते हैं।
 == गणितीय विवरण ==
-त्रिज्या 1 के वृत्त के लिए, दिगंशीय कोण {{mvar|λ}}, ध्रुवीय कोण {{math|−{{sfrac|π|2}} ≤ ''φ'' ≤ {{sfrac|π|2}}}} (अक्षांश के अनुरूप यहां परिभाषित), और कार्तीय इकाई  सदिश # मानक आधार में एक सदिश का प्रतिनिधित्व करना {{math|'''i'''}}, {{math|'''j'''}}, और {{math|'''k'''}} का उपयोग त्रिज्या सदिश लिखने के लिए किया जा सकता है {{math|'''r'''}} जैसा
+त्रिज्या 1 के वृत्त के लिए, दिगंशीय कोण {{mvar|λ}}, ध्रुवीय कोण {{math|−{{sfrac|π|2}} ≤ ''φ'' ≤ {{sfrac|π|2}}}} (अक्षांश के अनुरूप यहां परिभाषित) और कार्तीय इकाई  सदिश {{math|'''i'''}}, {{math|'''j'''}}, और {{math|'''k'''}} का उपयोग त्रिज्या सदिश {{math|'''r'''}} को लिखने के लिए किया जा सकता है।
 :<math>\mathbf{r}(\lambda,\varphi) = (\cos{\lambda} \cdot \cos{\varphi})  \mathbf{i} + (\sin{\lambda} \cdot \cos{\varphi})  \mathbf{j} + (\sin{\varphi}) \mathbf{k} \, .</math>
-लंबकोणीय इकाई  सदिश रिक्त स्थान दिगंशीय और वृत्त के ध्रुवीय दिशाओं में लिखा जा सकता है
+वृत्त के  दिगंशीय और ध्रुवीय दिशाओं में लंबकोणीय इकाई सदिश लिखे जा सकते हैं;
 :<math>\begin{align}
@@ Line 40: / Line 40: @@
 \boldsymbol{\hat\varphi}(\lambda,\varphi) &= \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi} = (-\cos{\lambda} \cdot \sin{\varphi}) \mathbf{i} + (-\sin{\lambda} \cdot \sin{\varphi}) \mathbf{j} + (\cos{\varphi}) \mathbf{k} \, ,
 \end{align}</math>
-जिसकी अदिश गुणनफल ज्यामितीय परिभाषा है
+जिनके पास अदिश गुणनफल है
-:<math>\boldsymbol{\hat\lambda} \cdot \boldsymbol{\hat\varphi} = \boldsymbol{\hat\lambda} \cdot \mathbf{r} = \boldsymbol{\hat\varphi} \cdot \mathbf{r} = 0 \, .</math>
+:<math>\boldsymbol{\hat\lambda} \cdot \boldsymbol{\hat\varphi} = \boldsymbol{\hat\lambda} \cdot \mathbf{r} = \boldsymbol{\hat\varphi} \cdot \mathbf{r} = 0 \, </math>
-{{math|'''λ̂'''}} अपरिवर्ती के लिए {{mvar|φ}} अक्षांश के समानांतर का पता लगाता है, जबकि {{math|'''φ̂'''}} अपरिवर्ती के लिए {{mvar|λ}} देशांतर के एक भूमध्य रेखा का पता लगाता है, और साथ में वे वृत्त के लिए एक तल स्पर्शरेखा उत्पन्न करते हैं।
+नियतांक {{mvar|φ}} के लिए {{math|'''λ̂'''}} अक्षांश के समानांतर का पता लगाता है, जबकि नियतांक {{mvar|λ}} के लिए {{math|'''φ̂'''}}  देशांतर के एक भूमध्य रेखा का पता लगाता है और साथ में वे वृत्त के लिए एक तल स्पर्शरेखा उत्पन्न करते हैं।
 इकाई सदिश
 :<math>\mathbf{\boldsymbol{\hat\beta}}(\lambda,\varphi) = (\sin{\beta}) \boldsymbol{\hat\lambda} + (\cos{\beta}) \boldsymbol{\hat\varphi}</math>
-एक स्थिर कोण है {{mvar|β}} इकाई सदिश के साथ {{math|'''φ̂'''}} किसी के लिए {{mvar|λ}} और {{mvar|φ}}, क्योंकि उनका अदिश गुणनफल है
+किसी भी {{mvar|λ}} और {{mvar|φ}} के लिए इकाई सदिश {{math|'''φ̂'''}}  के साथ एक स्थिर कोण {{mvar|β}} है, क्योंकि उनका अदिश गुणनफल है।
 :<math>\boldsymbol{\hat\beta} \cdot \boldsymbol{\hat\varphi} = \cos{\beta} \, .</math>
-एक एकदिश नौपथ को वृत्त पर एक वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें एक स्थिर कोण होता है {{mvar|β}} देशांतर के सभी याम्योत्तरों के साथ, और इसलिए इकाई सदिश के समानांतर होना चाहिए {{math|'''β̂'''}}. नतीजतन, एक अंतर लंबाई {{mvar|ds}} एकदिश नौपथ के साथ एक अंतर विस्थापन उत्पन्न करेगा
+एक एकदिश नौपथ को वृत्त पर एक वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें देशांतर के सभी याम्योत्तरों के साथ एक स्थिर कोण {{mvar|β}} होता है और इसलिए इकाई सदिश {{math|'''β̂'''}} के समानांतर होना चाहिए। फलस्वरूप, एकदिश नौपथ के साथ एक अंतर लंबाई {{mvar|ds}}  एक अंतर विस्थापन उत्पन्न करेगा।
 :<math>\begin{align}
@@ Line 62: / Line 62: @@
 \varphi(\lambda\,|\,\beta,\lambda_0,\varphi_0) &= \operatorname{gd} \big((\lambda - \lambda_0) \cot\beta + \operatorname{gd}^{-1}\varphi_0\big)
 \end{align}</math>
-जहाँ <math>\operatorname{gd}</math> और <math>\operatorname{gd}^{-1}</math> [[गुडरमैनियन समारोह|गुडेरमैनियन फलन]] और इसके व्युत्क्रम हैं, <math>\operatorname{gd}\psi = \arctan(\sinh\psi),</math> <math>\operatorname{gd}^{-1}\varphi = \operatorname{arsinh}(\tan\varphi),</math> और <math>\operatorname{arsinh}</math> [[उलटा अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य|व्युत्क्रम अतिपरवलीय द्विज्या]] है।
+जहाँ <math>\operatorname{gd}</math> और <math>\operatorname{gd}^{-1}</math> [[गुडरमैनियन समारोह|गुडेरमैनियन फलन]] और इसके व्युत्क्रम, <math>\operatorname{gd}\psi = \arctan(\sinh\psi),</math> <math>\operatorname{gd}^{-1}\varphi = \operatorname{arsinh}(\tan\varphi)</math> हैं और <math>\operatorname{arsinh}</math> [[उलटा अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य|व्युत्क्रम अतिपरवलीय द्विज्या]] है।
-इस मध्य के संबंध के साथ {{mvar|λ}} और {{mvar|φ}}, त्रिज्या सदिश एक चर का प्राचलिक फलन बन जाता है, जो वृत्त पर एकदिश नौपथ का पता लगाता है:
+{{mvar|λ}} और {{mvar|φ}} के मध्य इस संबंध के साथ, त्रिज्या सदिश एक चर का प्राचलिक फलन बन जाता है, जो वृत्त पर एकदिश नौपथ का पता लगाता है:
 :<math>\mathbf{r}(\lambda\,|\,\beta,\lambda_0,\varphi_0) = \big(\cos{\lambda} \cdot \operatorname{sech} \psi \big) \mathbf{i} +
@@ Line 71: / Line 71: @@
 :<math>\psi \equiv (\lambda - \lambda_0) \cot\beta + \operatorname{gd}^{-1}\varphi_0 = \operatorname{gd}^{-1}\varphi</math>
-अक्षांश#सममितीय अक्षांश है।<ref>James Alexander, Loxodromes: A Rhumb Way to Go, "Mathematics Magazine", Vol. 77. No. 5, Dec. 2004. [http://hans.fugal.net/src/lindbergh/mathmag349-356.pdf]</ref>
+सममितीय अक्षांश है।<ref>James Alexander, Loxodromes: A Rhumb Way to Go, "Mathematics Magazine", Vol. 77. No. 5, Dec. 2004. [http://hans.fugal.net/src/lindbergh/mathmag349-356.pdf]</ref>
-रूम्ब रेखा में, जैसे-जैसे अक्षांश ध्रुवों की ओर जाता है, {{math|''φ'' → ±{{sfrac|π|2}}}}, {{math|sin ''φ'' → ±1}}, सममितीय अक्षांश {{math|arsinh(tan ''φ'') → ± ∞}}, और देशांतर {{mvar|λ}} बिना किसी सीमा के बढ़ता है, ध्रुव की ओर एक सर्पिल में इतनी तीव्रता से वृत्त का चक्कर लगाता है, जबकि एक परिमित कुल चाप लंबाई Δ की ओर जाता है{{math|s}} द्वारा दिए गए
+रूम्ब रेखा में, जैसे-जैसे अक्षांश ध्रुवों, {{math|''φ'' → ±{{sfrac|π|2}}}}, {{math|sin ''φ'' → ±1}} की ओर जाता है, सममितीय अक्षांश {{math|arsinh(tan ''φ'') → ± ∞}} और देशांतर {{mvar|λ}} बिना किसी सीमा के बढ़ता है, ध्रुव की ओर एक सर्पिल में इतनी तीव्रता से वृत्त का चक्कर लगाता है, जबकि एक परिमित कुल चाप लंबाई Δs द्वारा दिया जाता है।
 :<math>\Delta s = R \, \big|(\pm\pi/2 - \varphi_0) \cdot \sec \beta\big|</math>
 == मर्केटर प्रक्षेप से सम्बन्ध ==
-[[File:Rhumb line vs great-circle arc.png|thumb|upright=1.3|लिस्बन, पुर्तगाल और हवाना, क्यूबा के मध्य एक ग्रेट-सर्कल आर्क (लाल) की तुलना में एक रम्ब रेखा (नीला)। शीर्ष: लिखने का प्रक्षेपण। नीचे: मर्केटर प्रक्षेप।]]होने देना {{mvar|λ}} वृत्त पर एक बिंदु का देशांतर हो, और {{mvar|φ}} इसका अक्षांश। फिर, यदि हम मर्केटर प्रक्षेप के प्रतिचित्र निर्देशांक को परिभाषित करते हैं
+[[File:Rhumb line vs great-circle arc.png|thumb|upright=1.3|लिस्बन, पुर्तगाल और हवाना, क्यूबा के मध्य एक ग्रेट-सर्कल आर्क (लाल) की तुलना में एक रम्ब रेखा (नीला)। शीर्ष: लिखने का प्रक्षेपण। नीचे: मर्केटर प्रक्षेप।]]मान लीजिए {{mvar|λ}} वृत्त पर एक बिंदु का देशांतर है और {{mvar|φ}} इसका अक्षांश है। फिर, यदि हम मर्केटर प्रक्षेप के मानचित्र निर्देशांक को परिभाषित करते हैं
 :<math>\begin{align}
 x &= \lambda - \lambda_0 \, , \\

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परिचय

व्युत्पत्ति और ऐतिहासिक विवरण

गणितीय विवरण

मर्केटर प्रक्षेप से सम्बन्ध

अनुप्रयोग

सामान्यीकरण

रीमैन क्षेत्र पर

गोलाकार

यह भी देखें

संदर्भ

अग्रिम पठन

बाहरी संबंध

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