स्पेसटाइम टोपोलॉजी: Difference between revisions

Revision as of 17:12, 22 April 2023

स्पेसटाइम टोपोलॉजी, स्पेसटाइम की टोपोलॉजिकल संरचना है, जिसका मुख्य रूप से सामान्य सापेक्षता में अध्ययन किया जाता है। यह भौतिक सिद्धांत गुरुत्वाकर्षण को चार आयामी लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड (स्पेसटाइम) की वक्रता के रूप में मॉडल करता है और इस प्रकार टोपोलॉजी की अवधारणाएं स्थानीय और साथ ही स्पेसटाइम के वैश्विक पहलुओं का विश्लेषण करने में महत्वपूर्ण हो जाती हैं। स्पेसटाइम टोपोलॉजी का अध्ययन भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।

टोपोलॉजी के प्रकार

स्पेसटाइम M के लिए दो मुख्य प्रकार की टोपोलॉजी हैं।

मैनिफोल्ड टोपोलॉजी

किसी भी मैनिफोल्ड के साथ होता है, स्पेसटाइम में प्राकृतिक मैनिफोल्ड टोपोलॉजी होती है। यहां खुले सेट खुले सेटों की छवि हैं $\mathbb {R} ^{4}$ .

पथ या जीमण टोपोलॉजी

परिभाषा:^[1] टोपोलॉजी $\rho$ जिसमें उपसमुच्चय है $E\subset M$ खुला है (टोपोलॉजी) अगर हर समय समान वक्र के लिए $c$ सेट है $O$ कई गुना टोपोलॉजी में ऐसा है $E\cap c=O\cap c$ .

यह टोपोलॉजी की तुलना है जो समान टोपोलॉजी को प्रेरित करती है $M$ टाइमलाइक कर्व्स पर करता है।^[2]

गुण

मैनिफोल्ड टोपोलॉजी की तुलना में कड़ाई से आधार (टोपोलॉजी) इसलिए यह हॉसडॉर्फ स्पेस, वियोज्य (टोपोलॉजी) है, लेकिन स्थानीय रूप स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान नहीं है।

टोपोलॉजी के लिए बेस (टोपोलॉजी) फॉर्म का सेट है $Y^{+}(p,U)\cup Y^{-}(p,U)\cup p$ कुछ बिंदु के लिए $p\in M$ और कुछ उत्तल सामान्य पड़ोस $U\subset M$ .

( $Y^{\pm }$ कारण संरचना#कारण संरचना को निरूपित करें)।

अलेक्जेंडर टोपोलॉजी

स्पेसटाइम पर अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी, टोपोलॉजी की तुलना है जैसे कि दोनों $Y^{+}(E)$ और $Y^{-}(E)$ सभी उपसमूहों के लिए खुले हैं $E\subset M$ .

यहाँ टोपोलॉजी के लिए ओपन सेट्स का बेस (टोपोलॉजी) फॉर्म के सेट्स हैं $Y^{+}(x)\cap Y^{-}(y)$ कुछ बिंदुओं के लिए $\,x,y\in M$ .

यह टोपोलॉजी मैनिफोल्ड टोपोलॉजी के साथ मेल खाता है अगर और केवल अगर मैनिफोल्ड करणीय स्थिति है # मजबूत रूप से कारण है लेकिन यह सामान्य रूप से मोटे है।^[3] ध्यान दें कि गणित में, आंशिक क्रम पर अलेक्जेंडर टोपोलॉजी को आमतौर पर सबसे मोटे टोपोलॉजी के रूप में लिया जाता है जिसमें केवल ऊपरी सेट होते हैं $Y^{+}(E)$ खुला होना आवश्यक है। यह टोपोलॉजी पावेल अलेक्जेंड्रोव पर वापस जाती है।

आजकल, स्पेसटाइम पर एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी के लिए सही गणितीय शब्द अंतराल टोपोलॉजी होगा, लेकिन जब क्रोनहाइमर और पेनरोज़ ने इस शब्द को पेश किया तो नामकरण में यह अंतर उतना स्पष्ट नहीं था^{[citation needed]}, और भौतिकी में एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी शब्द प्रयोग में रहता है।

प्लानर स्पेसटाइम

प्रकाश से जुड़ी घटनाओं में शून्य अलगाव होता है। प्लेन में स्पेसटाइम का प्लेनम चार चतुर्थांशों में विभाजित है, जिनमें से प्रत्येक में R की टोपोलॉजी है^{2</उप>। विभाजन रेखाएँ (0,0) पर इनबाउंड और आउटबाउंड फोटॉनों के प्रक्षेपवक्र हैं। तलीय-ब्रह्मांड विज्ञान सांस्थितिक विभाजन भविष्य का F है, भूतकाल का P है, अंतरिक्ष बाएँ L, और स्थान दाएँ D है। R के साथ F का होमियोमॉर्फिज़्म² ध्रुवीय अपघटन की मात्रा#विभाजित-जटिल संख्याओं के वैकल्पिक समतलीय अपघटन:}

z=e^{a}(\cosh b+j\sinh b)\to (a,b)=\exp(a+jb).

ताकि

z\to (a,b)

विभाजन-जटिल लघुगणक और आवश्यक होमियोमोर्फिज्म F → R है², ध्यान दें कि b, F में सापेक्ष गति के लिए तेज़ी पैरामीटर है।

F मैपिंग z → –z, z → jz, और z → – j z के तहत P, L, और D में से प्रत्येक के साथ आपत्ति में है, इसलिए प्रत्येक ही टोपोलॉजी प्राप्त करता है। संघ यू = एफ ∪ पी ∪ एल ∪ डी तो टोपोलॉजी लगभग विमान को कवर करती है, केवल शून्य शंकु (0,0) को छोड़कर। समतल का अतिपरवलयिक घुमाव चतुर्भुजों को आपस में नहीं मिलाता है, वास्तव में, प्रत्येक इकाई अतिपरवलय#जटिल समतल बीजगणित के अंतर्गत अपरिवर्तनीय समुच्चय है।

यह भी देखें

↑ Luca Bombelli website Archived 2010-06-16 at the Wayback Machine
↑ *Zeeman, E.C. (1967). "The topology of Minkowski space". Topology. 6 (2): 161–170. doi:10.1016/0040-9383(67)90033-X.
↑ Penrose, Roger (1972), Techniques of Differential Topology in Relativity, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, p. 34

संदर्भ

Zeeman, E. C. (1964). "Causality Implies the Lorentz Group". Journal of Mathematical Physics. 5 (4): 490–493. Bibcode:1964JMP.....5..490Z. doi:10.1063/1.1704140.
Hawking, S. W.; King, A. R.; McCarthy, P. J. (1976). "A new topology for curved space–time which incorporates the causal, differential, and conformal structures" (PDF). Journal of Mathematical Physics. 17 (2): 174–181. Bibcode:1976JMP....17..174H. doi:10.1063/1.522874.

[Bombelli-1] Luca Bombelli website Archived 2010-06-16 at the Wayback Machine

[2] *Zeeman, E.C. (1967). "The topology of Minkowski space". Topology. 6 (2): 161–170. doi:10.1016/0040-9383(67)90033-X.

[Penrose-3] Penrose, Roger (1972), Techniques of Differential Topology in Relativity, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, p. 34

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 {{Spacetime|cTopic=Mathematics}}
-[[ अंतरिक्ष समय ]] [[टोपोलॉजी]] स्पेसटाइम का [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] है, मुख्य रूप से [[सामान्य सापेक्षता]] में अध्ययन किया जाने वाला विषय। यह [[भौतिक सिद्धांत]] गुरुत्वाकर्षण को एक [[चार आयामी]] छद्म-रीमैनियन_मैनिफ़ोल्ड # लोरेंट्ज़ियन_मैनिफ़ोल्ड (एक स्पेसटाइम) की [[वक्रता]] के रूप में मॉडल करता है और इस प्रकार टोपोलॉजी की अवधारणाएं स्थानीय और साथ ही स्पेसटाइम के वैश्विक पहलुओं का विश्लेषण करने में महत्वपूर्ण हो जाती हैं। स्पेसटाइम टोपोलॉजी का अध्ययन भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।
+[[ अंतरिक्ष समय | स्पेसटाइम]] [[टोपोलॉजी]], स्पेसटाइम की [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल संरचना]] है, जिसका मुख्य रूप से [[सामान्य सापेक्षता]] में अध्ययन  किया जाता है। यह [[भौतिक सिद्धांत]] गुरुत्वाकर्षण को [[चार आयामी]] लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड (स्पेसटाइम) की [[वक्रता]] के रूप में मॉडल करता है और इस प्रकार टोपोलॉजी की अवधारणाएं स्थानीय और साथ ही स्पेसटाइम के वैश्विक पहलुओं का विश्लेषण करने में महत्वपूर्ण हो जाती हैं। स्पेसटाइम टोपोलॉजी का अध्ययन भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।
 == टोपोलॉजी के प्रकार ==
-स्पेसटाइम एम के लिए दो मुख्य प्रकार की टोपोलॉजी हैं।
+स्पेसटाइम ''M'' के लिए दो मुख्य प्रकार की टोपोलॉजी हैं।
-=== [[कई गुना]] टोपोलॉजी ===
+=== [[कई गुना|मैनिफोल्ड]] टोपोलॉजी ===
-जैसा कि किसी भी मैनिफोल्ड के साथ होता है, एक स्पेसटाइम में एक प्राकृतिक मैनिफोल्ड टोपोलॉजी होती है। यहां खुले सेट खुले सेटों की छवि हैं <math>\mathbb{R}^4</math>.
+किसी भी मैनिफोल्ड के साथ होता है, स्पेसटाइम में प्राकृतिक मैनिफोल्ड टोपोलॉजी होती है। यहां खुले सेट खुले सेटों की छवि हैं <math>\mathbb{R}^4</math>.
-=== पथ या Zeeman टोपोलॉजी ===
+=== पथ या जीमण टोपोलॉजी ===
-परिभाषा:<ref name="Bombelli">[http://www.phy.olemiss.edu/%7Eluca/Topics/t/top_st.html Luca Bombelli website] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100616043659/http://www.phy.olemiss.edu/%7Eluca/Topics/t/top_st.html |date=2010-06-16 }}</ref> टोपोलॉजी <math>\rho</math> जिसमें एक उपसमुच्चय है <math>E \subset M</math> खुला है (टोपोलॉजी) अगर हर समय समान वक्र के लिए <math>c</math> एक सेट है <math>O</math> कई गुना टोपोलॉजी में ऐसा है <math>E \cap c = O \cap c</math>.
+परिभाषा:<ref name="Bombelli">[http://www.phy.olemiss.edu/%7Eluca/Topics/t/top_st.html Luca Bombelli website] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100616043659/http://www.phy.olemiss.edu/%7Eluca/Topics/t/top_st.html |date=2010-06-16 }}</ref> टोपोलॉजी <math>\rho</math> जिसमें   उपसमुच्चय है <math>E \subset M</math> खुला है (टोपोलॉजी) अगर हर समय समान वक्र के लिए <math>c</math>   सेट है <math>O</math> कई गुना टोपोलॉजी में ऐसा है <math>E \cap c = O \cap c</math>.
 यह [[टोपोलॉजी की तुलना]] है जो समान टोपोलॉजी को प्रेरित करती है <math>M</math> टाइमलाइक कर्व्स पर करता है।<ref>*{{cite journal|last1=Zeeman|first1=E.C.|title=The topology of Minkowski space|journal=[[Topology (journal)|Topology]]|date= 1967|volume=6|issue=2|pages=161–170|doi=10.1016/0040-9383(67)90033-X|doi-access=free}}</ref>
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 मैनिफोल्ड टोपोलॉजी की तुलना में कड़ाई से [[आधार (टोपोलॉजी)]] इसलिए यह [[हॉसडॉर्फ स्पेस]], [[वियोज्य (टोपोलॉजी)]] है, लेकिन स्थानीय रूप [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान]] नहीं है।
-टोपोलॉजी के लिए एक बेस (टोपोलॉजी) फॉर्म का सेट है <math>Y^+(p,U) \cup Y^-(p,U) \cup p</math> कुछ बिंदु के लिए <math>p \in M</math> और कुछ उत्तल सामान्य पड़ोस <math>U \subset M</math>.
+टोपोलॉजी के लिए   बेस (टोपोलॉजी) फॉर्म का सेट है <math>Y^+(p,U) \cup Y^-(p,U) \cup p</math> कुछ बिंदु के लिए <math>p \in M</math> और कुछ उत्तल सामान्य पड़ोस <math>U \subset M</math>.
 (<math>Y^\pm</math> कारण संरचना#कारण संरचना को निरूपित करें)।
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 यह टोपोलॉजी मैनिफोल्ड टोपोलॉजी के साथ मेल खाता है अगर और केवल अगर मैनिफोल्ड करणीय स्थिति है # मजबूत रूप से कारण है लेकिन यह सामान्य रूप से मोटे है।<ref name="Penrose">{{Citation|last= Penrose |first= Roger|title=Techniques of Differential Topology in Relativity|year=1972|series=CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics|pages = 34}}</ref>
-ध्यान दें कि गणित में, आंशिक क्रम पर एक [[अलेक्जेंडर टोपोलॉजी]] को आमतौर पर सबसे मोटे टोपोलॉजी के रूप में लिया जाता है जिसमें केवल ऊपरी सेट होते हैं <math>Y^+(E)</math> खुला होना आवश्यक है। यह टोपोलॉजी [[पावेल अलेक्जेंड्रोव]] पर वापस जाती है।
+ध्यान दें कि गणित में, आंशिक क्रम पर   [[अलेक्जेंडर टोपोलॉजी]] को आमतौर पर सबसे मोटे टोपोलॉजी के रूप में लिया जाता है जिसमें केवल ऊपरी सेट होते हैं <math>Y^+(E)</math> खुला होना आवश्यक है। यह टोपोलॉजी [[पावेल अलेक्जेंड्रोव]] पर वापस जाती है।
 आजकल, स्पेसटाइम पर एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी के लिए सही गणितीय शब्द अंतराल टोपोलॉजी होगा, लेकिन जब क्रोनहाइमर और पेनरोज़ ने इस शब्द को पेश किया तो नामकरण में यह अंतर उतना स्पष्ट नहीं था{{citation needed|date=September 2017}}, और भौतिकी में एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी शब्द प्रयोग में रहता है।
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 :<math>z \to (a, b)</math> विभाजन-जटिल लघुगणक और आवश्यक [[होमियोमोर्फिज्म]] F → R है<sup>2</sup>, ध्यान दें कि b, F में सापेक्ष गति के लिए [[ तेज़ी ]] पैरामीटर है।
-F मैपिंग z → –z, z → jz, और z → – j z के तहत P, L, और D में से प्रत्येक के साथ आपत्ति में है, इसलिए प्रत्येक एक ही टोपोलॉजी प्राप्त करता है। संघ यू = एफ ∪ पी ∪ एल ∪ डी तो एक टोपोलॉजी लगभग विमान को कवर करती है, केवल शून्य शंकु (0,0) को छोड़कर। समतल का अतिपरवलयिक घुमाव चतुर्भुजों को आपस में नहीं मिलाता है, वास्तव में, प्रत्येक इकाई अतिपरवलय#जटिल समतल बीजगणित के अंतर्गत एक अपरिवर्तनीय समुच्चय है।
+F मैपिंग z → –z, z → jz, और z → – j z के तहत P, L, और D में से प्रत्येक के साथ आपत्ति में है, इसलिए प्रत्येक   ही टोपोलॉजी प्राप्त करता है। संघ यू = एफ ∪ पी ∪ एल ∪ डी तो   टोपोलॉजी लगभग विमान को कवर करती है, केवल शून्य शंकु (0,0) को छोड़कर। समतल का अतिपरवलयिक घुमाव चतुर्भुजों को आपस में नहीं मिलाता है, वास्तव में, प्रत्येक इकाई अतिपरवलय#जटिल समतल बीजगणित के अंतर्गत   अपरिवर्तनीय समुच्चय है।
 == यह भी देखें ==

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टोपोलॉजी के प्रकार

मैनिफोल्ड टोपोलॉजी

पथ या जीमण टोपोलॉजी

गुण

अलेक्जेंडर टोपोलॉजी

प्लानर स्पेसटाइम

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मैनिफोल्ड टोपोलॉजी

पथ या जीमण टोपोलॉजी

गुण

अलेक्जेंडर टोपोलॉजी

प्लानर स्पेसटाइम

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