पतली-फिल्म समीकरण: Difference between revisions

Revision as of 13:46, 29 April 2023

द्रव यांत्रिकी में, पतली-फिल्म समीकरण वह आंशिक अवकल समीकरण है जो जो सतह पर स्थित तरल फिल्म की मोटाई h के संवर्धन के विकास की पूर्व-संकल्पना करता है। समीकरण स्नेहन सिद्धांत के माध्यम से प्राप्त किया गया है जो इस धारणा पर आधारित है कि सतह की दिशाओं में लंबाई-संतुलन सतह की सामान्य (ज्यामिति) दिशा की तुलना में अत्यधिक विवृत्त हैं। नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के गैर-आयामी रूप में नेवियर-स्टोक्स समीकरण की आवश्यकता यह है कि आदेश की शर्तें $ε 2$ और $ε 2 Re$ नगण्य हैं, जहां $ε ≪ 1$ आभासी अनुपात है और $Re$ रेनॉल्ड्स संख्या है। यह अधिनियंत्रण समीकरणों को अत्यधिक सरल करता है। हालांकि, स्नेहन सिद्धांत, जैसा कि नाम से पता चलता है, सामान्यतः दो ठोस सतहों के बीच प्रवाह के लिए व्युत्पन्न होता है, इसलिए वह तरल एक स्नेहन परत बनाता है। पतली-फिल्म समीकरण तब होता है जब एक ही मुक्त सतह निर्दिष्ट होती है। दो मुक्त सतहों के साथ, प्रवाह को श्यानता शीट के रूप में माना जाना चाहिए।^[1]^[2]

परिभाषा

2-आयामी पतली फिल्म समीकरण का मूल रूप है^[3]^[4]^[5]

${\frac {\partial h}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {Q}$

जहां द्रव का प्रवाह $\mathbf {Q}$ होता है,

$\mathbf {Q} ={\frac {h^{3}}{3\mu }}\left[\nabla \right(\gamma \nabla ^{2}h+\rho \mathbf {g} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{n}} )+\rho \mathbf {g} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ]+{\frac {h^{2}}{2\mu }}\mathbf {A}$ ,

और μ तरल की श्यानता (या गतिशील श्यानता) है, h(x,y,t) फिल्म की मोटाई है, γ तरल और इसके ऊपर गैस चरण के बीच सतही तनाव है, $\rho$ तरल घनत्व है और $\mathbf {A}$ सतह अपरुपण है। सामान्यतः दो ठोस सतहों के बीच प्रवाह के लिए व्युत्पन्न होता है, और सतह अपरुपण बहुत अधिक गैस या पृष्ठ तनाव प्रवणता के प्रवाह के कारण हो सकता है।^[6]^[7] अदिश $\mathbf {{\hat {e}}_{i}}$ सतह समन्वय दिशाओं में इकाई वेक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं, डॉट उत्पाद प्रत्येक दिशा में गुरुत्वाकर्षण घटक की पहचान करने के लिए प्रयुक्त होता है। सदिश $\mathbf {{\hat {e}}_{n}}$ सतह के लंबवत इकाई वेक्टर है।

नीचे एक सामान्यीकृत पतली फिल्म समीकरण पर चर्चा की गई है ^[5]

{\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {1}{3\mu }}\nabla \cdot \left(h^{n}\,\nabla \left(\gamma \,\nabla ^{2}h\right)\right)

.

$n<3$ , यह पूरे ठोस सतह पर ढाल के साथ $n=1$ प्रवाह का प्रतिनिधित्व कर सकता है, जो कि हेल-शॉ प्रवाह सेल में द्रव के दो द्रव्यमानों के बीच एक पतले पुल की मोटाई का वर्णन करता है।^[8] मान $n=3$ सतह तनाव संचालित प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है।

पतली तरल फिल्मों के टूटने के संबंध में प्रायः जांच की जाने वाली एक प्रारूपित समीकरण में अलग तनाव Π(h) के रूप में सम्मिलित होता है,^[9]

{\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {1}{3\mu }}\nabla \cdot \left(h^{3}\nabla \left(\gamma \,\nabla ^{2}h-\Pi (h)\right)\right)

जहां फलन Π (h) सामान्यतः मध्यम-बड़ी फिल्म मोटाई h के लिए मान में बहुत छोटा होता है और जब h शून्य के बहुत सन्निकट हो जाता है तो बहुत तीव्रता के साथ अग्रसर हो जाता है।

गुण

पतली-फिल्म समीकरण के भौतिक अनुप्रयोग, गुण और विलयन के व्यवहार की समीक्षा की गई है।^[3]^[5]कार्यद्रव्य पर चरण संक्रमण को सम्मिलित करने के साथ एक स्वमानित सतह के लिए पतली फिल्म समीकरण का एक रूप प्राप्त होता है।^[10] सदिश $\mathbf {{\hat {e}}_{n}}$ सतह के लंबवत इकाई वेक्टर है। एक गतिमान संपर्क रेखा के पास एक पतली फिल्म के स्थिर-प्रवाह का विस्तृत अध्ययन में दिया गया है।^[11] एक बिंघम प्लास्टिक के लिए गुरुत्वाकर्षण द्वारा संचालित उत्पन्न-तनाव द्रव प्रवाह और सतह तनाव में जांच की जाती है।^[12]

विशुद्ध रूप से सतही तनाव में संचालित प्रवाह के लिए यह देखना आसान है कि एक स्थिर (समय-स्वतंत्र) विलयन परिक्रमण गतिविधि का एक परवलय है

h(x,y)=A-B(x^{2}+y^{2})\,

और यह एक स्थिर सेसाइल ड्रॉप तकनीक के प्रयोगात्मक रूप से देखे गए गोलाकार टोपी के आकार के अनुरूप है, एक सपाट गोलाकार टोपी के रूप में जिसकी ऊँचाई छोटी होती है, दूसरे क्रम में यह परवलय के साथ सटीक रूप से अनुमानित की जा सकती है। हालांकि, यह छोटी बूंद की परिधि को सही ढंग से नहीं संभालता है जहां फलन h(x,y) का मान शून्य से नीचे गिर जाता है, क्योंकि वास्तविक भौतिक तरल फिल्म में नकारात्मक मोटाई नहीं हो सकती है। यह एक मुख्य कारण है कि सिद्धांत में असंबद्ध दबाव पद Π(h) महत्वपूर्ण है।

असम्बद्ध दबाव अवधि का एक संभावित यथार्थवादी रूप है^[9]

\Pi (h)=B\left[\left({\frac {h_{*}}{h}}\right)^{n}-\left({\frac {h_{*}}{h}}\right)^{m}\right]

जहां B, h_*, m और n कुछ पैरामीटर हैं। ये स्थिरांक और सतह तनाव $\gamma$ लगभग संतुलन तरल-ठोस संपर्क कोण $\theta _{e}$ से संबंधित हो सकता है, समीकरण के माध्यम से^[9]^[13]

B\approx {\frac {(m-1)(n-1)}{h_{*}(n-m)}}\gamma (1-\cos \theta _{e})

.

तरल पदार्थ के कई व्यवहारों को अनुकरण करने के लिए पतली फिल्म समीकरण का उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि गुरुत्वाकर्षण संचालित प्रवाह में स्पर्श की अस्थिरता इसका एक मुख्य उदाहरण है। दूसरे क्रम में यह परवलय के साथ सटीक रूप से अनुमानित की जा सकती है।^[14]

पतली-फिल्म समीकरण दूसरे क्रम के समय में व्युत्पन्न की कमी और इसकी व्युत्पत्ति में छोटे रेनॉल्ड की संख्या की धारणा का परिणाम है, जो द्रव घनत्व $\rho$ पर निर्भर जड़त्वीय शब्दों की अनदेखी की अनुमति देता है।^[14]यह कुछ हद तक वाशबर्न के समीकरण की स्थिति के समान है, जो एक पतली ट्यूब में तरल के केशिका-संचालित प्रवाह का वर्णन करता है।

यह भी देखें

आंशिक विभेदक समीकरण
स्नेहन सिद्धांत
अलग करने का दबाव

संदर्भ

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बाहरी संबंध

Viscous Thin Films - Max Planck Institute

[1] Fliert, B. W. Van De; Howell, P. D.; Ockenden, J. R. (June 1995). "एक पतली चिपचिपी चादर का दबाव-संचालित प्रवाह". Journal of Fluid Mechanics (in English). 292: 359–376. Bibcode:1995JFM...292..359V. doi:10.1017/S002211209500156X. ISSN 1469-7645. S2CID 120047555.

[2] Buckmaster, J. D.; Nachman, A.; Ting, L. (May 1975). "एक विस्सिडा का बकलिंग और स्ट्रेचिंग". Journal of Fluid Mechanics (in English). 69 (1): 1–20. Bibcode:1975JFM....69....1B. doi:10.1017/S0022112075001279. ISSN 1469-7645. S2CID 120390660.

[:0-3] 3.0 ^3.1 A. Oron, S. H. Davis, S. G. Bankoff, "Long-scale evolution of thin liquid films", Rev. Mod. Phys., 69, 931–980 (1997)

[4] H. Knüpfer, "Classical solutions for a thin-film equation", PhD thesis, University of Bonn.

[:1-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 Myers, T. G. (January 1998). "हाई सरफेस टेंशन वाली थिन फिल्म्स". SIAM Review (in English). 40 (3): 441–462. Bibcode:1998SIAMR..40..441M. doi:10.1137/S003614459529284X. ISSN 0036-1445.

[6] O'Brien, S. B. G. M. (September 1993). "On Marangoni drying: nonlinear kinematic waves in a thin film". Journal of Fluid Mechanics (in English). 254: 649–670. Bibcode:1993JFM...254..649O. doi:10.1017/S0022112093002290. ISSN 0022-1120. S2CID 122742594.

[7] Myers, T. G.; Charpin, J. P. F.; Thompson, C. P. (January 2002). "ठंडी सतह पर सुपरकूल्ड पानी के प्रभाव के कारण धीरे-धीरे बर्फ जम रही है". Physics of Fluids (in English). 14 (1): 240–256. Bibcode:2002PhFl...14..240M. doi:10.1063/1.1416186. ISSN 1070-6631.

[8] Constantin, Peter; Dupont, Todd F.; Goldstein, Raymond E.; Kadanoff, Leo P.; Shelley, Michael J.; Zhou, Su-Min (1993-06-01). "हेले-शॉ सेल के एक मॉडल में ड्रॉपलेट ब्रेकअप". Physical Review E (in English). 47 (6): 4169–4181. Bibcode:1993PhRvE..47.4169C. doi:10.1103/PhysRevE.47.4169. ISSN 1063-651X. PMID 9960494.

[Schwartz-9] 9.0 ^9.1 ^9.2 L. W. Schwartz, R. V. Roy, R. R. Eley, S. Petrash, "Dewetting patterns in a drying liquid film Archived 2010-06-11 at the Wayback Machine", Journal of Colloid and Interface Science, 243, 363374 (2001).

[10] Myers, T. G.; Charpin, J. P. F.; Chapman, S. J. (August 2002). "एक मनमाना त्रि-आयामी सतह पर एक पतली द्रव फिल्म का प्रवाह और जमना". Physics of Fluids (in English). 14 (8): 2788–2803. Bibcode:2002PhFl...14.2788M. doi:10.1063/1.1488599. hdl:2117/102903. ISSN 1070-6631.

[11] Tuck, E. O.; Schwartz, L. W. (September 1990). "जल निकासी और कोटिंग प्रवाह के लिए प्रासंगिक कुछ तीसरे क्रम के साधारण विभेदक समीकरणों का एक संख्यात्मक और स्पर्शोन्मुख अध्ययन". SIAM Review (in English). 32 (3): 453–469. doi:10.1137/1032079. ISSN 0036-1445.

[12] Balmforth, Neil; Ghadge, Shilpa; Myers, Tim (March 2007). "विस्कोप्लास्टिक फिल्म का सरफेस टेंशन संचालित फिंगरिंग". Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics (in English). 142 (1–3): 143–149. doi:10.1016/j.jnnfm.2006.07.011.

[13] N.V. Churaev, V.D. Sobolev, Adv. Colloid Interface Sci. 61 (1995) 1-16

[Kondic-14] 14.0 ^14.1 L. Kondic, "Instabilities in gravity driven flow of thin liquid films", SIAM Review, 45, 95–115 (2003)

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 </math>,
-और μ तरल की श्यानता (या गतिशील श्यानता) है, h(x,y,t) फिल्म की मोटाई है, γ तरल और इसके ऊपर गैस चरण के बीच सतही तनाव है, <math>\rho</math> तरल [[घनत्व]] है और <math>\mathbf{A}</math> सतह अपरुपण है। सतह अपरुपण बहुत अधिक गैस या पृष्ठ तनाव प्रवणता के प्रवाह के कारण हो सकता है।<ref>{{Cite journal|last=O'Brien|first=S. B. G. M.|date=September 1993|title=On Marangoni drying: nonlinear kinematic waves in a thin film|url=https://www.cambridge.org/core/product/identifier/S0022112093002290/type/journal_article|journal=Journal of Fluid Mechanics|language=en|volume=254|pages=649–670|doi=10.1017/S0022112093002290|bibcode=1993JFM...254..649O |s2cid=122742594 |issn=0022-1120}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Myers|first1=T. G.|last2=Charpin|first2=J. P. F.|last3=Thompson|first3=C. P.|date=January 2002|title=ठंडी सतह पर सुपरकूल्ड पानी के प्रभाव के कारण धीरे-धीरे बर्फ जम रही है|url=http://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.1416186|journal=Physics of Fluids|language=en|volume=14|issue=1|pages=240–256|doi=10.1063/1.1416186|bibcode=2002PhFl...14..240M |issn=1070-6631}}</ref> अदिश <math>\mathbf{\hat{e}_i}</math> सतह समन्वय दिशाओं में इकाई वेक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं, [[डॉट उत्पाद]] प्रत्येक दिशा में गुरुत्वाकर्षण घटक की पहचान करने के लिए प्रयुक्त होता है। सदिश <math>\mathbf{\hat{e}_n}</math> सतह के लंबवत इकाई वेक्टर है।
+और μ तरल की श्यानता (या गतिशील श्यानता) है, h(x,y,t) फिल्म की मोटाई है, γ तरल और इसके ऊपर गैस चरण के बीच सतही तनाव है, <math>\rho</math> तरल [[घनत्व]] है और <math>\mathbf{A}</math> सतह अपरुपण है। सामान्यतः दो ठोस सतहों के बीच प्रवाह के लिए व्युत्पन्न होता है, और सतह अपरुपण बहुत अधिक गैस या पृष्ठ तनाव प्रवणता के प्रवाह के कारण हो सकता है।<ref>{{Cite journal|last=O'Brien|first=S. B. G. M.|date=September 1993|title=On Marangoni drying: nonlinear kinematic waves in a thin film|url=https://www.cambridge.org/core/product/identifier/S0022112093002290/type/journal_article|journal=Journal of Fluid Mechanics|language=en|volume=254|pages=649–670|doi=10.1017/S0022112093002290|bibcode=1993JFM...254..649O |s2cid=122742594 |issn=0022-1120}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Myers|first1=T. G.|last2=Charpin|first2=J. P. F.|last3=Thompson|first3=C. P.|date=January 2002|title=ठंडी सतह पर सुपरकूल्ड पानी के प्रभाव के कारण धीरे-धीरे बर्फ जम रही है|url=http://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.1416186|journal=Physics of Fluids|language=en|volume=14|issue=1|pages=240–256|doi=10.1063/1.1416186|bibcode=2002PhFl...14..240M |issn=1070-6631}}</ref> अदिश <math>\mathbf{\hat{e}_i}</math> सतह समन्वय दिशाओं में इकाई वेक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं, [[डॉट उत्पाद]] प्रत्येक दिशा में गुरुत्वाकर्षण घटक की पहचान करने के लिए प्रयुक्त होता है। सदिश <math>\mathbf{\hat{e}_n}</math> सतह के लंबवत इकाई वेक्टर है।
 नीचे एक सामान्यीकृत पतली फिल्म समीकरण पर चर्चा की गई है <ref name=":1" />
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 : <math>\frac{\partial h}{\partial t} = -\frac 1 {3\mu} \nabla\cdot \left( h^n \, \nabla \left( \gamma \, \nabla^2 h \right)\right)</math> .
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 पतली तरल फिल्मों के टूटने के संबंध में प्रायः जांच की जाने वाली एक प्रारूपित समीकरण में अलग तनाव Π(''h'') के रूप में सम्मिलित होता है,<ref name="Schwartz">L. W. Schwartz, R. V. Roy, R. R. Eley, S. Petrash, "[http://www.coating.udel.edu/manuscripts/dewet.pdf Dewetting patterns in a drying liquid film] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100611032526/http://www.coating.udel.edu/manuscripts/dewet.pdf |date=2010-06-11 }}", ''Journal of Colloid and Interface Science'', 243, 363374 (2001).</ref>
 : <math>\frac{\partial h}{\partial t} = -\frac 1 {3\mu} \nabla\cdot\left(h^3 \nabla \left( \gamma \, \nabla^2 h-\Pi (h) \right)\right)</math>
-'''जहां फ़ंक्शन Π (एच) आमतौर पर मध्यम-बड़ी फिल्म''' मोटाई एच के लिए मूल्य में बहुत छोटा होता है और जब एच शून्य के बहुत करीब जाता है तो बहुत तेजी से बढ़ता है।
+जहां फलन Π (''h'') सामान्यतः मध्यम-बड़ी फिल्म मोटाई ''h''  के लिए मान में बहुत छोटा होता है और जब ''h'' शून्य के बहुत सन्निकट हो जाता है तो बहुत तीव्रता के साथ अग्रसर हो जाता है।
 == गुण ==
-थिन-फिल्म समीकरण के भौतिक अनुप्रयोग, गुण और समाधान व्यवहार की समीक्षा की गई है।<ref name=":0" /><ref name=":1" />सब्सट्रेट पर [[चरण संक्रमण]] को सम्मिलित करने के साथ एक मनमाना सतह के लिए पतली फिल्म समीकरण का एक रूप प्राप्त होता है।<ref>{{Cite journal|last1=Myers|first1=T. G.|last2=Charpin|first2=J. P. F.|last3=Chapman|first3=S. J.|date=August 2002|title=एक मनमाना त्रि-आयामी सतह पर एक पतली द्रव फिल्म का प्रवाह और जमना|url=http://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.1488599|journal=Physics of Fluids|language=en|volume=14|issue=8|pages=2788–2803|doi=10.1063/1.1488599|bibcode=2002PhFl...14.2788M |issn=1070-6631|hdl=2117/102903|hdl-access=free}}</ref> एक गतिमान संपर्क रेखा के पास एक पतली फिल्म के स्थिर-प्रवाह का विस्तृत अध्ययन में दिया गया है।<ref>{{Cite journal|last1=Tuck|first1=E. O.|last2=Schwartz|first2=L. W.|date=September 1990|title=जल निकासी और कोटिंग प्रवाह के लिए प्रासंगिक कुछ तीसरे क्रम के साधारण विभेदक समीकरणों का एक संख्यात्मक और स्पर्शोन्मुख अध्ययन|url=http://epubs.siam.org/doi/10.1137/1032079|journal=SIAM Review|language=en|volume=32|issue=3|pages=453–469|doi=10.1137/1032079|issn=0036-1445}}</ref> एक [[बिंघम प्लास्टिक]] के लिए | गुरुत्वाकर्षण द्वारा संचालित उपज-तनाव द्रव प्रवाह और सतह तनाव में जांच की जाती है।<ref>{{Cite journal|last1=Balmforth|first1=Neil|last2=Ghadge|first2=Shilpa|last3=Myers|first3=Tim|date=March 2007|title=विस्कोप्लास्टिक फिल्म का सरफेस टेंशन संचालित फिंगरिंग|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0377025706001753|journal=Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics|language=en|volume=142|issue=1–3|pages=143–149|doi=10.1016/j.jnnfm.2006.07.011}}</ref>
+पतली-फिल्म समीकरण के भौतिक अनुप्रयोग, गुण और विलयन के व्यवहार की समीक्षा की गई है।<ref name=":0" /><ref name=":1" />कार्यद्रव्य पर [[चरण संक्रमण]] को सम्मिलित करने के साथ एक स्वमानित सतह के लिए पतली फिल्म समीकरण का एक रूप प्राप्त होता है।<ref>{{Cite journal|last1=Myers|first1=T. G.|last2=Charpin|first2=J. P. F.|last3=Chapman|first3=S. J.|date=August 2002|title=एक मनमाना त्रि-आयामी सतह पर एक पतली द्रव फिल्म का प्रवाह और जमना|url=http://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.1488599|journal=Physics of Fluids|language=en|volume=14|issue=8|pages=2788–2803|doi=10.1063/1.1488599|bibcode=2002PhFl...14.2788M |issn=1070-6631|hdl=2117/102903|hdl-access=free}}</ref> सदिश <math>\mathbf{\hat{e}_n}</math> सतह के लंबवत इकाई वेक्टर है। एक गतिमान संपर्क रेखा के पास एक पतली फिल्म के स्थिर-प्रवाह का विस्तृत अध्ययन में दिया गया है।<ref>{{Cite journal|last1=Tuck|first1=E. O.|last2=Schwartz|first2=L. W.|date=September 1990|title=जल निकासी और कोटिंग प्रवाह के लिए प्रासंगिक कुछ तीसरे क्रम के साधारण विभेदक समीकरणों का एक संख्यात्मक और स्पर्शोन्मुख अध्ययन|url=http://epubs.siam.org/doi/10.1137/1032079|journal=SIAM Review|language=en|volume=32|issue=3|pages=453–469|doi=10.1137/1032079|issn=0036-1445}}</ref> एक [[बिंघम प्लास्टिक]] के लिए गुरुत्वाकर्षण द्वारा संचालित उत्पन्न-तनाव द्रव प्रवाह और सतह तनाव में जांच की जाती है।<ref>{{Cite journal|last1=Balmforth|first1=Neil|last2=Ghadge|first2=Shilpa|last3=Myers|first3=Tim|date=March 2007|title=विस्कोप्लास्टिक फिल्म का सरफेस टेंशन संचालित फिंगरिंग|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0377025706001753|journal=Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics|language=en|volume=142|issue=1–3|pages=143–149|doi=10.1016/j.jnnfm.2006.07.011}}</ref>
-विशुद्ध रूप से सतही तनाव संचालित प्रवाह के लिए यह देखना आसान है कि एक स्थिर (समय-स्वतंत्र) समाधान क्रांति का एक परवलय है
+विशुद्ध रूप से सतही तनाव में संचालित प्रवाह के लिए यह देखना आसान है कि एक स्थिर (समय-स्वतंत्र) विलयन परिक्रमण गतिविधि का एक परवलय है
 : <math>h(x,y) = A - B(x^2 + y^2 ) \, </math>
-और यह एक स्थिर [[सेसाइल ड्रॉप तकनीक]] के प्रयोगात्मक रूप से देखे गए [[गोलाकार टोपी]] के आकार के अनुरूप है, एक सपाट गोलाकार टोपी के रूप में जिसकी ऊँचाई छोटी होती है, दूसरे क्रम में एक परवलय के साथ सटीक रूप से अनुमानित की जा सकती है। हालांकि, यह छोटी बूंद की परिधि को सही ढंग से नहीं संभालता है जहां फ़ंक्शन एच (एक्स, वाई) का मान शून्य और नीचे गिर जाता है, क्योंकि वास्तविक भौतिक तरल फिल्म में नकारात्मक मोटाई नहीं हो सकती है। यह एक कारण है कि सिद्धांत में असंबद्ध दबाव पद Π(h) महत्वपूर्ण है।
+और यह एक स्थिर [[सेसाइल ड्रॉप तकनीक]] के प्रयोगात्मक रूप से देखे गए [[गोलाकार टोपी]] के आकार के अनुरूप है, एक सपाट गोलाकार टोपी के रूप में जिसकी ऊँचाई छोटी होती है, दूसरे क्रम में यह परवलय के साथ सटीक रूप से अनुमानित की जा सकती है। हालांकि, यह छोटी बूंद की परिधि को सही ढंग से नहीं संभालता है जहां फलन ''h''(''x'',''y'') का मान शून्य से नीचे गिर जाता है, क्योंकि वास्तविक भौतिक तरल फिल्म में नकारात्मक मोटाई नहीं हो सकती है। यह एक मुख्य कारण है कि सिद्धांत में असंबद्ध दबाव पद Π(h) महत्वपूर्ण है।
 असम्बद्ध दबाव अवधि का एक संभावित यथार्थवादी रूप है<ref name=Schwartz/>
 : <math>\Pi (h) = B\left[\left(\frac{h_*} h \right)^n - \left(\frac{h_*} h \right)^m \right]</math>
-जहां बी, एच<sub>*</sub>, एम और एन कुछ पैरामीटर हैं। ये स्थिरांक और सतह तनाव <math>\gamma</math> लगभग संतुलन तरल-ठोस [[संपर्क कोण]] से संबंधित हो सकता है <math>\theta_e</math> समीकरण के माध्यम से<ref name=Schwartz/><ref>N.V. Churaev, V.D. Sobolev, Adv. Colloid  Interface Sci. 61 (1995) 1-16</ref>
+जहां ''B'', ''h''<sub>*</sub>, ''m'' और ''n'' कुछ पैरामीटर हैं। ये स्थिरांक और सतह तनाव <math>\gamma</math> लगभग संतुलन तरल-ठोस [[संपर्क कोण]] <math>\theta_e</math> से संबंधित हो सकता है, समीकरण के माध्यम से<ref name=Schwartz/><ref>N.V. Churaev, V.D. Sobolev, Adv. Colloid  Interface Sci. 61 (1995) 1-16</ref>
 : <math>B \approx \frac{(m-1)(n-1)}{h_* (n-m)}\gamma (1-\cos \theta_e ) </math>.
-तरल पदार्थ के कई व्यवहारों को अनुकरण करने के लिए पतली फिल्म समीकरण का उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि गुरुत्वाकर्षण संचालित प्रवाह में छूत की अस्थिरता।<ref name=Kondic>L. Kondic, "Instabilities in gravity driven flow of thin liquid films", SIAM Review, 45, 95–115 (2003)</ref>
+तरल पदार्थ के कई व्यवहारों को अनुकरण करने के लिए पतली फिल्म समीकरण का उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि गुरुत्वाकर्षण संचालित प्रवाह में स्पर्श की अस्थिरता इसका एक मुख्य उदाहरण है। दूसरे क्रम में यह परवलय के साथ सटीक रूप से अनुमानित की जा सकती है।<ref name=Kondic>L. Kondic, "Instabilities in gravity driven flow of thin liquid films", SIAM Review, 45, 95–115 (2003)</ref>
-पतली-फिल्म समीकरण में दूसरे क्रम के समय के व्युत्पन्न की कमी इसकी व्युत्पत्ति में छोटे रेनॉल्ड की संख्या की धारणा का परिणाम है, जो द्रव घनत्व पर निर्भर जड़त्वीय शब्दों की अनदेखी की अनुमति देता है। <math>\rho</math>.<ref name=Kondic />यह कुछ हद तक वाशबर्न के समीकरण की स्थिति के समान है, जो एक पतली ट्यूब में तरल के केशिका-संचालित प्रवाह का वर्णन करता है।
+पतली-फिल्म समीकरण दूसरे क्रम के समय में व्युत्पन्न की कमी और इसकी व्युत्पत्ति में छोटे रेनॉल्ड की संख्या की धारणा का परिणाम है, जो द्रव घनत्व <math>\rho</math> पर निर्भर जड़त्वीय शब्दों की अनदेखी की अनुमति देता है।<ref name="Kondic" />यह कुछ हद तक वाशबर्न के समीकरण की स्थिति के समान है, जो एक पतली ट्यूब में तरल के केशिका-संचालित प्रवाह का वर्णन करता है।
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