युग्म स्पर्शरेखा बंडल

गणित में, विशेष रूप से अंतर टोपोलॉजी, डबल स्पर्शरेखा बंडल या दूसरा स्पर्शरेखा बंडल (TTM,π_TTM,TM) के कुल स्थान को संदर्भित करता है। स्पर्शरेखा बंडल TM का (TM,π_TM,M) एक अलग करने योग्य कई गुना एम . इस लेख में, हम प्रक्षेपण मानचित्रों को उनके डोमेन द्वारा निरूपित करते हैं, उदाहरण के लिए, π_TTM : टीटीएम → टीएम। इसके बजाय कुछ लेखक इन नक्शों को उनकी श्रेणियों के अनुसार अनुक्रमित करते हैं, इसलिए उनके लिए उस मानचित्र को π लिखा जाएगा_TM.

दूसरा स्पर्शरेखा बंडल कनेक्शन (वेक्टर बंडल) और दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरणों के अध्ययन में उत्पन्न होता है, यानी, स्प्रे (गणित) | (अर्ध) चिकनी मैनिफोल्ड्स पर स्प्रे संरचनाएं, और इसे जेट बंडल के साथ भ्रमित नहीं होना है।

माध्यमिक वेक्टर बंडल संरचना और विहित फ्लिप

तब से (TM,π_TM,M) अपने आप में एक वेक्टर बंडल है, इसके स्पर्शरेखा बंडल में द्वितीयक वेक्टर बंडल संरचना है (TTM,(π_TM)_*,TM), कहाँ (π_TM)_*:TTM→TM विहित प्रक्षेपण का पुश-फॉरवर्ड है π_TM:TM→M. निम्नलिखित में हम निरूपित करते हैं

$\xi =\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{x}\in T_{x}M,\qquad X=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{x}\in T_{x}M$

और संबंधित समन्वय प्रणाली लागू करें

$\xi \mapsto (x^{1},\ldots ,x^{n},\xi ^{1},\ldots ,\xi ^{n})$

टीएम पर। फिर X∈T पर द्वितीयक वेक्टर बंडल संरचना का फाइबर_xएम का रूप लेता है

$(\pi _{TM})_{*}^{-1}(X)={\Big \{}\ X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{\xi }+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{\xi }\ {\Big |}\ \xi \in T_{x}M\ ,\ Y^{1},\ldots ,Y^{n}\in \mathbb {R} \ {\Big \}}.$

डबल स्पर्शरेखा बंडल एक डबल वेक्टर बंडल है।

विहित फ्लिप एक सहज इनवोल्यूशन j:TTM→TTM है जो इन वेक्टर अंतरिक्ष संरचनाओं का आदान-प्रदान करता है इस अर्थ में कि यह एक सदिश बंडल समरूपता है (TTM,π_TTM,TM) और (TTM,(π_TM)_*,TM). टीएम पर संबद्ध निर्देशांकों में इसे इस रूप में पढ़ा जाता है

$j{\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{\xi }+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{\xi }{\Big )}=\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}_{X}+Y^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}{\Big |}_{X}.$

कैनोनिकल फ्लिप में संपत्ति है कि किसी भी f: 'R' के लिए² → एम,

${\frac {\partial f}{{\partial t}{\partial s}}}=j\circ {\frac {\partial f}{{\partial s}{\partial t}}}$ जहां एस और टी 'आर' के मानक आधार के निर्देशांक हैं ^{2</उप>। ध्यान दें कि दोनों आंशिक अवकलज R से फलन हैं2 टीटीएम के लिए।}

वास्तव में, इस संपत्ति का उपयोग कैनोनिकल फ्लिप की आंतरिक परिभाषा देने के लिए किया जा सकता है। दरअसल, एक डूबना है पी: जे^{2</उप>₀ (आर2,M) → TTM द्वारा दिया गया}

$p([f])={\frac {\partial f}{{\partial t}{\partial s}}}(0,0)$

जहां p को शून्य पर दो-जेट के स्थान में परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि केवल f पर निर्भर करता है ताकि शून्य पर दो का आदेश दिया जा सके। हम आवेदन पर विचार करते हैं:

$J:J_{0}^{2}(\mathbb {R} ^{2},M)\to J_{0}^{2}(\mathbb {R} ^{2},M)\quad /\quad J([f])=[f\circ \alpha ]$

जहां α (एस, टी) = (टी, एस)। तब J प्रक्षेपण p के साथ संगत है और भागफल TTM पर विहित फ्लिप को प्रेरित करता है।

== स्पर्शरेखा बंडल == पर कैननिकल टेंसर फ़ील्ड

किसी भी वेक्टर बंडल के लिए, स्पर्शरेखा रिक्त स्थान T_ξ(T_xM) तंतुओं का टी_xस्पर्शरेखा बंडल का एम (TM,π_TM,M) की पहचान फाइबर टी से की जा सकती है_xएम खुद। औपचारिक रूप से यह 'ऊर्ध्वाधर लिफ्ट' के माध्यम से प्राप्त किया जाता है, जो एक प्राकृतिक वेक्टर स्पेस आइसोमोर्फिज्म है vl_ξ:T_xM→V_ξ(T_xM) के रूप में परिभाषित

$(\operatorname {vl} _{\xi }X)[f]:={\frac {d}{dt}}{\Big |}_{t=0}f(x,\xi +tX),\qquad f\in C^{\infty }(TM).$

लंबवत लिफ्ट को प्राकृतिक वेक्टर बंडल आइसोमोर्फिज्म के रूप में भी देखा जा सकता है vl:(π_TM)^*TM→VTM के पुलबैक बंडल से (TM,π_TM,M) ऊपर π_TM:TM→M लंबवत स्पर्शरेखा बंडल पर

$VTM:=\operatorname {Ker} (\pi _{TM})_{*}\subset TTM.$

वर्टिकल लिफ़्ट हमें कैननिकल वेक्टर फ़ील्ड परिभाषित करने देता है

$V:TM\to TTM;\qquad V_{\xi }:=\operatorname {vl} _{\xi }\xi ,$

जो भट्ठा स्पर्शरेखा बंडल TM\0 में चिकना है। विहित सदिश क्षेत्र को लाई-समूह क्रिया के अतिसूक्ष्म जनित्र के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है

$\mathbb {R} \times (TM\setminus 0)\to TM\setminus 0;\qquad (t,\xi )\mapsto e^{t}\xi .$

कैनोनिकल वेक्टर फ़ील्ड के विपरीत, जिसे किसी भी वेक्टर बंडल के लिए परिभाषित किया जा सकता है, कैनोनिकल एंडोमोर्फिज्म

$J:TTM\to TTM;\qquad J_{\xi }X:=\operatorname {vl} _{\xi }(\pi _{TM})_{*}X,\qquad X\in T_{\xi }TM$

स्पर्शरेखा बंडल के लिए विशेष है। कैनोनिकल एंडोमोर्फिज्म जे संतुष्ट करता है

$\operatorname {Ran} (J)=\operatorname {Ker} (J)=VTM,\qquad {\mathcal {L}}_{V}J=-J,\qquad J[X,Y]=J[JX,Y]+J[X,JY],$

और इसे निम्नलिखित कारणों से स्पर्शरेखा संरचना के रूप में भी जाना जाता है। यदि (E,p,M) कोई वेक्टर बंडल है विहित सदिश क्षेत्र V और एक (1,1)-टेंसर क्षेत्र J के साथ जो ऊपर सूचीबद्ध गुणों को संतुष्ट करता है, VTM के स्थान पर VE के साथ, फिर सदिश बंडल (E,p,M) स्पर्शरेखा बंडल के लिए आइसोमॉर्फिक है (TM,π_TM,M) बेस मैनिफोल्ड का, और J इस समरूपता में TM की स्पर्शरेखा संरचना से मेल खाता है।

इस तरह का एक मजबूत परिणाम भी होता है जो बताता है कि यदि N एक 2n-आयामी कई गुना है और यदि N पर एक (1,1) -टेंसर फ़ील्ड J मौजूद है जो संतुष्ट करता है

$\operatorname {Ran} (J)=\operatorname {Ker} (J),\qquad J[X,Y]=J[JX,Y]+J[X,JY],$

तो एन कुछ एन-आयामी कई गुना एम के टेंगेंट बंडल के कुल स्थान के खुले सेट के लिए अलग-अलग है, और जे इस भिन्नता में टीएम की स्पर्शरेखा संरचना से मेल खाता है।

टीएम पर किसी भी संबद्ध समन्वय प्रणाली में विहित वेक्टर क्षेत्र और विहित एंडोमोर्फिज्म में समन्वय प्रतिनिधित्व होता है

$V=\xi ^{k}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}},\qquad J=dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}.$

(अर्ध) स्प्रे संरचनाएं

स्मूथ मैनिफोल्ड एम पर एक स्प्रे (गणित) परिभाषा के अनुसार टीएम \0 पर एक स्मूथ वेक्टर फील्ड एच है जैसे कि जेएच = वी। एक समतुल्य परिभाषा यह है कि j(H)=H, जहाँ j:TTM→TTM विहित फ्लिप है। एक सेमीस्प्रे एच एक स्प्रे (गणित) है, अगर इसके अलावा, [वी, एच] = एच।

स्प्रे और सेमीस्प्रे संरचनाएं एम पर दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरणों के अपरिवर्तनीय संस्करण हैं। स्प्रे और सेमीस्प्रे संरचनाओं के बीच का अंतर यह है कि स्प्रे के समाधान वक्र सकारात्मक पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) में अपरिवर्तनीय हैं।Template:Jargon-inline एम पर बिंदु सेट के रूप में, जबकि सेमीस्प्रे के समाधान वक्र आमतौर पर नहीं होते हैं।

नॉनलाइनियर कोवरिएंट डेरिवेटिव्स ऑन स्मूथ मैनिफोल्ड्स

कैनोनिकल फ्लिप निम्नानुसार गैर-रैखिक सहसंयोजक डेरिवेटिव को चिकनी कई गुना पर परिभाषित करना संभव बनाता है। होने देना

$T(TM\setminus 0)=H(TM\setminus 0)\oplus V(TM\setminus 0)$

स्लिट टेंगेंट बंडल टीएम \ 0 पर एह्रेसमैन कनेक्शन बनें और मैपिंग पर विचार करें

$D:(TM\setminus 0)\times \Gamma (TM)\to TM;\quad D_{X}Y:=(\kappa \circ j)(Y_{*}X),$

कहां क्यों_*:TM→TTM पुश-फॉरवर्ड है, j:TTM→TTM कैनोनिकल फ्लिप है और κ:T(TM/0)→TM/0 कनेक्टर मैप है। मैपिंग डी_X इस अर्थ में एम पर चिकनी वेक्टर क्षेत्रों के मॉड्यूल Γ (टीएम) में एक व्युत्पत्ति है

• $D_{X}(\alpha Y+\beta Z)=\alpha D_{X}Y+\beta D_{X}Z,\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$.
• $D_{X}(fY)=X[f]Y+fD_{X}Y,\qquad \qquad \qquad f\in C^{\infty }(M)$.

कोई मैपिंग डी_X इन गुणों के साथ एक (गैर-रैखिक) सहसंयोजक व्युत्पन्न कहा जाता है एम पर नॉनलाइनियर शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि इस प्रकार का सहसंयोजक व्युत्पन्न डी_X पर अंतर की दिशा X∈TM/0 के संबंध में आवश्यक रूप से रैखिक नहीं है।

स्थानीय अभ्यावेदन को देखते हुए कोई भी पुष्टि कर सकता है कि एह्रेस्मान कनेक्शन (टीएम/0, π_TM/0,M) और M पर अरेखीय सहसंयोजक डेरिवेटिव एक-से-एक पत्राचार में हैं। इसके अलावा, यदि डी_X एक्स में रैखिक है, तो माध्यमिक वेक्टर बंडल संरचना में एह्रेसमैन कनेक्शन रैखिक है, और डी_X इसके रैखिक सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ मेल खाता है।

यह भी देखें

• स्प्रे (गणित)
• माध्यमिक वेक्टर बंडल संरचना
• फिन्सलर कई गुना