रम्ब रेखा

एकदिश नौपथ, या रम्ब रेखाओं की छवि, जो उत्तरी ध्रुव की ओर बढ़ती है।

मार्गनिर्देशन में, एक रम्ब रेखा, रम्ब (/rʌm/), या एकदिश नौपथ एक चाप है जो एक ही कोण पर देशांतर के सभी भूमध्य रेखाओं को पार करता है, जोकि वास्तविक उत्तर दिशा के सापेक्ष मापा गया स्थिर दिक्कोण वाला पथ है।

परिचय

भूमंडल की सतहों पर रम्ब रेखा पाठ्यक्रम का पालन करने के प्रभाव पर पहली बार 1537 में पुर्तगाली गणितज्ञ पेड्रो नून्स ने 1590 के दशक में थॉमस हैरियट द्वारा आगे के गणितीय विकास के साथ समुद्रीय रेखाचित्र की रक्षा में अपने ग्रंथ में चर्चा की थी।

रम्ब रेखाओं की तुलना एक बड़े वृत्त से की जा सकती है, जो वृत्त की सतह पर दो बिंदुओं के मध्य की सबसे छोटी दूरी का पथ है। एक बड़े वृत्त पर, गंतव्य बिंदु का दिक्कोण स्थिर नहीं रहता है। यदि किसी को बृहत् वृत के साथ एक मोटर गाड़ी चलानी होती है तो वह चालन चक्र को स्थिर रखता है, परन्तु रम्ब रेखाओं का पालन करने के लिए पहिये को घुमाना पड़ता है, जैसे-जैसे स्तंभ पास आते हैं, इसे और अधिक तीव्रता से घुमाते हैं। दूसरे शब्दों में, एक बड़ा वृत्त शून्य अल्पांतरी वक्रता के साथ स्थानीय रूप से "सीधा" होता है, जबकि रम्ब रेखाओं में गैर-शून्य अल्पांतरी वक्रता होती है।

देशांतर के याम्योत्तर और अक्षांश के समानांतर रम्ब रेखाओं की विशेष स्थितियां प्रदान करते हैं, जहां उनके प्रतिच्छेदन के कोण क्रमशः 0° और 90° होते हैं। उत्तर-दक्षिण पथ पर रम्ब रेखा पाठ्यक्रम बृहत् वृत्तों के अनुरूप है, जैसे कि यह भूमध्य रेखाओं के साथ पूर्व-पश्चिम पथ पर होता है।

मर्केटर प्रक्षेपण मानचित्र पर, कोई भी रम्ब रेखा एक सीधी रेखा है; इस प्रकार के मानचित्रों पर पृथ्वी पर किन्हीं दो बिंदुओं के मध्य बिना मानचित्र के किनारे से हटे रम्ब रेखा खींची जा सकती है। परन्तु सैद्धांतिक रूप से एकदिश नौपथ मानचित्र के दाहिने किनारे से आगे बढ़ सकता है, जहां यह फिर उसी प्रवणता के साथ बाएं किनारे पर जारी रहता है (यह मानते हुए कि प्रतिचित्र बिल्कुल 360 डिग्री देशांतर को आच्छादित करता है)।

रम्ब रेखाएं जो भूमध्य रेखाओं को तिर्यक् कोणों पर काटती हैं, वे एकदिश नौपथ वक्र हैं जो ध्रुवों की ओर कुंडलित होती हैं। मर्केटर प्रक्षेपण पर उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव अनंत पर होते हैं और इसलिए इन्हें कभी दर्शाया नहीं जाता है। हालांकि असीमित उच्च मानचित्रों पर पूर्ण एकदिश नौपथ में दो किनारों के मध्य अनंततः कई रेखा खंड सम्मिलित होंगे। त्रिविम प्रक्षेपण मानचित्र पर, एकदिश नौपथ समकोणीय कुंडली है जिसका केंद्र उत्तर या दक्षिण ध्रुव है।

सभी एकदिश नौपथ एक ध्रुव से दूसरे ध्रुव की ओर कुंडलित होते हैं। ध्रुवों के पास, वे लागेरिथ्मीय कुंडली होने के निकट हैं (जो कि वे त्रिविम प्रक्षेपण पर हैं, नीचे देखें) इसलिए वे प्रत्येक ध्रुव के चारों ओर अनंत बार चक्कर लगाते हैं परन्तु एक सीमित दूरी में ध्रुव तक पहुंचते हैं। एकदिश नौपथ की ध्रुव-से-ध्रुव लंबाई (एक आदर्श क्षेत्र मानते हुए) वास्तविक उत्तर दिशा से दूर दिक्कोण के कोज्या द्वारा विभाजित भूमध्य रेखाओं की लंबाई है। एकदिश नौपथो को ध्रुवों पर परिभाषित नहीं किया गया है।

व्युत्पत्ति और ऐतिहासिक विवरण

एकदिश नौपथ शब्द प्राचीन यूनानी भाषा λοξός loxos से आया है: तिर्यक् + δρόμος drómos: संचालन (δραμεῖν drameîn से: चलाने के लिए) है। रम्ब शब्द स्पेनी भाषा या पुर्तगाली भाषा रम्बो/रंमो (पाठ्यक्रम या दिशा) और यूनानी ῥόμβος rhómbos से आया हो सकता है।

सार्वभौमिक सूचना के भूमंडलीय विश्वज्ञानकोष के 1878 संस्करण में एकदिश नौपथ रेखाओं का वर्णन इस प्रकार है:

एकदिश नौपथ रेखा एक वक्र है जो किसी दिए गए सतह की वक्रता की रेखाओं की प्रणाली के प्रत्येक भागो को एक ही कोण पर काटती है। दिक्सूचक के एक ही बिंदु की ओर जाने वाला पोत एक ऐसी रेखा का वर्णन करता है जो सभी याम्योत्तरों को एक ही कोण पर काटती है। मर्केटर के प्रक्षेपण (q.v.) में एकदिश नौपथ रेखाएँ स्पष्ट रूप से सीधी होती हैं।

एक असम्मति उत्पन्न हो सकती है क्योंकि शब्द "रम्ब" का प्रयोग में आने पर इसका कोई सटीक अर्थ नहीं था। यह पवन आरेख रेखाओं के लिए समान रूप से अच्छी तरह से अनुप्रयुक्त होता है क्योंकि यह एकदिश नौपथो के लिए किया जाता है क्योंकि यह शब्द केवल स्थानीय रूप से अनुप्रयुक्त होता है और इसका अर्थ है कि एक नौकाचालक ने स्थिर दिक्कोण के साथ नौकायन करने के लिए जो कुछ भी किया है, जोकि सभी अशुद्धियों के साथ होता है। इसलिए, रम्ब पत्तन दर्शिकाओं पर सीधी रेखाओं पर अनुप्रयुक्त होता था, जब पत्तन दर्शिका उपयोग में होते थे, साथ ही सदैव मर्केटर रेखाचित्र पर सीधी रेखाओं पर भी अनुप्रयुक्त होते थे। छोटी दूरी के लिए पत्तन दर्शिका "रम्ब" अर्थपूर्ण रूप से मर्केटर रम्ब से भिन्न नहीं होते हैं, लेकिन इन दिनों "रम्ब" गणितीय रूप से सटीक "एकदिश नौपथ" का पर्याय बन गया है क्योंकि इसे पूर्वव्यापी रूप से समानार्थी बना दिया गया है।

जैसा कि लियो बग्रो कहते हैं: शब्द "रम्ब रेखा" इस अवधि के समुद्रीय-रेखाचित्रों पर अनुचित तरीके से अनुप्रयुक्त किया गया है क्योंकि एकदिश नौपथ केवल एक सटीक पाठ्यक्रम देता है, जब रेखाचित्र एक उपयुक्त प्रक्षेपण पर खींचा जाता है। मानचित्रमितीय जांच से पता चला है कि प्रारम्भिक रेखाचित्रों में किसी प्रक्षेपण का उपयोग नहीं किया गया था, इसलिए हम "पत्तन दर्शिका" नाम रखते हैं।

गणितीय विवरण

त्रिज्या 1 के वृत्तों के लिए, दिगंशीय कोण λ, ध्रुवीय कोण −π/2 ≤ φ ≤ π/2 (अक्षांश के अनुरूप यहां परिभाषित) और कार्तीय इकाई सदिश i, j, और k का उपयोग त्रिज्या सदिश r को लिखने के लिए किया जा सकता है।

$\mathbf {r} (\lambda ,\varphi )=(\cos {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {i} +(\sin {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {j} +(\sin {\varphi })\mathbf {k} \,$

वृत्तों के दिगंशीय और ध्रुवीय दिशाओं में लंबकोणीय इकाई सदिश लिखे जा सकते हैं;

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}(\lambda ,\varphi )&=\sec {\varphi }{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,\end{aligned}}$

जिनके पास अदिश गुणनफल है

${\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}={\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot \mathbf {r} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\cdot \mathbf {r} =0\,$

नियतांक φ के लिए λ̂ अक्षांश के समानांतर का पता लगाता है, जबकि नियतांक λ के लिए φ̂ देशांतर के भूमध्य रेखाओं का पता लगाता है और साथ में वे वृत्तों के लिए समतल स्पर्शरेखा उत्पन्न करते हैं।

इकाई सदिश

$\mathbf {\boldsymbol {\hat {\beta }}} (\lambda ,\varphi )=(\sin {\beta }){\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta }){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

किसी भी λ और φ के लिए इकाई सदिश φ̂ के साथ एक स्थिर कोण β है, क्योंकि उनका अदिश गुणनफल है।

${\boldsymbol {\hat {\beta }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=\cos {\beta }\,$

एकदिश नौपथो को वृत्तों पर एक वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें देशांतर के सभी याम्योत्तरों के साथ एक स्थिर कोण β होता है और इसलिए इकाई सदिश β̂ के समानांतर होना चाहिए। फलस्वरूप, एकदिश नौपथो के साथ अंतर लंबाई ds एक अंतर विस्थापन का उत्पादन करेगा।

$\operatorname {gd}$