इंटरेक्शन तस्वीर

क्वांटम यांत्रिकी में, इंटरेक्शन आरेख (जिसे पॉल डिराक के बाद इंटरेक्शन रिप्रजेंटेशन या डायराक पिक्चर के नाम से भी जाना जाता है) श्रोडिंगर पिक्चर और हाइजेनबर्ग पिक्चर के बीच एक मध्यवर्ती प्रतिनिधित्व है। जबकि अन्य दो चित्रों में, या तो राज्य सदिश या संचालक समय पर निर्भरता रखते हैं, अंतःक्रिया चित्र में दोनों अवलोकनीय समय की निर्भरता का हिस्सा होते हैं। परस्पर क्रिया के कारण तरंग कार्यों और अवलोकनों में भिन्नता से निपटने के लिए अंतःक्रिया चित्र उपयोगी है। अधिकांश क्षेत्र-सैद्धांतिक गणनाएं अंतःक्रिया प्रतिनिधित्व का उपयोग करती हैं क्योंकि वे कई-निकाय श्रोडिंगर समीकरण के समाधान को मुक्त-कण समस्या के समाधान के साथ-साथ कुछ अज्ञात अंतःक्रिया भागों के रूप में निर्मित करते हैं।

समीकरण जिनमें अलग-अलग समय पर अभिनय करने वाले ऑपरेटर सम्मिलित होते हैं, जो अंतःक्रिया चित्र में पकड़ रखते हैं, जरूरी नहीं कि श्रोडिंगर या हाइजेनबर्ग चित्र में हों। ऐसा इसलिए है क्योंकि समय-निर्भर एकात्मक परिवर्तन एक चित्र में ऑपरेटर को अन्य में समान ऑपरेटर से संबंधित करता है।

इंटरेक्शन आरेख हैमिल्टनियन और एकात्मक परिवर्तन का एक विशेष मामला है जो राज्य वैक्टर पर लागू होता है।

परिभाषा

इंटरैक्शन आरेख में ऑपरेटर्स और स्टेट वैक्टर समान ऑपरेटरों के आधार (एकात्मक परिवर्तन) के ट्रांसफॉर्मेशन और श्रोडिंगर पिक्चर में स्टेट वैक्टर से संबंधित हैं।

अंतःक्रिया चित्र पर स्विच करने के लिए, हम श्रोडिंगर चित्र हेमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) को दो भागों में विभाजित करते हैं:

$H_{\text{S}}=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}.$

भागों के किसी भी संभावित विकल्प से एक मान्य अंतःक्रिया चित्र प्राप्त होगा; लेकिन एक समस्या के विश्लेषण को सरल बनाने में उपयोगी होने के लिए बातचीत की तस्वीर के लिए, भागों को सामान्यतः चुना जाएगा ताकि H_0,S अच्छी तरह से समझा जा सके और बिल्कुल हल करने योग्य हो, जबकि H_1,S में इस प्रणाली के लिए कुछ कठिन-से-विश्लेषण क्षोभ सम्मिलित हैं।

यदि हैमिल्टनियन के पास स्पष्ट समय निर्भरता है (उदाहरण के लिए, यदि क्वांटम सिस्टम एक लागू बाहरी विद्युत क्षेत्र के साथ इंटरैक्ट करता है जो समय में बदलता रहता है) H_1,S के साथ स्पष्ट रूप से समय-निर्भर शर्तों को सम्मिलित करना सामान्यतः फायदेमंद होगा H_0,S समय-स्वतंत्र को छोड़कर। हम यह मानकर आगे बढ़ते हैं कि ऐसा ही है। यदि कोई ऐसा संदर्भ है जिसमें H_0,S को समय-निर्भर होना समझ में आता है, तो नीचे दी गई परिभाषाओं में संबंधित समय-विकास संकारक द्वारा $\mathrm {e} ^{\pm \mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }$ को प्रतिस्थापित करके आगे बढ़ सकते हैं।

स्टेट वेक्टर

मान लेते हैं $|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{\text{S}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle$श्रोडिंगर तस्वीर में समय-निर्भर राज्य वेक्टर हो। इंटरेक्शन पिक्चर में एक स्टेट वेक्टर, $|\psi _{\text{I}}(t)\rangle$ एक अतिरिक्त समय-निर्भर एकात्मक परिवर्तन के साथ परिभाषित किया गया है।

$|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ={\text{e}}^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{\text{S}}(t)\rangle .$

ऑपरेटर

इंटरेक्शन पिक्चर में एक ऑपरेटर को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$A_{\text{I}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }A_{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.$

ध्यान दें कि A_S(t) सामान्यतः t पर निर्भर नहीं होगा और इसे केवल A_S के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। यह केवल t पर निर्भर करता है यदि ऑपरेटर के पास "स्पष्ट समय पर निर्भरता" है, उदाहरण के लिए, लागू बाह्य समय-भिन्न विद्युत क्षेत्र पर निर्भरता के कारण। स्पष्ट समय निर्भरता का एक अन्य उदाहरण तब हो सकता है जब A_S(t) एक घनत्व मैट्रिक्स हो (नीचे देखें)।

हैमिल्टन ऑपरेटर

ऑपरेटर $H_{0}$ के लिए ही, अंतःक्रिया चित्र और श्रोडिंगर चित्र मेल खाते हैं:

$H_{0,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}}.$

यह आसानी से इस तथ्य के माध्यम से देखा जाता है कि ऑपरेटर स्वयं के विभिन्न कार्यों के साथ आवागमन करते हैं। इस विशेष ऑपरेटर को तब अस्पष्टता के बिना $H_{0}$ कहा जा सकता है।

व्यतिक्रम हैमिल्टनियन के लिए $H_{1,{\text{I}}}$, हालाँकि,

$H_{1,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar },$

जहां इंटरेक्शन-पिक्चर व्यतिक्रम हैमिल्टन एक समय-निर्भर हैमिल्टन बन जाता है जब तक कि [H_1,S, H_0,S] = 0

समय-निर्भर हैमिल्टनियन H_0,S(t) के साथ-साथ इंटरेक्शन चित्र प्राप्त करना संभव है, लेकिन घातीयों को H_0,S(t) द्वारा उत्पन्न विकास के लिए एकात्मक प्रचारक द्वारा प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है, या अधिक स्पष्ट रूप से एक समय-आदेशित घातीय समाकलन के साथ।

घनत्व आव्यूह

घनत्व आव्यूह को किसी अन्य ऑपरेटर की तरह ही इंटरेक्शन चित्र में बदलने के लिए दिखाया जा सकता है। विशेष रूप से, ρ_I और ρ_S को क्रमशः अंतःक्रिया चित्र और श्रोडिंगर चित्र में घनत्व आव्यूह होने दें। यदि p_n के भौतिक अवस्था |ψn⟩ में होने की संभावना है, तो

${\begin{aligned}\rho _{\text{I}}(t)&=\sum _{n}p_{n}(t)\left|\psi _{n,{\text{I}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{I}}}(t)\right|\\&=\sum _{n}p_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\left|\psi _{n,{\text{S}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{S}}}(t)\right|\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\rho _{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.\end{aligned}}$

समय-विकास

अवस्थाओं का समय-विकास

श्रोडिंगर समीकरण को अंतःक्रियात्मक चित्र में बदलना देता है

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =H_{1,{\text{I}}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ,$

जो बताता है कि अंतःक्रियात्मक चित्र में, हैमिल्टन के अंतःक्रियात्मक भाग द्वारा एक क्वांटम अवस्था विकसित होती है, जैसा कि अंतःक्रियात्मक चित्र में व्यक्त किया गया है। फेटर और वालेका में एक प्रमाण दिया गया है।

ऑपरेटरों का समय-विकास

यदि संचालिका A_S समय-स्वतंत्र है (यानी, स्पष्ट समय पर निर्भरता नहीं है; ऊपर देखें), तो A_I(t) के लिए इसी समय का विकास द्वारा दिया गया है

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}].$

इंटरेक्शन चित्र में, ऑपरेटर्स समय के साथ विकसित होते हैं जैसे हेइजेनबर्ग चित्र में हैमिल्टनियन H' = H₀ के साथ ऑपरेटर्स।

घनत्व आव्यूह का समय-विकास

इंटरैक्शन पिक्चर में डेंसिटी मैट्रिक्स का विकास है

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],$

अंतःक्रिया चित्र में श्रोडिंगर समीकरण के साथ संगति में।

अपेक्षित मूल्य

एक सामान्य ऑपरेटर $A$ के लिए, इंटरेक्शन पिक्चर में अपेक्षित मूल्य द्वारा दिया गया है

$\langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{I}}(t)|A_{\text{I}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}\,A_{\text{S}}\,e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle A_{\text{S}}(t)\rangle .$

अपेक्षित मूल्य के लिए घनत्व-मैट्रिक्स अभिव्यक्ति का उपयोग करके, हम प्राप्त करेंगे

$\langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} {\big (}\rho _{\text{I}}(t)\,A_{\text{I}}(t){\big )}.$

श्विंगर-टोमोनगा समीकरण

अंतःक्रियात्मक प्रतिनिधित्व शब्द का आविष्कार श्विंगर ने किया था। इस नए मिश्रित प्रतिनिधित्व में, राज्य वेक्टर अब सामान्य रूप से स्थिर नहीं है, लेकिन यदि फ़ील्ड के बीच कोई युग्मन नहीं है तो यह स्थिर है। प्रतिनिधित्व का परिवर्तन सीधे टॉमोनागा-श्विंगर समीकरण की ओर जाता है:

$ihc{\frac {\partial \Psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}={\hat {H}}(x)\Psi (\sigma )$

${\hat {H}}(x)=-{\frac {1}{c}}j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)$

जहां इस मामले में हैमिल्टनियन क्यूईडी इंटरैक्शन हैमिल्टनियन है, लेकिन यह एक सामान्य बातचीत भी हो सकती है, और $\sigma$ sigma एक स्पेस जैसी सतह है जो बिंदु $x$ से गुज़र रही है। व्युत्पन्न औपचारिक रूप से उस सतह पर एक भिन्नता का प्रतिनिधित्व करता है जिसे $x$ निश्चित किया गया है। इस समीकरण की एक सटीक गणितीय औपचारिक व्याख्या देना कठिन है।

श्विंगर द्वारा इस दृष्टिकोण को फेनमैन आरेखों के अभिन्न और कण दृष्टिकोण के विपरीत विभेदक और क्षेत्र दृष्टिकोण कहा जाता है।

मूल विचार यह है कि यदि अंतःक्रिया में एक छोटा युग्मन स्थिरांक है (अर्थात् ठीक संरचना स्थिरांक के क्रम के विद्युत चुंबकत्व के मामले में) उत्तरोत्तर पर्टुरबेटिव शब्द युग्मन स्थिरांक की शक्तियाँ होंगे और इसलिए छोटे होंगे।

प्रयोग

इंटरेक्शन तस्वीर का उद्देश्य ऑपरेटरों पर H₀ के कारण हर समय निर्भरता को अलग करना है, इस प्रकार उन्हें स्वतंत्र रूप से विकसित करने की अनुमति देता है, और केवल H_1,I को छोड़कर स्टेट वैक्टर के समय-विकास को नियंत्रित करता है।

एक छोटे से अंतःक्रियात्मक शब्द,H_1,S के प्रभाव पर विचार करते समय अंतःक्रिया चित्र सुविधाजनक होता है, जिसे एक हल प्रणाली, H_0,S के हैमिल्टनियन में जोड़ा जाता है। इंटरेक्शन चित्र का उपयोग करके, H_1,I,  के प्रभाव का पता लगाने के लिए समय-निर्भर गड़बड़ी सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है, जैसे, फर्मी के सुनहरे नियम की व्युत्पत्ति में, या डायसन श्रृंखला   क्वांटम फील्ड थ्योरी में: 1947 में, शिनिचिरो टोमोनागा और जूलियन श्विंगर ने सराहना की कि सहसंयोजक गड़बड़ी सिद्धांत को अंतःक्रियात्मक चित्र में सुरुचिपूर्ण ढंग से तैयार किया जा सकता है, क्योंकि फील्ड ऑपरेटर समय में मुक्त क्षेत्रों के रूप में विकसित हो सकते हैं, यहां तक ​​कि उपस्थिति में भी अंतःक्रियाओं का, अब इस तरह की डायसन श्रृंखला में विचलित रूप से व्यवहार किया जाता है।

सभी चित्रों में वृद्धि की सारांश तुलना

एक समय-स्वतंत्र हैमिल्टनियन H_S के लिए, जहाँ H_0,S स्वतंत्र हैमिल्टनियन है,

Evolution	Picture ()
of:	Schrödinger (S)	Heisenberg (H)	Interaction (I)
Ket state	$|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle$	constant	$|\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle$
Observable	constant	$A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	$A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$
Density matrix	$\rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	constant	$\rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$

अग्रिम पठन

• L.D. Landau; E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1.
• Townsend, John S. (2000). A Modern Approach to Quantum Mechanics (2nd ed.). Sausalito, California: University Science Books. ISBN 1-891389-13-0.

यह भी देखें

• ब्रा-केट संकेतन
• श्रोडिंगर समीकरण
• हाग की प्रमेय