बीजगणित की व्यापकता

गणित के इतिहास में, बीजगणित की व्यापकता ऑगस्टिन-लुई कॉची द्वारा तर्क की एक विधि का वर्णन करने के लिए उपयोग किया गया एक वाक्यांश था जिसका उपयोग 18 वीं शताब्दी में लियोनहार्ड यूलर और जोसेफ-लुई लाग्रेंज जैसे गणितज्ञों द्वारा किया गया था। विशेष रूप से अनंत श्रृंखला में हेरफेर करने में। कोएटसियर के अनुसार, बीजगणित सिद्धांत की व्यापकता, मोटे तौर पर, मान लिया गया है कि बीजगणितीय नियम जो अभिव्यक्तियों के एक निश्चित वर्ग के लिए धारण करते हैं, उन्हें सामान्यतः वस्तुओं के एक बड़े वर्ग पर लागू करने के लिए बढ़ाया जा सकता है, यदि नियम अब स्पष्ट रूप से मान्य न हों। परिणामस्वरूप, 18वीं सदी के गणितज्ञों का मानना ​​था कि वे बीजगणित और गणना के सामान्य नियमों को लागू करके सार्थक परिणाम प्राप्त कर सकते हैं जो अनंत विस्तारों में हेरफेर करते हुए भी परिमित विस्तार के लिए मान्य हैं।

कोर्स डी एनालिसिस जैसे कार्यों में, कॉची ने "बीजगणित की व्यापकता" विधियों के उपयोग को अस्वीकार कर दिया और गणितीय विश्लेषण के लिए अधिक कठोर आधार की मांग की।

उदाहरण

एक उदाहरणश्रृंखला की यूलर की व्युत्पत्ति है

${\frac {\pi -x}{2}}=\sin x+{\frac {1}{2}}\sin 2x+{\frac {1}{3}}\sin 3x+\cdots$

(1)

के लिए $0<x<\pi$. उन्होंने सबसे पहले पहचान का मूल्यांकन किया

${\frac {1-r\cos x}{1-2r\cos x+r^{2}}}=1+r\cos x+r^{2}\cos 2x+r^{3}\cos 3x+\cdots$

(2)

पर $r=1$ प्राप्त करने के लिए

$0={\frac {1}{2}}+\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots .$

(3)

के दाहिने हाथ की ओर अनंत श्रृंखला (3) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए अपसरण करता है $x$. लेकिन फिर भी अभिन्न यह टर्म-बाय-टर्म देता है (1), एक पहचान जिसे फूरियर विश्लेषण द्वारा सत्य माना जाता है।

यह भी देखें

• स्थायित्व का सिद्धांत
• स्थानांतरण सिद्धांत