पूर्णांक त्रिभुज

पूर्णांक त्रिभुज या अभिन्न त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी सभी भुजाएँ पूर्णांक हैं। परिमेय त्रिभुज वह होता है जिसकी भुजाओं की लंबाई परिमेय संख्या होती है; समान पूर्णांक त्रिभुज प्राप्त करने के लिए किसी भी परिमेय त्रिभुज को भुजाओं के निम्नतम सामान्य भाजक द्वारा पुन: स्केल किया जा सकता है, इसलिए पूर्णांक त्रिभुजों और तर्कसंगत त्रिभुजों के बीच घनिष्ठ संबंध होता है।

कभी-कभी परिमेय त्रिभुज शब्द की अन्य परिभाषाओं का उपयोग किया जाता है: कारमाइकल (1914) और डिक्सन (1920) इस शब्द का उपयोग हेरोनियन त्रिभुज (अभिन्न या परिमेय पार्श्व लंबाई और क्षेत्रफल वाला त्रिभुज) के अर्थ के लिए करते हैं; कॉनवे और गाइ (1996) एक परिमेय त्रिभुज को परिमेय भुजाओं और डिग्री में मापे गए परिमेय कोणों के रूप में परिभाषित करते हैं—इस तरह के केवल त्रिभुज परिमेय-पक्ष वाले समबाहु त्रिभुज हैं।

भुजाओं की लंबाई c, e और b +d, और ऊँचाई a, सभी पूर्णांकों वाला एक हेरोनियन त्रिभुज।

पूर्णांक त्रिभुज के लिए सामान्य गुण

दी गई परिधि के साथ पूर्णांक त्रिभुज

जब तक यह त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है, तब तक धनात्मक पूर्णांकों का कोई भी तिगुना पूर्णांक त्रिभुज की पार्श्व लंबाई के रूप में काम कर सकता है: सबसे लंबी भुजा अन्य दो भुजाओं के योग से छोटी होती है। ऐसा प्रत्येक त्रिक पूर्णांक त्रिभुज को परिभाषित करता है जो सर्वांगसमता के लिए अद्वितीय है। अतः परिमाप p के साथ पूर्णांक त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या, p के विभाजनों की संख्या को तीन सकारात्मक भागों में विभाजित करती है जो त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करते हैं। यह p²⁄48 के निकटतम पूर्णांक है जब p सम है और (p + 3)²⁄48 जब p विषम है। इसका अर्थ यह भी है कि सम-क्रमांकित परिमाप वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या p = 2n विषम संख्या वाले परिमाप वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या p = 2n − 3 के बराबर है। इस प्रकार 1, 2 या 4 के परिधि के साथ कोई पूर्णांक त्रिकोण नहीं है, 3, 5, 6 या 8 के परिधि के साथ, और दो 7 या 10 के परिधि के साथ परिमाप p वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम, p = 1 से शुरू होता है, है:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... (sequence A005044 in the OEIS)

इसे एलक्यूइन का क्रम कहते हैं।

सबसे बड़ी भुजा के साथ पूर्णांक त्रिभुज

दी गई सबसे बड़ी भुजा c और पूर्णांक ट्रिपल (a, b, c) के साथ पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या (सर्वांगसमता तक) पूर्णांक ट्रिपल की संख्या है जैसे कि a + b > c और a ≤ b ≤ c। यह पूर्णांक मान है सीलिंग (c + 1)⁄2* तल (c + 1)⁄2। वैकल्पिक रूप से, c के लिए भी यह दोहरी रिकोणीय संख्या c⁄2(c⁄2 + 1) है और c विषम के लिए यह वर्ग (c + 1)²⁄4 है। इसका अर्थ यह भी है कि सबसे बड़ी भुजा c वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या सबसे बड़ी भुजा c − 2 वाले पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या से c अधिक है। सबसे बड़ी भुजा c के साथ गैर-सर्वांगसम पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या का क्रम, c = 1 से प्रारंभ होता है:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (sequence A002620 in the OEIS)

दी गई सबसे बड़ी भुजा c और पूर्णांक ट्रिपल (a, b, c) के साथ पूर्णांक त्रिभुजों की संख्या (सर्वांगसमता तक) जो कि व्यास c के अर्धवृत्त पर या उसके भीतर स्थित है, पूर्णांक ट्रिपल की संख्या है जैसे कि a + b > c , a² + b² ≤ c² और a ≤ b ≤ c। यह सबसे बड़ी भुजा c के साथ पूर्णांक-पक्षीय कुंद या समकोण (गैर-तीव्र) त्रिभुजों की संख्या भी है। c = 1 से प्रारंभ होने वाला क्रम है:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (sequence A236384 in the OEIS)

फलस्वरूप, उपरोक्त दो अनुक्रमों के बीच का अंतर दिए गए सबसे बड़े पक्ष c के साथ तीव्र पूर्णांक-पक्षीय त्रिभुजों (सर्वांगसमता तक) की संख्या देता है। c = 1 से प्रारंभ होने वाला क्रम है:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (sequence A247588 in the OEIS)

पूर्णांक त्रिभुज का क्षेत्रफल

हीरोन के सूत्र के अनुसार, यदि T त्रिभुज का क्षेत्रफल है, जिसकी भुजाओं की लंबाई a, b और c है, तो

$4T={\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}.$

चूंकि सूत्र के दाईं ओर मूलांक के अंतर्गत सभी पद पूर्णांक हैं, सभी पूर्णांक त्रिभुजों का पूर्णांक मान 16T² होना चाहिए, और T² तर्कसंगत होगा।

पूर्णांक त्रिभुज के कोण

कोज्या के नियम के अनुसार, पूर्णांक त्रिभुज के प्रत्येक कोण में एक परिमेय कोसाइन होता है।

यदि किसी त्रिभुज के कोण अंकगणितीय श्रेणी बनाते हैं तो उसका एक कोण 60° का होना चाहिए।पूर्णांक त्रिभुजों के लिए शेष कोणों में परिमेय कोसाइन भी होने चाहिए और ऐसे त्रिभुजों को उत्पन्न करने की विधि नीचे दी गई है। हालाँकि, समबाहु त्रिभुज के तुच्छ मामले के अलावा, कोई पूर्णांक त्रिभुज नहीं हैं जिनके कोण या तो ज्यामितीय प्रगति या हार्मोनिक प्रगति (गणित) बनाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसे कोणों को रूप का परिमेय कोण होना चाहिए πp/q परिमेय के साथ 0 < p/q < 1. लेकिन पूर्णांक त्रिभुजों के सभी कोणों में परिमेय कोज्या होनी चाहिए और यह तभी होगा जबp/q = 1/3  अर्थात पूर्णांक त्रिभुज समबाहु है।

पूर्णांक त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण द्विभाजक का वर्ग तर्कसंगत है, क्योंकि कोण A के आंतरिक कोण द्विभाजक के लिए सामान्य त्रिभुज सूत्र है ${\tfrac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}$ जहाँ s अर्धपरिधि है (और इसी तरह अन्य कोणों के समद्विभाजक के लिए)।

ऊंचाई से पार्श्व विभाजित

कोई भी ऊँचाई (त्रिकोण) शीर्ष से विपरीत दिशा में गिराया जाता है या उसका विस्तार उस पक्ष या उसके विस्तार को तर्कसंगत लंबाई में विभाजित कर देगा।

माध्य

किसी पूर्णांक त्रिभुज की किसी भी माध्यिका (ज्यामिति) के दोगुने का वर्ग पूर्णांक होता है, क्योंकि वर्ग माध्यिका m_a² का सामान्य सूत्र ${\tfrac {(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}{4}}$ (2m_a)² = 2b² + 2c² − a² से a की ओर है (और इसी तरह दूसरी तरफ के माध्यकों के लिए)।

परिक्रमा और अंतःत्रिज्या

चूँकि पूर्णांक त्रिभुज के क्षेत्रफल का वर्ग परिमेय होता है, इसकी परिधि का वर्ग भी परिमेय होता है, जैसा कि अंतर्त्रिज्या का वर्ग होता है।

पूर्णांक त्रिभुज की अंतःत्रिज्या और अंतःत्रिज्या का अनुपात परिमेय, समतुल्य होता है ${\tfrac {4T^{2}}{sabc}}$ अर्धपरिधि s और क्षेत्रफल T के लिए।

पूर्णांक त्रिभुज की अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या का गुणनफल परिमेय, ${\tfrac {abc}{2(a+b+c)}}.$समतुल्य होता है।

इस प्रकार ज्योमेट्री में यूलर के प्रमेय द्वारा दिए गए पूर्णांक त्रिकोण के अंत: केंद्र और परिधि के बीच की दूरी। यूलर के प्रमेय R² − 2Rr के रूप में परिमेय है।

हेरोनियन त्रिकोण

Main article: हेरोनियन त्रिभुज

सभी हेरोनियन त्रिभुजों को जालक बिंदु पर प्रत्येक शीर्ष के साथ जालक पर रखा जा सकता है।

सामान्य सूत्र

हेरोनियन त्रिभुज, जिसे हीरोन त्रिभुज या हीरो त्रिभुज के रूप में भी जाना जाता है, त्रिभुज है जिसमें पूर्णांक भुजाएँ और पूर्णांक क्षेत्रफल होता है। प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज की भुजाएँ समानुपाती होती हैं

$a=n(m^{2}+k^{2})$

$b=m(n^{2}+k^{2})$

$c=(m+n)(mn-k^{2})$

${\text{Semiperimeter}}=mn(m+n)$

${\text{Area}}=mnk(m+n)(mn-k^{2})$

पूर्णांकों m, n और k के लिए व्यवरोधों के अधीन:

$\gcd {(m,n,k)}=1$

$mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)$

$m\geq n\geq 1.$

आनुपातिकता कारक सामान्यतः तर्कसंगत ${\frac {p}{q}}$ होता है जहां q = gcd(a,b,c) जेनरेट किए गए हेरोनियन त्रिभुज को अपने आदिम तक कम कर देता है और $p$ इस आदिम को आवश्यक आकार तक बढ़ा देता है।

पायथागॉरियन त्रिकोण

Main article: पायथागॉरियन ट्रिपल

पाइथागोरस त्रिभुज समकोण और हेरोनियन है। इसकी तीन पूर्णांक भुजाओं को पायथागॉरियन ट्रिपल या पाइथागोरस त्रिक या पाइथागोरस त्रिक के रूप में जाना जाता है। सभी पायथागॉरियन ट्रिपल $(a,b,c)$ कर्ण के साथ $c$ जो आदिम हैं (ऐसी भुजाएँ जिनका कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है) द्वारा उत्पन्न की जा सकती हैं

$a=m^{2}-n^{2},\,$

$b=2mn,\,$

$c=m^{2}+n^{2},\,$

${\text{Semiperimeter}}=m(m+n)\,$

${\text{Area}}=mn(m^{2}-n^{2})\,$

जहां m और n सहअभाज्य पूर्णांक हैं और उनमें से m > n के साथ भी है।

2 से बड़ी प्रत्येक सम संख्या पाइथागोरस त्रिभुज की पद हो सकती है (जरूरी नहीं कि आदिम हो) क्योंकि यदि पद $a=2m$ द्वारा दिया गया है और हम $b=(a/2)^{2}-1=m^{2}-1$ चुनते हैं दूसरे पद  में कर्ण $c=m^{2}+1$ है। यह अनिवार्य रूप से उपरोक्त जनरेशन सूत्र है जिसमें $n$ को 1 पर सेट किया गया है और $m$ को 2 से अनंत तक की सीमा की अनुमति है।

पायथागॉरियन त्रिकोण कर्ण से पूर्णांक ऊंचाई के साथ

कर्ण से पूर्णांक ऊंचाई के साथ कोई आदिम पायथागॉरियन त्रिकोण नहीं हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि दो बार क्षेत्र किसी भी आधार गुणा के बराबर ऊंचाई के बराबर होता है: 2 गुना क्षेत्र इस प्रकार एबी और सीडी दोनों के बराबर होता है जहां डी कर्ण सी से ऊंचाई है। आदिम त्रिभुज की तीन भुजाएँ सहअभाज्य होती हैं, इसलिए d = ab⁄c पूरी तरह से कम किए गए रूप में है; चूँकि c किसी आदिम पाइथागोरस त्रिभुज के लिए 1 के बराबर नहीं हो सकता, d पूर्णांक नहीं हो सकता है।

हालांकि, पद x, y और कर्ण z वाला कोई भी पाइथागोरस त्रिभुज, कर्ण z की लंबाई द्वारा भुजाओं को ऊपर करके पूर्णांक ऊंचाई वाला पाइथागोरस त्रिभुज उत्पन्न कर सकता है। यदि d ऊंचाई है, तो पूर्णांक ऊंचाई के साथ उत्पन्न पायथागॉरियन त्रिकोण द्वारा दिया जाता है।

$(a,b,c,d)=(xz,yz,z^{2},xy).\,$

फलस्वरूप, पद a और b, कर्ण c, और पूर्णांक ऊंचाई d के साथ सभी पायथागॉरियन त्रिकोण कर्ण से, gcd(a, b, c, d) = 1 के साथ, जो आवश्यक रूप से a² + b² = c² और ^{${\tfrac {1}{a^{2}}}+{\tfrac {1}{b^{2}}}={\tfrac {1}{d^{2}}}$ दोनों को संतुष्ट करते हैं, द्वारा उत्पन्न होते हैं।}

$a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2}),\,$

$b=2mn(m^{2}+n^{2}),\,$

$c=(m^{2}+n^{2})^{2},\,$

$d=2mn(m^{2}-n^{2}),\,$

${\text{Semiperimeter}}=m(m+n)(m^{2}+n^{2})\,$

${\text{Area}}=mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2}\,$

सह अभाज्य पूर्णांक m, n के साथ m > n के लिए।

अंकगणितीय प्रगति में पक्षों के साथ हेरोनियन त्रिकोण

पूर्णांक भुजाओं और पूर्णांक क्षेत्रफल वाले त्रिभुज की भुजाएँ अंकगणितीय प्रगति में होती हैं यदि और केवल यदि भुजाएँ (b – d, b, b + d) हैं, जहाँ

$b=2(m^{2}+3n^{2})/g,$

$d=(m^{2}-3n^{2})/g,$

और जहाँ g का महत्तम समापवर्तक है $m^{2}-3n^{2},$ $2mn,$ और $m^{2}+3n^{2}.$

कोण के साथ दो बार दूसरे के बराबर हेरोनियन त्रिकोण

B = 2A वाले सभी हेरोनियन त्रिभुज किसके द्वारा उत्पन्न होते हैं दोनों में से एक

$a={\dfrac {k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2}}{4}},$

$b={\dfrac {k^{2}(s^{4}-r^{4})}{2}},$

$c={\dfrac {k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4})}{4}},$

${\text{Area}}={\dfrac {k^{2}csr(s^{2}-r^{2})}{2}},$

पूर्णांक k, s, r के साथ ऐसा है किs² > 3r² या

$a={\dfrac {q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2}}{4}}\,$,

$b=q^{2}uv(u^{2}+v^{2})\,$,

$c={\dfrac {q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4})}{4}}\,$,

${\text{Area}}={\dfrac {q^{2}cuv(v^{2}-u^{2})}{2}}\,$,

पूर्णांकों के साथ q, u, v ऐसा है कि v > u और $v^{2}<(7+4{\sqrt {3}})u^{2}.$

B = 2A वाला कोई भी हेरोनियन त्रिभुज समद्विबाहु या समकोण त्रिभुज नहीं है क्योंकि सभी परिणामी कोण संयोजन गैर-तर्कसंगत साइन के साथ कोण उत्पन्न करते हैं, जो गैर-तर्कसंगत क्षेत्र या भुजा देता है।

समद्विबाहु हेरोनियन त्रिकोण

सभी समद्विबाहु त्रिभुज हेरोनियन त्रिभुज विघटित होते हैं। वे दो सर्वांगसम पाइथागोरस त्रिभुजों को उनके किसी भी सामान्य पद के साथ जोड़कर बनते हैं जैसे कि समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ पाइथागोरस त्रिभुजों के कर्ण हैं, और समद्विबाहु त्रिभुज का आधार अन्य पायथागॉरियन पद का दोगुना है। फलस्वरूप, प्रत्येक पायथागॉरियन त्रिकोण दो समद्विबाहु हेरोनियन त्रिकोणों के लिए बिल्डिंग ब्लॉक है क्योंकि जुड़ना किसी भी पद के साथ हो सकता है।

समद्विबाहु हेरोनियन त्रिभुजों के सभी युग्मों के परिमेय गुणजों द्वारा दिए गए हैं

$a=2(u^{2}-v^{2}),$

$b=u^{2}+v^{2},$

$c=u^{2}+v^{2},$

और

$a=4uv,$

$b=u^{2}+v^{2},$

$c=u^{2}+v^{2},$

सह अभाज्य पूर्णांक u और v के साथ u> v और u + v विषम के लिए है।

हेरोनियन त्रिभुज जिसका परिमाप अभाज्य चार गुना है

यह दिखाया गया है कि हेरोनियन त्रिभुज जिसकी परिधि अभाज्य संख्या से चार गुणा है, अद्वितीय रूप से प्राइम के साथ जुड़ा हुआ है और प्राइम $1$ या $3$ मॉड्यूलो $8$ के अनुरूप है। यह सर्वविदित है कि ऐसे अभाज्य $p$ को विशिष्ट रूप से पूर्णांक $m$ और $n$ में विभाजित किया जा सकता है जैसे कि $p=m^{2}+2n^{2}$(यूलर की आदर्श संख्या देखें)। इसके अलावा, यह दिखाया गया है कि इस तरह के हेरोनियन त्रिकोण आदिम हैं क्योंकि त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा को प्रधान के बराबर होना चाहिए जो कि इसकी परिधि का एक-चौथाई है।

फलस्वरूप, सभी आदिम हेरोनियन त्रिकोण जिनकी परिधि प्रधान से चार गुना है, द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है

$a=m^{2}+2n^{2}$

$b=m^{2}+4n^{2}$

$c=2(m^{2}+n^{2})$

${\text{Semiperimeter}}=2a=2(m^{2}+2n^{2})$

${\text{Area}}=2mn(m^{2}+2n^{2})$

पूर्णांकों के लिए $m$ और $n$ ऐसा है कि $m^{2}+2n^{2}$ एक प्रधान है।

इसके अलावा, क्षेत्रफल का गुणनखंडन $2mnp$ है जहाँ $p=m^{2}+2n^{2}$ अभाज्य है। हालाँकि, हेरोनियन त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा $6$ से विभाज्य होता है। यह परिणाम देता है कि जब $m=1$ और $n=1,$ के अलावा, जो $p=3,$ देता है, $m$ और $n$ के अन्य सभी पारियों में $m$ विषम होना चाहिए, उनमें से केवल एक ही $3$ से विभाज्य है।

तर्कसंगत कोण द्विभाजक के साथ हेरोनियन त्रिकोण

यदि हेरोनियन त्रिभुज में कोण द्विभाजक है $w_{a}$ कोण का $\alpha$, कोण द्विभाजक $w_{b}$ कोण का $\beta$ और कोण द्विभाजक $w_{c}$ कोण का $\gamma$ तीन पक्षों के साथ तर्कसंगत संबंध है तो ही नहीं $\alpha ,\beta ,\gamma$ लेकिन ${\frac {\alpha }{2}}$, ${\frac {\beta }{2}}$ और ${\frac {\gamma }{2}}$ हेरोनियन कोण होना चाहिए। अर्थात्, यदि दोनों कोण ${\frac {\alpha }{2}}$ और ${\frac {\beta }{2}}$ तब हेरोनियन हैं ${\frac {\gamma }{2}}$, का पूरक ${\frac {\alpha }{2}}+{\frac {\beta }{2}}$, हेरोनियन कोण भी होना चाहिए, ताकि तीनों कोण-द्विभाजक परिमेय हों। यह भी स्पष्ट है अगर कोई गुणा करता है:

$w_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)}}\cdot {\sqrt {bc}}}{b+c}}\quad w_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-b)}}\cdot {\sqrt {ac}}}{a+c}}\quad w_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-c)}}\cdot {\sqrt {ab}}}{a+b}}$

साथ में। अर्थात्, इसके माध्यम से प्राप्त करता है:

$w_{a}\cdot w_{b}\cdot w_{c}={\frac {8s\cdot J\cdot a\cdot b\cdot c}{(a+b)(a+c)(b+c)}},$

जहाँ $s$ अर्ध-परिधि को दर्शाता है, और $J$ त्रिभुज का क्षेत्रफल।

तर्कसंगत कोण द्विभाजक वाले सभी हेरोनियन त्रिकोण किसके द्वारा उत्पन्न होते हैं

$a=mn(p^{2}+q^{2})$

$b=pq(m^{2}+n^{2})$

$c=(mq+np)(mp-nq)$

${\text{Semiperimeter}}=s=(a+b+c)/2=mp(mq+np)$

$s-a=mq(mp-nq)$

$s-b=np(mp-nq)$

$s-c=nq(mq+np)$

${\text{Area}}=J=mnpq(mq+np)(mp-nq)$

जहाँ $m,n,p,q$ ऐसे हैं

$m=t^{2}-u^{2}$

$n=2tu$

$p=v^{2}-w^{2}$

$q=2vw$

जहाँ $t,u,v,w$ मनमाना पूर्णांक हैं जैसे कि

$t$ और $u$ सह अभाज्य,

$v$ और $w$ सह अभाज्य।

पूर्णांक अंतःत्रिज्या और बाह्य त्रिज्या के साथ हेरोनियन त्रिकोण

अंतःवृत्त और प्रत्येक बहिर्वृत्त के लिए पूर्णांक त्रिज्या के साथ असीम रूप से कई विघटित, और असीम रूप से कई अविघटनीय, आदिम हेरोनियन (गैर-पाइथोगोरियन) त्रिभुज हैं।

$a=4n^{2}$

$b=(2n+1)(2n^{2}-2n+1)$

$c=(2n-1)(2n^{2}+2n+1)$

$r=2n-1$

$r_{a}=2n+1$

$r_{b}=2n^{2}$

$r_{c}={\text{Area}}=2n^{2}(2n-1)(2n+1);$

और अपघटन का एक उदाहरण द्वारा दिया गया है

$a=5(5n^{2}+n-1)$

$b=(5n+3)(5n^{2}-4n+1)$

$c=(5n-2)(5n^{2}+6n+2)$

$r=5n-2$

$r_{a}=5n+3$

$r_{b}=5n^{2}+n-1$

$r_{c}={\text{Area}}=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1).$

चतुष्फलक के फलकों के रूप में हेरोनियन त्रिभुज

चेहरे (ज्यामिति) के रूप में पूर्णांक-मूल्यवान मात्रा और हेरोन त्रिकोण वाले टेट्राहेड्रा मौजूद हैं। उदाहरण में 896 का किनारा, 190 का विपरीत किनारा और 1073 के अन्य चार किनारे हैं; दो चेहरों का क्षेत्रफल 436800 है और अन्य दो का क्षेत्रफल 47120 है, जबकि आयतन 62092800 है।

2D जाली में हेरोनियन त्रिकोण

2डी जाली ग्राफ अलग-थलग बिंदुओं की नियमित सरणी है जहां अगर किसी बिंदु को कार्तीय समन्वय प्रणाली (0, 0) के रूप में चुना जाता है, तो अन्य सभी बिंदु (x, y) पर हैं जहां x और y सभी सकारात्मक और नकारात्मक पूर्णांक। जालीदार त्रिभुज किसी भी त्रिभुज को 2डी जालक के भीतर खींचा जाता है जैसे कि सभी कोने जालक बिंदुओं पर स्थित होते हैं। पिक के प्रमेय के अनुसार जाली त्रिकोण का एक परिमेय क्षेत्र होता है जो या तो पूर्णांक या आधा पूर्णांक होता है (2 का भाजक होता है)। यदि जाली त्रिकोण में पूर्णांक भुजाएँ हैं तो यह पूर्णांक क्षेत्रफल वाला हेरोनियन है।

इसके अलावा, यह साबित हो गया है कि सभी हेरोनियन त्रिकोणों को जाली त्रिकोणों के रूप में खींचा जा सकता है। फलस्वरूप, पूर्णांक त्रिकोण हेरोनियन है अगर और केवल अगर इसे जाली त्रिकोण के रूप में खींचा जा सकता है।

असीम रूप से कई आदिम हेरोनियन (गैर-पाइथागोरियन) त्रिभुज हैं, जिन्हें पूर्णांक जाली पर रखा जा सकता है, जिसमें सभी कोने, अंत: केंद्र और जाली बिंदुओं पर तीनों एक्सेंटर होते हैं। ऐसे त्रिभुजों के दो परिवार वे होते हैं जिनके पैरामीट्रिजेशन ऊपर दिए गए हैं। हेरोनियन त्रिकोण में पूर्णांक आंतरिक त्रिज्या और बाहरी त्रिज्या के साथ।

पूर्णांक ऑटोमेडियन त्रिकोण

Main article: ऑटोमेडियन त्रिकोण

स्वचालित त्रिभुज वह होता है जिसकी माध्यिकाएँ भुजाओं के समान अनुपात (विपरीत क्रम में) में होती हैं। यदि x, y, और z समकोण त्रिभुज की तीन भुजाएँ हैं, जो आकार के अनुसार बढ़ते क्रम में क्रमबद्ध हैं, और यदि 2x < z, तो z, x + y, और y − x स्वचालित त्रिभुज की तीन भुजाएँ हैं। उदाहरण के लिए, भुजाओं की लंबाई 5, 12, और 13 के साथ समकोण त्रिभुज का उपयोग इस तरह से सबसे छोटा गैर-तुच्छ (यानी, गैर-समतुल्य) पूर्णांक ऑटोमेडियन त्रिभुज बनाने के लिए किया जा सकता है, जिसकी भुजाएँ 13, 17 और 7 हैं।

फलस्वरूप, यूक्लिड के सूत्र का उपयोग करना, जो आदिम पायथागॉरियन त्रिकोण उत्पन्न करता है, आदिम पूर्णांक ऑटोमेडियन त्रिकोण उत्पन्न करना संभव है

$a=|m^{2}-2mn-n^{2}|$

$b=m^{2}+2mn-n^{2}$

$c=m^{2}+n^{2}$

साथ $m$ और $n$ कोप्राइम और $m+n$ विषम, और $n<m<n{\sqrt {3}}$(यदि निरपेक्ष मान चिह्नों के भीतर की मात्रा ऋणात्मक है) या$m>(2+{\sqrt {3}})n$ (यदि वह मात्रा सकारात्मक है) त्रिकोण असमानता को संतुष्ट करने के लिए।

स्वचालित त्रिभुज की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि इसकी भुजाओं के वर्ग अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं। विशेष रूप से, $c^{2}-a^{2}=b^{2}-c^{2}$ इसलिए $2c^{2}=a^{2}+b^{2}.$

विशिष्ट कोण गुणों के साथ पूर्णांक त्रिकोण

परिमेय कोण द्विभाजक के साथ पूर्णांक त्रिभुज

पूर्णांक भुजाओं वाला त्रिभुज परिवार $a,b,c$ और तर्कसंगत द्विभाजक के साथ $d$ कोण A द्वारा दिया गया है

$a=2(k^{2}-m^{2}),$

$b=(k-m)^{2},$

$c=(k+m)^{2},$

$d={\tfrac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}}},$

पूर्णांकों के साथ $k>m>0$.

सभी कोणों के पूर्णांक एन-सेक्टरों के साथ पूर्णांक त्रिकोण

असीम रूप से कई गैर-समान त्रिभुज त्रिभुज मौजूद हैं जिनमें तीनों कोणों में से प्रत्येक की तीन भुजाएँ और समद्विभाजक पूर्णांक हैं।

असीम रूप से कई गैर-समान त्रिभुज मौजूद हैं जिनमें तीनों कोणों में से प्रत्येक की तीन भुजाएँ और दो त्रिभाजक पूर्णांक हैं।

हालाँकि, n > 3 के लिए ऐसा कोई त्रिभुज मौजूद नहीं है जिसमें तीनों कोणों में से प्रत्येक की तीन भुजाएँ और (n – 1) n-सेक्टर पूर्णांक हों।

दिए गए परिमेय कोसाइन के साथ एक कोण वाला पूर्णांक त्रिभुज

परिमेय कोज्या h / k (h < 0 या > 0; k > 0) दिए गए शीर्ष A पर एक कोण वाले कुछ पूर्णांक त्रिभुज निम्न द्वारा दिए गए हैं

$a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2},$

$b=p^{2}-q^{2}k^{2},$

$c=2qk(p-qh),$

जहाँ p और q कोई सह अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि p> qk।

60° कोण के साथ पूर्णांक त्रिभुज (अंकगणितीय प्रगति में कोण)

60° के कोण वाले सभी पूर्णांक त्रिभुजों के कोण अंकगणितीय श्रेढ़ी में होते हैं। ऐसे सभी त्रिभुज समानुपातिक हैं:

$a=4mn,$

$b=3m^{2}+n^{2},$

$c=2mn+|3m^{2}-n^{2}|$

कोप्राइम पूर्णांक m, n और 1 ≤ n ≤ m या 3m ≤ n के साथ। यहां से, सभी आदिम समाधान उनके सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा a, b और c को विभाजित करके प्राप्त किए जा सकते हैं।

60° कोण वाले पूर्णांक त्रिभुज भी किसके द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं

$a=m^{2}-mn+n^{2},$

$b=2mn-n^{2},$

$c=m^{2}-n^{2},$

कोप्राइम पूर्णांक m, n के साथ 0 < n < m (60° का कोण लंबाई a की भुजा के विपरीत है)। यहाँ से, सभी आदिम समाधान उनके सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा a, b, और c को विभाजित करके प्राप्त किए जा सकते हैं (उदाहरण के लिए समबाहु त्रिभुज समाधान प्राप्त किया जाता है m = 2 और n = 1, लेकिन यह a = b = c = 3 उत्पन्न करता है, जो आदिम समाधान नहीं है)। यह सभी देखें यथार्थ, यदि $m\equiv -n\ ({\text{mod}}\ 3)$, तब $gcd(a,b,c)=3$, अन्यथा $gcd(a,b,c)=1$. दो अलग जोड़े $(m,n)$ और $(m,m-n)$ एक ही ट्रिपल उत्पन्न करें। दुर्भाग्य से दो जोड़े दोनों gcd = 3 के हो सकते हैं, इसलिए हम केवल उस मामले को छोड़ कर डुप्लिकेट से नहीं बच सकते। इसके बजाय, डुप्लीकेट से बचा जा सकता है $n$ तक ही जा रहा है $m/2$. हमें अभी भी 3 से विभाजित करने की आवश्यकता है यदि gcd = 3. के लिए एकमात्र समाधान $n=m/2$ उपरोक्त बाधाओं के तहत है $(3,3,3)\equiv (1,1,1)$ के लिए $m=2,n=1$. इसके साथ अतिरिक्त $n\leq m/2$ बाधा सभी ट्रिपल विशिष्ट रूप से उत्पन्न हो सकते हैं।

ईसेनस्टीन ट्रिपल पूर्णांक का एक सेट है जो त्रिभुज के किनारों की लंबाई होती है जहां कोणों में से 60 डिग्री है।

120° कोण के साथ पूर्णांक त्रिभुज

120° कोण वाले पूर्णांक त्रिभुज किसके द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं?

$a=m^{2}+mn+n^{2},$

$b=2mn+n^{2},$

$c=m^{2}-n^{2},$

कोप्राइम पूर्णांक m, n के साथ 0 < n < m (120° का कोण लंबाई a की भुजा के विपरीत है)। यहां से, सभी आदिम समाधान उनके सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा a, b और c को विभाजित करके प्राप्त किए जा सकते हैं। m = 2 और n = 1 के लिए सबसे छोटा हल, भुजाओं (3,5,7) वाला त्रिभुज है। यह सभी देखें।

अधिक सटीक रूप से, यदि $m\equiv n\ ({\text{mod}}\ 3)$ तो $\gcd(a,b,c)=3$अन्यथा $\gcd(a,b,c)=1$. चूँकि सबसे बड़ी भुजा a केवल $(m,n)$से उत्पन्न की जा सकती है , जोड़ी, प्रत्येक आदिम ट्रिपल को ठीक दो तरीकों से उत्पन्न किया जा सकता है: एक बार सीधे gcd = 1 के साथ, और एक बार अप्रत्यक्ष रूप से gcd = 3 के साथ। इसलिए, सभी आदिम त्रिगुणों को विशिष्ट रूप से उत्पन्न करने के लिए, कोई केवल एक अतिरिक्त $m\not \equiv n\ ({\text{mod}}\ 3)$ शर्त जोड़ सकता है।

पूर्णांक त्रिकोण एक कोण के साथ एक मनमाना परिमेय संख्या गुणा एक और कोण के बराबर

धनात्मक कोप्राइम पूर्णांक h और k के लिए, निम्नलिखित भुजाओं वाले त्रिभुज में कोण होते हैं $h\alpha$, $k\alpha$, और $\pi -(h+k)\alpha$ और इसलिए दो कोण h : k के अनुपात में हैं, और इसकी भुजाएँ पूर्णांक हैं:

$a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},$

$b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},$

$c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha }}=\sum _{0\leq i\leq {\frac {h+k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},$

जहाँ $\alpha =\cos ^{-1}\!{\frac {p}{q}}$ और p और q कोई सहअभाज्य पूर्णांक हैं जैसे कि $\cos {\frac {\pi }{h+k}}<{\frac {p}{q}}<1$.

कोण के साथ पूर्णांक त्रिकोण दूसरे कोण के दो बार के बराबर

कोण A विपरीत भुजा के साथ $a$ और कोण B विपरीत दिशा में है $b$, B = 2A के साथ कुछ त्रिकोण उत्पन्न होते हैं

$a=n^{2},$

$b=mn,$

$c=m^{2}-n^{2},$

पूर्णांक m के साथ, n ऐसा कि 0 < n < m < 2n.

B = 2A (चाहे पूर्णांक हो या नहीं) $a(a+c)=b^{2}.$ वाले सभी त्रिभुज संतुष्ट करते हैं।

कोण के साथ पूर्णांक त्रिभुज दूसरे कोण के 3/2 के बराबर

समरूप त्रिभुजों का तुल्यता वर्ग $B={\tfrac {3}{2}}A$ से उत्पन्न होते हैं।

$a=mn^{3},$

$b=n^{2}(m^{2}-n^{2}),$

$c=(m^{2}-n^{2})^{2}-m^{2}n^{2},$

पूर्णांकों के साथ $m,n$ ऐसा है कि $0<\varphi n<m<2n$, जहाँ $\varphi$ सुनहरा अनुपात है $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803$.

सभी त्रिकोण के साथ $B={\tfrac {3}{2}}A$ (पूर्णांक पक्षों के साथ या नहीं) $(b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc)=a^{2}c^{2}.$संतुष्ट हैं।

कोण के साथ पूर्णांक त्रिभुज दूसरे कोण से तीन गुना

हम सूत्रों का उपयोग करके B = 3A को संतुष्ट करने वाले समरूप त्रिभुजों का पूर्ण तुल्यता वर्ग उत्पन्न कर सकते हैं।

$a=n^{3},\,$

$b=n(m^{2}-n^{2}),\,$

$c=m(m^{2}-2n^{2}),\,$

जहाँ $m$ और $n$ ऐसे पूर्णांक हैं ${\sqrt {2}}n<m<2n$.

B = 3A वाले सभी त्रिभुज (चाहे पूर्णांक भुजाओं वाले हों या नहीं) $ac^{2}=(b-a)^{2}(b+a).$संतुष्ट करते हैं।

तीन तर्कसंगत कोणों के साथ पूर्णांक त्रिकोण

तीन परिमेय कोणों (डिग्री की परिमेय संख्या, या पूर्ण मोड़ के समतुल्य परिमेय अंश) वाला एकमात्र पूर्णांक त्रिभुज समबाहु त्रिभुज है। ऐसा इसलिए है क्योंकि पूर्णांक पक्ष कोसाइन के नियम द्वारा तीन तर्कसंगत कोसाइन का संकेत देते हैं, और निवेन के प्रमेय द्वारा परिमेय कोसाइन परिमेय कोण के साथ मेल खाता है यदि और केवल यदि कोसाइन 0, ±1/2, या ±1 के बराबर है। केवल वे ही हैं जो 0° और 180° के बीच का कोण देते हैं, 60° कोण के साथ कोसाइन मान 1/2, 120° कोण के साथ कोसाइन मान -1/2, और कोण 90° के साथ कोज्या मान 0 है। . इनमें से तीन का एकमात्र संयोजन, उनमें से किसी के भी कई उपयोग की अनुमति देता है और 180° का योग, तीन 60° कोण है।

परित्रिज्या से अंतःत्रिज्या के पूर्णांक अनुपात के साथ पूर्णांक त्रिभुज

पूर्णांक त्रिभुज के लिए दीर्घवृत्तीय वक्रों के संदर्भ में शर्तों को जाना जाता है, जिसमें परिवृत्त का अंतःत्रिज्या का पूर्णांक अनुपात N होता है। समबाहु त्रिभुज की सबसे छोटी स्थिति में N = 2 है। प्रत्येक ज्ञात मामले में, N ≡ 2 (mod 8)—अर्थात्, N - 2 8 से विभाज्य है।

5-कोण त्रिभुज जोड़े

Main article: 5-कोण त्रिभुज

5-कॉन त्रिभुज जोड़ी त्रिभुजों की एक जोड़ी है जो समान हैं लेकिन सर्वांगसम नहीं हैं और जो तीन कोणों और दो साइडलेंथ साझा करती हैं। आदिम पूर्णांक 5-कोन त्रिकोण, जिसमें चार अलग-अलग पूर्णांक भुजाएँ (दोनों त्रिभुजों में दिखाई देने वाली दो भुजाएँ और प्रत्येक त्रिभुज में एक दूसरी भुजा) कोई अभाज्य गुणनखण्ड साझा नहीं करती हैं, भुजाओं के त्रिगुण हैं।

$(x^{3},x^{2}y,xy^{2})$ और $(x^{2}y,xy^{2},y^{3})$ धनात्मक सहअभाज्य पूर्णांक x और y के लिए। सबसे छोटा उदाहरण जोड़ी (8, 12, 18), (12, 18, 27) है, जो x = 2, y = 3 द्वारा उत्पन्न होता है।

विशेष पूर्णांक त्रिकोण

• भुजाओं और क्षेत्रफल के लिए लगातार पूर्णांक वाले एकमात्र त्रिभुज की भुजाएँ (3, 4, 5) और क्षेत्रफल 6 हैं।
• ऊंचाई और भुजाओं के लिए लगातार पूर्णांकों वाला एकमात्र त्रिभुज जिसकी भुजाएँ (13, 14, 15) हैं और भुजा 14 से ऊँचाई 12 के बराबर है।
• (2, 3, 4) त्रिभुज और इसके गुणक अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाओं वाले और पूरक बाहरी कोण गुण वाले एकमात्र त्रिभुज हैं। यह गुण बताता है कि यदि कोण C अधिक कोण है और यदि एक खंड B से लंबवत रूप से AC विस्तारित पक्ष P पर मिलता है, तो ∠CAB=2∠CBP।
• (3, 4, 5) त्रिभुज और इसके गुणक अंकगणितीय प्रगति में भुजाओं वाले एकमात्र पूर्णांक समकोण त्रिभुज हैं।
• (4, 5, 6) त्रिभुज और इसके गुणक एकमात्र ऐसे त्रिभुज हैं जिनका एक कोण दूसरे से दुगुना है और अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजाएँ हैं।
• (3, 5, 7) त्रिभुज और इसके गुणक 120° कोण वाले और अंकगणितीय प्रगति में पूर्णांक भुजा वाले एकमात्र त्रिभुज हैं।*क्षेत्रफल वाला एकमात्र पूर्णांक त्रिभुज = अर्धपरिमाप भुजाएँ (3, 4, 5) हैं।
• क्षेत्रफल = परिमाप वाले केवल पूर्णांक त्रिभुजों की भुजाएँ होती हैं (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20), और (9, 10, 17)। इनमें से पहले दो, लेकिन अंतिम तीन नहीं, समकोण त्रिभुज हैं।
• तीन परिमेय माध्यिका (ज्यामिति) के साथ पूर्णांक त्रिभुज मौजूद हैं। सबसे छोटी भुजाएँ (68, 85, 87) हैं। अन्य में (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) और (327, 386, 409) सम्मिलित हैं।
• कोई समद्विबाहु पायथागॉरियन त्रिभुज नहीं हैं।
• केवल आदिम पायथागॉरियन त्रिभुज जिसके लिए परिधि का वर्ग क्षेत्र के एक पूर्णांक गुणक के बराबर होता है (3, 4, 5) परिधि 12 और क्षेत्रफल 6 के साथ और परिधि के वर्ग का अनुपात 24 होता है; (5, 12, 13) परिमाप 30 और क्षेत्रफल 30 के साथ और परिमाप के वर्ग से क्षेत्रफल 30 के अनुपात के साथ; और (9, 40, 41) परिमाप 90 और क्षेत्रफल 180 के साथ और परिमाप के वर्ग से क्षेत्रफल 45 के अनुपात के साथ।
• एक परिमेय समकोण त्रिभुज और एक परिमेय समद्विबाहु त्रिभुज का एक अद्वितीय (समानता तक) युग्म मौजूद है जिसकी समान परिधि और समान क्षेत्रफल है। अद्वितीय जोड़ी में (377, 135, 352) त्रिभुज और (366, 366, 132) त्रिभुज सम्मिलित हैं। ऐसे त्रिभुजों का कोई युग्म नहीं है यदि त्रिभुजों को आदिम समाकल त्रिभुजों का होना भी आवश्यक है। लेखक हड़ताली तथ्य पर जोर देते हैं कि दूसरा दावा एक प्राथमिक तर्क (वे अपने परिशिष्ट ए में ऐसा करते हैं) द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, जबकि पहले दावे को आधुनिक अत्यधिक गैर-तुच्छ गणित की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

• रॉबिन्स पेंटागन, पूर्णांक भुजाओं और पूर्णांक क्षेत्रफल वाला एक चक्रीय पेंटागन
• यूलर ईंट, पूर्णांक किनारों और पूर्णांक फलक विकर्णों वाला एक घनाभ
• चतुष्फलक पूर्णांक चतुष्फलक