अलघुकरणीय घटक

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक अलघुकरणीय बीजगणितीय समुच्चय या अलघुकरणीय विविधता एक बीजगणितीय समुच्चय है जिसे दो उचित उपसमुच्चय बीजगणितीय उपसमुच्चयों के संघ (सेट सिद्धांत) के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। एक अलघुकरणीय घटक एक बीजगणितीय उपसमुच्चय है जो इस संपत्ति के लिए अप्रासंगिक और अधिकतम (सेट समावेशन के लिए) है। उदाहरण के लिए, समीकरण के समाधान का सेट xy = 0 अलघुकरणीय नहीं है, और इसके अलघुकरणीय घटक समीकरण x = 0 और y =0 की दो पंक्तियाँ हैं।

शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति का यह एक मौलिक प्रमेय है कि प्रत्येक बीजगणितीय सेट को एक अनूठे तरीके से अलघुकरणीय घटकों के परिमित संघ के रूप में लिखा जा सकता है।

ज़रिस्की टोपोलॉजी का उपयोग करते हुए इन अवधारणाओं को विशुद्ध रूप से टोपोलॉजी के संदर्भ में सुधारा जा सकता है, जिसके लिए बंद सेट बीजगणितीय उपसमुच्चय हैं: एक टोपोलॉजिकल स्पेस इर्रिडिएबल है यदि यह दो उचित बंद सब्मिट्स का मिलन नहीं है, और एक इरेड्यूसिबल घटक एक अधिकतम है सबस्पेस है (आवश्यक रूप से बंद) जो प्रेरित टोपोलॉजी के लिए अप्रासंगिक है। हालांकि इन अवधारणाओं को हर टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए माना जा सकता है, यह शायद ही कभी बीजगणितीय ज्यामिति के बाहर किया जाता है, क्योंकि अधिकांश सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस हॉसडॉर्फ स्पेस होते हैं, और हॉसडॉर्फ स्पेस में, इरेड्यूसिबल घटक सिंगलटन (गणित) होते हैं।

टोपोलॉजी में

एक टोपोलॉजिकल स्पेस X को कम किया जा सकता है यदि इसे दो बंद उचित उपसमुच्चयों के संघ $X=X_{1}\cup X_{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है $X_{1}$, $X_{2}$ का $X.$

एक टोपोलॉजिकल स्पेस इरेड्यूसिबल (या हाइपरकनेक्टेड स्पेस) है अगर यह रिड्यूसिबल नहीं है। समान रूप से, X अप्रासंगिक है यदि X के सभी गैर खाली खुले उपसमुच्चय घने हैं, या यदि कोई दो गैर-खाली खुले सेटों में गैर-खाली चौराहा (सेट सिद्धांत) है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस 'X' के एक सबसेट 'F' को इरेड्यूसिबल या रिड्यूसिबल कहा जाता है, अगर 'F' को सबस्पेस टोपोलॉजी के माध्यम से एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में माना जाता है, तो उपरोक्त अर्थ में संबंधित संपत्ति होती है। अर्थात्, $F$ कम हो जाता है यदि इसे संघ के रूप में लिखा जा सकता है $F=(G_{1}\cap F)\cup (G_{2}\cap F),$ जहाँ $G_{1},G_{2}$ बंद उपसमुच्चय हैं $X$ इनमें से किसी में भी $F.$नहीं है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक अलघुकरणीय घटक एक अधिकतम अलघुकरणीय उपसमुच्चय है यदि एक उपसमुच्चय अलघुकरणीय है, तो इसका समापन (टोपोलॉजी) भी अलघुकरणीय है इसलिए अलघुकरणीय घटक बंद हो जाते हैं।

एक स्थान X का प्रत्येक अलघुकरणीय उपसमुच्चय X के एक (जरूरी नहीं कि यूनिक) इर्रेड्यूबल कंपोनेंट में समाहित है। प्रत्येक बिंदु $x\in X$ X के कुछ अलघुकरणीय घटक में समाहित है।

बीजगणितीय ज्यामिति में

प्रत्येक संबंध या प्रक्षेपी बीजगणितीय सेट को एक बहुपद वलय में एक आइडियल के शून्य के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है। एक इरेड्यूसिबल बीजगणितीय सेट, जिसे आमतौर पर बीजगणितीय विविधता के रूप में जाना जाता है, एक बीजगणितीय सेट है जिसे दो छोटे बीजगणितीय सेटों के मिलन के रूप में विघटित नहीं किया जा सकता है। लास्कर-नोथेर प्रमेय का तात्पर्य है कि प्रत्येक बीजगणितीय सेट विशिष्ट रूप से परिभाषित बीजगणितीय सेटों की एक परिमित संख्या का मिलन होता है, जिसे इसके अलघुकरणीय घटक कहा जाता है। जब ज़रिस्की टोपोलॉजी पर विचार किया जाता है, तो इरेड्यूसबिलिटी और इरेड्यूसिबल घटकों की ये धारणाएँ ठीक ऊपर परिभाषित हैं, क्योंकि बीजगणितीय सेट इस टोपोलॉजी के बिल्कुल बंद सेट हैं।

एक रिंग का स्पेक्ट्रम एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसके बिंदु प्रमुख आइडियल हैं और बंद सेट सभी प्रमुख आइडियलों के सेट हैं जिनमें एक निश्चित आइडियल होता है। इस टोपोलॉजी के लिए, एक बंद सेट अप्रासंगिक है यदि यह सभी प्रमुख आइडियलों का सेट है जिसमें कुछ प्रधान आइडियल होते हैं, और अलघुकरणीय घटक न्यूनतम प्रमुख आइडियलों के अनुरूप होते हैं। नोथेरियन रिंग के मामले में इरेड्यूसिबल घटकों की संख्या परिमित है।

रिंगों के स्पेक्ट्रा को एक साथ जोड़कर एक योजना उसी तरह से प्राप्त की जाती है जिस तरह से चार्ट को एक साथ जोड़कर कई गुना प्राप्त किया जाता है। तो अलघुकरणीयता और अलघुकरणीय घटकों की परिभाषा तुरंत योजनाओं तक फैली हुई है।

उदाहरण

हॉसडॉर्फ स्पेस में, इरेड्यूसिबल उपसमुच्चय और इरेड्यूसिबल घटक सिंगलटन (गणित) हैं। यह विशेष रूप से वास्तविक संख्याओं के मामले में है। वास्तव में, अगर X वास्तविक संख्याओं का एक समूह है जो एक सिंगलटन नहीं है, ऐसी तीन वास्तविक संख्याएँ हैं x ∈ X, y ∈ X, और x < a < y. सेट X तब से अप्रासंगिक नहीं हो सकता जब तक $X=(X\cap \,]{-\infty },a])\cup (X\cap [a,\infty [).$

अखंडनीय घटक की धारणा बीजगणितीय ज्यामिति में मौलिक है और गणित के इस क्षेत्र के बाहर शायद ही कभी माना जाता है: विमान के बीजगणितीय उपसमुच्चय पर विचार करें

X = {(x, y) | xy = 0}.

ज़ारिस्की टोपोलॉजी के लिए, इसके बंद उपसमुच्चय ही हैं, खाली सेट, फिर सिंगलटन, और दो पंक्तियां परिभाषित x = 0 और y = 0. द्वारा परिभाषित दो पंक्तियाँ सेट X इस प्रकार इन दो पंक्तियों के साथ अप्रासंगिक घटकों के रूप में कम किया जा सकता है।

एक कम्यूटेटिव रिंग का स्पेक्ट्रम रिंग के प्रमुख आइडियलों का समुच्चय है, जो ज़रिस्की टोपोलॉजी से संपन्न है, जिसके लिए अभाज्य आइडियलों का एक सेट बंद है और केवल यह सभी प्रमुख आइडियलों का समुच्चय है जिसमें एक निश्चित आइडियल (रिंग थ्योरी) होता है। इस मामले में एक अलघुकरणीय उपसमुच्चय उन सभी प्रमुख आइडियलों का समुच्चय है जिनमें एक निश्चित प्रधान आइडियल होता है।

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